2021年全国甲卷理数真题试卷(全国甲卷)

…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………2021年高考理数真题试卷（全国甲卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（共12题；共60分）1.设集合M=｛x|0＜x＜4｝，N=｛x|QUOTE1313≤x≤5｝，则M∩N=（

）A.

｛x|0＜x≤QUOTE1313｝

B.

｛x|QUOTE1313≤x＜4｝

C.

｛x|4≤x＜5｝

D.

｛x|0＜x≤5｝2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：

根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（

）A.

该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%

B.

该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%

C.

估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元

D.

估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间3.已知QUOTE，则z=（

）A.

-1-QUOTE3232i

B.

-1+QUOTE3232i

C.

-QUOTE3232+i

D.

-QUOTE3232-i4.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记数法的数据V满足L=5+lgV。已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记数法的数据约为（

）（QUOTE10101010≈1.259）A.

1.5

B.

1.2

C.

0.8

D.

0.65.已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2=60°，|PF1|=3|PF2|，则C的离心率为（

）A.

QUOTE7272

B.

QUOTE132132

C.

QUOTE77

D.

QUOTE13136.在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E,F,G.该正方体截去三棱锥A-EFG后，所得多面体的三视图中，正试图如右图所示，则相应的侧视图是（

）A.

B.

C.

D.

7.等比数列｛an｝的公比为q，前n项和为Sn，设甲：q>0，乙:｛Sn｝是递増数列，则（

）A.

甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.

甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.

甲是乙的充要条件

D.

甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8.2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m）,三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.右图是三角高程测量法的一个示意图，现有以A，B，C三点，且A，B,C在同一水平而上的投影A’,B’，C'满足QUOTE.由c点测得B点的仰角为15°，曲，QUOTE与QUOTE的差为100:由B点测得A点的仰角为45°，则A,C两点到水平面QUOTE的高度差QUOTE约为（

）QUOTEA.

346

B.

373

C.

446

D.

4739.若QUOTE,QUOTE，则QUOTE（

）A.

QUOTE15151515

B.

QUOTE5555

C.

QUOTE5353

D.

QUOTE15315310.将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（

）A.

QUOTE1313

B.

QUOTE2525

C.

QUOTE2323

D.

QUOTE454511.已知A,B,C是半径为1的求O的球面上的三个点，且AC⊥BC,AC=BC=1，则三棱锥O-ABC的体积为（

）A.

QUOTE212212

B.

QUOTE312312

C.

QUOTE2424

D.

QUOTE343412.设函数f(x)的定义域为R，f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当QUOTE时，QUOTEf(x)=ax2+bf(x)=ax2+b.若QUOTEf(0)+f(3)=6f(0)+f(3)=6,则QUOTEf(A.

QUOTE

B.

QUOTE

C.

QUOTE7474

D.

QUOTE5252二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。（共4题；共20分）13.曲线QUOTE在点（-1，-3）处的切线方程为________。14.已知向量a=(3,1)，b=(1,0)，QUOTEc=a+kbc=a+kb，若15.已知F1，F2为椭圆C：QUOTEx216+y24=1x216+y24=1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点堆成的两点，且QUOTE|PQ|=|F116.已知函数QUOTE的部分图像如图所示，则满足条件QUOTE的最小正整数x为________。三、解答題：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（共5题；共60分）17.

甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：一级品二级品合计甲机床15050200乙机床12080200合计270130400（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?附：QUOTE

18.已知数列{an｝的各项均为正数，记Sn为{an｝的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①数列{an｝是等差数列：②数列{QUOTESnSn｝是等差数列；③a2=3a1注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.19.已知直三棱柱ABC-A1B1C1.中，侧面AA1B1B为正方形，AB=BC=2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF丄A1B1.​​（1）

