数学（浙江卷）（2024年中考第一次模拟考试（浙江金卷））

2024年中考第一次模拟考试（浙江卷）

数学

（考试时间：120分钟试卷满分：120分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡，对应题日的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题尺一并交回。

第I卷

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合

题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）

1.设x是用字母表示的有理数，则下列各式中一定大于零的是（）

A.x+2B.2xC.|x|D.x2+2

2.下列计算正确的是（）

A.2m+3n=5nuiB.-crb+ba~=0

C.x2+2x2=3.r4D.3g+b）=3a+Z?

3.2023年9月23日第19届杭州亚运会开幕，有最高2640000人同时收看直播，数字2640000用科学记数

法可以表示为（）

A.2.64xlO4B.2.64xlO5C.2.64xl06D.2.64xlO7

5.分式分的值’可以等于（）

A.-1B.0C.1D.2

6.如图，8c是的切线，点Z?是切点，连接。。交0。于点D,延长。。交于点A,连接A3,若

ZC=30°,（2=2,则/W的长为（）

4

'D

BC

A.2N/2B.3&C.25/3D.3g

7.小明所在的班级有20人去体育场观看演出，20张票分别为A区第10排1号到20号•采用随机抽取的办

法分票，小明第一个抽取得到10号座位，接着小亮从其余的票中任意抽取一张，取得的一张恰与小明邻座

的概率是（）

A.—B.—C.—D.—

19192010

8.已知X和必均是以x为自变量的函数，当x时，函数值分别是陷和若存在实数小使得

必-“2=1,则称函数以和为符合“特定规律”，以下函数X和力符合“特定规律''的是（）

2

A.y=/+8和%=-x+2xB.=/+*•和y2=-t+8

22

C.>'）-A+8^11y2--x-2xD.川=/十八木口乃=一X—8

9.如图，已知/AOB,以点。为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于C,。两点，分别以点

C,。为圆心，大于;。。长为半径作圆弧,两条圆弧交于/AOB内一点P,连接OP,过点P作直线PEOA,

交。8于点E,过点尸作直线P尸〃08,交04于点F.若NAO8=60。，OP=6cm,则四边形尸爪坦的面

积是（）

C.3\/3cm2D.2\/3cm2

10.如图，已知正方形A8CO和正方形8瓦G,且A、B、E三点在一条直线上，连接CE,以CE为边构造正

方形CPQE,PQ交AB于点、M,连接CM.设乙4PM=a,/BCM=0.若点Q、8、尸三点共线,

tan«=ntan/?,则〃的值为（）

12

D.

u713

第n卷

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.计算（百+1）（追-1）的结果等于.

12.如图，在./8C中，AB=AC.过点C作/AC"的平分线交A8于点O,过点A作AE〃OC,交8。延

长线于点E.若ZE=36°,则ZB=

13.已知在二次函数y=ad+饭中，函数值y与自变量x的部分对应值如表:

XL-10123L

yL830-10L

则满足方程cue++c=3的解是

14.如图，。为直径A3上的一点，点M和N在上，且ZAPM=ZNPB=30°.若0Q=2cm,八4=16cm,

15.如图I是一款重型订书机，其结构示意图如图2所示.其主体部分为矩形£FGH,由支撑杆CO垂直固

定于底座A8上，且可以绕点。旋转.压杆MN与伸缩片PG连接，点M在〃G上,可绕点M旋转,PG_L〃G,

DF=8cm,GF=2cm,不使用时，EF//AB,G是尸产中点，且点。在NM的延长线上，则MGcm,

使用时如图3,按压MN使得MM748,此时点尸落在A8上，若CO=2cm,则压杆MN到底妪A8的距离

为.cm.

图1图2图3

16.由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示.将小正方形对角线所双向

延长，分别交边A3,和边8C的延长线于点G,H.若大正方形与小正方形的面积之比为5,GH=2回,

则大正方形的边长为______.

三、解答题(本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(6分)(1)计算:5-2023)°+|6—2|+岳；

(2)解不等式：3(x-2)>2(2+x).

