人教版七年级数学下册同步讲义第07讲专题62立方根(学生版+解析)

专题6.2立方根

考点1：求一个数的立方根

考点2:平方根和立方根的综合应耐

专题6.2立方根考点3:利用立方根的性质电方程〕

考点4:立方根的实际应用

©目标导航

1.了解立方根的概念，会用根号表示数的立方根.

2.了解开方与乘方互为逆运算，会用立方运算求百以内整数（对应的负整数）的立方根.

搅:考点精讲

考点1:求一个数的立方根

典例：（2023春・河南周口•七年级校联考阶段练习）已知，^+（26-4）2=（）,求（a+〃）刈9的立方根.

方法或规律点拨

本题考查了算术平方根及完全平方式的非负性，有理数的乘方，立方根的概念，属于基础题，熟练掌握非

负性与相关运算法则是解题关键.

巩固练习

L（2023秋・河南南阳•八年级统考期中）下列说法不正确的是（）

A.25的平方根是±5B.-9是81的一个平方根

C.4的算术平方根是±2D.-27的立方根是-3

2.（2023秋•重庆万州•八年级重庆市万州新田中学校考期中）已知代数式-3炉'+、3与严是同类项，那

么〃的值为（）

A.-IB.1C.±1D.0

3.（2023春・河南周口•七年级校联考阶段练习）-8的立方根为：）

A.-2B.+2

C.2D.4

4.（2023秋•河北唐山•八年级统考期末）下列等式成立的是（）

A.庖=±9B.亚才=—3C.±736=6D.^（-2）2=-2

5.（2023秋•重庆九龙坡•七年级重庆实验外国语学校校考期木）下列说法不正确的是（）

A.工的平方根是土!B.-9是81的一个平方根

255

C.0.16的算术平方根是0.4D.-16的立方根是-4

6.（2023秋・四川内江•八年级统考期末）下列各式中运算正确的是（）

A.卜2『=-2B.-^27=-3C.如=±7D.^（-8）3=8

7.（2023秋•浙江温州•七年级统考期中）-8的立方根是（）

A.±2B.2C.-2D.没有意义

8.（2023春•湖北武汉•七年级武汉市武珞路中学校考阶段练习）已知一个正方体的体积扩大为原来的〃倍,

它的棱长变为原来的（）

A.茹i倍B.倍C.3〃倍D./倍

9.（2023秋・山东青岛•七年级统考期末）下列计算，错误的是（）

A.1何+（呵=0B.V-0.064=-0.4

C.^（-2/=-2D.J（±7）2=7

10.（2023秋“Il东枣庄•八年级滕州市西岗镇西岗中学校考期末）下列说法中，正确的个数是（）

①-8的立方根是-2；

②81的算术平方根是巴

③:的立方根是:；

④一需的平方根是4

A.1B.2C.3D.4

11.（2023秋•四川广元•七年级校考期中）若"=9,/=-8,则.

12.（2023秋•浙江温州•七年级统考期中）己知。是绝对值最小的数，则板-1=.

13.（2023秋・甘肃天水•八年级校考阶段练习）亚的立方根是.

14.（2023春・湖北武汉•七年级校考阶段练习）^I的立方根是.

考点2：平方根和立方根的综合应用

典例：（2023秋•江苏•八年级泰州行姜堰区第四中学校考周测）已知6。+34的立方根是4,5a+〃-2的算术

平方根是5,c是9的算术平方根，

（1）求a,b,。的值

⑵求3a"+c的平方根.

方法或规律点拨

本题考查平方根，算术平方根和立方根，熟练掌握平方根：一个数工的平方是大叫做。的平方根；算术

平方根：一个非负数％的平方是x叫做。的算术平方根；立方根：一个数x的立方是工叫做。的立方

根，是解题的关键.

巩固练习

1.（2023春•重庆渝中•七年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知27的立方根为〃+3,贝必+4的算术平方根

是（）

A.0B.3C.2D.4

2.（2023秋•浙江金华•七年级统考期中）已知。的算术平方根是123,b的立方根是-45.6,x的平方根是±1.23,

）’的立方根是456,则x和分别是（）

C.x=-^-,y=-1000/?D.x=-^―,y=1000/?

100100

Q

3.（2023秋•吉林长春•八年级吉林大学附属中学校考期末）若x是J比的算术平方根，》是-白的立方根,

则孙的值为.

4.[2023秋•山东威海•七年级校考阶段练习）如果。是100的算术平方根，力是125的立方根，的

平方根是.

5.（2023秋•湖南永州•八年级校考期中）已知2x+7y+l的算术平方根是6,8x+3y的立方根是5,则小的

平方根为.