证明：BF⊥DE；（2）当为B1D何值时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？20.抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点在x轴上，直线L：x=1交C于P，Q两点，且OP丄OQ.已知点M（2,0）,且QUOTEM与L相切，（1）求QUOTEM的方程；（2）设A1,A2,A3,是C上的三个点,直线A1A2，A1A3均与QUOTEM相切，判断A2A3与QUOTEM的位置关系，并说明理由.21.己知a＞0且a≠1，函数f（x）=QUOTExaaxxaax（x＞（1）当a=2时，求f（x）的单调区间；（2）若曲线y=f（x）与直线y=1有且仅有两个交点，求a的取值范围.四、选修4一4：坐标系与参数方程］（共1题；共10分）22.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为QUOTE=2QUOTE22cosθ.（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点A的直角坐标为（1,0）,M为C上的动点，点P满足QUOTE

=QUOTE,写出P的轨迹C1的参数方程，并判断C与C1是否有公共点.五、[选修4一5：不等式选讲]（共1题；共10分）23.已知函数f（x）=|x-2|，g（x）=|2x+3|-|2x-1|.​​（1）画出f（x）和y=g（x）的图像；（2）若f（x+a）≥g（x）,求a的取值范围.

答案解析部分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.【答案】B【考点】交集及其运算【解析】【解答】解：M∩N即求集合M,N的公共元素，所以M∩N={x|QUOTE1313≤x﹤4}，

故答案为：B

【分析】根据交集的定义求解即可.2.【答案】C【考点】频率分布直方图【解析】【解答】解：对于A，由频率分布直方图得该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为0.02+0.04=6%，故A正确；

对于B，由频率分布直方图得该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为0.02×3+0.04=10%，故B正确；

对于D，由频率分布直方图得该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间比率估计为0.10+0.14+0.20×2=0.64>0.5，故D正确

故不正确的是C

故答案为：C

【分析】根据频率分布直方图直接求解即可.3.【答案】B【考点】复数代数形式的混合运算【解析】【解答】解：QUOTE

故答案为：B

【分析】根据复数的运算法则直接求解即可.4.【答案】C【考点】指数式与对数式的互化，对数的运算性质【解析】【解答】解：由题意得，将L=4.9代入l=5+lgV，得lgV=-0.1=QUOTE，

所以QUOTE

故答案为：C

【分析】根据对数的运算法则，结合对数式与指数式的互化求解即可.5.【答案】A【考点】双曲线的定义，双曲线的简单性质【解析】【解答】解：由|PF1|=3|PF2|，|PF1|-|PF2|=2a得|PF1|=3a，|PF2|=a

在△F1PF2中，由|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2

得(2c)2=(3a)2+a2-2×3a×a×cos60°

解得QUOTEc=72ac=72a

所以QUOTEe=ca=72e=ca=6.【答案】D【考点】简单空间图形的三视图，由三视图还原实物图【解析】【解答】解：由题意得正方体如图所示，

则侧视图是

故答案为：D

【分析】根据三视图的画法求解即可.7.【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】解：当a1=-1，q=2时，{Sn}是递减数列，所以甲不是乙的充分条件；

当{Sn}是递增数列时，an+1=Sn+1-Sn>0，即a1qn>0，则q>0，所以甲是乙的必要条件；

所以甲是乙的必要条件但不是充分条件.

故答案为：B

【分析】根据充要条件的判定，结合等比数列的性质求解即可.8.【答案】B【考点】正弦定理，正弦定理的应用【解析】【解答】解：如图，过C作BB'的垂线交BB'于点M，过B作AA'的垂线交AA'于点N，

设B'C'=CM=m，A'B'=BN=n，

在△A'B'C'中，由正弦定理得QUOTE，

在△BCM中，由正弦定理得QUOTE，

则QUOTE，解得QUOTE，

得A,C两点到水平面A'B'C'的高度差AA'-CC'≈273+100=373.

