2023届高考数学复习(新教材)第19讲-利用导数研究函数的零点

课堂考点探究第19讲利用导数研究函数的零点教师备用习题作业手册两类零点问题的不同处理方法:利用函数零点存在定理的条件为函数图像在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)<0.①直接法:判断一个零点时,若函数为单调函数,则只需取值证明f(a)·f(b)<0即可;②分类讨论法:判断几个零点时,需要先结合单调性,确定分类讨论的标准,再利用函数零点存在定理,在每个单调区间内取值证明f(a)·f(b)<0.提示一:已知函数有零点求参数范围常用的方法有(1)分离参数法,一般命题情境为给出区间,求满足函数零点个数的参数范围,通常解法为从f(x)中分离出参数,然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值,根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围;(2)分类讨论法,一般命题情境为没有固定区间,求满足函数零点个数的参数范围,通常解法为结合单调性,先确定参数分类的标准,在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意,将满足题意的参数的各小范围并在一起,即为所求参数范围.提示二:可化为函数零点的函数问题(与函数零点性质研究)包括两个方向,一是与函数零点性质有关的问题(更多涉及构造函数法);二是可以转化为函数零点的函数问题(更多涉及整体转化、数形结合等方法技巧).能够利用等价转换、构造函数法求解的问题常涉及参数的最值、曲线交点、零点的大小关系等.求解时一般先通过等价转换,将已知转化为函数零点问题,再构造函数,然后利用导数研究函数的单调性、极值、最值等,并结合分类讨论,通过确定函数的零点达到解决问题的目的.例1已知函数f(x)=ex-1-ax,试讨论函数f(x)的零点个数.课堂考点探究探究点一判断、证明或讨论函数零点的个数[思路点拨]由f'(x)及a的取值范围可得函数的单调性,然后根据零点存在定理,通过讨论求解得出函数零点的个数.解:根据题意,可得f'(x)=ex-a.①若a≤0,则f'(x)=ex-a>0,此时函数f(x)在R上单调递增,又因为f(0)=0,所以函数f(x)只有一个零点.②若a>0,令f'(x)=0,则x=lna,由f'(x)>0,可得x>lna,此时函数f(x)在(lna,+∞)上单调递增,由f'(x)<0,可得x<lna,此时函数f(x)在(-∞,lna)上单调递减,所以f(x)min=f(lna)=a-1-alna,(i)当lna=0,即a=1时,f(x)≥0,此时函数f(x)只有一个零点;(ii)当lna≠0,即a≠1时,f(lna)<f(0)=0,当x→-∞时,f(x)→+∞,当x→+∞时,f(x)→+∞,根据零点存在定理可得,此时函数f(x)在R上有两个零点.综上可得,当a≤0或a=1时,函数f(x)只有一个零点;当0<a<1或a>1时,函数f(x)有两个零点.例2[2021·辽宁朝阳一模]已知函数f(x)=ex-asinx-x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为x+y-1=0.(1)求实数a的值;课堂考点探究[思路点拨]利用切线方程及导数的几何意义可求出a;解:f(x)=ex-asinx-x,f'(x)=ex-acosx-1,∵曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为x+y-1=0,∴f'(0)=-1,即1-a-1=-1,得a=1.例2[2021·辽宁朝阳一模]已知函数f(x)=ex-asinx-x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为x+y-1=0.(2)设函数h(x)=f(x)+x-1,试判断函数h(x)在(-π,0)上零点的个数,并说明理由.课堂考点探究[思路点拨]先得出h(x)=ex-sinx-1,则h'(x)=ex-cosx,根据函数y=ex和y=cosx的图像的交点,得出函数h(x)在(x0,0)上无零点,在(-π,x0)上只有一个零点,即得结果.解：根据题意可得,h(x)=ex-sinx-1,h'(x)=ex-cosx,在同一个直角坐标系中作出函数y=ex和y=cosx的图像如图所示,例2[2021·辽宁朝阳一模]已知函数f(x)=ex-asinx-x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为x+y-1=0.(2)设函数h(x)=f(x)+x-1,试判断函数h(x)在(-π,0)上零点的个数,并说明理由.课堂考点探究由图可知,当x∈(-π,0)时,函数y=ex和y=cosx的图像只有一个交点,设这个交点的横坐标为x0,当x∈(-π,x0)时,h'(x)>0,则h(x)单调递增;当x∈(x0,0)时,h'(x)<0,则h(x)单调递减.∴当x∈(-π,0)时,h(x)max=h(x0),∵h(0)=0,∴h(x0)>0,又h(-π)=e-π-1<0,∴函数h(x)在(x0,0)上无零点,在(-π,x0)上只有一个零点,即函数h(x)在(-π,0)上只有一个零点.[总结反思]根据参数确定函数的零点个数有两种解决方法:一种是利用单调性与零点存在定理求解,另一种是化原函数为两个函数,利用两个函数图像的交点来求解.课堂考点探究变式题已知函数f(x)=ex-ax+sinx-1.(1)当a=2时,讨论函数f(x)的单调性;课堂考点探究解:当a=2时,f(x)=ex-2x+sinx-1(x∈R),则f'(x)=ex-2+cosx,设h(x)=f'(x)=ex-2+cosx,

