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文档简介

第7讲圆的有关性质

垂径定理

弧、弦、圆心角的关系

圆的有关性质

圆周角定理及推论

圆内接四边形的性质

知识点1垂径定理

①弦和直径:

(1)弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦.

(2)直径:经过圆心的弦叫做直径。直径等于半径的两倍。

②弧:

(1)弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧,用符号表示,以A,B为端点的的弧记

作AB,读作弧AB.

⑵半圆、优弧、劣弧:

圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做半圆。

大于半圆的弧叫做优弧,优弧大于180。用三个字母表示,如ACB.

小于半圆的弧叫做劣弧,如48。

(3)等弧:在同圆或者等圆中能够相互重合的弧是等弧,度数或者长度相等的弧不一定是

等弧。

③弦心距:

(1)圆心到弦的距离叫做弦心距。

(2)圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧

相等,所对的弦相等,所对的圆心角也相等,所对弦的弦心距也相等,四者有一个相等,则

其他三个都相等。圆心到弦的垂线段的长度称为这条弦的弦心距。

④圆的性质:

(1)旋转不变性:圆是旋转对称图形,绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合;圆是中心对

称图形,对称中心是圆心.

在同圆或等圆中,两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距,这四组量中的任意一组相等,

那么它所对应的其他各组分别相等.

(2)轴对称:圆是轴对称图形,直径所在的直线是它的对称轴。

⑤垂径定理及推论:

(1)垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.

(2)平分弦(此弦不能是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.

(3)弦的垂直平分线过圆心,且平分弦对的两条弧.

(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心,且垂直平分此弦.

(5)平行弦夹的弧相等.

⑥同心圆与等圆

(1)同心圆:圆心相同,半径不相等的两个圆叫做同心圆。如图一,半径为口与半径为「2

的€)0叫做同心圆。

(2)等圆:圆心不同,半径相等的两个圆叫做等圆。如图二中的与的半径都是

r,它们是等圆。同圆或者等圆的半径相同。

(图二)

(3)同圆是指同一个圆;等圆、同心圆是指两个及两个以上的圆。

【典例】

1.如图,圆0的弦GH,EF,CD,AB中最短的是

【解析】解:•・•AB是直径,AB1GH,

,圆0的弦GH,EF,CD,AB白最短的是GH

2.如图,一圆弧过方格的格点A、B、C,在方格中建立平面直角坐标系,使点A的坐标为

【答案】(-2,-1)

【解析】解:如图:分别作AC与AB的垂直平分线,相交于点0,

则点0即是该圆弧所在圆的圆心.

•・•点A的坐标为(-3,2),

,点0的坐标为(-2,-1)

3.据史料记载,雎水太平桥建于清嘉庆年间,已有200余年历史.桥身为一巨型单孔圆弧,

既没有用钢筋,也没有用水泥,全部由石块砌成,犹如一道彩虹横卧河面上,桥拱半径OC

为13m,河面宽AB为24m,则桥高CD为

【答案】18m

【解析】解:如图,连结0A,

VCD1AB,

,AD=BD=—AB=—x24=12,

22

在RQOAD中,OA=5,OD=7oA2-AD2=5,

ACD=OC+CD=13+5=18m.

4.把宽为2cm的刻度尺在圆。上移动,当刻度尺的一边EF与圆O相切于A时,另一边与

圆的两个交点处的度数恰好为“2”(C点)和“8”(B点)(单位:cm),求该圆的半径

【答案】3.25cm

【解析】解:如图,连接0A交BC于点E,

设OB=r,

VAB=8-2=6cm,OD±AB,

BE=—AB=—x6=3cm»

22

在RtABOE中,

OE2+BE2=OB2,即(r-2)2+9=r,

解得r=-^-=3.25cm.

4

【方法总结】

1、在遇有求弦长或半径长的问题时,常添加的辅助线是弦心距。

2、在运用垂径定理解决线段长度问题时,一般都与勾股定理更合运用。

【随堂练习】

I.(2019•庐阳区二模)如图,AC是G)O的直径,弦3£>_LAC于点E,连接8C过点O作

OFtBC于点、F,若BD=12cm,AE=4cm,则。尸的长度是()

A.x/\3cmB.2\[\3cinC.VlOcwD.3cm

【解答】解:连接OB,

•.•AC是OO的直径,弦8D_LAC,

:.BE=-BD=6,

2

在RtAOEB中,OB2=OE2+BE2,OB2=(OB-4)2+62,

解得,OB=上,

2

则EC=AC-A£:=9,

BC=4EC1+BE2=3万,

\OFA-BC.

