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文档简介
第7讲圆的有关性质
垂径定理
弧、弦、圆心角的关系
圆的有关性质
圆周角定理及推论
圆内接四边形的性质
知识点1垂径定理
①弦和直径:
(1)弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦.
(2)直径:经过圆心的弦叫做直径。直径等于半径的两倍。
②弧:
(1)弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧,用符号表示,以A,B为端点的的弧记
作AB,读作弧AB.
⑵半圆、优弧、劣弧:
圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做半圆。
大于半圆的弧叫做优弧,优弧大于180。用三个字母表示,如ACB.
小于半圆的弧叫做劣弧,如48。
(3)等弧:在同圆或者等圆中能够相互重合的弧是等弧,度数或者长度相等的弧不一定是
等弧。
③弦心距:
(1)圆心到弦的距离叫做弦心距。
(2)圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧
相等,所对的弦相等,所对的圆心角也相等,所对弦的弦心距也相等,四者有一个相等,则
其他三个都相等。圆心到弦的垂线段的长度称为这条弦的弦心距。
④圆的性质:
(1)旋转不变性:圆是旋转对称图形,绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合;圆是中心对
称图形,对称中心是圆心.
在同圆或等圆中,两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距,这四组量中的任意一组相等,
那么它所对应的其他各组分别相等.
(2)轴对称:圆是轴对称图形,直径所在的直线是它的对称轴。
⑤垂径定理及推论:
(1)垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
(2)平分弦(此弦不能是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
(3)弦的垂直平分线过圆心,且平分弦对的两条弧.
(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心,且垂直平分此弦.
(5)平行弦夹的弧相等.
⑥同心圆与等圆
(1)同心圆:圆心相同,半径不相等的两个圆叫做同心圆。如图一,半径为口与半径为「2
的€)0叫做同心圆。
(2)等圆:圆心不同,半径相等的两个圆叫做等圆。如图二中的与的半径都是
r,它们是等圆。同圆或者等圆的半径相同。
(图二)
(3)同圆是指同一个圆;等圆、同心圆是指两个及两个以上的圆。
【典例】
1.如图,圆0的弦GH,EF,CD,AB中最短的是
【解析】解:•・•AB是直径,AB1GH,
,圆0的弦GH,EF,CD,AB白最短的是GH
2.如图,一圆弧过方格的格点A、B、C,在方格中建立平面直角坐标系,使点A的坐标为
【答案】(-2,-1)
【解析】解:如图:分别作AC与AB的垂直平分线,相交于点0,
则点0即是该圆弧所在圆的圆心.
•・•点A的坐标为(-3,2),
,点0的坐标为(-2,-1)
3.据史料记载,雎水太平桥建于清嘉庆年间,已有200余年历史.桥身为一巨型单孔圆弧,
既没有用钢筋,也没有用水泥,全部由石块砌成,犹如一道彩虹横卧河面上,桥拱半径OC
为13m,河面宽AB为24m,则桥高CD为
【答案】18m
【解析】解:如图,连结0A,
VCD1AB,
,AD=BD=—AB=—x24=12,
22
在RQOAD中,OA=5,OD=7oA2-AD2=5,
ACD=OC+CD=13+5=18m.
4.把宽为2cm的刻度尺在圆。上移动,当刻度尺的一边EF与圆O相切于A时,另一边与
圆的两个交点处的度数恰好为“2”(C点)和“8”(B点)(单位:cm),求该圆的半径
【答案】3.25cm
【解析】解:如图,连接0A交BC于点E,
设OB=r,
VAB=8-2=6cm,OD±AB,
BE=—AB=—x6=3cm»
22
在RtABOE中,
OE2+BE2=OB2,即(r-2)2+9=r,
解得r=-^-=3.25cm.
4
【方法总结】
1、在遇有求弦长或半径长的问题时,常添加的辅助线是弦心距。
2、在运用垂径定理解决线段长度问题时,一般都与勾股定理更合运用。
【随堂练习】
I.(2019•庐阳区二模)如图,AC是G)O的直径,弦3£>_LAC于点E,连接8C过点O作
OFtBC于点、F,若BD=12cm,AE=4cm,则。尸的长度是()
A.x/\3cmB.2\[\3cinC.VlOcwD.3cm
【解答】解:连接OB,
•.•AC是OO的直径,弦8D_LAC,
:.BE=-BD=6,
2
在RtAOEB中,OB2=OE2+BE2,OB2=(OB-4)2+62,
解得,OB=上,
2
则EC=AC-A£:=9,
BC=4EC1+BE2=3万,
\OFA-BC.