则h'(x)=ex-sinx,当x∈(-∞,0]时,ex≤1,所以f'(x)=ex-2+cosx≤-1+cosx≤0,所以f(x)在(-∞,0]上单调递减;当x∈(0,+∞)时,ex>1,所以h'(x)=ex-sinx>1-sinx≥0,所以f'(x)在(0,+∞)上单调递增,所以f'(x)>f'(0)=0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.综上,f(x)在(-∞,0]上单调递减;在(0,+∞)上单调递增.变式题已知函数f(x)=ex-ax+sinx-1.(2)当1≤a<2时,讨论函数f(x)零点的个数.课堂考点探究解:函数f(x)=ex-ax+sinx-1(x∈R),因为f(0)=0,所以0是f(x)的一个零点,f'(x)=ex-a+cosx,设g(x)=f'(x)=ex-a+cosx,1≤a<2,则g'(x)=ex-sinx,①当x∈(0,+∞)时,g'(x)=ex-sinx>1-sinx≥0,f'(x)在(0,+∞)上单调递增,则f'(x)>f'(0)=2-a>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,f(x)>f(0)=0,所以f(x)在(0,+∞)上无零点.②当x∈(-∞,-π]时,-ax≥π,则f(x)≥ex+π+sinx-1>0,所以f(x)在(-∞,-π]上无零点.③当x∈(-π,0)时,sinx<0,g'(x)=ex-sinx>0,f'(x)在(-π,0)上单调递增,又f'(0)=2-a>0,f'(-π)=e-π-a-1<0,所以存在唯一实数x0∈(-π,0),使得f'(x0)=0,当x∈(-π,x0)时,f'(x)<0,f(x)在(-π,x0)上单调递减,当x∈(x0,0)时,f'(x)>0,f(x)在(x0,0)上单调递增,又f(-π)=e-π+aπ-1>0,f(x0)<f(0)=0,所以f(x)在(-π,x0)上有唯一零点,所以f(x)在(-π,0)上有一个零点.综上,当1≤a<2时,函数f(x)有两个零点.例3[2021·沈阳四模]已知函数f(x)=xex-2ax+a.(1)当a=-1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;课堂考点探究探究点二根据零点个数确定参数[思路点拨]代入a的值,求出函数的导数,计算f(0),f'(0),求出切线方程即可;解:当a=-1时,f(x)=xex+2x-1,f'(x)=(x+1)ex+2,则f'(0)=3,f(0)=-1,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为3x-y-1=0.课堂考点探究例3[2021·沈阳四模]已知函数f(x)=xex-2ax+a.(2)若f(x)有两个零点,求实数a的取值范围.

课堂考点探究例3[2021·沈阳四模]已知函数f(x)=xex-2ax+a.(2)若f(x)有两个零点,求实数a的取值范围.