『1__3拒

/.CF=—BC=-------,

22

wc

2.(2019•滨州模拟)如图,某下水道的横截面是圆形的,水面8的宽度为2加,尸是线段

CD的中点,所经过圆心。交。。与点七,EF=3m,则OO直径的长是()

E

(B

254

A.—mB.-mC.—mDc.—10m

3333

【解答】解:如图,连接OC,

是弦。。的中点,所过圆心。,

:.EF±CD.

:.CF=FD.

;CD=2,

/.CF=1,

设OC=x,贝ij'=3-x,

在RtACOM中,根据勾股定理,得

12+(3-X)2=X2.

解得x=3,

6

.•・OO的直径为g.

故选:B.

3.(2019•黔东南州一模)如图,0O的直径为10cm,弦Afi为8°〃,?是弦4?上一点且

不与点A、8重合.若。尸的长为整数,则符合条件的点?有()

A.2个B.3个C.4个D.5个

【解答】解:连接04.作OCI于C,

则4C=4A8=4,

2

由勾股定理得,OCUAW-AC)=3,

则3,OP<5,

则符合条件的点P有3个,

故选:B.

4.(2019•黄冈)如图,•条公路的转弯处是•段圆弧(AB),点O是这段弧所在圆的圆心,

AB=40/〃,点C是A8的中点,ACD=10w.则这段弯路所在圆的半径为()

B.24/nC.30mD.60/w

【解答】解:•••OC_LA8,

AD=DB=20m,

在RtAAOD中,O^C=ODr+ADr,

设半径为/■得:r?=(r-10)?+20:,

解得:r-25m»

/.这段弯路的半径为25〃?

故选:A.

5.(2019•长沙模拟)如图,为0O的弦,过点。作的垂线,交于点C,交桢于

点D,已知A4=8,CD=2,则G)O的半径为()

D

A.3B.4C.5D.6

【解答】解:连接04,

AC=-4B=4,

2

设OO的半径为r,

:.OC=r-2,

AO2=OC2+AC2,

/.r2=(r-2)2+42,

6.(2019•滨湖区一模)如图,在0。中,已知弦AB长为16cm,C为48的中点,OC交AB

于点M,且QM:MC=3:2,则CM长为()

【解答】解:连接。4,

•.•C为A8的中点,

AC—BC,

:.OC±AB,

AM=—AB=8,

2

设则CM=2z,

:.OC=5a,

由勾股定理得,O^^AM^OM2,6P(5a)2=82+(3a)2,

解得,a=2(负值舍去),

则CM=2a=4(cm),

7.(2019•阳谷县一模)已知在半径为5的0O中,AB,8是互相垂直且相等的两条弦,

垂足为点尸,且0尸=3夜,则弦的长为()

【解答】解:作OM_L8于M,ON_LAB于N,连接03,

则四边形MWO为矩形,

'.AB-CD,OMA.CD,ON1AB,

:.OM=ON,

四边形NPNO为正方形,

..NP=NO=—OP=3,

2

由勾股定理得,BN=>]0B2-0NZ=4,

\ON±AB,

:.AB=2BN=8,

8.(2019•柯桥区模拟)如图,OO的直径C£>=10cm,AB是的弦,ABLCD,垂足为

【解答】解:如图所示,连接。4.

QO的直径C£)=l(kw,

则的半径为5。〃,

即O4=OC=5,

又•・・OM:OC=4:5,

所以OM=4,

\AB±CD,垂足为M,

:.AM=BM,

在RtAAOM中,AA/=V52-42=3,

.-.AB=2AA/=2x3=6.

9.(2018秋•柳州期末)如图,为G)O的弦,半径OC_LA8于点。,且AB=6,8=4,

A.1B.2C.2.5D.5

【解答】解:连接04,

•・•半径OC_LAB,

AD=BD=—AB=—x6=3>

22

\'OD=4,

:.OA=\/AD2+0D2=5,

:.OC=OA=5,

:.DC=OC-OD=5-4=1.

10.(2018秋•海曙区期末)如图,圆O半径为10cm,弓形高为4am则弓形的弦45的长

为()

B.\2cmC.\6cmD.20cm

【解答】解:如图,过。作Q/)_LAB于C,交于。,

'.'CD=4cm»OD=1Ocm,

OC=6cm,

又,/OB=lOcw,

「.RIAB8中,BC=yJOB2-OC2=Scm,

AB=2BC=\6cm.

故选:C.

知识点2弧、弦、圆心角、圆周角的关系

与圆有关的角

(I)圆心角:顶点在圆心的角叫圆心角.

圆心角的性质:圆心角的度数等于它所对弧的度数.