『1__3拒
/.CF=—BC=-------,
22
wc
2.(2019•滨州模拟)如图,某下水道的横截面是圆形的,水面8的宽度为2加,尸是线段
CD的中点,所经过圆心。交。。与点七,EF=3m,则OO直径的长是()
E
(B
254
A.—mB.-mC.—mDc.—10m
3333
【解答】解:如图,连接OC,
是弦。。的中点,所过圆心。,
:.EF±CD.
:.CF=FD.
;CD=2,
/.CF=1,
设OC=x,贝ij'=3-x,
在RtACOM中,根据勾股定理,得
12+(3-X)2=X2.
解得x=3,
6
.•・OO的直径为g.
故选:B.
3.(2019•黔东南州一模)如图,0O的直径为10cm,弦Afi为8°〃,?是弦4?上一点且
不与点A、8重合.若。尸的长为整数,则符合条件的点?有()
A.2个B.3个C.4个D.5个
【解答】解:连接04.作OCI于C,
则4C=4A8=4,
2
由勾股定理得,OCUAW-AC)=3,
则3,OP<5,
则符合条件的点P有3个,
故选:B.
4.(2019•黄冈)如图,•条公路的转弯处是•段圆弧(AB),点O是这段弧所在圆的圆心,
AB=40/〃,点C是A8的中点,ACD=10w.则这段弯路所在圆的半径为()
B.24/nC.30mD.60/w
【解答】解:•••OC_LA8,
AD=DB=20m,
在RtAAOD中,O^C=ODr+ADr,
设半径为/■得:r?=(r-10)?+20:,
解得:r-25m»
/.这段弯路的半径为25〃?
故选:A.
5.(2019•长沙模拟)如图,为0O的弦,过点。作的垂线,交于点C,交桢于
点D,已知A4=8,CD=2,则G)O的半径为()
D
A.3B.4C.5D.6
【解答】解:连接04,
AC=-4B=4,
2
设OO的半径为r,
:.OC=r-2,
AO2=OC2+AC2,
/.r2=(r-2)2+42,
6.(2019•滨湖区一模)如图,在0。中,已知弦AB长为16cm,C为48的中点,OC交AB
于点M,且QM:MC=3:2,则CM长为()
【解答】解:连接。4,
•.•C为A8的中点,
AC—BC,
:.OC±AB,
AM=—AB=8,
2
设则CM=2z,
:.OC=5a,
由勾股定理得,O^^AM^OM2,6P(5a)2=82+(3a)2,
解得,a=2(负值舍去),
则CM=2a=4(cm),
7.(2019•阳谷县一模)已知在半径为5的0O中,AB,8是互相垂直且相等的两条弦,
垂足为点尸,且0尸=3夜,则弦的长为()
【解答】解:作OM_L8于M,ON_LAB于N,连接03,
则四边形MWO为矩形,
'.AB-CD,OMA.CD,ON1AB,
:.OM=ON,
四边形NPNO为正方形,
..NP=NO=—OP=3,
2
由勾股定理得,BN=>]0B2-0NZ=4,
\ON±AB,
:.AB=2BN=8,
8.(2019•柯桥区模拟)如图,OO的直径C£>=10cm,AB是的弦,ABLCD,垂足为
【解答】解:如图所示,连接。4.
QO的直径C£)=l(kw,
则的半径为5。〃,
即O4=OC=5,
又•・・OM:OC=4:5,
所以OM=4,
\AB±CD,垂足为M,
:.AM=BM,
在RtAAOM中,AA/=V52-42=3,
.-.AB=2AA/=2x3=6.
9.(2018秋•柳州期末)如图,为G)O的弦,半径OC_LA8于点。,且AB=6,8=4,
A.1B.2C.2.5D.5
【解答】解:连接04,
•・•半径OC_LAB,
AD=BD=—AB=—x6=3>
22
\'OD=4,
:.OA=\/AD2+0D2=5,
:.OC=OA=5,
:.DC=OC-OD=5-4=1.
10.(2018秋•海曙区期末)如图,圆O半径为10cm,弓形高为4am则弓形的弦45的长
为()
B.\2cmC.\6cmD.20cm
【解答】解:如图,过。作Q/)_LAB于C,交于。,
'.'CD=4cm»OD=1Ocm,
OC=6cm,
又,/OB=lOcw,
「.RIAB8中,BC=yJOB2-OC2=Scm,
AB=2BC=\6cm.
故选:C.
知识点2弧、弦、圆心角、圆周角的关系
与圆有关的角
(I)圆心角:顶点在圆心的角叫圆心角.
圆心角的性质:圆心角的度数等于它所对弧的度数.