6.（2023秋•吉林长春•八年级长春市第二实验中学校考期末）已知2〃-1的平方根是±3,加-8的立方根是2,

求〃+助的平方根

7.（2023秋•陕西汉中•八年级统考期中）一个正数的算术平方根为〃7+2,它的平方根为±（3〃-2）,求这个

正数的立方根.

8.（2023秋•陕西西安•八年级统考期中）已知2〃+1的立方根是-1,3/?+1的算术半万根是4,求的值.

9.（2023秋•山东枣庄•八年级校考阶段练习）己知2）+1的平方根为±3,3〃+2〃-1的立方根为2,求勿+2〃

的算术平方根.

10.（2023秋•广东佛山•八年级大沥中学校考阶段练习）已知2的平方等于〃，2〃-1是27的立方根，土7^工

表示3的平方根.

⑴求a,b,c的值；

⑵求多项式：卜4-劝一。2.

11.（2023秋•江苏苏州•八年级校考阶段练习）已知4是3。-2的算术平方根，2-15。-〃的立方根为-5.

⑴求。和〃的值；

（2）求力-〃-4的平方根.

12.（2023秋•江苏无锡•八年级无锡市天一实验学校校考期中）（1）已知5〃-1的算术平方根是2,9的立

方根是2,求〃、〃的值；

（2）已知一个正数x的平方根分别是-a+2和2〃-1,求x的值.

13.（2023・全国,七年级专题练习）本学期第六章《实数》中学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根

的部分内容：

平方根立方根

一般地，如果一个数x的平方等于a,即V=a,一般地，如果一个数X的立方等于“即丁=〃，

定

那么这个数工就叫做a的平方根（也叫做二次方那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方

义

根）.根）.

性一个正数有两个平方根，它们互为相反数：0的平正数的立方根是正数：。的立方根是0：负数的立

质方根是0：负数没有平方根.方根是负数.

【类比探索】（1）探索定义：填写下表

11681

X

类比平方根和立方根，给四次方根下定义：.

（2）探究性质：①1的四次方根是：②16的四次方根是：③0的四次方根是；④-625

（填“有"或"没有〃）四次方根.

类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：

【拓展应用】（1）±^256=______；（2）;（3）比较大小：G我.

考点3：利用立方根的性质解方程

典例：（2023春・贵州遵义•七年级校考阶段练习）解方程：

⑴;（叶3）3-9=0

⑵（1）2-1=15

方法或规律点拨

本题考查利用平方根和立方根的定义解方程，掌握相关定义是解题的关键.

巩固练习

1.（2023秋•山西运城•八年级校考阶段练习）求未知数x的值：5-3）、=-64.

2.（2023秋•江苏•八年级专题练习）求卜列各式中x的值：

⑴25/-64=0；

⑵（1）'=64.

3.（2023秋•福建三明•八年级统考期中）求x值

（1）（21）3=27

（2）（X-4『=25

4.（2023•全国•七年级专题练习）解方程:

⑴（31）2=4

（2）3（4+1）3+81=0

5.（2023秋辽宁阜新八年级校考阶段练习）求下列各式中的■

⑴（31）2-64=0

（2）27（x-3），+64=0

6.（2023秋•辽宁阜新•八年级校考阶段练习）解方程:

（1）3（』+1炉=75；

(2)Hx-2)3=125.

7.(2023秋•陕西西安•八年级西安益新中学校考阶段练习)解方程：

⑴16/=25

(2)3(X+1)3-108=0

(3)1(2A+3)3-54=0

8.(2023春•福建莆UI•七年级校考期中)解下列方程

(l)3(x-l)2=27.

(2)125(x+l/+64=0.

9.(2023春・湖北武汉•七年级武汉市武珞路中学校考阶段练习)解方程：

(1)2X2=18

(2)3(x+l)-+81=0

考点4：立方根的实际应用

典例：某地气象资料表明，当地雷雨持续的时间/(h)可以用公式尸=且来估计，其中d(km)是雷雨区

900

域的直径.

(1)如果雷雨区域的直径为6km,那么这场雷雨大约能持续多长时间？(结果精确到O.lh)

(2)如果一场雷雨持续了lh,那么这场雷雨区域的直径大约是多少？(结果精确到0.01km)

方法或规律点拨

本题主要考查了算术平方根，立方根的应用，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键.

