2024-2025学年高中数学第三章统计案例3.2独立性检验学案含解析北师大版选修2-3

PAGE§2独立性检验学问点独立性检验[填一填]设A，B为两个变量，每一个变量都可以取两个值，变量A：A1，A2＝eq\x\to(A)1；变量B：B1，B2＝eq\x\to(B)1.其中，a表示变量A取A1，且变量B取B1时的数据，b表示变量A取A1，且变量B取B2时的数据，c表示变量A取A2，变量B取B1时的数据，d表示变量A取A2，变量B取B2时的数据．(1)χ2≤2.706时，没有充分证据判定变量A，B有关联；(2)χ2>2.706时，有90%的把握判定变量A，B有关联；(3)χ2>3.841时，有95%的把握判定变量A，B有关联；(4)χ2>6.635时，有99%的把握判定变量A，B有关联．[答一答]独立性检验的基本思想是什么？提示：把假设检验的基本思想详细化到独立性检验中，就可以通过随机变量χ2把两个分类变量的独立性检验的基本思想表述为：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)(n＝a＋b＋c＋d)．1．对独立性检验的理解独立性检验主要是为了解决两个变量A与B之间是否独立的问题．应用的思想方法是考查P(AB)与P(A)P(B)之间的关系．在统计中由于无法确定P(AB)与P(A)P(B)的值，因此我们利用数理统计的基本方法，即利用样本中的频率值代替概率值，利用2×2列联表，可以对是否有关联作出推断，但无法保证推断的正确性．2．独立性检验的一般步骤(1)完善2×2列联表；(2)计算χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)；(3)把χ2的值与临界值进行比较，然后确定两个变量是否有关联或相关联的程度.题型一独立性检验[例1]打鼾不仅影响别人休息，而且可能与患某种疾病有关．下表是一次调查所得的数据，试问：每一晚都打鼾与患心脏病有关吗？患心脏病未患心脏病每一晚都打鼾30224每一晚都不打鼾241355[思路探究]利用“2×2列联表”，计算出χ2，再进行独立性检验．[解]2×2列联表为：患心脏病未患心脏病合计每一晚都打鼾30224254每一晚都不打鼾2413551379合计5415791633依据列联表中的数据，得到χ2＝eq\f(1633×30×1355－224×242,254×1379×54×1579)≈68.033.∵68.033>6.635，∴有99%的把握认为每一晚都打鼾与患心脏病有关．规律方法“每一晚都打鼾与患心脏病有关”指的是统计上的关系，不要误以为是因果关系．详细到某一个每一晚都打鼾的人，并不能说他肯定患心脏病．其实从2×2列联表中也可以看出，每一晚都打鼾的人群中，患心脏病的概率也只有eq\f(30,254)，略微超过非常之一．至于他患不患心脏病，应当由医学检查来确定．动物园对某种动物进行接种试验，预防传染病，经试验得到如下数据：问进行接种试验是否能有效预防传染病．解：由已知数据得2×2列联表如下：则χ2＝eq\f(172×68×6－80×182,86×86×24×148)≈6.973，∵6.973>6.635，∴有99%的把握认为“接种”与“染病”有关．又设A为接种未染病，B为未接种未染病，则由数据得P(A)＝eq\f(80,86)≈0.9302，P(B)＝eq\f(68,86)≈0.7907.∴我们有99%的把握认为接种能够更有效地预防传染病．题型二独立性检验的简洁应用[例2]某校对学生课外活动内容进行调查，将调查结果整理成2×2列联表如下：体育文娱总计男生212344女生62935总计275279试分析“喜爱体育还是喜爱文娱”与“性别”有关吗？[思路探究]依据列联表计算出χ2的值，将χ2和临界值比较，从而推断“喜爱体育还是喜爱文娱”与“性别”是否有关．[解]将a＝21，b＝23，c＝6，d＝29，n＝79代入χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，得χ2≈8.106.因为8.106>6.635，所以我们有99%的把握判定“喜爱体育还是喜爱文娱”与“性别”有关．规律方法解决一般的独立性检验问题，首先由所给的2×2列联表确定a，b，c，d，n的值，然后代入χ2统计量的计算公式，依据所得结果确定有多大的把握判定两个变量有关联．对196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行了3年的跟踪，调查他们是否又发作过心脏病，调查结果如下表(单位：人)：试问：病人又发作心脏病是否与其接受心脏搭桥手术有关？解：由表中数据计算得χ2＝eq\f(392×39×167－157×292,196×196×68×324)≈1.779.因为1.779<2.706，所以没有充分的证据判定接受心脏搭桥手术与又发作心脏病有关，可以认为病人又发作心脏病与其是否接受心脏搭桥手术无关．——多维探究系列——概率与统计的综合问题[例3]电视传媒公司为了解某地区观众对某体育节目的收视状况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名，下面是依据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．(1)依据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料推断是否有95%的把握认为“体育迷”与性别有关？