(2)圆周角:顶点在圆上,两边都和圆相文的角叫做圆周角。
圆周角的性质:圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半。
在同圆或等圆中,相等的圆心角或圆周角所对的弧相等,弦也相等。
(3)直径所对的圆周角是直角。
【典例】
1.如图,矩形ABCD的顶点A,B在圆上,BC,AD分别与该圆相交于点E,F,G是AF的
三等分点(AG>GF),BG交AF于点H,若AB的度数为30。,则NGHF等于
【答案】40。
【解析】解:如图,连接BF,
,:AB的度数为30°,
・,・代的度数为150°,ZAFB=15°,
•・・G是篇的三等分点,
・•・菽的度数为50。,
:.ZGBF=25°,
/.ZGHF=ZGBF+ZAFB=40°,
2.如图,AB是。O的直径,BC=CD=DE,ZCOD=38°,则NAEO的度数是
【答案】570
【解析】解:,菽=而=而,ZCOD=38°,
:.ZBOC=ZEOD=ZCOD=38°,
・•・ZAOE=180°-ZEOD-ZCOD-ZBOC=66°.
%VOA=OE,
AZAEO=ZOAE,
••・ZAEO=x(180°-66°)=57°.
2
3如图,在。O中,OC1AB,ZADC=32°,则NOBA的度数是
【答案】260
【解析】解:如图,
由OC_LAB,得
AC=BC,ZOEB=90°.
AZ2=Z3.
VZ2=2Zl=2x32°=64°.
AN3=64。,
在RtZkOBE中,ZOEB=90°,
/.ZB=90u-Z3=90v-64v=26°
【方法总结】
1、注意利用同圆中同瓠或等弧所对的圆心角相等圆周角也相等,可进行角度转换。
2、注意利用同圆中同瓠或等弧所对的圆心角是圆周角的2倍,可进行角度倍数转换。
【随堂练习】
I.(2019•东西湖区模拟)如图,OA的半径为2,B,。在上且4AC=120。,若点P,
Q,R分别为BC,AC.A8上的动点,则PR+PQ的最小值为()
R
BC
C.1D.£
【解答】解:如图,作B〃_LC4交C4的延长线于”.连接P4.
在RtAABH中,・.AB=2,/BAH=60°,
.\BH=AB»sin600=y/3,
当PRJ_A8,PQ_LAC时,0R+PQ的值最小,
S”眈=-•AC*BH=1~・AB・PR+:・AC・PQ,
222
:.PR+PQ=BH=6,
故尸R+PQ的最小值为G,
故选:D.
2.(2019•东台市模拟)如图,43是0O的弦,半径OC1,AB,£)为圆周上一点,若3c的
度数为50。,则NADC的度数为()
A.20°B.25°C.30°D.50°
【解答】解:的度数为50。,
:.NBOC=5G,
•.•半径OC_LAB,
AC=BC,
ZADC=-ZBOC=25°.
2
故选:B.
3.(2019•资中县一模)如图,AB,CD是。。的直径,=若ZAO£=32。,
则NCOE的度数是()
A.32°B.60°C.68°D.64°
【解答】解:・.•AE=BD,
ZBOD=ZAOE=32°f
-ZBOD=ZAOC,
ZAOC=32°
.-.ZCOE=320+32°=64°.
故选:D.
4.(2018秋•祁江区校级月考)下列语句,错误的是()
A.直径是弦
B.弦的垂直平分线一定经过圆心
C.相等的圆心角所对的弧相等
D.平分弧的半径垂直于弧所对的弦
【解答】解:A、直径为弦,所以A选项的说法正确;
8、弦的垂直平分线一定经过圆心,所以8选项的说法正确;
C、在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所以C选项的说法错误;
。、平分弧的半径垂直于弧所对的弦,所以。选项的说法正确.
故选:C.
5.(2018秋•泉山区校级月考)下列语句,错误的是()
A.直径是弦
B.相等的圆心角所对的弧相等
C.弦的垂直平分线一定经过圆心
D.平分弧的半径垂直于弧所对的弦
【解答】解:直径是弦,A正确,不符合题意:
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,6错误,符合题意;
弦的垂直平分线一定经过圆心,C正确,不符合题意;
平分弧的半径垂直于弧所对的弦,。正确,不符合题意;
故选:B.
6.(2018秋•仪征市校级月考)如图,在RtAABC中,ZC=90°,Z4=28°,
以点。为圆心,6c为半径的圆分别交4B、AC于点。、点、E,则弧3。的
度数为()
【解答】解:・.・NC=90。,ZA=28°,
.•.4=62。,
・.・CB=CD,
ZCDB=ZB=62°f
ZBCD=180°-62°-62°=56°,
「•8。的度数为56。.