18.(6分)小汪解答“解分式方程：立4-2=口.”的过程如下，请指出他解答过程中错误步骤的序号,

x-22-x

并写出正确的解答过程.

解：去分母得：2r+3-I=-(r-1)...®,

去括号得：2x+3—1=—1…②，

移项得：2x+x=l+l-3…③，

合并同类项得：3x=T…④，

系数化为1得：x=—g…⑤，

是原分式方程的解.

19.（8分）某校初三年级开展了系列交通安全知识竞赛，从中随机抽取30名学生两次知识竞赛的成绩（百

分制），并对数据（成绩）进行收集、整理、描述和分析♦.下面给出了部分信息.

a.这30名学生第一次竞赛成绩

本第二次成绩/分

100-

95-..••:

••

■

••••

90-••••

•••

••

•••

85-•

80-

1।।।1A

80859095100第一次成绩/分

b.这3（）名学生两次知识竞赛的获奖情况统计表

参与奖优秀奖卓越奖

第一次人数101010

竞赛

平均分828795

第二次人数21216

竞赛

平均分848793

和第二次竞赛成绩得分情况统计图：（规定：分数290,获卓越奖；854分数V90,获优秀奖；分数＜85,

获参与奖）

c.第二次竞赛获卓越奖的学生成绩如下：

90909191919192939394949495959698

d.两次竞赛成绩样本数据的平均数、中位数、众数如表:

平均数中位数众数

第一次竞赛IU87.588

第二次竞赛90n91

根据以上信息，回答下列问题：

（1）小松同学第一次竞赛成绩是89分，第二次竞赛成绩是91分,在图中用圈出代表小松同学的点;

⑵直接写出〃的值；

（3）请判断第几次竞赛中初三年级全体学生的成绩水平较高，并说明理由.

2（）.（8分）某校九年级学生在数学社团课上进行了项目化学习研究，某小组研究如下:

【提出驱动性问题】如何设计纸盒？

【设计实践任务】选择“素材1”嗦材2”设计了“任务1”“任务2”的实践活动.

请你尝试帮助他们解决相关问题.

素利用一边长为40cm的正方形纸板可能设计

材1成如图所示的无盖纸盒

如图，若在正方形硬纸板的四角各剪掠一个

素

同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个

材2

无盖纸盒.C

【尝试解决问题】

任

初步探究；折一个底面积为484cm2无盖纸盒（1）求剪掉的小正方形的边长为多少？

务1

任（2）如果有，求出这个最大值和此时剪掉的小正方形

折成的无盖纸盒的侧面积是否有最大值？

务2的边长；如果没有，说明理由.

21.（10分）为了保护小吉的视力，妈妈为他购买了可升降夹书阅读架（如图1）,将其放置在水平桌面上

的侧面示意图（如图2）,测得底座高居为2cm,ZA8C=150。，支架8c为18cm,面板长。石为24cm,C。为

6cm.（厚度忽略不计）

国I

（1）求支点。离桌面/的高度；（计算结果保留根号）

（2）小吉通过杳阅资料，当面板OE绕点C转动时，面板与桌面的夹角a满足30。4。470。时，能保护视力.当

夕从3（）。变化到70。的过程中，问面板上端E离桌面/的高度是增加了还是减少了？增加或减少了多少？（精

确到0.1cm,参考数据：sin70°«0.94,cos70°«0.34,tan70°*2.75)

22.(10分)正方形A8CO边长为3,点石是上一点，连结跖交AC于点F.

⑴如图I,若CE=1,求C尸的值；

CF3

(2)如图I,三=机，若SM.BF=3求〃?的值.

ED2

(3)如图2,点G为8c上一点，且满足/G4C=/E5C,设CE=x,GB=y,试探究y与x的函数关系.

23.(12分)如图1,七点为x轴正半轴上一点，0E交％轴于力、B两点，交)，轴于C、。两点，尸点为劣

弧8c上一个动点，且47,0)、凤1,0).

