人教版数学九年级上册第7讲 圆的有关性质基础、提高、满分练习试题（含解析）

第7讲圆的有关性质

垂径定理

弧、弦、圆心角的关系

圆的有关性质

圆周角定理及推论

圆内接四边形的性质

知识点1垂径定理

①弦和直径：

(1)弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.

(2)直径：经过圆心的弦叫做直径。直径等于半径的两倍。

②弧：

(1)弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号表示，以A,B为端点的的弧记

作AB,读作弧AB.

⑵半圆、优弧、劣弧：

圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

大于半圆的弧叫做优弧，优弧大于180。用三个字母表示，如ACB.

小于半圆的弧叫做劣弧，如48。

(3)等弧：在同圆或者等圆中能够相互重合的弧是等弧，度数或者长度相等的弧不一定是

等弧。

③弦心距：

(1)圆心到弦的距离叫做弦心距。

(2)圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧

相等，所对的弦相等，所对的圆心角也相等，所对弦的弦心距也相等,四者有一个相等，则

其他三个都相等。圆心到弦的垂线段的长度称为这条弦的弦心距。

④圆的性质：

(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对

称图形，对称中心是圆心.

在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，

那么它所对应的其他各组分别相等.

(2)轴对称：圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴。

⑤垂径定理及推论：

(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

(2)平分弦(此弦不能是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

(3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.

(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.

(5)平行弦夹的弧相等.

⑥同心圆与等圆

(1)同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。如图一，半径为口与半径为「2

的€)0叫做同心圆。

(2)等圆：圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆。如图二中的与的半径都是

r,它们是等圆。同圆或者等圆的半径相同。

(图二)

(3)同圆是指同一个圆；等圆、同心圆是指两个及两个以上的圆。

【典例】

1.如图，圆0的弦GH,EF,CD,AB中最短的是

【解析】解：•・•AB是直径，AB1GH,

，圆0的弦GH,EF,CD,AB白最短的是GH

2.如图，一圆弧过方格的格点A、B、C,在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为

【答案】（-2,-1）

【解析】解：如图：分别作AC与AB的垂直平分线，相交于点0,

则点0即是该圆弧所在圆的圆心.

•・•点A的坐标为（-3,2）,

，点0的坐标为（-2,-1）

3.据史料记载，雎水太平桥建于清嘉庆年间，已有200余年历史.桥身为一巨型单孔圆弧,

既没有用钢筋，也没有用水泥，全部由石块砌成，犹如一道彩虹横卧河面上，桥拱半径OC

为13m,河面宽AB为24m,则桥高CD为

【答案】18m

【解析】解：如图，连结0A,

VCD1AB,

，AD=BD=—AB=—x24=12,

22

在RQOAD中，OA=5,OD=7oA2-AD2=5,

ACD=OC+CD=13+5=18m.

4.把宽为2cm的刻度尺在圆。上移动，当刻度尺的一边EF与圆O相切于A时，另一边与

圆的两个交点处的度数恰好为“2”（C点）和“8”（B点）（单位：cm）,求该圆的半径

【答案】3.25cm

【解析】解：如图，连接0A交BC于点E,

设OB=r,

VAB=8-2=6cm,OD±AB,

BE=—AB=—x6=3cm»

22

在RtABOE中，

OE2+BE2=OB2,即（r-2）2+9=r,

解得r=-^-=3.25cm.

4

【方法总结】

1、在遇有求弦长或半径长的问题时，常添加的辅助线是弦心距。

2、在运用垂径定理解决线段长度问题时，一般都与勾股定理更合运用。

【随堂练习】

I.（2019•庐阳区二模）如图，AC是G）O的直径，弦3£>_LAC于点E,连接8C过点O作

OFtBC于点、F,若BD=12cm,AE=4cm,则。尸的长度是（）

A.x/\3cmB.2\[\3cinC.VlOcwD.3cm

【解答】解：连接OB,

•.•AC是OO的直径，弦8D_LAC,

:.BE=-BD=6,

2

在RtAOEB中，OB2=OE2+BE2,OB2=(OB-4)2+62,

解得，OB=上，

2

则EC=AC-A£：=9，

BC=4EC1+BE2=3万,

\OFA-BC.

『1__3拒

/.CF=—BC=-------,

22

wc

2.（2019•滨州模拟）如图，某下水道的横截面是圆形的,水面8的宽度为2加，尸是线段

CD的中点，所经过圆心。交。。与点七，EF=3m,则OO直径的长是（）

E

（B

254

A.—mB.-mC.—mDc.—10m

3333

【解答】解：如图，连接OC,

是弦。。的中点，所过圆心。，

:.EF±CD.