(2)圆周角:顶点在圆上,两边都和圆相文的角叫做圆周角。

圆周角的性质:圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半。

在同圆或等圆中,相等的圆心角或圆周角所对的弧相等,弦也相等。

(3)直径所对的圆周角是直角。

【典例】

1.如图,矩形ABCD的顶点A,B在圆上,BC,AD分别与该圆相交于点E,F,G是AF的

三等分点(AG>GF),BG交AF于点H,若AB的度数为30。,则NGHF等于

【答案】40。

【解析】解:如图,连接BF,

,:AB的度数为30°,

・,・代的度数为150°,ZAFB=15°,

•・・G是篇的三等分点,

・•・菽的度数为50。,

:.ZGBF=25°,

/.ZGHF=ZGBF+ZAFB=40°,

2.如图,AB是。O的直径,BC=CD=DE,ZCOD=38°,则NAEO的度数是

【答案】570

【解析】解:,菽=而=而,ZCOD=38°,

:.ZBOC=ZEOD=ZCOD=38°,

・•・ZAOE=180°-ZEOD-ZCOD-ZBOC=66°.

%VOA=OE,

AZAEO=ZOAE,

••・ZAEO=­x(180°-66°)=57°.

2

3如图,在。O中,OC1AB,ZADC=32°,则NOBA的度数是

【答案】260

【解析】解:如图,

由OC_LAB,得

AC=BC,ZOEB=90°.

AZ2=Z3.

VZ2=2Zl=2x32°=64°.

AN3=64。,

在RtZkOBE中,ZOEB=90°,

/.ZB=90u-Z3=90v-64v=26°

【方法总结】

1、注意利用同圆中同瓠或等弧所对的圆心角相等圆周角也相等,可进行角度转换。

2、注意利用同圆中同瓠或等弧所对的圆心角是圆周角的2倍,可进行角度倍数转换。

【随堂练习】

I.(2019•东西湖区模拟)如图,OA的半径为2,B,。在上且4AC=120。,若点P,

Q,R分别为BC,AC.A8上的动点,则PR+PQ的最小值为()

R

BC

C.1D.£

【解答】解:如图,作B〃_LC4交C4的延长线于”.连接P4.

在RtAABH中,・.AB=2,/BAH=60°,

.\BH=AB»sin600=y/3,

当PRJ_A8,PQ_LAC时,0R+PQ的值最小,

S”眈=-•AC*BH=1~・AB・PR+:・AC・PQ,

222

:.PR+PQ=BH=6,

故尸R+PQ的最小值为G,

故选:D.

2.(2019•东台市模拟)如图,43是0O的弦,半径OC1,AB,£)为圆周上一点,若3c的

度数为50。,则NADC的度数为()

A.20°B.25°C.30°D.50°

【解答】解:的度数为50。,

:.NBOC=5G,

•.•半径OC_LAB,

AC=BC,

ZADC=-ZBOC=25°.

2

故选:B.

3.(2019•资中县一模)如图,AB,CD是。。的直径,=若ZAO£=32。,

则NCOE的度数是()

A.32°B.60°C.68°D.64°

【解答】解:・.•AE=BD,

ZBOD=ZAOE=32°f

-ZBOD=ZAOC,

ZAOC=32°

.-.ZCOE=320+32°=64°.

故选:D.

4.(2018秋•祁江区校级月考)下列语句,错误的是()

A.直径是弦

B.弦的垂直平分线一定经过圆心

C.相等的圆心角所对的弧相等

D.平分弧的半径垂直于弧所对的弦

【解答】解:A、直径为弦,所以A选项的说法正确;

8、弦的垂直平分线一定经过圆心,所以8选项的说法正确;

C、在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所以C选项的说法错误;

。、平分弧的半径垂直于弧所对的弦,所以。选项的说法正确.

故选:C.

5.(2018秋•泉山区校级月考)下列语句,错误的是()

A.直径是弦

B.相等的圆心角所对的弧相等

C.弦的垂直平分线一定经过圆心

D.平分弧的半径垂直于弧所对的弦

【解答】解:直径是弦,A正确,不符合题意:

在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,6错误,符合题意;

弦的垂直平分线一定经过圆心,C正确,不符合题意;

平分弧的半径垂直于弧所对的弦,。正确,不符合题意;

故选:B.

6.(2018秋•仪征市校级月考)如图,在RtAABC中,ZC=90°,Z4=28°,

以点。为圆心,6c为半径的圆分别交4B、AC于点。、点、E,则弧3。的

度数为()

【解答】解:・.・NC=90。,ZA=28°,

.•.4=62。,

・.・CB=CD,

ZCDB=ZB=62°f

ZBCD=180°-62°-62°=56°,

「•8。的度数为56。.