[总结反思]根据函数零点个数确定参数取值范围的核心思想是“数形结合”,即通过函数的单调性确定函数图像与x轴的交点个数,或者通过两个相关函数图像的交点个数确定参数需满足的条件,进而求得参数的取值范围,解决问题的步骤是“先形后数”.课堂考点探究课堂考点探究

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例4已知函数f(x)=x·cosx.(1)当x∈(0,π)时,求证:f(x)<sinx;课堂考点探究探究点三可化为函数零点的函数问题[思路点拨]令g(x)=f(x)-sinx,利用导数研究函数的单调性,即可得证;证明:令g(x)=f(x)-sinx=x·cosx-sinx,则g'(x)=cosx-x·sinx-cosx=-x·sinx,当x∈(0,π)时,g'(x)<0恒成立,∴g(x)在(0,π)上单调递减,∴当x∈(0,π)时,g(x)<g(0)=0恒成立,故当x∈(0,π)时,f(x)<sinx.课堂考点探究

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[总结反思]若f'(x)为可导函数f(x)的导函数,x=x0为f(x)的极值点,则必有f'(x0)=0.函数图像的切线条数、两函数图像的交点个数、方程根的个数等问题解决的关键是转化为对应函数的零点个数问题,通过数形结合的方式,研究函数的零点个数确定相应的数量关系.课堂考点探究

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课堂考点探究解:由(1)知f'(x)=x2+2x+a,(i)当Δ=4-4a≤0,即a≥1时,f'(x)≥0恒成立,f(x)在R上单调递增,且f(0)=a>0,f(-3)=-2a<0,∴f(x)的图像与x轴有且只有一个交点,满足题意;(ii)当Δ=4-4a>0,即a<1时,f'(x)=0有两个不同的实根,设为x1,x2(x1<x2),则x1+x2=-2,x1x2=a,由f'(x)>0得x<x1或x>x2,由f'(x)<0得x1<x<x2,∴f(x)在(-∞,x1),(x2,+∞)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减,f(x)的图像与x轴有且只有一个交点等价于f(x1)f(x2)>0,

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【备选理由】例1考查利用导数判断函数零点个数,注意复合函数的零点问题;例2考查用导数研究函数的单调性,由函数的零点个数求参数的取值范围;例3主要考查导数的应用,利用导数求解切线问题时注意导数值与切线斜率的关系,曲线的交点问题通常转化为函数的零点问题,结合单调性及最值进行求解,侧重考查数学运算的核心素养.教师备用习题例1[配例1使用][2021·黑龙江大庆质检]已知函数f(x)=(2x2-3x)ex,则函数y=3[f(x)]2+2f(x)-1的零点个数是()

A.6 B.5 C.4 D.3教师备用习题B

例2

[配例3使用][2021·山东淄博二模]已知函数f(x)=|lnx|+ax(a<0).(1)讨论函数f(x)的单调性;教师备用习题

例2[配例3使用][2021·山东淄博二模]已知函数f(x)=|lnx|+ax(a<0).(1)讨论函数f(x)的单调性;教师备用习题x,f(x),f'(x)的变化情况如下表,xf'(x)+0-f(x)单调递增极大值单调递减例2[配例3使用][2021·山东淄博二模]已知函数f(x)=|lnx|+ax(a<0).(1)讨论函数f(x)的单调性;教师备用习题

例2[配例3使用][2021·山东淄博二模]已知函数f(x)=|lnx|+ax(a<0).(2)若函数f(x)恰好有三个零点,求a的取值范围.教师备用习题

例2[配例3使用][2021·山东淄博二模]已知函数f(x)=|lnx|+ax(a<0).(2)若函数f(x)恰好有三个零点,求a的取值范围.教师备用习题

例3

[配例4使用]已知函数f(x)=xlnx-1,g(x)=(k-1)x-k(k∈R).(1)若直线y=g(x)是曲线y=f(x)的一条切线,求k的值;教师备用习题

例3[配例4使用]已知函数f(x)=xlnx-1,g(x)=(k-1)x-k(k∈R).(2)当x>1时,直线y=g(x)与曲线y=f(x)+1无交点,求k的最大整数值.教师备用习题解:当x>1时,直线y=g(x)与曲线y=f(x)+1无交点,则g(x)=f(x)+1无解,令F(x)=xlnx-(k-1)x+k(x>1),则F(x)无零点,F'(x)=lnx+2-k=lnx-(k-2)(x>1).①当k-2≤0,即k≤2时,F'(x)>0,所以F(x)在(1,+∞)上单调递增,所以F(x)>F(1)=1,即F(x)在(1,+∞)上无零点,满足题意.②当k-2>0,即k>2时,由F'(x)=0,得x=ek-2.当1<x<ek-2时,F'(x)<0,所