:.CF=FD.

;CD=2,

/.CF=1,

设OC=x,贝ij'=3-x,

在RtACOM中，根据勾股定理，得

12+（3-X）2=X2.

解得x=3,

6

.•・OO的直径为g.

故选：B.

3.（2019•黔东南州一模）如图，0O的直径为10cm,弦Afi为8°〃，?是弦4?上一点且

不与点A、8重合.若。尸的长为整数，则符合条件的点？有（)

A.2个B.3个C.4个D.5个

【解答】解：连接04.作OCI于C，

则4C=4A8=4,

2

由勾股定理得，OCUAW-AC）=3,

则3,OP<5,

则符合条件的点P有3个,

故选：B.

4.（2019•黄冈）如图，•条公路的转弯处是•段圆弧（AB）,点O是这段弧所在圆的圆心,

AB=40/〃，点C是A8的中点，ACD=10w.则这段弯路所在圆的半径为（）

B.24/nC.30mD.60/w

【解答】解：•••OC_LA8,

AD=DB=20m,

在RtAAOD中，O^C=ODr+ADr,

设半径为/■得：r?=(r-10)?+20:,

解得：r-25m»

/.这段弯路的半径为25〃?

故选：A.

5.（2019•长沙模拟）如图，为0O的弦，过点。作的垂线，交于点C,交桢于

点D,已知A4=8,CD=2,则G）O的半径为（）

D

A.3B.4C.5D.6

【解答】解：连接04,

AC=-4B=4,

2

设OO的半径为r，

:.OC=r-2,

AO2=OC2+AC2,

/.r2=(r-2)2+42,

6.（2019•滨湖区一模）如图，在0。中，已知弦AB长为16cm,C为48的中点，OC交AB

于点M,且QM:MC=3:2,则CM长为（）

【解答】解：连接。4,

•.•C为A8的中点，

AC—BC,

:.OC±AB,

AM=—AB=8,

2

设则CM=2z,

:.OC=5a,

由勾股定理得，O^^AM^OM2,6P(5a)2=82+(3a)2,

解得，a=2(负值舍去)，

则CM=2a=4(cm),

7.（2019•阳谷县一模）已知在半径为5的0O中，AB,8是互相垂直且相等的两条弦,

垂足为点尸，且0尸=3夜，则弦的长为（）

【解答】解：作OM_L8于M,ON_LAB于N,连接03,

则四边形MWO为矩形,

'.AB-CD,OMA.CD,ON1AB,

：.OM=ON,

四边形NPNO为正方形，

..NP=NO=—OP=3,

2

由勾股定理得，BN=>]0B2-0NZ=4,

\ON±AB,

：.AB=2BN=8,

8.(2019•柯桥区模拟)如图，OO的直径C£>=10cm,AB是的弦，ABLCD,垂足为

【解答】解：如图所示，连接。4.

QO的直径C£)=l(kw,

则的半径为5。〃，

即O4=OC=5,

又•・・OM:OC=4:5,

所以OM=4,

\AB±CD,垂足为M,

:.AM=BM，

在RtAAOM中，AA/=V52-42=3,

.-.AB=2AA/=2x3=6.

9.（2018秋•柳州期末）如图，为G）O的弦，半径OC_LA8于点。，且AB=6,8=4,

A.1B.2C.2.5D.5

【解答】解：连接04,

•・•半径OC_LAB,

AD=BD=—AB=—x6=3>

22

\'OD=4，

:.OA=\/AD2+0D2=5，

:.OC=OA=5，

:.DC=OC-OD=5-4=1.

10.（2018秋•海曙区期末）如图，圆O半径为10cm,弓形高为4am则弓形的弦45的长

为（）

B.\2cmC.\6cmD.20cm

【解答】解：如图，过。作Q/)_LAB于C,交于。,

'.'CD=4cm»OD=1Ocm，

OC=6cm，

又,/OB=lOcw，

「.RIAB8中，BC=yJOB2-OC2=Scm,

AB=2BC=\6cm.

故选：C.

知识点2弧、弦、圆心角、圆周角的关系

与圆有关的角

(I)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.

圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对弧的度数.