故选:C.

7.(2018秋•新罗区校级期中)如图所示,在G>O中,A,C,D,8是上四点,OC,

。力交他于点石,F,且下列结论:®OE=OF;②AC=CD=DB;③

CD//AB-,®AC=BD,其中正确的有()

A.4个B.3个C.2个D.1个

【解答】解:连接。4,OB,

•.OA=OB,

:.NOAB=/OBA.

OA=OB

在与AOB产中,<N0AE=40BF

AE=BF

:.AOAE=AOBF(SAS),

:.OE=OF,故①正确;

ZAOE=ZBOF,即Z4OC=N8OD,

..AC=BD,故④正确;

连结AD.

AC=BDf

:.ZBAD=ZADC,

:.CD//AB,故③正确;

ZBOD=NAOC不一定等于Z.COD,

.•.弧AC=弧班)不一定等于弧CD,

AC=不一定等于CD,

故②不正确.

正确的有3个,故选8.

知识点3圆周角定理及推论

圆周角:顶点在圆上,两边都和圆相交的角叫做圆周角.

圆周角的性质:

圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.

圆周角的推论:

①同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等.

②90。的圆周角所对的弦为直径;半圆或直径所对的圆周角为直角.

③如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.

④圆内接四边形的对角互补;外角等于它的内对角.

【典例】

1.如图,。。的半径为2,点A为。O上一点,半径OD_L弦BC于D,如果NBAC=60。,

那么BC的长是

【答案】2M

【解析】解:VZBAC=60°,.\ZBOC=120°,

OD_L弦BC,AZBOD=90°,

VZBOD=ZA=60°,.*.OD=—OB=L

2

••・BD=7OB2-OD2=V22-12=^'

ABC=2BD=2V3

2.如图所示,A、B、C、D四个点均在<30上,ZAOD=50°,AO/7DC,则NB的度数为

【答案】65°

【解析】解:如图连接AD,

B

VOA=OD,ZAOD=50°,

:.NADO」80。_/A0D=656

2

・.・AO〃DC,

AZODC=ZAOD=50°,

,ZADC=ZADO+ZODC=115°,

/.ZB=180°-ZADC=65°

【方法总结】

1、在圆中利用圆的半径处处相等,可迅速构造等腰三角形。

2、利用直径所对的圆周角是直角,可便捷构造直角三角形。

【随堂练习】

1.(2019•温州三模)如图,点A,B,C在。。上,若N4CB=112。,则Na=()

A^)B

A.68°B.112°C.136°D.134°

【解答】解:作标对的圆周角/ADS,如图,

•・•NAC8+NAOB=180°,

・・・NADB=180°-112°=68°,

JNAOB=2NAOB=2x68°=136°.

2.(2019•邵阳县模拟)已知。O的直径A8=8cm,点。在。。上,且N8OC=60。,则AC

的长为()

A.4cmB.4、C.5cmD.2.5cm

【解答】解:・;OB=OC,N8OC=60。,

•••△OBC是等边三角形,

・•・ZABC=60°,

TAB是直径,

/.NACB=90。,

JAC=ABsin60。=8x坐=4M.

故选:B.

3.(2019•广元)如图,ABfAC分别是。。的直径和弦,0£>J_AC于点Q,连接3。,BC,

且A8=10,4C=8,则的长为()

0

A.2加B.4C.2413D.4.8

【解答】解::AB为直径,

・•・NACB=90。,

.\BC=^AB2_AC2=^52_42=3,

ZODIAC,

••・CO=AO=X4C=4,

2

在RtZkCB。中,BD=rq2+62=2^/Tj.

故选:C.

4.(2019•吉林)如图,在。。中,彘所对的圆周角NAC8=50。,若P为标上一点,NAOP

=55°,则NPOB的度数为()

c

【解答】解:・・・NACB=50。,

:./A0B=2/ACB=100°,

■:NAOP=55。,

・・・NPOB=45。,

故选:B.

5.(2019•柳州)如图,4,B,C,。是。。上的点,则图中与NA相等的角是()

A.NBB.ZCC.NDEBD.ND

【解答】解:YNA与NO都是萩所对的圆周角

故选:D.

6.(2019•黔东南州一模)如图,4C为。。的直径,AB=OH.则NC的度数为()

0

A.30°B.45°C.60°D.90°

【解答】解:・・・8C为。。的直径,

,NBAC=90。,

■:AB=OB,

:.BC=2AB,

.*.sinC=AB=1

BC-2

AZC=30°.

故选:A.