巩固练习

1.(2023秋•吉林长春•八年级吉林大学附属中学校考阶段练习)一个正方体的体积是64cm1则它的棱长为

()

A.2cmB.4cmC.8cmD.16cm

2.(2023秋•海南省直辖县级单位•八年级校考期中)一个正方体的体积是64cm则它的表面枳是()

A.96cm2B.64cm4C.32cm2D.16cm2

3.(2023春・安徽六安•七年级统考期中)如果一个正方体的体积变为原来的64倍，那么它的棱长增加为原

来的多少倍？()

A.3B.4C.6D.8

4.（2023秋•全国•八年级专题练习）随着张吉怀高铁在2021年建成通车，昔口饱受交通制约的湘西州，也

迎来了便捷的现代化快速交通.在湘西州花垣县，还有一个现代化的交通大工程一一湘西机场正在建设.建

设机场多余的土方呈圆锥形，土方的底面直径为100米，高度为50米.现在用卡车将土方运送到15公里

外的垃圾池进行填平，已知垃圾池是规则的立方体，并且土方刚好填满垃圾池.请问垃圾池的底面边长大

约是多少米（7T取3）（）

A.50B.60C.70D.40

5.（2023秋•安徽宿州•八年级统考期中）正方体A的体积是正方体B的体积的27倍，那么正方体A的棱长是

正方体8的楂长的倍.

6.（2023秋•全国•七年级专题练习）底面积为108cm，高为19cm的圆柱形容渊内有若干水，水位高度为九，

现将一个边长为6cm的立方体铁块水平放入容器底部，立方体完全沉没入水中（如图甲）.再将一个边长为

acm的立方体铁块水平放在第一个立方体上面，若第二个立方体只有一半没入水中（如图乙）.此时水位高

度为人2，若坛-/»)=—cm,贝lja=cm.

图甲图乙

7.（2023春・山东德州•七年级统考期中）现有两个大小不等的正方体茶叶罐，大正方体茶叶罐的体枳为

lOCOcn?,小正方体茶口I•罐的体积为125cml将其叠放在一起放在地面上（如图），则这两个茶叶罐的最高

点A到地面的距离是cm.

8.（2023秋•安徽宿州•八年级统考期中）“魔方"（如图）是一种立方体形状的益智元具，它由三层完全相同

的小立方块组成，如果“魔方.〃的体积为216cm3,那么组成它的每个小立方块的棱长为多少？

9.（2023秋•陕西咸阳•八年级咸阳市实验中学校考阶段练习）在一个长、宽、高分别为8cm,4cm,2cm的

长方体容器中装满水，将容器中的水全部倒入一个正方体容器中，恰好倒满（两容器的厚度忽略不计），求

此正方体容器的棱长.

10.（2023秋•陕西咸阳•八年级统考期中）李叔叔将8个正方体魔方，放入到一个容积为512cm3的正方体纸

箱中，恰好填满.求这个魔方的棱长.

11.（2023春•黑龙江齐齐哈尔•七年级统考期中）王老师为班级图书角购买了四本同一型号的字典，这种字

典的长与宽相等.班长将这4本字典放入一个容积为512cm3的正方体礼盒里，恰好填满.求这一本字典的

厚度.

12.（2023秋•江苏•八年级专题练习）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座

的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱II而出：39.你知道他是怎么快速准确

地计算出来的吗？请研究解决下列问题：

⑴己知丁=10648,且x为整数.

Ax一定是一个两位数；

•・•10648的个位数字是8,

•••x的个位数字一定是；

划去10648后面的三位648得10,

V8=23<10<33=27>

・・・x的十位数字一定是；

:.

（2）/=614125,且y为整数，按照以上思考方法，请你求出y的值.

13.（2023・全国•九年级专题练习）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出-50653的立方根？他进

行了如下步骤：

①首先进行了估算：因为10'=1COO，1（X）3=1000000,所以150653是两位数;

②其次观察了立方数：户==8,33=27,43=64,53=125,63=216,73=343,83=512,93=729；猜想为0653

的个位数字是7：

③接着将50653往前移动3位小数点后约为50,因为3,=27,4?=64,所以师点的十位数字应为3,

F是猜想450653=37，验证得：50653的立方根是37；

④最后再依据“负数的立方根是负数"得到也看而=-37,同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个

数的立方根也互为相反数；反之也成立.

请你根据小明的方法和结论，完成下列问题：

(1)^-117649=

（2）若勘一2八+逐=0,则工=

（3）已知加二I+2=x,且而口与折石互为相反数，求xy的值.

羔能力提升

二？单选题（每题3分）

1.（2023秋•浙江丽水•七年级统考期末）下列运算正确的是（）

A.-2*12=34B.(-2)'=-8C.V16=±4D.-0=2

2.（2023春•云南昆明•七年级校考期中）下列计算中正确的是（）.

A.x/4=±2B.^/(-6)2=-6C."=一3D.