(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相文的角叫做圆周角。

圆周角的性质：圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半。

在同圆或等圆中，相等的圆心角或圆周角所对的弧相等，弦也相等。

(3)直径所对的圆周角是直角。

【典例】

1.如图，矩形ABCD的顶点A,B在圆上，BC,AD分别与该圆相交于点E,F,G是AF的

三等分点(AG>GF),BG交AF于点H,若AB的度数为30。，则NGHF等于

【答案】40。

【解析】解：如图，连接BF,

,:AB的度数为30°,

・,・代的度数为150°,ZAFB=15°,

•・・G是篇的三等分点，

・•・菽的度数为50。,

:.ZGBF=25°,

/.ZGHF=ZGBF+ZAFB=40°,

2.如图，AB是。O的直径，BC=CD=DE,ZCOD=38°,则NAEO的度数是

【答案】570

【解析】解：,菽=而=而，ZCOD=38°,

:.ZBOC=ZEOD=ZCOD=38°,

・•・ZAOE=180°-ZEOD-ZCOD-ZBOC=66°.

%VOA=OE,

AZAEO=ZOAE,

••・ZAEO=­x(180°-66°)=57°.

2

3如图,在。O中，OC1AB,ZADC=32°,则NOBA的度数是

【答案】260

【解析】解：如图,

由OC_LAB,得

AC=BC,ZOEB=90°.

AZ2=Z3.

VZ2=2Zl=2x32°=64°.

AN3=64。，

在RtZkOBE中，ZOEB=90°,

/.ZB=90u-Z3=90v-64v=26°

【方法总结】

1、注意利用同圆中同瓠或等弧所对的圆心角相等圆周角也相等，可进行角度转换。

2、注意利用同圆中同瓠或等弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可进行角度倍数转换。

【随堂练习】

I.（2019•东西湖区模拟）如图，OA的半径为2,B,。在上且4AC=120。，若点P,

Q，R分别为BC,AC.A8上的动点，则PR+PQ的最小值为（）

R

BC

C.1D.£

【解答】解：如图，作B〃_LC4交C4的延长线于”.连接P4.

在RtAABH中，・.AB=2,/BAH=60°,

.\BH=AB»sin600=y/3,

当PRJ_A8,PQ_LAC时，0R+PQ的值最小,

S”眈=-•AC*BH=1~・AB・PR+:・AC・PQ,

222

：.PR+PQ=BH=6,

故尸R+PQ的最小值为G，

故选：D.

2.（2019•东台市模拟）如图，43是0O的弦，半径OC1,AB，£）为圆周上一点，若3c的

度数为50。，则NADC的度数为（）

A.20°B.25°C.30°D.50°

【解答】解：的度数为50。,

:.NBOC=5G,

•.•半径OC_LAB,

AC=BC，

ZADC=-ZBOC=25°.

2

故选：B.

3.（2019•资中县一模）如图，AB,CD是。。的直径，=若ZAO£=32。,

则NCOE的度数是（）

A.32°B.60°C.68°D.64°

【解答】解：・.•AE=BD,

ZBOD=ZAOE=32°f

-ZBOD=ZAOC,

ZAOC=32°

.-.ZCOE=320+32°=64°.

故选：D.

4.（2018秋•祁江区校级月考）下列语句，错误的是（）

A.直径是弦

B.弦的垂直平分线一定经过圆心

C.相等的圆心角所对的弧相等

D.平分弧的半径垂直于弧所对的弦

【解答】解：A、直径为弦，所以A选项的说法正确；

8、弦的垂直平分线一定经过圆心，所以8选项的说法正确；

C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以C选项的说法错误；

。、平分弧的半径垂直于弧所对的弦，所以。选项的说法正确.

故选：C.

5.（2018秋•泉山区校级月考）下列语句，错误的是（）

A.直径是弦

B.相等的圆心角所对的弧相等

C.弦的垂直平分线一定经过圆心

D.平分弧的半径垂直于弧所对的弦

【解答】解：直径是弦，A正确，不符合题意：

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，6错误，符合题意；

弦的垂直平分线一定经过圆心，C正确，不符合题意；

平分弧的半径垂直于弧所对的弦，。正确，不符合题意；

故选：B.

6.（2018秋•仪征市校级月考）如图，在RtAABC中，ZC=90°,Z4=28°,

以点。为圆心，6c为半径的圆分别交4B、AC于点。、点、E,则弧3。的

度数为（）

【解答】解：・.・NC=90。，ZA=28°,

.•.4=62。，

・.・CB=CD,

ZCDB=ZB=62°f

ZBCD=180°-62°-62°=56°,

「•8。的度数为56。.