非体育迷体育迷合计男女合计(2)将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中随意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，P(χ2≥k)0.050.01k3.8416.635[解](1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”为25人，从而完成2×2列联表如下：非体育迷体育迷合计男301545女451055合计7525100将2×2列联表中的数据代入公式计算，得χ2＝eq\f(100×30×10－45×152,75×25×45×55)＝eq\f(100,33)≈3.030.因为3.030<3.841，所以我们没有95%的把握认为“体育迷”与性别有关．(2)由频率分布直方图可知，“超级体育迷”为5人，从而一切可能结果为(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)，其中ai表示男性，i＝1,2,3，bj表示女性，j＝1,2.由10个基本领件组成，而且这些基本领件的出现是等可能的．用A表示“任选2人中，至少有1人是女性”这一事务，则事务A由(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)共7个基本领件组成，因而P(A)＝eq\f(7,10).某中学对高二甲、乙两个同类班级进行“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率作用”的试验，其中甲班为试验班(加强语文阅读理解训练)，乙班为对比班(常规教学，无额外训练)，在试验前的测试中，甲、乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一样，试验结束后，统计几次数学应用题测试的平均成果(均取整数)如下表所示：60分以下61～70分71～80分81～90分91～100分甲班(人数)36111812乙班(人数)48131510现规定平均成果在80分以上(不含80分)的为优秀．(1)试分别估计两个班级的优秀率；(2)由以上统计数据填写下面2×2列联表，并问是否有95%的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助.优秀人数非优秀人数合计甲班乙班合计解：(1)由题意知，甲、乙两班均有学生50人，甲班优秀人数为30人，优秀率为eq\f(30,50)＝60%，乙班优秀人数为25人，优秀率为eq\f(25,50)＝50%，所以甲、乙两班的优秀率分别为60%和50%.(2)列联表如下：优秀人数非优秀人数合计甲班302050乙班252550合计5545100因为χ2＝eq\f(100×30×25－20×252,50×50×55×45)＝eq\f(100,99)≈1.010，所以由参考数据知，没有95%的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助．1．为调查乘客晕机状况，在某一次恶劣气候飞行航程中，55名男乘客中有24名晕机，34名女乘客中有8名晕机．在检验这些乘客晕机是否与性别相关时，常采纳的数据分析方法是(C)A．频率分布直方图 B．回来分析C．独立性检验 D．用样本估计总体解析：依据题意，结合题目中的数据，列出2×2列联表，求出χ2的观测值，比照临界值表可得出晕机与性别是否有关的结论．这种分析数据的方法是独立性检验．故选C.2．关于分类变量X与Y的随机变量χ2的值，下列说法正确的是(B)A．χ2的值越大，“X和Y有关系”可信程度越小B．χ2的值越小，“X和Y有关系”可信程度越小C．χ2的值越接近于0，“X和Y无关”程度越小D．χ2的值越大，“X和Y无关”程度越大解析：χ2的值越大，X和Y有关系的可能性就越大，也就意味着X和Y无关系的可能性就越小．3．在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法中正确的是(C)A．若随机变量χ2>6.635，我们有99%的把握说吸烟与患肺病有关，则某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病B．若利用随机变量χ2求出有99%的把握说吸烟与患肺病有关，则在100个吸烟者中必有99个人患肺病C．若利用随机变量χ2求出有95%的把握说吸烟与患肺病有关，则是指有5%的可能性使得推断错误D．以上说法均有错误解析：若利用随机变量χ2求出有95%的把握说吸烟与患肺病有关，则是指有5%的可能性使得推断错误．4．若由两个分类变量X和Y的列联表中的数据计算得到χ2>3.841，那么我们就有95%的把握认为两个变量有关系．5．依据下表计算χ2＝1.779.解析：χ2＝eq\f(392×39×167－157×292,196×196×68×324)≈1.779.6．在500人身上试验某种血清预防感冒的作用，把他们一年中的感冒记录与另外500名未用血清的人的感冒记录作比较，结果如表所示．问：该种血清能否起到预防感冒的作用？解：计算得χ2＝eq\f(1000×258×284－242×2162,474×526×500×500)≈7.075，∵χ2＝7.075>6.635，所以我们有99%的把握认为该种血清能起到预防感冒的作用．7．为了探讨患慢性气管炎与吸烟量的关系，调查了228人，其中每天的吸烟支数在10支以上的20支以下的调查者中，患者人数有98人，非患者人数有89人，每天的吸烟支数在20支以上