3.（2023秋•河南南阳•八年级统考期中）下列说法不正确的是（）

A.225的平方根是±15B.-27的立方根是-3

C.。的算术平方根是0D.125的立方根是±5

4.（2023秋•辽宁沈阳•八年级统考期中）小明利用计算器得到下表中的数据:

X88.599.510

X6472.258190.25100

1512614.125729857.3751000

那么川标在（）A.9〜9.5之间B.9.5〜10之间C.90~95之间D.95〜100之间

5.12023秋•浙江宁波•七年级浙江省郸州区宋诏桥中学校考期中：一个长、宽，高分另IJ为50cm、8cm、20cm

的长方体铁块锻造成一个立方体铁块，则锻造成的立方体铁块的校长是（）

A.20cmB.200cmC.40cmD.厢cm

6.（2023秋•辽宁沈阳•九年级校考阶段练习）类比平方根和立方根，我们定义〃次方根为:一般地，如果f=4,

那么x叫〃的〃次方根，其中〃>1,且〃是正整数.例如：因为（±3）4=81,所以±3叫81的四次方根，记

作：土呵=±3,因为（-2）5=-32,所以-2叫-32的五次方根，记作：而二-2,下列说法不正确的是（）

A.负数。没有偶数次方根B.任何实数。都有奇数次方根

C.皿'F=aD.阕萍=a

二、填空题（每题3分）

7.（2023秋•福建泉州•八年级校考期末）已知YP万与百》互为相反数，则x=.

8.（2023秋•江苏•八年级期中）如果〃=际，则W-I7=_.

9.（2023春•广东江门•七年级统考期末）若雨J*2.4825,正注24.825,那么％=.

10.（2023秋•浙江湖州•七年级统考期中）定义新运算：对任意实数。、b,都有〃b=a-b\例如，

3A4=3-4^=-13,那么玳24〃3=.

11.（2023春・河北保定•七年级统考期末）依据图中呈现的运算关系，

可知：a=；b=.

12.（2023春・广东江门•七年级江门市福泉奥林匹克学校校考阶段练习）已知小人为两个相连的整数，满足

acGllcb,则人的立方根为.

三、解答题（13题5分，14题6分，15题7分）

13.（2023春•河南周口•七年级校联考阶段练习）求下列各式中的x的值:

（l）|x+l）2-l=0；

⑵（2），-3y-1=0

14.(2023秋•浙江嘉兴•七年级校联考期中)计算

(l)x/12?-^(-6)2+7^64

⑵T+27d+4

15.(2023秋•陕西咸阳•八年级统考期中)已知%-1的算术平方根是1,的平方根是±2,。是-8的

立方根，求c的平方根.

专题6.2立方根

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考点1：求一个数的立方根

考点2:平方根和立方根的综合应呵

专题6.2立方根:考点3:利用立方根的性质已方©

3'考点4:立方根曲就

能力提升

0目标导航

1.了解立方根的概念，会用根号表示数的立方根.

2.了解开方与乘方互为逆运算，会用立方运算求百以内整数（对应的负整数）的立方根.

时考点精讲

考点1:求一个数的立方根

典例：（2023春•河南周口七年级校联考阶段练习）已知“^+（2〃-4尸=0,求（a+4的

立方根.

【答案】-1

【分析】根据算术平方根和完全平方的非负性求出。=-3,b=2,带入求值即可得到答案.

【详解】解：•・,疝3+（2匕-4尸=0,

二.•+3=0,2/?—4=0,

/.a=—3,b=2,

.♦.（"+与刈9=（一3+2）刈9=一1,

.•.（〃+的立方根为T.

方法或规律点拨

本题考杳了算术平方根及完全平方式的非负性,有理数的乘方,立方根的概念,属于基砒题，

熟练掌握非负性与相关运算法则是解题关键.

巩固练习

1.（2023秋•河南南阳•八年级统考期中）下列说法不正确的是（）

A.25的平方根是±5B.-9是81的一个平方根

C.4的算术平方根是±2D.-27的立方根是-3

【答案】C

【分析】根据平方根，算术平方根，立方根的定义进行判断便可.

【详解】解：A.25的平方根是±5,说法正确，选项不符合题意；

B.-9是81的一个平方根，说法正确，选项不符合题意；

C.4的算术平方根是2,不是±2,说法错误，选项符合题意；

D.-27的立方根是-3,说法正确，选项不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题考杳了平方根，算术平方根，立方根的定义，关键是熟记和正确理解这些概念.

2.（2023秋•重庆万州•八年级重庆市万州新田中学校考期中）已知代数式与

是同类项，那么标的值为（）

A.-1B.1C.±1D.0

【答案】A

【分析】根据代数式-3尸V与|fy,i是同类项，求出“〃的值，再计算标即可求

解.

【详解】•・•代数式-3/\，3与;/）尸-”是同类项，

/.m+1=2,m-n=3

/./n=1,n=-2

\lm+n=\/l-2=V-T=-1

故选A.

【点睛】本题考查同类项和方根的知识，解题的关键是根据同类项和立方根的定义进行求

解.

3.（2023春•河南周口•七年级校联考阶段练习）-8的立方根为（）

A.-2B.±2

C.2D.4

【答案】A

【分析】如果一个数”的立方等于。，那么x是〃的立方根，根据此定义求解即可.