故选：C.

7.（2018秋•新罗区校级期中）如图所示，在G>O中，A,C,D,8是上四点，OC,

。力交他于点石，F,且下列结论：®OE=OF；②AC=CD=DB；③

CD//AB-,®AC=BD,其中正确的有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【解答】解：连接。4，OB,

•.OA=OB,

:.NOAB=/OBA.

OA=OB

在与AOB产中，＜N0AE=40BF

AE=BF

:.AOAE=AOBF(SAS),

:.OE=OF,故①正确；

ZAOE=ZBOF,即Z4OC=N8OD,

..AC=BD,故④正确；

连结AD.

AC=BDf

:.ZBAD=ZADC,

:.CD//AB,故③正确；

ZBOD=NAOC不一定等于Z.COD,

.•.弧AC=弧班)不一定等于弧CD,

AC=不一定等于CD,

故②不正确.

正确的有3个，故选8.

知识点3圆周角定理及推论

圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.

圆周角的性质：

圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.

圆周角的推论：

①同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.

②90。的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.

③如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.

④圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角.

【典例】

1.如图，。。的半径为2,点A为。O上一点，半径OD_L弦BC于D,如果NBAC=60。，

那么BC的长是

【答案】2M

【解析】解：VZBAC=60°,.\ZBOC=120°,

OD_L弦BC,AZBOD=90°，

VZBOD=ZA=60°,.*.OD=—OB=L

2

••・BD=7OB2-OD2=V22-12=^'

ABC=2BD=2V3

2.如图所示，A、B、C、D四个点均在＜30上，ZAOD=50°,AO/7DC,则NB的度数为

【答案】65°

【解析】解：如图连接AD,

B

VOA=OD,ZAOD=50°,

:.NADO」80。_/A0D=656

2

・.・AO〃DC,

AZODC=ZAOD=50°,

，ZADC=ZADO+ZODC=115°,

/.ZB=180°-ZADC=65°

【方法总结】

1、在圆中利用圆的半径处处相等，可迅速构造等腰三角形。

2、利用直径所对的圆周角是直角，可便捷构造直角三角形。

【随堂练习】

1.（2019•温州三模）如图，点A,B,C在。。上，若N4CB=112。，则Na=（）

A^）B

A.68°B.112°C.136°D.134°

【解答】解：作标对的圆周角/ADS,如图，

•・•NAC8+NAOB=180°,

・・・NADB=180°-112°=68°,

JNAOB=2NAOB=2x68°=136°.

2.（2019•邵阳县模拟）已知。O的直径A8=8cm,点。在。。上，且N8OC=60。，则AC

的长为（）

A.4cmB.4、C.5cmD.2.5cm

【解答】解：・；OB=OC,N8OC=60。，

•••△OBC是等边三角形，

・•・ZABC=60°,

TAB是直径，

/.NACB=90。，

JAC=ABsin60。=8x坐=4M.

故选：B.

3.（2019•广元）如图,ABfAC分别是。。的直径和弦,0£>J_AC于点Q,连接3。，BC,

且A8=10,4C=8,则的长为（）

0

A.2加B.4C.2413D.4.8

【解答】解：:AB为直径，

・•・NACB=90。，

.\BC=^AB2_AC2=^52_42=3,

ZODIAC,

••・CO=AO=X4C=4,

2

在RtZkCB。中，BD=rq2+62=2^/Tj.

故选：C.

4.（2019•吉林）如图，在。。中，彘所对的圆周角NAC8=50。,若P为标上一点，NAOP

=55°,则NPOB的度数为（）

c

【解答】解：・・・NACB=50。，

:./A0B=2/ACB=100°,

■:NAOP=55。，

・・・NPOB=45。,

故选：B.

5.（2019•柳州）如图，4,B,C,。是。。上的点,则图中与NA相等的角是（）

A.NBB.ZCC.NDEBD.ND

【解答】解：YNA与NO都是萩所对的圆周角

故选：D.

6.（2019•黔东南州一模）如图，4C为。。的直径，AB=OH.则NC的度数为（）

0

A.30°B.45°C.60°D.90°

【解答】解：・・・8C为。。的直径，

，NBAC=90。，

■:AB=OB,

：.BC=2AB,

.*.sinC=AB=1

BC-2

AZC=30°.

故选：A.