7.(2019•宜昌)如图,点A,B,C均在。。上,当NO8C=40。时,NA的度数是()

A.50°B.55°C.60°D.65°

【解答】解:・・・OB=OC,

:./OCB=/OBC=^°,

:.ZBOC=180°-40°-40°=100°,

・•・NA=LNBOC=50。.

2

故选:A.

8.(2019•眉山)如图,。0的直径48垂直于弦CQ,垂足是点E,NCAO=22.5。,OC=6,

则CD的长为()

A.6^2B.3V2C.6D.12

【解答】解:•・•COLAB,

:・CE=DE,

ZBOC=2ZA=2x22.5°=45°,

•••△OCE为等腰直角三角形,

.・・。七=返。。=返x6=3加,

22

:,CD=2CE=6^2.

故选:A.

9.(2019•江西模拟)如图,BC为直径,NA8C=35。,则/。的度数为()

A

BC

【解答】解:•・•AB是直径,

/.ZBAC=90°,

■:ZABC=35°,

・•・ZACB=90°-35°=55°,

AZD=ZC=55O,

故选:C.

知识点4圆内接四边形的性质

1.圆内接四边形的对角互补

2.外角等于它的内对角

【典例】

1.如图,点A、B、C、D、E在。0上,且标的度数为50。,则/B+ND的度数为

C

【答案】155°

【解析】解:连接AB、DE,则/ABE二NADE,

c

•・•金为50。,/.ZABE=ZADE=25°,

•・•点A、B、C、D在。O上,

:.四边形ABCD是圆内接四边形,

.•.NABC+NADO180。,

:.ZABE+ZEBC+ZADC=180°,

・•・ZB+ZD=1800-ZABE=180°-25°=155°

2.如图,已知。O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F,若NE+NF=70。,

则NA的度数是

【答案】55°

【解析】解:•・•四边形ABCD为00的内接四边形,

AZA=ZBCF,

VZEBF=ZA+ZE,

HUZEBF=18O°-ZBCF-NF,

/.ZA+ZE=180°-ZBCF-ZF,

/.ZA+ZE=180-ZA-NF,

BP2ZA=180°-(ZE+ZF)=110°,

:.ZA=55°

3.如图,A、B、C、D四个点在同一个圆上,ZADC=90%AB=7cm,CD=5cm,AE=4cm,

CF=6cm,则阴影部分的面积为cm2.

r答案】3i

【解析】解:如图,连接AC.

,:ZADC=90°,

AAC是直径,

AZABC=90°,

ACD1AE,AB1CF,

・2

••SBJ=SAAEC+SAAFC—*AE<D+—>CF*AB=^x4x5+ix6x7=31(cm)

2222

【方法总结】

证明四点共圆的一般方法:

1、逆用同弦所对圆周角相等

2、逆用圆的内接四边形对角互补

【随堂练习】

I.(2018秋•滨江区期末)已知圆内接四边形ABCD中,NA:N8:NC=1:2:3,则NO的大

小是()

A.45°B.60°C.90°D.135°

【解答】解:•.•四边形A88为圆的内接四边形,

.\ZA:ZB:ZC:ZD=1:2:3:2,

而NB+ND=180°,

ZD=-xl80°=90°.

4

故选:C.

2.(2019•兰州)如图,四边形4?C£>内接于GX),若NA=40°,贝Ij/C=()

D

B.120cC.135°D.140*

【解答】解:•.•四边形A88内接于QO,

.•.NC+NA=180。,

二.ZC=180°-40°=14(r.

故选:D.

3.(2019•南昌一模)如图,A,B,C,。四个点均在G)O上,ZAOB=40°弦BC的长

等于半径,则NADC的度数等于()

A.50°B.49°C.48°D.47°

【解答】解:连接OC,

由题意得,OB=OC=BC,

「.△CMC是等边三角形,

/.ZBOC=60°,

.•ZAOB=40°,

/.ZAOC=100°,

由圆周角定理得,ZADC=-ZAOC=50°,

2

故选:A.

D

B

4.(2019•富顺县三模)四边形ABC。内接于圆,4、n3、NC、NO的度数比可能是(

)

A.1:3:2:4B.7:5:10:8C.13:1:5:17D.1:2:3:4

【解答】解:4、1+2W3+4,所以A选项不正确:

B、7+10工5+8,所以8选项不正确;

C、13+5=1+17,所以。选项正确;

。、1+3/2+4,所以。选项不正确.

故选:C.

5.(2018秋•定兴县期末)如图,四边形人4。力为圆内接四边形NA=85。,NB=105。,贝UNC

B.75°C.95°D.无法求

【解答】解:•.•四边形为圆内接四边形NA=85。,

ZC=180°-850=95°,

故选:C.