【详解】•・・-2的立方等于-8,

•••-8的立方根等于-2,

故选：A.

【点睛】本题考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个

数的立方，由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根，注意一个数的立

方根与原数的性质符号相同，熟练掌握其性质是解决此题的关键.

4.（2023秋•河北唐山•八年级统考期末）下列等式成立的是（）

A.荷=±9B.^^27=-3C.±736=6D.^（-2）2=-2

【答案】B

【分析】根据算术平方根、平方根和立方根的定义求解即可.

【详解】解：A、781=9,此选项错误，不符合题意：

B、立方=-3,此选项正确，符合题意；

C、±病=±6,此选项错误，不符合题意；

D、“寻=2,此选项错浜，不符合题意；

故选：B.

【点睛】本题考查了算术平方根、平方根和立方根的定义,熟练掌握相关定义是解题的关键.

5.（2023秋•重庆九龙坡•七年级重庆实验外国语学校校考期末）下列说法不正确的是（）

A.4的平方根是土?B.-9是81的一个平方根

4JJ

C.0.16的算术平方根是0.4D.-16的立方根是T

【答案】D

【分析】根据平方根的意义、算术平方根的意义、立方根的意义，判断即可；

【详解】解：A.5的平方根是士（，选项正确，不符合题意；

B.-9是81的一个平方根，选项正确，不符合题意；

C.0.16的算术平方根是0.4,选项正确，不符合题意；

D.T6的立方根是-矫，选项错误，符合题意；

故选：D.

【点睛】本题主要考查的是平方根、算术平方根的性质，熟练掌握平方根、算术平方根的性

质是解题的关键.

G.（2023秋•四川内江•八年级统考期末）下列各式中运算正确的是（）

A.=_2B.-^27=-3C.x/49=±7D.%8）’=8

【答案】B

【分析】根据平方根、算术平方根及立方根定义计算即可解答.

【详解】解：A.«^=2,故本选项错误：

B.-炳=-3，故本选项正确；

C.5/49=7,故本选项错:吴；

D.y（-8），=-8,故本选项错误.

故选：B.

【点睛】本题考查了立方根，算术平方根及立方根定义，掌握平方根和算术平方根的区别与

联系是解答本题的关键.

7.（2023秋・浙江温州•七年级统考期中）-8的立方根是（）

A.±2B.2C.-2D.没有意义

【答案】C

【分析】根据立方根的定义求解即可.

【详解】解：・・・（一2）3=-8,

••・-8的立方根是一2,

故选：C.

【点睛】本题考查立方根，会利用立方根的定义求•个数的立方根是解答的关键.

8.（2023春・湖北武汉•七年级武汉市武珞路中学校考阶段练习）已知一个正方体的体积扩大

为原来的〃倍，它的棱长变为原来的（）

A.\/n倍B.倍C.3〃倍D.〃，倍

【答案】A

【分析】设正方体的原体积为1，则此时原棱长为1,再由扩大后的体积求出扩大后的棱长，

然后比较即可.

【详解】设正方体的原体枳为1,

根据正方体体积公式可知此时原棱长为1,

体积扩大为原来的〃倍后，体积为〃，

此时棱长为指，

棱长变为原来的牛=析，

故选A

【点睛】本题考查了正方体的体积公式和求一个数的立方根，解此类题时可先对一个未知量

进行假设，从而简化过程.

9.（2023秋•山东青岛•七年级统考期末）卜.列计算，错误的是（）

A.卜&）2+（呵=0B.V-0.064=-0.4

C.^2/=-2D.7^7=7

【答案】A

【分析】直接利用立方根以及算术平方根的定义计算得出答案.

【详解】解：A.（-&丫+（蚯?=2+2=4,原计算错误，故该选项符合题意；

B.V-0.064=-0.4,正确，故该选项不合题意；

C.加以=-2,正确，故该选项不合题意；

D.厢了=7,正确，故该选项不合题意；

故选：A.

【点睛】此题主要考查了立方根以及算术平方根的定义，正确掌握相关性质是解题关键.

10.（2023秋•山东枣庄•八年级滕州市西岗镇西岗中学校考期末）下列说法中，正确的个数

是（）

①-8的立方根是-2；

②81的算术平方根是巴

③g的立方根是?：

乙IJ

④-圭的平方根是士1.

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的定义逐个进行判断即可.

【详解】解：①-8的立方根是-2,因此①正确；

②81的算术平方根是9,因此②不正确：

③卷的立方根是;，因比③正确；

④-4没有平方根，因此④不正确；

因此正确的结论有：①③，共2个，

故选：B.

【点睛】本题考查平方根、算术平方根、立方根.掌握平方根、算术平方根、立方根的定义

是正确解答的前提.

11.（2023秋•四川广元•七年级校考期中）若M=9,"-8,则.