7.（2019•宜昌）如图，点A,B,C均在。。上，当NO8C=40。时，NA的度数是（）

A.50°B.55°C.60°D.65°

【解答】解：・・・OB=OC,

：./OCB=/OBC=^°,

：.ZBOC=180°-40°-40°=100°,

・•・NA=LNBOC=50。.

2

故选：A.

8.(2019•眉山)如图，。0的直径48垂直于弦CQ,垂足是点E,NCAO=22.5。，OC=6,

则CD的长为()

A.6^2B.3V2C.6D.12

【解答】解：•・•COLAB,

:・CE=DE,

ZBOC=2ZA=2x22.5°=45°,

•••△OCE为等腰直角三角形，

.・・。七=返。。=返x6=3加，

22

：,CD=2CE=6^2.

故选：A.

9.（2019•江西模拟）如图，BC为直径，NA8C=35。，则/。的度数为（）

A

BC

【解答】解：•・•AB是直径，

/.ZBAC=90°,

■:ZABC=35°,

・•・ZACB=90°-35°=55°,

AZD=ZC=55O,

故选：C.

知识点4圆内接四边形的性质

1.圆内接四边形的对角互补

2.外角等于它的内对角

【典例】

1.如图，点A、B、C、D、E在。0上，且标的度数为50。,则/B+ND的度数为

C

【答案】155°

【解析】解：连接AB、DE,则/ABE二NADE,

c

•・•金为50。，/.ZABE=ZADE=25°,

•・•点A、B、C、D在。O上，

:.四边形ABCD是圆内接四边形，

.•.NABC+NADO180。，

:.ZABE+ZEBC+ZADC=180°,

・•・ZB+ZD=1800-ZABE=180°-25°=155°

2.如图，已知。O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F,若NE+NF=70。,

则NA的度数是

【答案】55°

【解析】解：•・•四边形ABCD为00的内接四边形，

AZA=ZBCF,

VZEBF=ZA+ZE,

HUZEBF=18O°-ZBCF-NF,

/.ZA+ZE=180°-ZBCF-ZF,

/.ZA+ZE=180-ZA-NF,

BP2ZA=180°-(ZE+ZF)=110°,

:.ZA=55°

3.如图，A、B、C、D四个点在同一个圆上，ZADC=90%AB=7cm,CD=5cm,AE=4cm,

CF=6cm,则阴影部分的面积为cm2.

r答案】3i

【解析】解：如图，连接AC.

,:ZADC=90°,

AAC是直径，

AZABC=90°,

ACD1AE,AB1CF,

・2

••SBJ=SAAEC+SAAFC—*AE<D+—>CF*AB=^x4x5+ix6x7=31（cm）

2222

【方法总结】

证明四点共圆的一般方法：

1、逆用同弦所对圆周角相等

2、逆用圆的内接四边形对角互补

【随堂练习】

I.（2018秋•滨江区期末）已知圆内接四边形ABCD中，NA:N8:NC=1:2:3,则NO的大

小是（）

A.45°B.60°C.90°D.135°

【解答】解：•.•四边形A88为圆的内接四边形，

.\ZA:ZB:ZC:ZD=1:2:3:2,

而NB+ND=180°,

ZD=-xl80°=90°.

4

故选：C.

2.（2019•兰州）如图，四边形4?C£>内接于GX）,若NA=40°,贝Ij/C=（）

D

B.120cC.135°D.140*

【解答】解：•.•四边形A88内接于QO,

.•.NC+NA=180。，

二.ZC=180°-40°=14(r.

故选：D.

3.（2019•南昌一模）如图，A,B,C,。四个点均在G）O上，ZAOB=40°弦BC的长

等于半径，则NADC的度数等于（)

A.50°B.49°C.48°D.47°

【解答】解：连接OC,

由题意得，OB=OC=BC,

「.△CMC是等边三角形,

/.ZBOC=60°,

.•ZAOB=40°,

/.ZAOC=100°,

由圆周角定理得，ZADC=-ZAOC=50°,

2

故选：A.

D

B

4.（2019•富顺县三模）四边形ABC。内接于圆，4、n3、NC、NO的度数比可能是（

)

A.1:3:2:4B.7:5:10:8C.13:1:5:17D.1:2:3:4

【解答】解：4、1+2W3+4,所以A选项不正确:

B、7+10工5+8,所以8选项不正确;

C、13+5=1+17,所以。选项正确;

。、1+3/2+4,所以。选项不正确.

故选：C.

5.（2018秋•定兴县期末）如图，四边形人4。力为圆内接四边形NA=85。，NB=105。，贝UNC

B.75°C.95°D.无法求

【解答】解:•.•四边形为圆内接四边形NA=85。，

ZC=180°-850=95°,

故选：C.