故答案为：B

【分析】根据正弦定理求解即可.9.【答案】A【考点】二倍角的正弦公式，二倍角的余弦公式，同角三角函数间的基本关系，同角三角函数基本关系的运用【解析】【解答】解：由题意得QUOTE

，

则QUOTE，解得sinα=QUOTE1414，

又因为QUOTE

,所以QUOTE

所以QUOTE

故答案为：A

【分析】根据二倍角公式，结合同角三角函数基本关系求解即可.10.【答案】C【考点】古典概型及其概率计算公式，排列、组合的实际应用，排列、组合及简单计数问题【解析】【解答】解：将4个1和2个0随机排成一行共有QUOTEC62C62种排法，

先将4个1全排列，再用插空法将2个0插入进行排列，共有QUOTEC52C52种排法，

则所求概率为QUOTEP=C52C62=23P=11.【答案】A【考点】球面距离及相关计算，棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】【解答】解：记△ABC的外接圆圆心为O1，由AC⊥BC，AC=BC=1知O1为AB的中点，且QUOTEAB=2,OC=22AB=2,OC=22，

又球的半径为1，所以OA=OB=OC=1，所以OA2+OB2=AB2，QUOTEOO1=22OO1=22，

则OO12+O1C2=OC2

则OO1⊥O1C，OO1⊥AB，

所以OO1⊥平面ABC，

所以QUOTE

12.【答案】D【考点】函数奇偶性的性质，函数的值【解析】【解答】解：因为f(x+1)是奇函数，所以f(1)=0，即a+b=0，则b=-a，

又f(0)=f(-1+1)=f(-1+2)==f(1)=0，

由f(0)+f(3)=6得a=-2，

所以QUOTE

QUOTE

故答案为：D

【分析】根据函数的奇偶性，利用函数的性质求解即可.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.【答案】5x-y+2=0【考点】导数的几何意义，直线的点斜式方程【解析】【解答】解：由题意得QUOTE，所以在点（-1，-3）处的切线斜率k=5，故切线方程为y+3=5(x+1)，即5x-y+2=0

故答案为：5x-y+2=0

【分析】根据导数的几何意义，结合直线的点斜式方程求解即可.14.【答案】QUOTE【考点】平面向量的坐标运算，数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】【解答】解：QUOTE，

由QUOTE得QUOTE，解得QUOTE

故答案为：QUOTE

【分析】根据向量的坐标运算，结合向量垂直的判断条件求解即可.15.【答案】8【考点】椭圆的定义，三角形中的几何计算【解析】【解答】解：由|PQ|=|F1F2|，得|OP|=QUOTE1212|F1F2|，所以PF1⊥PF2，

所以QUOTE

故答案为：8

【分析】根据椭圆的定义及直角三角形的性质，结合三角形的面积公式求解即可16.【答案】2【考点】一元二次不等式的解法，余弦函数的图象【解析】【解答】解：由QUOTE得T=π，ω=2

将点QUOTE代入QUOTE，得QUOTE

则QUOTE，

所以QUOTE

所以QUOTE

QUOTE

等价于QUOTE

则QUOTE或QUOTEfx>1fx>1

由图象得最小整数QUOTE，

所以x=2

故答案为：2

【分析】根据余弦函数的图象与性质求解即可.三、解答題：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。17.【答案】（1）（1）由题意可知：甲机床生产的产品中一级品的频率是：QUOTE150200=34150乙机床生产的产品中一级品的频率是：QUOTE120200=35