故选:C.
7.(2018秋•新罗区校级期中)如图所示,在G>O中,A,C,D,8是上四点,OC,
。力交他于点石,F,且下列结论:®OE=OF;②AC=CD=DB;③
CD//AB-,®AC=BD,其中正确的有()
A.4个B.3个C.2个D.1个
【解答】解:连接。4,OB,
•.OA=OB,
:.NOAB=/OBA.
OA=OB
在与AOB产中,<N0AE=40BF
AE=BF
:.AOAE=AOBF(SAS),
:.OE=OF,故①正确;
ZAOE=ZBOF,即Z4OC=N8OD,
..AC=BD,故④正确;
连结AD.
AC=BDf
:.ZBAD=ZADC,
:.CD//AB,故③正确;
ZBOD=NAOC不一定等于Z.COD,
.•.弧AC=弧班)不一定等于弧CD,
AC=不一定等于CD,
故②不正确.
正确的有3个,故选8.
知识点3圆周角定理及推论
圆周角:顶点在圆上,两边都和圆相交的角叫做圆周角.
圆周角的性质:
圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.
圆周角的推论:
①同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等.
②90。的圆周角所对的弦为直径;半圆或直径所对的圆周角为直角.
③如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.
④圆内接四边形的对角互补;外角等于它的内对角.
【典例】
1.如图,。。的半径为2,点A为。O上一点,半径OD_L弦BC于D,如果NBAC=60。,
那么BC的长是
【答案】2M
【解析】解:VZBAC=60°,.\ZBOC=120°,
OD_L弦BC,AZBOD=90°,
VZBOD=ZA=60°,.*.OD=—OB=L
2
••・BD=7OB2-OD2=V22-12=^'
ABC=2BD=2V3
2.如图所示,A、B、C、D四个点均在<30上,ZAOD=50°,AO/7DC,则NB的度数为
【答案】65°
【解析】解:如图连接AD,
B
VOA=OD,ZAOD=50°,
:.NADO」80。_/A0D=656
2
・.・AO〃DC,
AZODC=ZAOD=50°,
,ZADC=ZADO+ZODC=115°,
/.ZB=180°-ZADC=65°
【方法总结】
1、在圆中利用圆的半径处处相等,可迅速构造等腰三角形。
2、利用直径所对的圆周角是直角,可便捷构造直角三角形。
【随堂练习】
1.(2019•温州三模)如图,点A,B,C在。。上,若N4CB=112。,则Na=()
A^)B
A.68°B.112°C.136°D.134°
【解答】解:作标对的圆周角/ADS,如图,
•・•NAC8+NAOB=180°,
・・・NADB=180°-112°=68°,
JNAOB=2NAOB=2x68°=136°.
2.(2019•邵阳县模拟)已知。O的直径A8=8cm,点。在。。上,且N8OC=60。,则AC
的长为()
A.4cmB.4、C.5cmD.2.5cm
【解答】解:・;OB=OC,N8OC=60。,
•••△OBC是等边三角形,
・•・ZABC=60°,
TAB是直径,
/.NACB=90。,
JAC=ABsin60。=8x坐=4M.
故选:B.
3.(2019•广元)如图,ABfAC分别是。。的直径和弦,0£>J_AC于点Q,连接3。,BC,
且A8=10,4C=8,则的长为()
0
A.2加B.4C.2413D.4.8
【解答】解::AB为直径,
・•・NACB=90。,
.\BC=^AB2_AC2=^52_42=3,
ZODIAC,
••・CO=AO=X4C=4,
2
在RtZkCB。中,BD=rq2+62=2^/Tj.
故选:C.
4.(2019•吉林)如图,在。。中,彘所对的圆周角NAC8=50。,若P为标上一点,NAOP
=55°,则NPOB的度数为()
c
【解答】解:・・・NACB=50。,
:./A0B=2/ACB=100°,
■:NAOP=55。,
・・・NPOB=45。,
故选:B.
5.(2019•柳州)如图,4,B,C,。是。。上的点,则图中与NA相等的角是()
A.NBB.ZCC.NDEBD.ND
【解答】解:YNA与NO都是萩所对的圆周角
故选:D.
6.(2019•黔东南州一模)如图,4C为。。的直径,AB=OH.则NC的度数为()
0
A.30°B.45°C.60°D.90°
【解答】解:・・・8C为。。的直径,
,NBAC=90。,
■:AB=OB,
:.BC=2AB,
.*.sinC=AB=1
BC-2
AZC=30°.
故选:A.