二.填空题（共3小题）

6.（2019•海淀区校级三模）如图，点A,B,C,。是0。上的四个点，点8是弧AC的

中点，如果NA"C=70°,那55。

【解答】解：•.•四边形ABCD内接于OO,

:.ZABC+ZADC=\80°t

.-.ZA£)C=180o-70o=110o.

•.•点8是弧AC的中点,

.♦.弧A8=弧AC.

:.ZADB=ZBDC.

..ZADB=-zL4DC=-xll0o=553.

22

故答案为55。.

7.（2019•铜仁市）如图，四边形45a＞为0。的内接四边形，NA=1（XT,则NDCE的度数

为」00。_；

【解答】解：•.•四边形ABCD为OO的内接四边形，

/.ZDCE=ZA=100°,

故答案为：100。

8.（2019•台州）如图，AC是圆内接四边形A38的一条对角线，点。关于AC的对称点£

在边BC上，连接AE.若NA8C=64。，则44E的度数为_52。_.

【解答】解：•.•圆内接四边形

.•.ZD=180°-ZABC=116°,

•・•点。关于AC的对称点E在边BC上，

.•.ZD=ZAEC=116°,

.•.Zft4£=116o-64o=52o.

故答案为：52°.

三.解答题（共1小题）

9.（2018秋•中山区期末）如图，四边形ABCD内接于ZBOD=140°,求NBCD的度

数

O

'D

B

【解答】解：•.•N88=140。，

/.ZA=-ZBOD=70°,

2

.•.Z5CD=180°-ZA=110°.

综合运用：圆的有关性质

1.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=4cm,求

【解析】解：如图，设EF的中点M,作MN_LAD于点M,取MN上的球心0,连接OF,

/.ZC=ZD=90u,

・•・四边形CDMN是矩形，

/.MN=CD=4cm,

设OF=xcm,贝UON=OF,

AOM=MN-ON=(4-x)cm,MF=2cm,

在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF2

即：(4-x)2+22=X2

解得：x=2.5cm

答：球的半径为2.5cm。

2.如图，AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆上一点，D是弧AC中点，OD交弦AC于

E,连接BE,若AC=8,DE=2,求

(1)求半圆的半径长；

(2)BE的长度。

AOB

【解析】解：(1)设圆的半径为r,

•・・D是弧AC中点，

AOD1AC,AE=-AC=4,

在RSAOE中，OA2=OE2+AE2,即(r-2)2+42,

解得，r=5,即圆的半径长为5；

答：圆的半径长为5。

(2)如图，连接BC,

VAO=OB,AE=EC,

.*.BC=2OE=6,

VAB是半圆的直径，

.\ZACB=90u,

BE=7EC2+BC2=2^,

答：BE长为25。

3.如图，小明将一块三角板放在0O上，三角板的一直角边经过圆心O,测得AC=5cm,

AB=3cm,求。0的半径。

【解析】解：如图，连接0B,

设。O的半径为r,则RsAOB中，VAC=5cm,/.AO=(5-r)cm,ABTcm,OB=r,由勾

股定理得：OB2=OA2+AB2,即:股(5-r)2+32,解得：r=3.4cm4>

答：。。的半径为3.4cm。

4.如图，在矩形ABCD中，AB=5,AD=12,以BC为斜边在矩形外部作直角三角形BEC,

F为CD的中点，求EF的最大值。

【解析】解：由题意知NBEC=9(F,

・••点E在以BC为直径的00上，如图所示:

由图可知，连接F0并延长交。0于点E，,

此时E，F最长，

11E

・.・C0二±BC=6、FCJCD=2,

222

・•・OF=7oC2+CF2=^62+(y)，

则E,F=OE,+OF=64--=—

22

答：EF的最大值为空

2。

5.如图，已知四边形ADBC是。0的内接四边形，AB是直径，AB=10cm,BC=8cm,CD

平分NACB.

(1)求AC与BD的长：

(2)求四边形ADBC的面积.

【解析】解：(1)VAB是直径，・・・NACB=90。,

AAC=VAB2-BC2=6(cm),

坐AB=5加

〈CD平分NACB,ABD=AD=(cm)；

2

答：AC长6cm；BD长5Mcm°

(2)四边形ADBC的面积=ZkABC的面积+ZkADB的面积

=±x6x8+—X5V2X5V2=49(cm2).