二.填空题(共3小题)

6.(2019•海淀区校级三模)如图,点A,B,C,。是0。上的四个点,点8是弧AC的

中点,如果NA"C=70°,那55。

【解答】解:•.•四边形ABCD内接于OO,

:.ZABC+ZADC=\80°t

.-.ZA£)C=180o-70o=110o.

•.•点8是弧AC的中点,

.♦.弧A8=弧AC.

:.ZADB=ZBDC.

..ZADB=-zL4DC=-xll0o=553.

22

故答案为55。.

7.(2019•铜仁市)如图,四边形45a>为0。的内接四边形,NA=1(XT,则NDCE的度数

为」00。_;

【解答】解:•.•四边形ABCD为OO的内接四边形,

/.ZDCE=ZA=100°,

故答案为:100。

8.(2019•台州)如图,AC是圆内接四边形A38的一条对角线,点。关于AC的对称点£

在边BC上,连接AE.若NA8C=64。,则44E的度数为_52。_.

【解答】解:•.•圆内接四边形

.•.ZD=180°-ZABC=116°,

•・•点。关于AC的对称点E在边BC上,

.•.ZD=ZAEC=116°,

.•.Zft4£=116o-64o=52o.

故答案为:52°.

三.解答题(共1小题)

9.(2018秋•中山区期末)如图,四边形ABCD内接于ZBOD=140°,求NBCD的度

O

'D

B

【解答】解:•.•N88=140。,

/.ZA=-ZBOD=70°,

2

.•.Z5CD=180°-ZA=110°.

综合运用:圆的有关性质

1.把球放在长方体纸盒内,球的一部分露出盒外,其截面如图所示,已知EF=CD=4cm,求

【解析】解:如图,设EF的中点M,作MN_LAD于点M,取MN上的球心0,连接OF,

/.ZC=ZD=90u,

・•・四边形CDMN是矩形,

/.MN=CD=4cm,

设OF=xcm,贝UON=OF,

AOM=MN-ON=(4-x)cm,MF=2cm,

在直角三角形OMF中,OM2+MF2=OF2

即:(4-x)2+22=X2

解得:x=2.5cm

答:球的半径为2.5cm。

2.如图,AB是半圆的直径,O是圆心,C是半圆上一点,D是弧AC中点,OD交弦AC于

E,连接BE,若AC=8,DE=2,求

(1)求半圆的半径长;

(2)BE的长度。

AOB

【解析】解:(1)设圆的半径为r,

•・・D是弧AC中点,

AOD1AC,AE=-AC=4,

在RSAOE中,OA2=OE2+AE2,即(r-2)2+42,

解得,r=5,即圆的半径长为5;

答:圆的半径长为5。

(2)如图,连接BC,

VAO=OB,AE=EC,

.*.BC=2OE=6,

VAB是半圆的直径,

.\ZACB=90u,

BE=7EC2+BC2=2^,

答:BE长为25。

3.如图,小明将一块三角板放在0O上,三角板的一直角边经过圆心O,测得AC=5cm,

AB=3cm,求。0的半径。

【解析】解:如图,连接0B,

设。O的半径为r,则RsAOB中,VAC=5cm,/.AO=(5-r)cm,ABTcm,OB=r,由勾

股定理得:OB2=OA2+AB2,即:股(5-r)2+32,解得:r=3.4cm4>

答:。。的半径为3.4cm。

4.如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=12,以BC为斜边在矩形外部作直角三角形BEC,

F为CD的中点,求EF的最大值。

【解析】解:由题意知NBEC=9(F,

・••点E在以BC为直径的00上,如图所示:

由图可知,连接F0并延长交。0于点E,,

此时E,F最长,

11E

・.・C0二±BC=6、FCJCD=2,

222

・•・OF=7oC2+CF2=^62+(y),

则E,F=OE,+OF=64--=—

22

答:EF的最大值为空

2。

5.如图,已知四边形ADBC是。0的内接四边形,AB是直径,AB=10cm,BC=8cm,CD

平分NACB.

(1)求AC与BD的长:

(2)求四边形ADBC的面积.

【解析】解:(1)VAB是直径,・・・NACB=90。,

AAC=VAB2-BC2=6(cm),

坐AB=5加

〈CD平分NACB,ABD=AD=(cm);

2

答:AC长6cm;BD长5Mcm°

(2)四边形ADBC的面积=ZkABC的面积+ZkADB的面积

=±x6x8+—X5V2X5V2=49(cm2).

22

答泗边形ADBC的面积为49cm2。

6.如图,A、P、B、C是00上四点,ZAPC=ZCPB=60°.