7.(2019•宜昌)如图,点A,B,C均在。。上,当NO8C=40。时,NA的度数是()
A.50°B.55°C.60°D.65°
【解答】解:・・・OB=OC,
:./OCB=/OBC=^°,
:.ZBOC=180°-40°-40°=100°,
・•・NA=LNBOC=50。.
2
故选:A.
8.(2019•眉山)如图,。0的直径48垂直于弦CQ,垂足是点E,NCAO=22.5。,OC=6,
则CD的长为()
A.6^2B.3V2C.6D.12
【解答】解:•・•COLAB,
:・CE=DE,
ZBOC=2ZA=2x22.5°=45°,
•••△OCE为等腰直角三角形,
.・・。七=返。。=返x6=3加,
22
:,CD=2CE=6^2.
故选:A.
9.(2019•江西模拟)如图,BC为直径,NA8C=35。,则/。的度数为()
A
BC
【解答】解:•・•AB是直径,
/.ZBAC=90°,
■:ZABC=35°,
・•・ZACB=90°-35°=55°,
AZD=ZC=55O,
故选:C.
知识点4圆内接四边形的性质
1.圆内接四边形的对角互补
2.外角等于它的内对角
【典例】
1.如图,点A、B、C、D、E在。0上,且标的度数为50。,则/B+ND的度数为
C
【答案】155°
【解析】解:连接AB、DE,则/ABE二NADE,
c
•・•金为50。,/.ZABE=ZADE=25°,
•・•点A、B、C、D在。O上,
:.四边形ABCD是圆内接四边形,
.•.NABC+NADO180。,
:.ZABE+ZEBC+ZADC=180°,
・•・ZB+ZD=1800-ZABE=180°-25°=155°
2.如图,已知。O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F,若NE+NF=70。,
则NA的度数是
【答案】55°
【解析】解:•・•四边形ABCD为00的内接四边形,
AZA=ZBCF,
VZEBF=ZA+ZE,
HUZEBF=18O°-ZBCF-NF,
/.ZA+ZE=180°-ZBCF-ZF,
/.ZA+ZE=180-ZA-NF,
BP2ZA=180°-(ZE+ZF)=110°,
:.ZA=55°
3.如图,A、B、C、D四个点在同一个圆上,ZADC=90%AB=7cm,CD=5cm,AE=4cm,
CF=6cm,则阴影部分的面积为cm2.
r答案】3i
【解析】解:如图,连接AC.
,:ZADC=90°,
AAC是直径,
AZABC=90°,
ACD1AE,AB1CF,
・2
••SBJ=SAAEC+SAAFC—*AE<D+—>CF*AB=^x4x5+ix6x7=31(cm)
2222
【方法总结】
证明四点共圆的一般方法:
1、逆用同弦所对圆周角相等
2、逆用圆的内接四边形对角互补
【随堂练习】
I.(2018秋•滨江区期末)已知圆内接四边形ABCD中,NA:N8:NC=1:2:3,则NO的大
小是()
A.45°B.60°C.90°D.135°
【解答】解:•.•四边形A88为圆的内接四边形,
.\ZA:ZB:ZC:ZD=1:2:3:2,
而NB+ND=180°,
ZD=-xl80°=90°.
4
故选:C.
2.(2019•兰州)如图,四边形4?C£>内接于GX),若NA=40°,贝Ij/C=()
D
B.120cC.135°D.140*
【解答】解:•.•四边形A88内接于QO,
.•.NC+NA=180。,
二.ZC=180°-40°=14(r.
故选:D.
3.(2019•南昌一模)如图,A,B,C,。四个点均在G)O上,ZAOB=40°弦BC的长
等于半径,则NADC的度数等于()
A.50°B.49°C.48°D.47°
【解答】解:连接OC,
由题意得,OB=OC=BC,
「.△CMC是等边三角形,
/.ZBOC=60°,
.•ZAOB=40°,
/.ZAOC=100°,
由圆周角定理得,ZADC=-ZAOC=50°,
2
故选:A.
D
B
4.(2019•富顺县三模)四边形ABC。内接于圆,4、n3、NC、NO的度数比可能是(
)
A.1:3:2:4B.7:5:10:8C.13:1:5:17D.1:2:3:4
【解答】解:4、1+2W3+4,所以A选项不正确:
B、7+10工5+8,所以8选项不正确;
C、13+5=1+17,所以。选项正确;
。、1+3/2+4,所以。选项不正确.
故选:C.
5.(2018秋•定兴县期末)如图,四边形人4。力为圆内接四边形NA=85。,NB=105。,贝UNC
B.75°C.95°D.无法求
【解答】解:•.•四边形为圆内接四边形NA=85。,
ZC=180°-850=95°,
故选:C.