(1)8。的度数为.

(2)如图2,连结PC,取PC中点G,连结。G,则0G的最大值为

(3)如图3,连接AC、AP、CP、CB.若CQ平分/PCD交必于。点，求AQ的长;

PC+PD

(4)如图4,连接八4、响当P点运动时(不与从C两点重合)，求证：丁为定值，并求出这个定

值.

24.(12分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=〃V+"+4交》轴于点A,交工轴于点8(-6,0)和点

。(2,0),点Q在第一象限的抛物线上，连接A3、AQ.BQ,与＞轴交于点N.

⑴求抛物线表达式；

(2)点点M在x轴上，点E在平面内，若」BME2AOM,且四边形4VEM是平行四边形.

①求点E的坐标；

②设射线AA/与EN相交于点尸.交BE于点.H.将绕点.8旋转一周,旋转后的三角形记为，

求BE+GOH的最小值.

2024年中考第一次模拟考试（浙江卷）

数学.参考答案

第I卷

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合

题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）

12345678910

DBCBDCABBA

第n卷

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

11.2

12.72

]3%=0,巧=4

14.6百

15.4海

2

16.3

三、解答题（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17•【答案】（1）3+V3；（2）x>10

【分析】本题考查了实数的运算以及解一元一次不等式；

（1）分别根据零指数辕的定义，绝对值的性质以及二次根式的性质，计算即可；

（2）不等式去括号，移项，合并同类项，化系数为1即可.

【详解】（1）原式=1+2-6+26

=3+73;........................................................3分

（2）3-2）>2（2+力，

去括号，得3*-6>4+2x,

移顶，得3x-2x>4+6,

合并同类项，得x>10.......................................................6分

18.【答案】错误步骤的序号为①，解法见详解.

【分析】本题考查检查解分式方程；错误步骤的序号为①，解方程去分母转化为整式方程，

2x+3-2（x-2）=-（x-l）,进而解这个整式方程，最后检验，即可求解.

【详解】解：错误步躲的序号为①,1分

2x+3x-\

x-22^x

去分母得：2x+3-2(x-2)=-(x-l)

去括号得：2x+3-2x+4=-x+\

移顶得：2x-2x+x=l-3-4…③,

合并同类项得：x=-6…④，....................................................................................................................3分

检验：当x=-6时，x-2^0,...................................................................................................................5分

・・・”=-6是原分式方程的解............................................................6分

19.【答案】（1）见解析

（2）加=88,/2=90

（3）二，理由见解析

【分析】本题考查统计图分析，涉及中位数、加权平均数、众数，

（1）根据这30名学生第•次竞赛成绩和第二次竞赛成绩得分情况统计图可得横坐标是89,纵坐标是90的

点即代表小松同学的点；

（2）根据平均数和中位数的定义可得也和〃的值；

（3）根据平均数，众数和中位数进行决策即可.

【详解】（1）解：（1）如图所示.

上第二次成绩/分

100■

2分

80-

1IIii>

80859095100第一次成绩/分

公、82x10+87x10+95x10

（2）m=----------------------------------=88,

30

•・•第二次竞赛获卓越奖的学生有16人，成绩从小到大排列为:

90909191919192939394949495959698,

・•・第一和第二个数是30名学生成绩中第15和第16个数,

90+90

..n=------=90,

2

・\〃?=88,〃=90;6分

（3）可以推断出第二次竞赛中初三年级全体学生的成绩水平较高，

理由是：第二次竞赛学生成绩的平均数、中位数、众数都高于第一次竞赛.

答：二，第二次竞赛学生成绩的平均数、中位数、众数都高于第一次竞赛..............8分

20.【答案】任务1：剪掉的正方形的边长为9cm.

任务2：当剪掉的正方形的边长为10cm时，长方形盒子的侧面积最大为800cm2.

【分析】此题主要考查了一元二次方程和二次函数的应用，找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方

程和函数关系式是解决问题的关键.