【答案】T或5##5或T

【分析】根据平方根和立方根的定义即可求出8的值，进一步计算即可.

【详解】解:因为。2=9,^=-8,

所以a=±3,b=-2,

所以a_0=_3_（_2）=_1或〃_人=3_（_2）=5.

故答案为：-1或5.

【点睛】此题主要考查了平方根和立方根，能够根据平方根和立方根的定义正确得出〃，b

的值是解题关键.

12.（2023秋•浙江温州•七年级统考期中）己知a是绝对值最小的数，则布-1=.

【答案】T

【分析】根据绝对值的意义得到a=0,再由。的立方根是。求解即可.

【详解】解：•・•绝对值最小的数是0,

/.4=0,

y/a-1=0-1=-1,

故答案为：-1.

【点睛】本题考查绝对值的意义、立方根，正确得出。值是解答的关键.

13.（2023秋•甘肃天水•八年级校考阶段练习）而■的立方根是.

【答案】2

【分析】利用开方运算，进行计算即可.

【详解】解:相=8.

・・・J记的立方根是:我=2;

故答案为：2.

【点睛】本题考查求一个数的立方根.熟练掌握开方运算，是解题的关键.注意先化简，再

计算.

14.（2023春•湖北武汉•七年级校考阶段练习）历的立方根是.

【答案】2

【分析】先求出病I，再根据立方根的性质，即可求解.

【详解】解：两1=8,8的立方根为2,

故答案为：2

【点睛:】此题考查了立方熟练掌握立方根的性质是解本题的美键.

考点2：平方根和立方根的综合应用

典例：（2023秋•江苏•八年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）已知6a+34的迂方根是4,

5。+8-2的算术平方根是5,。是9的算术平方根，

⑴求a,b,c的值

⑵求3a-力+c的平方根.

【答案】（l）a=5,b=2,c=3

⑵±4

【分析】（1）根据立方根的概念和算术平方根的概念进吁求解即可;

（2）先代值计算，再根据平方根的定义进行求解即可.

【详解】（1）解：V43=64,.-.64/4-34=64,/.«=5：

V52=25>；.5a+b-2=25,*/a=5,.*./>=2；

•••32=9,Ac=3；

（2）把：a=5,〃=2,。=3代入3〃一力+。得：

3x5-2+3=16,

・.・（±4『=16,

••・3a-/?+c的平方根是：±4.

方法或规律点拨

本题考查平方根，算术平方根和立方根，熟练掌握平方根：一个数x的平方是4，x叫做〃的

平方根；算术平方根：一个非负数十的平方是"，工叫做。的算术平方根；立方根：一个数x

的立方是。，x叫做"的立方根，是解题的关键.

巩固练习

1.（2023春•重庆渝中•七年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知27的立方根为。+3,则a+4

的算术平方根是（）

A.0B.3C.2D.4

【答案】C

【分析】根据立方根的定义求出。的值，再代入求出。+4的值，最后由算术平方根的定义进

行计算即可.

【详解】解：•・•27的立方根为。+3,

「.a+3=3,

解得4=0，

.\«+4=0+4=4,

.•.。+4的算术平方根为〃=2，

故选：C.

【点睛】本题考查平方根、算术平方根、立方根，理解平方根、算术平方根、立方根的定义

是正确解答的前提.

2.（2023秋•浙江金华•七年级统考期中）已知〃的算术平方根是12.3,〃的立方根是T5.6,

工的平方根是±1.23,5的立方根是456,则刀和丁分别是（）

B.x=\000a,y=

C.x=^y=-\OOObD.%=焉'=1000〃

1UO

【答案】C

【分析】利用算术平方根和平方根，立方根的性质，可得到。，〃的值，由此可得到X与。和

y与。的关系

【详解】解：・・・。的算术平方根是12.3,b的立方根是-45.6,x的平方根是±1.23,y的立

方根是456,

工4=12.32=l(X)xl.232,Z>=(-45.6)、

人=1.232,^=1000x45.63

.,.x=—,y=-1000/2.

100

故选：C.

【点睛】本题考查了算术平方根和平方根，立方根的性质，得出x与〃和V与人的关系是解

题的关键.

3.(2023秋•吉林长春•八年级吉林大学附属中学校考期末)若x是J话的算术平方根，了是

Q

一行的立方根，则“寸的值为.

4I

【答案】一耳##一1,

JD

2

【分析】根据算术平方根的运算求得x=2；根据M方根运算求得进而得出结果.

【详解】解：X是标即4的算术平方根，

x=>/4=2，

y是-2的立方根，

27

…信=9

4

故答案为：--.

【点睛】本题考查平方根与立方根运算，读懂题意，准确表示出x与y值是解决问题的关键.

4.(2023秋•山东威海•七年级校考阶段练习)如果。是100的算术平方根，。是125的立方

根，根2+4〃+1的平方根是.

