2021年全国甲卷文数真题试卷

2021年普通高等学校招生全国统一考试试题数学(甲卷·文科)1．设集合M＝{1，A．{7，9} B．{5，7，9}2．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：00收入/万元EQ\F(频率,组距)2.53.54.55.56.57.58.59.510.511.512.513.514.50.020.040.140.100.20根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是()A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间3．己知(1-i)2A．-1-32i B．-1＋324．下列函数中是增函数的为()A．f(x)＝-x B．f5．点(3，0)到双曲线xA．95 B．85 C．656．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lgV．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(10A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.67．在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G．该正方体截去三棱锥A． B． C． D．8．在△ABC中，已知B＝120A．1 B．2 C．5 D．39．记Sn为等比数列an的前n项和．若S2A．7 B．8 C．9 D．1010．将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为()A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.811．若α∈0A．1515 B．55 C．5312．设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1＋x)＝f－x)．若f-A．-53 B．-13 C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若向量a，b满足|a|＝3，|a－b|＝5，a⋅b＝1，则|b14．己知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为_______．15．已知函数f(x)＝2cos⁡(16．已知F1，F2为椭圆C：x216＋y24＝

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共60分。17．甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：一级品二级品合计甲机床15050200乙机床12080200合计270130400(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828(2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？附：K218．记Sn为an的前n项和，已知an>0，19．已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1(1)求三棱锥F－EBC的体积；(2)已知D为棱A1B1

20．设函数f(x)＝(1)讨论f(x)的单调性；(2)若y＝f(x)的图像与x轴没有公共点，求a的取值范围．21．抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：x＝1交C于P，Q两点，且OP⊥OQ．已知点M(2，(1)求C，⊙M(2)设A1，A2，A3是C上的三个点，直线A1A(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝(1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点A的直角坐标为(1，0)，M为C上的动点，点P满足AP＝2AM，写出

23．[选修4－5：不等式选讲]已知函数f((1)画出y＝f(x)(2)若f(x＋2021年高考文数真题试卷（全国甲卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（共12题；共45分）1.设集合M＝{1，3，A.

{7，9}

B.

{5，7，9}

C.

{3【答案】B【考点】交集及其运算【解析】【解答】解：由2x>7，得x>72，故N=x|x>72，

则根据交集的定义易得【分析】根据交集的定义求解即可.2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：

根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（

）A.

该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%

B.

该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%

C.

估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元

D.

估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间【答案】C【考点】频率分布直方图【解析】【解答】解：对于A，由频率分布直方图得该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为0.02+0.04=6%，故A正确；

对于B，由频率分布直方图得该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为0.02×3+0.04=10%，故B正确；

对于D，由频率分布直方图得该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间比率估计为0.10+0.14+0.20×2=0.64>0.5，故D正确

故不正确的是C

故答案为：C

【分析】根据频率分布直方图直接求解即可.3.已知（1-i）2z=3+2A.

-1-32i

B.

-1+32i

C.

-32【答案】B【考点】复数代数形式的混合运算【解析】【解答】解：z=3+2i1-i2=3+2i-4.下列函数中是增函数的为(

)A.

f(x)＝-x

B.

f(x)＝(23)x

【答案】D【考点】函数的单调性及单调区间，函数单调性的判断与证明【解析】【解答】解：对于A，考察函数f(x)=kx，易知当x<0时，y=kx单调递减，故A错误；

对于B，考察函数f(x)=ax，易知当0<a<1时，f(x)=ax单调递减，故B错误；

对于C，考察函数f(x)=x2，易知当x<0时，f(x)=x2单调递减，当x>0时，f(x)=x2单调递增，故C错误；对于D，考察函数fx=x13，易知f(x)=ax单调递增，故D正确.

故答案为：5.点(3，0)到双曲线x2A.

95

B.

85

C.

6【答案】A【考点】点到直线的距离公式，双曲线的简单性质【解析】【解答】解：不妨取双曲线的一条渐近线为：y=34x，即3x-4y=0，

则所求距离为d=3【分析】根据双曲线的几何性质，结合点到直线的距离公式求解即可.6.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记数法的数据V满足L=5+lgV。已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记数法的数据约为（

）（1010≈1.259）A.

1.5

B.

1.2

C.