任务1：假设剪掉的正方形的边长为xcm,根据长方形盒子的底面积为484cm2,得方程（40-2x『=484.

解所列方程并检验可得；

任务2：侧面积有最大值，设剪掉的正方形边长为。cm,盒子的侧面积为ycm?,利用长方形盒子的侧面积

为：y=（40—勿）xax4得出即可.

【详解】解：任务1：设剪掉的正方形的边长为xcm,

则（40—2x）2=484,即40—24=±22,

解得％=31（不合题意，舍去），公=9,

答：剪掉的正方形的边长为9cm.......................................................................................................................3分

任务2：侧面积有最大值.

理由如下：

设剪掉的小正方形的边长为acm,盒子的侧面积为ycm2,

则y与X的函数关系为：y=（40—2〃）xax4,

即+160。，

BPy=-8(a-10)2+800,......................................................................................................................6分

・・・〃=10时，%大=800.......................................................................................................................8分

即当剪掉的正方形的边长为10cm时，长方形盒子的侧面积最大为800cm2.

21.【答案】⑴支点C离桌面/的高度（9百+2”〃；

⑵面板上端E离桌面/的高度是增加了，增加了约7.9。〃

【分析】（1）作/〃/,先在求出C尸的长，再计算CF+AA即可得答案;

（2）分别求出/反G=70。时和NECG=30。时，EG的长，相减即可.

【详解】（1）解：如下图,作C〃_L/,4产〃/,

E

Z4BC=150°,

NCBF-150°-90°-60°,

BC=18,

/.CF=sin60°x18=—x18=9x/3,

2

:.CH=CF+FH=CF+AB=9y/3+2

二•支点。离桌面/的高度（96+2］。〃；.................................................4分

QOE=24,C£>=6,

.-.CE=24-6=18,

当NECG=70。时，EG=sin70°xl8,..............................................................................................................5分

当/ECG=30。时，EG=sin30°xl8...............................................................................................................6分

sin70oxl8-sin30oxl8=18x(sin70o-sin30o)«18x(0.94-0.5)®18x0.44«7.9,

••・面板上端E离桌面/的高度是增加了，增加了约7.9。〃.....................................10分

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形.

22.【答案】(1)［应

4

(2)m=l

⑶y=,(ow)

3+x

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质等知识点，掌握相似三角形判定定理的内容

是解题关键.

CFCF

(I)证尸可得——=—,结合AF=AC-CF即可求解；

AHAF

（2）由出=加可得冬二牛二二，进一步可得学据此即可求解;

EDAFAB加+1%A8c2"?+1

（3）由（I）可得。产=豆红，证.ACGs.BC/得要="=立即可求解.

3+xCFBC

【详解】（1）解：由题意得：AB〃CE、AB=BC=3

**•NCEFKABF,AC=JAB2+BC?=372

.CECF

•,丽=7?

1CF

“3"3V2-CF

解得：6］应

2分

CE

(2)解：:――-m,

ED

.CE_m

*CDm+[

.CE_in

3分

ABm+1

CFCEm

由（1）可得:

AFABm+\

,SMBF_m

'△ABFm+।

芈"■二」，—

^△ABC2，〃+1

19,_3

=-x43x/3C=-，5'△CBF—5

22

3

m_2_1

5分

2w+l~~9~3

2

解得：，〃6分

（3）解：由（1）得：

ABAF

即:

解得：八普

7分

•：/GAC=/EBC,ZACG=/BCF

，ACGsBCF

即：

CF

3+x

整理得：y=^-....................................................................................................................8分

3+x

,?y>0

A9-3x>0,x<3

又4N0

/.0<x<3

故：>'=——（0<x<3）......................................................................................................................10分

3+x

23.【答案】⑴120

（2）2

（3）42=2

⑷见解析，73

【分析】本题主要考查了垂径定理在圆中的应用，最后一问由“共顶点，等线段“联想到旋转，是此题的突破

口，同时，要注意顶角为120。的等腰三角形腰和底边比是固定值.