（2）由于QUOTE所以，有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异。【考点】频率分布表，独立性检验，独立性检验的应用【解析】【分析】（1）根据频率=频数/总体直接求解即可；（2）根据独立性检验的方法直接求解即可.18.【答案】选①②作条件证明③：设QUOTESn=an+b(a>0)Sn=an+b(a>0)，则QUOTESn=(an+b)2S当QUOTEn=1n=1时，QUOTEa1=S1=(a+b)2a1当QUOTEn鈮?mbri2n鈮?mbri2时，QUOTEQUOTE；因为QUOTE{an}{an}也是等差数列，所以QUOTE，解得QUOTEb=0b=0；所以QUOTE，所以QUOTEa2=3a1a2=3a1.选①③作条件证明②：因为QUOTEa2=3a1a2=3a1，QUOTE{an所以公差QUOTE，所以QUOTE，即QUOTESn=a1nSn=a1n因为QUOTE，所以QUOTE{Sn}{Sn}选②③作条件证明①：设QUOTESn=an+b(a>0)Sn=an+b(a>0)，则QUOTESn=(an+b)2S当QUOTEn=1n=1时，QUOTEa1=S1=(a+b)2a1当QUOTEn鈮?mbri2n鈮?mbri2时，QUOTEQUOTE；因为QUOTEa2=3a1a2=3a1，所以QUOTEa(3a+2b)=3(a+b)2a(3a+2b)=3(a+b)2，解得QUOTEb=0b=0或QUOTE；当QUOTEb=0b=0时，QUOTE，当QUOTEn鈮?mbri2n鈮?mbri2时，QUOTEan-an-1=2a2an-an-1=2a2满足等差数列的定义，此时QUOTE当QUOTE时，QUOTE，QUOTE不合题意，舍去.综上可知QUOTE{an}{an}【考点】数列的概念及简单表示法，等差数列的通项公式，等差数列的前n项和【解析】【分析】选(1)(2)做条件时，证明③：根据等差数列的定义得出QUOTESn=an+b(a>0)Sn=an+b(a>0)，且QUOTE{an}{an}也是等差数列，进一步递推出③QUOTEa2=3a1a2=3a1；

若选①③作条件证明②：由QUOTEa2=3a1a2=3a1，显然QUOTE再写出前n项的和与a1,n的关系式QUOTESn=a1nSn=a1n，进而证明QUOTE{Sn}{Sn}是等差数列.；

选②③作条件证明①：先设QUOTESn=an+b(a>0)Sn=an+b(a>0)，进一步形为QUOTESn=(an+b)2Sn=(an+b)2，再根据an与sn19.【答案】（1）因为三棱柱QUOTE是直三棱柱，所以QUOTE底面QUOTEABCABC，所以QUOTE因为QUOTEA1B1//ABA1B1//AB，QUOTE，所以QUOTE，又QUOTE，所以QUOTE平面QUOTEBCC1B1BCC1B1．所以QUOTEBA,BC,BB1BA,BC,BB1以QUOTEBB为坐标原点，分别以QUOTEBA,BC,BB1BA,BC,BB1所在直线为QUOTEx,y,zx,y,z轴建立空间直角坐标系，如图．所以QUOTEB(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),B1(0,0,2),A1(2,0,2),CQUOTEE(1,1,0),F(0,2,1)E(1,1,0),F(0,2,1)．由题设QUOTED(a,0,2)D(a,0,2)（QUOTE）．因为QUOTE，所以QUOTE，所以QUOTE．

（2）设平面QUOTEDFEDFE的法向量为QUOTE，因为QUOTE，所以QUOTE，即QUOTE．令QUOTE，则QUOTE因为平面QUOTEBCC1B1BCC1B1的法向量为QUOTE，设平面QUOTEBCC1B1BCC1B1与平面QUOTEDEFDEF的二面角的平面角为QUOTE胃胃，则QUOTE．当QUOTEa=12a=12时，QUOTE取最小值为QUOTE272272，此时QUOTE取最大值为QUOTE3272=633272=63所以QUOTE，此时QUOTEB1D=12B1【考点】直线与平面垂直的判定，用空间向量求平面间的夹角，二面角的平面角及求法【解析】【分析】（１）根据条件，先证明QUOTEBA,BC,BB1BA,BC,BB1两两垂直，再建立如图所示空间直角坐标系，定义相关点的坐标，用空间向量证明QUOTE．

（２）先设QUOTED(a,0,2)D(a,0,2)设出平面平面QUOTEDFEDFE的法向量及平面QUOTEBCC1B1BCC1B1的法向量，分别求出二法向量，再由向量的夹角公式，得到夹角余弦值，当其值最大时正弦值最小，确定此时的ａ值即为B1D的值。20.【答案】（1）依题意设抛物线QUOTE，QUOTE，所以抛物线QUOTECC的方程为QUOTEy2=xy2=x，QUOTE与QUOTEx=1x=1相切，所以半径为QUOTE11，所以QUOTE的方程为QUOTE；