【答案】土而

【分析】根据题意，求得。、b,再根据算术平方根和平方根求解即可.

【详解】解：・・Z是100的算术平方根，人为125的立方根，

/.^=10,。=5,

+40+1=⑵，

•••x/a2+4/?4-1=y]\1\=11*

工yla2+4b+\的平方根为±JFT.

故答案为：±JF7.

【点睛】此题考查了平方根、算术平方根以及立方根的求解，解题的关键是熟练掌握平方根、

算术平方根以及立方根的运算.

5.（2023秋•湖南永州•八年级校考期中）已知2X+7），+1的算术平方根是6,8x+3y的立方

根是5,则工+），的平方根为.

【答案】±4

【分析】根据2x+7y+l的算术平方根是6,8x+3），的立方根是5,可得方程组

产+?门二氏①，①+②再化简得到AV的值,然后求平方根即可得到答案.

8x+3.y=125②

【详解】解：・・・2x+7y+l的算术平方根是6,8x+3y的立方根是5

.2x+7y+l=36©

•18x+3y=125②

・•・①+②：10.r+10y=160

.・.x+y=16

・・.x+y的平方根为±4

故答案为：±4.

【点睛】本题考查了平方根和立方根的定义.平方根和寸.方根是解题关键.易错点：正数有

两个平方根，不能只写一个平方根.

6.（2023秋•吉林长春•八年级长春市第二实验中学校考期末）已知2。-1的平方根是±3,

为-6的立方根是2,求a+%的平方根

【答案】±3

【分析】根据已知得出2〃-1=9,2a-b=8,求出〃=5,〃=2,求出“+2b的值，最后求

出〃+28的平方根即可.

【详解】解：•.的千方根是±3,的立方根是2,

「.2a—1=9,2a—b=S.

tz—5>Z?—2,

二。+2/?=5+4=9,

即。+2b的平方根是±3.

【点睛】本题考查了平方根，立方根的应用，掌握平方根与立方根的定义是解题的关键.

7.（2023秋•陕西汉中•八年级统考期中）一个正数的算术平方根为〃?+2,它的平方根为

±(3〃z+2),求这个正数的立方根.

【答案】这个正数的立方根为/或1.

【分析】分情况讨论：①当〃什2=3〃?+2时，②当帆+2=-(3加+2)时，求出川的值，即

可求出这个正数及其立方根.

【详解】解：根据题意，得

〃1+2是3〃?+2与一(3/〃+2)两数中的•个.

①当6+2=3/1/+2时，解得m=Of则〃?+2=2,

所以这个正数为4,它的立方根为亚；

②当〃?+2=-(3/〃+2),解得〃7=-1,则〃?+2=1,

所以这个正数为1,它的立方根为1.

综上可知，这个正数的立方根为次或L

【点睛】本题考查算术平方根，平方根，立方根，解题的关键是熟练掌握算术平方根，平方

根，立方根.

8.(2023秋•陕西西安•八年级统考期中)已知2a+1的立方根是-1,38+1的算术平方根是4,

求的值.

【答案】4

【分析】根据立方根与算术平方根的定义求出。，8的值即可.

【详解】解：・・・2a+l的立方根是T,幼+1的算术平方根是4,

2/74-1=-1»3/7+1=42>

:.a=-\,b=5,

:.a+b=-\+5=4.

【点睛】本题考查的是立方根与算术平方根，熟知立方根与算术平方根的定义是解题的关键.

9.(2023秋•山东枣庄•八年级校考阶段练习)已知2〃+1的平方根为±3,勿+助-1的立方

根为2,求3〃+2〃的算术平方根.

【答案】3

【分析】先根据平方根和立方根的定义列出二元一次方程组，然后求得〃、。的值，最后代

入求3a+2〃的算术平方根即可.

【详解】解：由题意得：

2分1=9解得"二3

3。+2〃-1=8

b=4

贝lJ34+2〃=3x'+2x4=9,79=3,

3

即功+筋的算术平方根为3.

【点睛】本题考查了平方根、立方根的定义，灵活运用平方根、立方根的定义是解答本题的

关键.

10.（2023秋・广东佛山•八年级大沥中学校考阶段练习）三知2的平方等于〃，2〃-1是27

的立方根，表示3的平方根.

（1）求a,b,。的值；

⑵求多项式：

【答案】（l）a=4,"=2,c=5；

（2）-25.

【分析】（1）根据平方根和立方根的性质，列式子，求解即可；

（2）将%b，c•的值代入求解即可.

【详解】（1）解：由2的平方等于“，沙-1是27的立方根，±7?二表示3的平方根可得

4=2=4，28-1=炳=3，c-2=3

解得a=4,b=2,c=5：

（2）解：将a=4,b=2,c=5代入卜”卜给一。2,可得

【点睛】此题考查了平方根、立方根的性质以及有理数的有关运算，解题的关键是理解平方

根、立方根的性质，正确求得〃，匕，c的值.