22

答泗边形ADBC的面积为49cm2。

6.如图，A、P、B、C是00上四点，ZAPC=ZCPB=60°.

(1)判断4ABC的形状并证明你的结论；

(2)当点P位于什么位置时，四边形PB0A是菱形？并说明理由.

(3)求证：PA+PB=PC.

【解析】解：(1)AABC是等边三角形.

证明如下：在。0中，

•・•NBAC与NCPB是菽所对的圆周角，ZABC与NAPC是位所对的圆周角,

AZBAC=ZCPB,ZABC=ZAPC,

又「NAPC二NCPB=60。,

/.ZABC=ZBAC=60°,

/.△ABC为等边三角形；

(2)当点P位于忘中点时，四边形PBOA是菱形,

连接0P,如图1：

图1

VZAOB=2ZACB=120°,P是标的中点,

:.ZAOP=ZBOP=60°

XVOA=OP=OB,

/.△OAP和AOBP均为等边三角形，

AOA=AP=OB=PB,

，四边形PBOA是菱形；

(3)如图2,在PC上截取PD=AP,

图2

又・・・NAPC=60。，

/.AAPD是等边三角形，

AAD=AP=PD,ZADP=60°,HPZADC=120°.

又「ZAPB=ZAPC+ZBPC=120°.

.\ZADC=ZAPB,

SAAPB和AADC中,

'/APD二NADC

,NABP=NACP，

AP=AP

A△APBADC(AAS),

・・・BP;CD,

又：PD二AP,

，CP=BP+AP.

第7讲圆的有关性质

垂径定理

弧、弦、圆心角的关系

圆的有关性质

圆周角定理及推论

圆内接四边形的性质

知识点1垂径定理

①弦和直径：

(1)弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.

(2)直径：经过圆心的弦叫做直径。直径等于半径的两倍。

②弧：

(1)弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号表示，以A,B为端点的的弧记

作AB,读作弧AB.

⑵半圆、优弧、劣弧：

圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

大于半圆的弧叫做优弧，优弧大于180。用三个字母表示，如AC8.

小于半圆的弧叫做劣弧，如48。

(3)等弧：在同圆或者等圆中能够相互重合的弧是等弧，度数或者长度相等的弧不一定是

等弧。

③弦心距：

(1)圆心到弦的距离叫做弦心距。

(2)圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧

相等，所对的弦相等，所对的圆心角也相等，所对弦的弦心距也相等,四者有一个相等，则

其他三个都相等。圆心到弦的垂线段的长度称为这条弦的弦心距。

④圆的性质：

(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对

称图形，对称中心是圆心.

在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，

那么它所对应的其他各组分别相等.

(2)轴对称：圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴。

⑤垂径定理及推论：

(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

(2)平分弦(此弦不能是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

(3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.

(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.

(5)平行弦夹的弧相等.

⑥同心圆与等圆

(1)同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。如图一，半径为口与半径为「2

的。O叫做同心圆。

(2)等圆：圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆。如图二中的OOi与的半径都是

!*,它们是等圆。同圆或者等圆的半径相同。

(3)同圆是指同一个圆；等圆、同心圆是指两个及两个以上的圆。

【典例】

1.如图，圆0的弦GH,EF,CD,AB中最短的是

【解析】解：•・•AB是直径，AB1GH,

，圆0的弦GH,EF,CD,AB白最短的是GH

2.如图，一圆弧过方格的格点A、B、C,在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为

【答案】（-2,-1）

【解析】解：如图：分别作AC与AB的垂直平分线，相交于点0,

则点0即是该圆弧所在圆的圆心.

•・•点A的坐标为（-3,2）,

，点0的坐标为（-2,-1）

3.据史料记载，雎水太平桥建于清嘉庆年间，已有200余年历史.桥身为一巨型单孔圆弧,

既没有用钢筋，也没有用水泥，全部由石块砌成，犹如一道彩虹横卧河面上，桥拱半径OC

为13m,河面宽AB为24m,则桥高CD为

【答案】18m

【解析】解：如图，连结0A,

VCD1AB,

，AD=BD=—AB=—x24=12,

22

在RQOAD中，OA=5,OD=7oA2-AD2=5,

ACD=OC+CD=13+5=18m.