（2）设QUOTEA1(x1y若QUOTEA1A2A1A2斜率不存在，则QUOTEA1A2A1A2方程为QUOTEx=1x=1或QUOTEx=3x=3，若QUOTEA1A2A1A2方程为QUOTEx=1x=1，根据对称性不妨设QUOTEA1(1,1)A1(1,1)则过QUOTEA1A1与圆QUOTEMM相切的另一条直线方程为QUOTEy=1y=1，此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在QUOTEA3A3，不合题意；若QUOTEA1A2A1A2方程为QUOTEx=3x=3，根据对称性不妨设QUOTE则过QUOTEA1A1与圆QUOTEMM相切的直线QUOTEA1A3A1A3为QUOTE，又QUOTE，QUOTEx3=0,A3(0,0)x3=0,A3(0,0)，此时直线QUOTEA1A3,A2A3A所以直线QUOTEA2A3A2A3与圆QUOTEMM相切；若直线QUOTEA1A2,A1A则QUOTEkA1A2=1y所以直线QUOTEA1A2A1A2方程为QUOTE，整理得QUOTE，同理直线QUOTEA1A3A1A3的方程为QUOTE，直线QUOTEA2A3A2A3的方程为QUOTE，QUOTE与圆QUOTEMM相切，QUOTE整理得QUOTE，QUOTEA1A3A1A3与圆QUOTEMM相切，同理QUOTE所以QUOTEy2,y3y2,y3为方程QUOTE的两根，QUOTE，QUOTEMM到直线QUOTEA2A3A2A3的距离为：QUOTE，所以直线QUOTEA2A3A2A3与圆QUOTEMM相切；综上若直线QUOTEA1A2,A1A3A1A2,A1A3与圆QUOTEMM相切，则直线QUOTEA2A3A2A3【考点】平面向量的综合题，圆的标准方程，点的极坐标和直角坐标的互化，圆的参数方程【解析】【分析】（1）先设抛物线的方程QUOTEC:y2=2px(p>0),C:y2=2px(p>0),由对称性，可知QUOTE，进而由QUOTE可以很容易求出抛物线的P值，进而写出抛物线的方程；

由于圆M的圆心已知,且与x=1相切，立刻知道半径，故很容易求得M的方程；（２）先设出QUOTEA1(x1y1),A2(x2,y2),A3(x3,y3)A1(21.【答案】（1）当QUOTEa=2a=2时，QUOTE,令QUOTE得QUOTEx=2ln2x=2ln2,当QUOTE0<x<2ln20<x<2ln2时，QUOTEf'(x)>0f'(x)>0,当QUOTEx>2ln2x>2ln2时，QUOTEf'∴函数QUOTEf(x)f(x)在QUOTE(0,2ln2](0,2ln2]上单调递增；QUOTE上单调递减；

（2）QUOTE,设函数QUOTEg(x)=lnxxg(x)=lnxx,则QUOTE,令QUOTEg'(x)=0g'(x)=0，得QUOTEx=ex=e,在QUOTE(0,e)(0,e)内QUOTEg'(x)>0g'(x)>0,QUOTEg(x)g(x)单调递增；在QUOTE上QUOTEg'(x)<0g'(x)<0,QUOTEg(x)g(x)单调递减；QUOTE,又QUOTEg(1)=0g(1)=0，当QUOTExx趋近于QUOTE+鈭?mbri+鈭?mbri时，QUOTEg(x)g(x)趋近于0，所以曲线QUOTEy=f(x)y=f(x)与直线QUOTEy=1y=1有且仅有两个交点，即曲线QUOTEy=g(x)y=g(x)与直线QUOTEy=alnay=alna有两个交点的充分必要条件是QUOTE0<lnaa<1e0<lnaa<1e,这即是QUOTE0<g(a)<g(e)0<g(a)<g(e),所以QUOTEaa的取值范围是QUOTE.【考点】函数的单调性与导数的关系，导数在最大值、最小值问题中的应用【解析】【分析】（1）当ａ