二.填空题(共3小题)
6.(2019•海淀区校级三模)如图,点A,B,C,。是0。上的四个点,点8是弧AC的
中点,如果NA"C=70°,那55。
【解答】解:•.•四边形ABCD内接于OO,
:.ZABC+ZADC=\80°t
.-.ZA£)C=180o-70o=110o.
•.•点8是弧AC的中点,
.♦.弧A8=弧AC.
:.ZADB=ZBDC.
..ZADB=-zL4DC=-xll0o=553.
22
故答案为55。.
7.(2019•铜仁市)如图,四边形45a>为0。的内接四边形,NA=1(XT,则NDCE的度数
为」00。_;
【解答】解:•.•四边形ABCD为OO的内接四边形,
/.ZDCE=ZA=100°,
故答案为:100。
8.(2019•台州)如图,AC是圆内接四边形A38的一条对角线,点。关于AC的对称点£
在边BC上,连接AE.若NA8C=64。,则44E的度数为_52。_.
【解答】解:•.•圆内接四边形
.•.ZD=180°-ZABC=116°,
•・•点。关于AC的对称点E在边BC上,
.•.ZD=ZAEC=116°,
.•.Zft4£=116o-64o=52o.
故答案为:52°.
三.解答题(共1小题)
9.(2018秋•中山区期末)如图,四边形ABCD内接于ZBOD=140°,求NBCD的度
数
O
'D
B
【解答】解:•.•N88=140。,
/.ZA=-ZBOD=70°,
2
.•.Z5CD=180°-ZA=110°.
综合运用:圆的有关性质
1.把球放在长方体纸盒内,球的一部分露出盒外,其截面如图所示,已知EF=CD=4cm,求
【解析】解:如图,设EF的中点M,作MN_LAD于点M,取MN上的球心0,连接OF,
/.ZC=ZD=90u,
・•・四边形CDMN是矩形,
/.MN=CD=4cm,
设OF=xcm,贝UON=OF,
AOM=MN-ON=(4-x)cm,MF=2cm,
在直角三角形OMF中,OM2+MF2=OF2
即:(4-x)2+22=X2
解得:x=2.5cm
答:球的半径为2.5cm。
2.如图,AB是半圆的直径,O是圆心,C是半圆上一点,D是弧AC中点,OD交弦AC于
E,连接BE,若AC=8,DE=2,求
(1)求半圆的半径长;
(2)BE的长度。
AOB
【解析】解:(1)设圆的半径为r,
•・・D是弧AC中点,
AOD1AC,AE=-AC=4,
在RSAOE中,OA2=OE2+AE2,即(r-2)2+42,
解得,r=5,即圆的半径长为5;
答:圆的半径长为5。
(2)如图,连接BC,
VAO=OB,AE=EC,
.*.BC=2OE=6,
VAB是半圆的直径,
.\ZACB=90u,
BE=7EC2+BC2=2^,
答:BE长为25。
3.如图,小明将一块三角板放在0O上,三角板的一直角边经过圆心O,测得AC=5cm,
AB=3cm,求。0的半径。
【解析】解:如图,连接0B,
设。O的半径为r,则RsAOB中,VAC=5cm,/.AO=(5-r)cm,ABTcm,OB=r,由勾
股定理得:OB2=OA2+AB2,即:股(5-r)2+32,解得:r=3.4cm4>
答:。。的半径为3.4cm。
4.如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=12,以BC为斜边在矩形外部作直角三角形BEC,
F为CD的中点,求EF的最大值。
【解析】解:由题意知NBEC=9(F,
・••点E在以BC为直径的00上,如图所示:
由图可知,连接F0并延长交。0于点E,,
此时E,F最长,
11E
・.・C0二±BC=6、FCJCD=2,
222
・•・OF=7oC2+CF2=^62+(y),
则E,F=OE,+OF=64--=—
22
答:EF的最大值为空
2。
5.如图,已知四边形ADBC是。0的内接四边形,AB是直径,AB=10cm,BC=8cm,CD
平分NACB.
(1)求AC与BD的长:
(2)求四边形ADBC的面积.
【解析】解:(1)VAB是直径,・・・NACB=90。,
AAC=VAB2-BC2=6(cm),
坐AB=5加
〈CD平分NACB,ABD=AD=(cm);
2
答:AC长6cm;BD长5Mcm°
(2)四边形ADBC的面积=ZkABC的面积+ZkADB的面积
=±x6x8+—X5V2X5V2=49(cm2).
22
答泗边形ADBC的面积为49cm2。
6.如图,A、P、B、C是00上四点,ZAPC=ZCPB=60°.