(1)判断4ABC的形状并证明你的结论;

(2)当点P位于什么位置时,四边形PB0A是菱形?并说明理由.

(3)求证:PA+PB=PC.

【解析】解:(1)AABC是等边三角形.

证明如下:在。0中,

•・•NBAC与NCPB是菽所对的圆周角,ZABC与NAPC是位所对的圆周角,

AZBAC=ZCPB,ZABC=ZAPC,

又「NAPC二NCPB=60。,

/.ZABC=ZBAC=60°,

/.△ABC为等边三角形;

(2)当点P位于忘中点时,四边形PBOA是菱形,

连接0P,如图1:

图1

VZAOB=2ZACB=120°,P是标的中点,

:.ZAOP=ZBOP=60°

XVOA=OP=OB,

/.△OAP和AOBP均为等边三角形,

AOA=AP=OB=PB,

,四边形PBOA是菱形;

(3)如图2,在PC上截取PD=AP,

图2

又・・・NAPC=60。,

/.AAPD是等边三角形,

AAD=AP=PD,ZADP=60°,HPZADC=120°.

又「ZAPB=ZAPC+ZBPC=120°.

.\ZADC=ZAPB,

SAAPB和AADC中,

'/APD二NADC

,NABP=NACP,

AP=AP

A△APBADC(AAS),

・・・BP;CD,

又:PD二AP,

,CP=BP+AP.

第7讲圆的有关性质

垂径定理

弧、弦、圆心角的关系

圆的有关性质

圆周角定理及推论

圆内接四边形的性质

知识点1垂径定理

①弦和直径:

(1)弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦.

(2)直径:经过圆心的弦叫做直径。直径等于半径的两倍。

②弧:

(1)弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧,用符号表示,以A,B为端点的的弧记

作AB,读作弧AB.

⑵半圆、优弧、劣弧:

圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做半圆。

大于半圆的弧叫做优弧,优弧大于180。用三个字母表示,如AC8.

小于半圆的弧叫做劣弧,如48。

(3)等弧:在同圆或者等圆中能够相互重合的弧是等弧,度数或者长度相等的弧不一定是

等弧。

③弦心距:

(1)圆心到弦的距离叫做弦心距。

(2)圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧

相等,所对的弦相等,所对的圆心角也相等,所对弦的弦心距也相等,四者有一个相等,则

其他三个都相等。圆心到弦的垂线段的长度称为这条弦的弦心距。

④圆的性质:

(1)旋转不变性:圆是旋转对称图形,绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合;圆是中心对

称图形,对称中心是圆心.

在同圆或等圆中,两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距,这四组量中的任意一组相等,

那么它所对应的其他各组分别相等.

(2)轴对称:圆是轴对称图形,直径所在的直线是它的对称轴。

⑤垂径定理及推论:

(1)垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.

(2)平分弦(此弦不能是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.

(3)弦的垂直平分线过圆心,且平分弦对的两条弧.

(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心,且垂直平分此弦.

(5)平行弦夹的弧相等.

⑥同心圆与等圆

(1)同心圆:圆心相同,半径不相等的两个圆叫做同心圆。如图一,半径为口与半径为「2

的。O叫做同心圆。

(2)等圆:圆心不同,半径相等的两个圆叫做等圆。如图二中的OOi与的半径都是

!*,它们是等圆。同圆或者等圆的半径相同。

(3)同圆是指同一个圆;等圆、同心圆是指两个及两个以上的圆。

【典例】

1.如图,圆0的弦GH,EF,CD,AB中最短的是

【解析】解:•・•AB是直径,AB1GH,

,圆0的弦GH,EF,CD,AB白最短的是GH

2.如图,一圆弧过方格的格点A、B、C,在方格中建立平面直角坐标系,使点A的坐标为

【答案】(-2,-1)

【解析】解:如图:分别作AC与AB的垂直平分线,相交于点0,

则点0即是该圆弧所在圆的圆心.

•・•点A的坐标为(-3,2),

,点0的坐标为(-2,-1)

3.据史料记载,雎水太平桥建于清嘉庆年间,已有200余年历史.桥身为一巨型单孔圆弧,

既没有用钢筋,也没有用水泥,全部由石块砌成,犹如一道彩虹横卧河面上,桥拱半径OC

为13m,河面宽AB为24m,则桥高CD为

【答案】18m

【解析】解:如图,连结0A,

VCD1AB,

,AD=BD=—AB=—x24=12,

22

在RQOAD中,OA=5,OD=7oA2-AD2=5,

ACD=OC+CD=13+5=18m.