11.（2023秋•江苏苏州•八年级校考阶段练习）已知4是3〃-2的算术平方根，的

立方根为-5.

⑴求々和〃的值；

（2）求沙-〃-4的平方根.

【答案】（1）。=6,b=37.

（2）±8

【分析】（1）根据算术平方根、立方根的定义，得到3a-2=16,2-15。-〃=-125,求出。

和力的值即可;

（2）把〃和b的值代入代数式求出代数式的值，根据平方根的定义即可解答.

【详解】（1）解：:4是3。-2的算术平方根，

••・3a-2=16,

a=6,

•・・2-15的立方根为-5,

/.2-15«-/?=-125,

A2-15x6-/?=-125,

：.b=31.

（2）解：力-1-4=2x37-6-4=64,

64的平方根为±8,

・・・27?-4-4的平方根为±8.

【点睛】此题主要考查了平方根、算术平方根、立方根，解题关键是熟记平方根、算术平方

根、立方根的定义.

12.（2023秋•江苏无锡•八年级无锡市天一实验学校校考期中）（1）已知5〃-1的算术平方根

是2,〃-9的立方根是2,求人力的值；

（2）已知一个正数x的平方根分别是F+2和2a-1,求x的值.

【答案】（1）a=\,b=17；（2）x的值为9.

【分析】（1）利用算术平方根和立方根的概念即可求得〃和人的值；

（2）根据一个正数有两个平方根且它们互为相反数，列方程求解得到。的值，即可确定正

数x的值.

【详解】解：（1）由题意可得：

5«-1=4,〃-9=8,

解得：a=LZ?=17；

（2）由题意可得：

—ci+2+2a—1=0>

解得：a=-l,

2

X=（1+2）=9

•••x的值为9.

【点睛】本题考查算术平方根和立方根，理解算术平方根，平方根，立方根的概念列出相应

的方程是解题关键.

13.（2023・全国•七年级专题练习）本学期第六章《实数》中学习了平方根和立方根，下表是

平方根和立方根的部分内容：

平方根立方根

一般地，如果一个数X的平方等于m即一般地，如果一个数X的立方等于。即

定

-=〃，那么这个数x就叫做〃的平方根丁=4,那么这个数X就叫做4的立方根

义

（也叫做二次方根）.（也叫做三次方根）.

性一个正数有两个平方根，它们互为相反正数的立方根是正数；0的立方根是0；

质数：0的平方根是0：负数没有平方根.负数的立方根是负数.

【类比探索】（1）探索定义：填写下表

11681

类比平方根和立方根，给四次方根下定义：.

(2)探究性质：①1的四次方根是:②16的四次方根是：③。的四次方根

是;④-625(填"有"或"没有")四次方杈.

类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：；

【拓展应用】(1)±^256=：⑵J',)=；⑶比较大小：G布.

【答案】【类比探索】(1)依次为：±1,±2,±3：一般地，如果一个数x的四次方等于“，

即x4=a,那么这个数工就叫做a的四次方根；(2)①土1：②±2；③0；④没有；一个正

数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根；【拓展应用】

2

(1)±4：(2)-；(3)>.

【分析】类比探索：(1)类比平方根和立方根给出四次方根的定义，并进行计算填表；

(2)根据四次方根的定义进行计算填空，归纳出四次方根的性质即可，

拓展应川：根据定义求一个数的四次方根，通过将数进行四次方以后进行比较大小即可.

【详解】类比探索

(1)(±1)4=1,(±2)4=16,(±3)=81；表格中数据依次为:±1,±2,±3；

类比平方根和立方根的定义可得：一般地，如果一个数X的四次方等于小即,/=.,那么

这个数x就叫做。的四次方根；

(2)①1的四次方根是：±1；②16的四次方根：±2；③。的四次方根是：0；④-625没

有四次方根；

类比平方根和立方根的性质可得：一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；。的四次方

根是0;负数没有四次方根；

拓展应用

(1)±^256=±4；(2)=-|：

(3)V(V3)4=9,(^8)4=8,9>8,:痴.

【点睛】本题考查类比探究类问题.类比平方根和立方根得出四次方根的定义和性质是解题

的关键.

考点3：利用立方根的性质解方程

典例：(2023春・贵州遵义•七年级校考阶段练习)解方程:

⑴;（叶3）3-9=0

（2）（X-1）2-1=15

【答案】（l）x=O;

（2）x=5或-3.

【分析】（1）先左右两边同时乘以3,再根据立方根的定义开立方得到在3=3,从而得解;

（2）先将移项合并数字得（X-炉=16,再根据平方根的定义开方得到x-l=±4,从