(1)判断4ABC的形状并证明你的结论;
(2)当点P位于什么位置时,四边形PB0A是菱形?并说明理由.
(3)求证:PA+PB=PC.
【解析】解:(1)AABC是等边三角形.
证明如下:在。0中,
•・•NBAC与NCPB是菽所对的圆周角,ZABC与NAPC是位所对的圆周角,
AZBAC=ZCPB,ZABC=ZAPC,
又「NAPC二NCPB=60。,
/.ZABC=ZBAC=60°,
/.△ABC为等边三角形;
(2)当点P位于忘中点时,四边形PBOA是菱形,
连接0P,如图1:
图1
VZAOB=2ZACB=120°,P是标的中点,
:.ZAOP=ZBOP=60°
XVOA=OP=OB,
/.△OAP和AOBP均为等边三角形,
AOA=AP=OB=PB,
,四边形PBOA是菱形;
(3)如图2,在PC上截取PD=AP,
图2
又・・・NAPC=60。,
/.AAPD是等边三角形,
AAD=AP=PD,ZADP=60°,HPZADC=120°.
又「ZAPB=ZAPC+ZBPC=120°.
.\ZADC=ZAPB,
SAAPB和AADC中,
'/APD二NADC
,NABP=NACP,
AP=AP
A△APBADC(AAS),
・・・BP;CD,
又:PD二AP,
,CP=BP+AP.
第7讲圆的有关性质
垂径定理
弧、弦、圆心角的关系
圆的有关性质
圆周角定理及推论
圆内接四边形的性质
知识点1垂径定理
①弦和直径:
(1)弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦.
(2)直径:经过圆心的弦叫做直径。直径等于半径的两倍。
②弧:
(1)弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧,用符号表示,以A,B为端点的的弧记
作AB,读作弧AB.
⑵半圆、优弧、劣弧:
圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做半圆。
大于半圆的弧叫做优弧,优弧大于180。用三个字母表示,如AC8.
小于半圆的弧叫做劣弧,如48。
(3)等弧:在同圆或者等圆中能够相互重合的弧是等弧,度数或者长度相等的弧不一定是
等弧。
③弦心距:
(1)圆心到弦的距离叫做弦心距。
(2)圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧
相等,所对的弦相等,所对的圆心角也相等,所对弦的弦心距也相等,四者有一个相等,则
其他三个都相等。圆心到弦的垂线段的长度称为这条弦的弦心距。
④圆的性质:
(1)旋转不变性:圆是旋转对称图形,绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合;圆是中心对
称图形,对称中心是圆心.
在同圆或等圆中,两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距,这四组量中的任意一组相等,
那么它所对应的其他各组分别相等.
(2)轴对称:圆是轴对称图形,直径所在的直线是它的对称轴。
⑤垂径定理及推论:
(1)垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
(2)平分弦(此弦不能是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
(3)弦的垂直平分线过圆心,且平分弦对的两条弧.
(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心,且垂直平分此弦.
(5)平行弦夹的弧相等.
⑥同心圆与等圆
(1)同心圆:圆心相同,半径不相等的两个圆叫做同心圆。如图一,半径为口与半径为「2
的。O叫做同心圆。
(2)等圆:圆心不同,半径相等的两个圆叫做等圆。如图二中的OOi与的半径都是
!*,它们是等圆。同圆或者等圆的半径相同。
(3)同圆是指同一个圆;等圆、同心圆是指两个及两个以上的圆。
【典例】
1.如图,圆0的弦GH,EF,CD,AB中最短的是
【解析】解:•・•AB是直径,AB1GH,
,圆0的弦GH,EF,CD,AB白最短的是GH
2.如图,一圆弧过方格的格点A、B、C,在方格中建立平面直角坐标系,使点A的坐标为
【答案】(-2,-1)
【解析】解:如图:分别作AC与AB的垂直平分线,相交于点0,
则点0即是该圆弧所在圆的圆心.
•・•点A的坐标为(-3,2),
,点0的坐标为(-2,-1)
3.据史料记载,雎水太平桥建于清嘉庆年间,已有200余年历史.桥身为一巨型单孔圆弧,
既没有用钢筋,也没有用水泥,全部由石块砌成,犹如一道彩虹横卧河面上,桥拱半径OC
为13m,河面宽AB为24m,则桥高CD为
【答案】18m
【解析】解:如图,连结0A,
VCD1AB,
,AD=BD=—AB=—x24=12,
22
在RQOAD中,OA=5,OD=7oA2-AD2=5,
ACD=OC+CD=13+5=18m.