4.把宽为2cm的刻度尺在圆。上移动,当刻度尺的一边EF与圆O相切于A时,另一边与

圆的两个交点处的度数恰好为“2”(C点)和“8”(B点)(单位:cm),求该圆的半径

【答案】3.25cm

【解析】解:如图,连接0A交BC于点E,

设OB=r,

VAB=8-2=6cm,OD±AB,

BE=—AB=—x6=3cm»

22

在RtABOE中,

OE2+BE2=OB2,即(r-2)2+9=r,

解得r=-^-=3.25cm.

4

【方法总结】

1、在遇有求弦长或半径长的问题时,常添加的辅助线是弦心距。

2、在运用垂径定理解决线段长度问题时,一般都与勾股定理更合运用。

【随堂练习】

1.(2019•利川市一模)如图,CD为直径,CD工AB于点F,A£_L8C于E,铉过

圆心O,且47=1.则四边形尸的面积为()

A/7R6cx/3nV3

A•VJ.-D・

248

【解答】解:•:8为直径,CDLAB,

AD=BD,

ZAOD=2NC,

\CD±AB,AEA.BC,

:.ZAFO=ZCEO=90°,

在AA尸O和ACEO中

ZAFO=Z.CEO

,ZAO尸=Z.COE

OA=OC

•..AAR7=ACE5A4S),

...NC=Z4,

/.ZAOD=2ZA,

•.­ZAFO-9(r,

「.NA=30。,

•.AO=1,

AE_L8C,CD.AE过O,

-x/一3

.••由垂径定理得:BF=AF=—,BE2,

2

11113由

XX+XX2-

/.四边形BEOF的面积S=SgFo+S^Eo2-2-22-2-4

故选:C.

2.(2019•渝中区校级三模)如图,OO的半径8,弦他于点C,连结AO并延长交。。于

点七,连结EC.若AB=4,

A.3B.4C.5D.2.5

【解答】解:设桢的半径为,・

,OD±AB,

AC=BC=2,

在RtAAOC中,•.•NACO=90°,

..OA2=OC2+AC2,

/.r2=(r-l)2+22,

5

r=—

2

•°C=I

\OA=OE,AC=CB,

:.BE=2OC=3,

故选:A.

3.(2019•梧州)如图,在半径为而的0(9中,弦他与8交于点E,ZDEB=75°,AB=6,

AE=1,则CD的长是()

c.2vHD.4G

【解答】解:过点。作。/_LCZ)于点产,OG_LAB于G,连接08、OD,如图所示:

则DF=CF,AG=BG=-AB=3,

2

:.EG=AG-AE=2,

在RtABOG中,0G=\/0B2-BG2=>/13-9=2,

EG=OG,

.•.△EOG是等腰直角三角形,

/.ZOEG=45°,OE=y/2OG=2a,

•.ZD£B=75°,

..N。所=30。,

OF=-OE=42,

2

在R3ODF中,DF=40Dr-OF1=V13-2=V1T,

:.CD=2DF=2s/\\;

故选:C.

4.(2019•金华模拟)如图,以"(4,0)为圆心,3为半径的圆与4轴交于点A、B,P是0M

上异于A、B的一动点,直线Q4与总分别交),轴于点C、D,以CD为直径的0N交x轴

C.26D.不能确定

【解答】解:•.•M(4,0),AB=6,

.\AM=BM=3,

:.OA=\,

,CDA.EF,

:.OE=OF,设OE=OF=x,

•.♦NCm=ZAP8=90°,

..C,O,F,8四点共圆,

:.AP.AC=AO»AB,

•/AE*AF=AC.E4,

:.AE^AF=OA^AB,

.,.(x+l)(x-l)=lx6,

:.X2=7,

/.x=V7>

.\EF=2OE=2y/l,

故选:A.

二.填空题(共8小题)

5.(2019•剑阁县模拟)如图,MN为G)O的直径,MN=1O,AB为的弦,已知MZV_LA4

于点P,A3-8,现要作O。的另一条弦8,使得8-6且8/乂",则PC的长度为

【解答】解:当AB、CD在圆心O的两侧时,如图,连接04、OC.

•.AB//CD,MNLAB,

/.AP--AB-4,MN1CD,

2

:.CQ=^CD=3,

在RtAOAP中,Ol=JO42-A尸=3,

同理:00=4,

则PQ=OQ+OP=7,

・•・PC-JcQ'+户C'-"4'+7'-7s8

当AB、8在圆心。的同侧时,PQ=OQ-OP=\,

PC=QCG+PQ2=\/32+12=、亿;

故答案为:闻或加.

6.(2019•广元一模)如图,在平面直角坐标系中,G)O的半径为5,弦的长为6

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