（I）由已知得到C。垂直平分故得到=证明△AC?为等边二角形即可得到答案：

（2）由于直径A8_L8,根据垂径定理可以得到O是CO的中点，要求OG最大值即求PZ）最大值，当PD

为直径时，有最大值，即可得到答案；

（3）根据垂径定理得到=证明乙4CQ=4QC,由（I）得AC=AE=4,即可得到答案；

（4）将△ACP绕4点顺时针旋转120。至AADM,得到△入《户名△AD”，证明叨=,

过A作AG_L〃M于G,则/必=2PG,根据勾股定理证明.

【详解】（1）解：连接AC,CE,

A（-l,0）,颐LO）,

：.OA=OE=\,

•.OC±AE,

AC=CE»

AE=CE»

AC=CE—AE，

.\ZC4E=60°,

NBEC=2ZCAB=120°,

BC的度数为120。；...........................................................2分

(2)解：由题可知，AB为E宜径，月.AB_LC£),

由垂径定理可得，CO=OD,

连接PO,

G是PC的中点，

OG//PD,OG=-PD

2t

当D、E、尸三点共线时，此时DP取得最人值，

RDP=AB=2AE=4,

••.OG的最大值为2；...........................................................................................................4分

(3)解：连接4C8C,

­.ABLCD,

AC=AD»

/.ZACD=ZCPA,

QCQ平分/DCP,

:.ZDCQ=ZPCQ,

ZACD+NDCQ=ZCPA+ZPCQ,

Z4CQ=ZAQC,

/.AQ=AC,

ZC4O=60°,4(?=l,

/.AC=2,

AQ=2；...........................................................................................................6分

（4）证明：由题可得，直径A8_CD,

.:46垂直平分。Z），

如图4,连接AC,AO,则AC=AO,

由（1）得，ZDAC=120°

将AACP绕4点顺时针旋转120。至AADM,

:AACPgAADM，

:.ZACP=ZADM,PC=DM,

'・四边形ACT。为圆内接四边形,

.­.Z4CP+ZA£>P=180°,

.♦.Z4ZW+ZADP=180°,

:.M.。、P三点共线,

:.PD+PC=PD+DM=PM,.....................................................................................................................7分

过A作AG_LPM于G,则PM=2PG,

z/\PA/=ZACD=30°,

在Rt.APG中，Z4PM=30°,

设AG=x,则AP=2x,

•.PG7Ap2-AG?=瓜，

，.PM=2PG=2&，....................................................................................................................8分

♦.PM=6AP，

•.PC+PDmAP,......................................................................................................................10分

PC+PD=V3为定值.

PA

12分

图4

I4

24.【答案］（1）＞=-§/-彳工+4；

⑵①石（-2,-2）；②他+血。比的最小值为6夜.

【分析1（1）将点3、C的坐标代入抛物线，利用待定系数法求得解析式；

（2）①由。坐标求出5Q解析式，然后根据四边形A7VEM是平行四边形和，BMEmAQW得出8M=04=4,

再分类讨论求得何和E的坐标；②求出AM解析式，交点为尸，再求出〃坐标，然后由两点间距离公式求

出8P和3”长度，因为旋转不改变长度，所以长度不变，当〃旋转到x轴上时，此时。片最短，所以

此时。修等于80-2”，然后带入计算即可.

【详解】（1）解：①・・•抛物线广/+区+4交x轴于点B（-6,0）和点。（2,0）,

36。-6/>+4=0

将3、。坐标代入有

4。+2〃+4=0

I

a=—

3

解得｛1

b=——

3

・•・抛物线的表达式为

y=--x2—.......................................................................................................................2分

33

I4

（2）解：•・•抛物线的表达式为），=-3/一3"+4,

.・.04=4,

设直线8。的解析式为），=履+4

,Z5（-6,0）,Q（ig），

k+瓦=-

/.13

一6Z+4=0

k=-

解得3

*=2

・•・直线BQ的解析式为），=；x+2............................................................................................................3分

,:N为8Q与