4.把宽为2cm的刻度尺在圆。上移动,当刻度尺的一边EF与圆O相切于A时,另一边与
圆的两个交点处的度数恰好为“2”(C点)和“8”(B点)(单位:cm),求该圆的半径
【答案】3.25cm
【解析】解:如图,连接0A交BC于点E,
设OB=r,
VAB=8-2=6cm,OD±AB,
BE=—AB=—x6=3cm»
22
在RtABOE中,
OE2+BE2=OB2,即(r-2)2+9=r,
解得r=-^-=3.25cm.
4
【方法总结】
1、在遇有求弦长或半径长的问题时,常添加的辅助线是弦心距。
2、在运用垂径定理解决线段长度问题时,一般都与勾股定理更合运用。
【随堂练习】
1.(2019•利川市一模)如图,CD为直径,CD工AB于点F,A£_L8C于E,铉过
圆心O,且47=1.则四边形尸的面积为()
A/7R6cx/3nV3
A•VJ.-D・
248
【解答】解:•:8为直径,CDLAB,
AD=BD,
ZAOD=2NC,
\CD±AB,AEA.BC,
:.ZAFO=ZCEO=90°,
在AA尸O和ACEO中
ZAFO=Z.CEO
,ZAO尸=Z.COE
OA=OC
•..AAR7=ACE5A4S),
...NC=Z4,
/.ZAOD=2ZA,
•.ZAFO-9(r,
「.NA=30。,
•.AO=1,
AE_L8C,CD.AE过O,
-x/一3
.••由垂径定理得:BF=AF=—,BE2,
2
在
11113由
XX+XX2-
/.四边形BEOF的面积S=SgFo+S^Eo2-2-22-2-4
故选:C.
2.(2019•渝中区校级三模)如图,OO的半径8,弦他于点C,连结AO并延长交。。于
点七,连结EC.若AB=4,
A.3B.4C.5D.2.5
【解答】解:设桢的半径为,・
,OD±AB,
AC=BC=2,
在RtAAOC中,•.•NACO=90°,
..OA2=OC2+AC2,
/.r2=(r-l)2+22,
5
r=—
2
•°C=I
\OA=OE,AC=CB,
:.BE=2OC=3,
故选:A.
3.(2019•梧州)如图,在半径为而的0(9中,弦他与8交于点E,ZDEB=75°,AB=6,
AE=1,则CD的长是()
c.2vHD.4G
【解答】解:过点。作。/_LCZ)于点产,OG_LAB于G,连接08、OD,如图所示:
则DF=CF,AG=BG=-AB=3,
2
:.EG=AG-AE=2,
在RtABOG中,0G=\/0B2-BG2=>/13-9=2,
EG=OG,
.•.△EOG是等腰直角三角形,
/.ZOEG=45°,OE=y/2OG=2a,
•.ZD£B=75°,
..N。所=30。,
OF=-OE=42,
2
在R3ODF中,DF=40Dr-OF1=V13-2=V1T,
:.CD=2DF=2s/\\;
故选:C.
4.(2019•金华模拟)如图,以"(4,0)为圆心,3为半径的圆与4轴交于点A、B,P是0M
上异于A、B的一动点,直线Q4与总分别交),轴于点C、D,以CD为直径的0N交x轴
C.26D.不能确定
【解答】解:•.•M(4,0),AB=6,
.\AM=BM=3,
:.OA=\,
,CDA.EF,
:.OE=OF,设OE=OF=x,
•.♦NCm=ZAP8=90°,
..C,O,F,8四点共圆,
:.AP.AC=AO»AB,
•/AE*AF=AC.E4,
:.AE^AF=OA^AB,
.,.(x+l)(x-l)=lx6,
:.X2=7,
/.x=V7>
.\EF=2OE=2y/l,
故选:A.
二.填空题(共8小题)
5.(2019•剑阁县模拟)如图,MN为G)O的直径,MN=1O,AB为的弦,已知MZV_LA4
于点P,A3-8,现要作O。的另一条弦8,使得8-6且8/乂",则PC的长度为
【解答】解:当AB、CD在圆心O的两侧时,如图,连接04、OC.
•.AB//CD,MNLAB,
/.AP--AB-4,MN1CD,
2
:.CQ=^CD=3,
在RtAOAP中,Ol=JO42-A尸=3,
同理:00=4,
则PQ=OQ+OP=7,
・•・PC-JcQ'+户C'-"4'+7'-7s8
当AB、8在圆心。的同侧时,PQ=OQ-OP=\,
PC=QCG+PQ2=\/32+12=、亿;
故答案为:闻或加.
6.(2019•广元一模)如图,在平面直角坐标系中,G)O的半径为5,弦的长为6
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