4.把宽为2cm的刻度尺在圆。上移动，当刻度尺的一边EF与圆O相切于A时，另一边与

圆的两个交点处的度数恰好为“2”（C点）和“8”（B点）（单位：cm）,求该圆的半径

【答案】3.25cm

【解析】解：如图，连接0A交BC于点E,

设OB=r,

VAB=8-2=6cm,OD±AB,

BE=—AB=—x6=3cm»

22

在RtABOE中，

OE2+BE2=OB2,即（r-2）2+9=r,

解得r=-^-=3.25cm.

4

【方法总结】

1、在遇有求弦长或半径长的问题时，常添加的辅助线是弦心距。

2、在运用垂径定理解决线段长度问题时，一般都与勾股定理更合运用。

【随堂练习】

1.（2019•利川市一模）如图，CD为直径，CD工AB于点F,A£_L8C于E,铉过

圆心O,且47=1.则四边形尸的面积为（）

A/7R6cx/3nV3

A•VJ.-D・

248

【解答】解：•:8为直径，CDLAB,

AD=BD,

ZAOD=2NC,

\CD±AB,AEA.BC,

:.ZAFO=ZCEO=90°,

在AA尸O和ACEO中

ZAFO=Z.CEO

,ZAO尸=Z.COE

OA=OC

•..AAR7=ACE5A4S),

...NC=Z4,

/.ZAOD=2ZA,

•.­ZAFO-9(r,

「.NA=30。，

•.AO=1,

AE_L8C,CD.AE过O,

-x/一3

.••由垂径定理得：BF=AF=—,BE2,

2

在

11113由

XX+XX2-

/.四边形BEOF的面积S=SgFo+S^Eo2-2-22-2-4

故选：C.

2.（2019•渝中区校级三模）如图，OO的半径8,弦他于点C，连结AO并延长交。。于

点七，连结EC.若AB=4,

A.3B.4C.5D.2.5

【解答】解：设桢的半径为，・

,OD±AB,

AC=BC=2,

在RtAAOC中，•.•NACO=90°,

..OA2=OC2+AC2,

/.r2=(r-l)2+22,

5

r=—

2

•°C=I

\OA=OE,AC=CB,

:.BE=2OC=3,

故选：A.

3.（2019•梧州）如图，在半径为而的0（9中，弦他与8交于点E，ZDEB=75°,AB=6,

AE=1,则CD的长是（）

c.2vHD.4G

【解答】解：过点。作。/_LCZ）于点产，OG_LAB于G,连接08、OD,如图所示:

则DF=CF,AG=BG=-AB=3,

2

:.EG=AG-AE=2,

在RtABOG中，0G=\/0B2-BG2=>/13-9=2,

EG=OG，

.•.△EOG是等腰直角三角形，

/.ZOEG=45°，OE=y/2OG=2a,

•.ZD£B=75°，

..N。所=30。，

OF=-OE=42,

2

在R3ODF中，DF=40Dr-OF1=V13-2=V1T,

:.CD=2DF=2s/\\；

故选：C.

4.（2019•金华模拟）如图，以"（4,0）为圆心，3为半径的圆与4轴交于点A、B,P是0M

上异于A、B的一动点，直线Q4与总分别交），轴于点C、D,以CD为直径的0N交x轴

C.26D.不能确定

【解答】解：•.•M(4,0),AB=6,

.\AM=BM=3,

:.OA=\,

,CDA.EF,

:.OE=OF,设OE=OF=x,

•.♦NCm=ZAP8=90°,

..C,O,F,8四点共圆，

:.AP.AC=AO»AB,

•/AE*AF=AC.E4,

:.AE^AF=OA^AB,

.,.(x+l)(x-l)=lx6，

:.X2=7,

/.x=V7>

.\EF=2OE=2y/l,

故选：A.

二.填空题(共8小题)

5.（2019•剑阁县模拟）如图，MN为G）O的直径，MN=1O,AB为的弦，已知MZV_LA4

于点P,A3-8,现要作O。的另一条弦8,使得8-6且8/乂"，则PC的长度为

【解答】解：当AB、CD在圆心O的两侧时，如图，连接04、OC.

•.AB//CD,MNLAB,

/.AP--AB-4,MN1CD,

2

:.CQ=^CD=3,

在RtAOAP中，Ol=JO42-A尸=3,

同理：00=4,

则PQ=OQ+OP=7,

・•・PC-JcQ'+户C'-"4'+7'-7s8

当AB、8在圆心。的同侧时，PQ=OQ-OP=\,

PC=QCG+PQ2=\/32+12=、亿；

故答案为：闻或加.

6.（2019•广元一模）如图，在平面直角坐标系中，G）O的半径为5,弦的长为6