0.8

D.

0.6【答案】C【考点】指数式与对数式的互化，对数的运算性质【解析】【解答】解：由题意得，将L=4.9代入l=5+lgV，得lgV=-0.1=-110，

所以V=10-110=17.在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E,F,G.该正方体截去三棱锥A-EFG后，所得多面体的三视图中，正试图如右图所示，则相应的侧视图是（

）A.

B.

C.

D.

【答案】D【考点】简单空间图形的三视图，由三视图还原实物图【解析】【解答】解：由题意得正方体如图所示，

则侧视图是

故答案为：D

【分析】根据三视图的画法求解即可.8.在△ABC中，已知B＝120∘，A.

1

B.

2

C.

5

D.

3【答案】D【考点】余弦定理，余弦定理的应用【解析】【解答】解：由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2·AB·BC·cos120°，

即19=4+BC2+2BC

即BC2+2BC-15=0

解得BC=3或BC=-5(舍去)

故BC=3

故答案为：D【分析】由余弦定理直接求解即可.9.记Sn为等比数列{an}的前n项和．若S2A.

7

B.

8

C.

9

D.

10【答案】A【考点】等比数列的性质【解析】【解答】由题意知S2,S4-S2,S6-S4成等比数列，

即4,2，S6-6成等比数列，

则4×（S6-6）=22解得S6=7

故答案为：A

【分析】根据等比数列的性质直接求解即可.10.将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为(

)A.

0.3

B.

0.5

C.

0.6

D.

0.8【答案】C【考点】古典概型及其概率计算公式，排列、组合及简单计数问题，排列与组合的综合【解析】【解答】解：3个1和2个0随机排成一行一共有以下10种排法：

11100,11010,11001,10110,10101,10011,01110,01101,01011,00111其中2个0不相邻共有6种，

所以所求概率为P=610=0.6

11.若α∈（0,π2),tan2α=cosα2A.

1515

B.

55

C.

53

【答案】A【考点】二倍角的正弦公式，二倍角的余弦公式，同角三角函数间的基本关系，同角三角函数基本关系的运用【解析】【解答】解：由题意得tan2α=sin2αcos2α=2sinαcosα1-2sin2α=cosα2-sinα

，

则2sinα2-sinα=112.设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1＋x)＝f（-x）．若f(-A.

-53

B.

-13

C.

13

【答案】C【考点】奇函数，函数奇偶性的性质【解析】【解答】解：因为f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1＋x)＝f－x)，

所以f53=f1+2【分析】根据奇函数的性质，结合题设中函数的性质求解即可.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。（共4题；共17分）13.若向量a，b满足|a|＝3，|a－b|＝5，a⋅b＝1，则|b|【答案】32【考点】向量的模，向量的线性运算性质及几何意义【解析】【解答】解：由a→+b→2=a→+b→2得a→2-【分析】根据向量的运算法则求解即可.14.己知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为________．【答案】39π【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【解析】【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h，

则底面面积S=πr2=36π，

则由V=13Sh=13×36π×h=30π得h【分析】根据圆锥的特征，结合圆锥的体积与侧面积公式求解即可.15.已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)的部分图像如图所示，则【答案】-3【考点】余弦函数的图象【解析】【解答】解：由题意得34T=13π12-π3=3π4，则T=π，ω=2，所以fx=2cos2x+φ,

将点13π12，2代入得2cos2×13π12+φ=2，则13π6+φ=2π+2kπ【分析】根据余弦函数的图象与性质求解即可.16.已知F1，F2为椭圆C：x216+y24=1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点堆成的两点，且|PQ|=|F【答案】8【考点】椭圆的定义，三角形中的几何计算【解析】【解答】解：由|PQ|=|F1F2|，得|OP|=12|F1F2|，所以PF1⊥PF2，

所以SPF1QF2三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（共5题；共40分）17.

甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：一级品二级品合计甲机床15050200乙机床12080200合计270130400（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?附：K

【答案】（1）（1）由题意可知：甲机床生产的产品中一级品的频率是：150200乙机床生产的产品中一级品的频率是：120

（2）由于K2所以，有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异。【考点】频率分布表，独立性检验，独立性检验的应用【解析】【分析】（1）根据频率=频数/总体直接求解即可；（2）根据独立性检验的方法直接求解即可.18.记Sn为{an}的前n项和，已知an>0，a2＝3【答案】∵数列{Sn}是等差数列，设公差为d∴Sn=a1∴Sn=a1∴当n≥2时，当n=1时，2a1×1-a∴{an}的通项公式为an∴a∴{an}【考点】数列的概念及简单表示法，等差数列的通项公式，等差数列的前n项和【解析】【分析】由数列{Sn}是等差数列，及

an>0，a2＝3a1，即可得到等差数列{Sn}的公差d=a1,从而得到Sn

19.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形．AB＝BC＝（1）求三棱锥F－EBC的体积；（2）已知D为棱A1B1上的点，证明：BF【答案】（1）如图所示，连结AF，由题意可得：BF=BC由于AB⊥BB1，BC⊥AB，BB1∩BC=B，故AB⊥而BF⊂平面BCC1B1从而有AF=AB从而AC=AF则AB2+BC2=AS△BCE=12

（2）由(1)的结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体ABCM-A1B1C1M1，如图所示，取棱AM,BC的中点正方形BCC1B1中，G,F为中点，则又BF⊥A故BF⊥平面A1B1GH，而DE⊂从而BF⊥DE【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面垂直的判定【解析】【分析】（１）连结AF，通过计算得出AC线段的长度，得到AB2+BC2=AC2,∴AB⊥BC，

进一步可以计算出F－EBC的体积；

（２）由(1)的结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体，取棱AM,BC的中点H,G，连结A1H,HG,GB120.设函数f(x)＝a2x2（1）讨论f(x)的单调性；（2）若y＝f(x)的图像与x轴没有公共点，求a的取值范围．【答案】（1）函数的定义域为(0,+∞)又f'(x)=因为a>0,x>0，故2ax+3>0，当0<x<1a时，f'(x)<0；当x>1a所以f(x)的减区间为(0,1a)，增区间为

（2）因为f(1)=a2+a+1>0且y=f(x)的图与x所以y=f(x)的图象在x轴的上方，由（1）中函数的单调性可得f(x)min故3+3lna>0即【考点】函数单调性的性质，函数的单调性与导数的关系【解析】【分析】（１）先明确函数的定义域，先对函数求导，然后根据a的取值，讨论导数年的正负，来确定函数的单调区间；

（２）首先注意到f(1)=a2+a+1>0且y=f(x)的图与x轴没有公共点这一特点，表明y=f(x)的图象在x轴的上方，求函数f(x)21.抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点在x轴上，直线L：x=1交C于P，Q两点，且OP丄OQ.已知点M（2,0）,且⊙M与L相切，（1）求⊙M的方程；（2）设A1,A2,A3,是C上的三个点,直线A1A2，A1A3均与⊙M相切，判断A2A3与⊙M的位置关系，并说明理由.【答案】（1）依题意设抛物线C:y2=2px(p>0),P(1,∵OP⊥所以抛物线C的方程为y2=xM(0,2),⊙M与x=1相切，所以半径为1所以⊙M的方程为(x-

（2）设A若A1A2斜率不存在，则A1A2方程为x=1若A1A2方程为x=1，根据对称性不妨设则过A1与圆M相切的另一条直线方程为y=1此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在A3若A1A2方程为x=3则过A1与圆M相切的直线A1A3为又kA1x3=0,A3(0,0)，此时直线A1所以直线A2A3与圆若直线A1A则kA1所以直线A1A2方程为整理得x-(同理直线A1A3的方程为直线A2A3的方程为∵A1A2与圆M整理得(y1A1A3与圆M所以y2,y3为方程y2+M到直线A2A|2+=|y所以直线A2A3与圆综上若直线A1A2,A1A3与圆M相切，则直线【考点】平面向量的综合题，圆的标准方程，点的极坐标和直角坐标的互化，圆的参数方程【解析】【分析】（1）先设抛物线的方程C:y2=2px(p>0),由对称性，可知P(1,y0),Q(1,-y0)，进而由OP⊥OQ,可以很容易求出抛物线的P值，进而写出抛物线的方程；（２）先设出A1(x1y1),A2(x2,y四、[选修4－4：坐标系与参数方程]。（共1题；共10分）22.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=22cosθ.（1）将C