2024-2025学年新教材高中数学单元素养评价四第六章含解析北师大版必修1

PAGE12-单元素养评价(四)(第六章)(120分钟150分)一、单选题(每小题5分,共40分)1.下列说法错误的是 ()A.在统计里,最常用的简洁随机抽样方法有抽签法和随机数法B.一组数据的平均数肯定大于这组数据中的每个数据C.平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势D.一组数据的方差越大,说明这组数据的波动越大【解析】选B.平均数不大于最大值,不小于最小值.2.2024年高考某题的得分状况如下:得分(分)01234百分率(%)37.08.66.028.220.2其中众数是 ()A.37.0%B.20.2%C.0分D.4分【解析】选C.众数出现的频率最大.3.为了解我国13岁男孩的平均身高,从北方抽取了300个男孩,平均身高为1.60m;从南方抽取了200个男孩,平均身高为1.50m,A.1.54m B.1.55m C.1.56m 【解析】选C.我国13岁的男孩平均身高为(300×1.60+200×1.50)÷(300+200)=1.56(m).4.某防疫站对学生进行身体健康调查,欲采纳分层随机抽样的方法抽取样本.某中学共有学生2000名,从中抽取了一个容量为200的样本,其中男生103名,则该中学共有女生 ()A.1030名 B.97名 C.950名 D.970名【解析】选D.由题意,知该中学共有女生2000×200-1032005.如图是某超市一年中各月份的收入与支出(单位:万元)状况的条形统计图.已知利润为收入与支出的差,即利润=收入-支出,则下列说法正确的是 ()A.利润最高的月份是2月份,且2月份的利润为40万元B.利润最低的月份是5月份,且5月份的利润为10万元C.收入最少的月份的利润也最少D.收入最少的月份的支出也最少【解析】选D.利润最高的月份是3月份和10月份,且2月份的利润为40-30=10万元,故A错误;利润最低的月份是8月份,且8月份的利润为5万元,故B错误;收入最少的月份是5月份,但5月份的支出也最少,且利润是10万元,故5月份的利润不是最少,故C错误,D正确.6.从某地区年龄在25～55岁的人员中,随机抽取100人,了解他们对2024年两会的热点问题的看法,绘制出频率分布直方图如图所示,则下列说法正确的是 ()A.抽取的100人中,年龄在40～45岁的人数大约为20B.抽取的100人中,年龄在35～45岁的人数大约为30C.抽取的100人中,年龄在40～50岁的人数大约为40D.抽取的100人中,年龄在35～50岁的人数大约为50【解析】选A.依据频率分布直方图的性质得(0.01+0.05+0.06+a+0.02+0.02)×5=1,解得a=0.04,所以抽取的100人中,年龄在40～45岁的人数大约为0.04×5×100=20,所以A正确;年龄在35～45岁的人数大约为(0.06+0.04)×5×100=50,所以B不正确;年龄在40～50岁的人数大约为(0.04+0.02)×5×100=30,所以C不正确;年龄在35～50岁的人数大约为(0.06+0.04+0.02)×5×100=60,所以D不正确.故选A.【补偿训练】某校为了对初三学生的体重进行摸底调查,随机抽取了50名学生的体重(kg),将所得数据整理后,画出了频率分布直方图,如图所示,体重在[45,50)内适合跑步训练,体重在[50,55)内适合跳远训练,体重在[55,60]内适合投掷相关方面训练,估计该校初三学生适合参与跑步、跳远、投掷三项训练的集训人数之比为 ()A.4∶3∶1 B.5∶3∶1C.5∶3∶2 D.3∶2∶1【解析】选B.体重在[45,50)内的频率为0.1×5=0.5,体重在[50,55)内的频率为0.06×5=0.3,体重在[55,60]内的频率为0.02×5=0.1,因为0.5∶0.3∶0.1=5∶3∶1,所以可估计该校初三学生适合参与跑步、跳远、投掷三项训练的集训人数之比为5∶3∶1.7.某班有48名学生,在一次考试中统计出平均分为70分,方差为75.后来发觉有2名同学的分数登记错了,甲实际得了80分却记成了50分,乙实际得了70分却记成了100分,则更正后的平均分和方差分别为 ()A.70,75B.70,50C.70,1.04【解析】选B.留意到平均数没有改变,只是方差变动.更正前,s2=148[…+(50-70)2+(100-70)2+…]=75,更正后,s′2=148[…+(80-70)2+(70-70)2+…]=50.8.样本x1,x2,…,xn的平均数为x,样本y1,y2,…,ym的平均数为y(x≠y).若样本x1,x2,…,xn,y1,y2,…,ym的平均数z=ax+(1-a)y,其中0<a<12,则n,m的大小关系为A.n<m B.n>m C.n=m D.不能确定【解析】选A.由题意知,样本x1,…,xn,y1,…,ym的平均数为z=nx+mym+n=nn+mx+mn+my,且z=ax+(1-a)y,所以a=nn+m,1-a=二、多选题(每小题5分,共20分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.以下叙述正确的是()A.极差与方差都刻画数据的离散程度B.方差是没有单位的统计量C.标准差比较小时,数据比较分散D.只有两个数据时,极差是标准差的2倍【解析】选AD.定义可知A正确,只有两个数据时,极差等于|x2-x1|,标准差等于12|x2-x1|.故D正确.BC错误10.为预料2024年欧洲杯足球赛竞赛结果,某博彩公司对甲乙两国国家队一年竞赛状况作了统计:甲队平均每场进球数是3.1,全年进球数的标准差为3.6;乙队平均每场进球数是1.6,全年进球数的标准差为0.2.下列说法中,正确的有()A.甲队的技术比乙队好B.乙队发挥比甲队稳定C.甲队几乎每场都进球D.甲队的表现时好时坏【解析】选ABD.因为甲队的平均进球数比乙队多,所以甲队技术较好,A正确;乙队的标准差比甲队小,标准差越小越稳定,所以乙队发挥稳定,B也正确;尽管甲队平均每场进球数为3.1个,但全年进球数的标准差大,表现呈时好时坏状况,不能推断每场都进球,C不正确,D正确.11.如图是某公司2024年1月至12月空调销售任务及完成状况的气泡图,气泡的大小表示完成率的凹凸,如10月份销售任务是400台,完成率为90%,则下列叙述不正确的是()A.2024年3月的销售任务是400台B.2024年月销售任务的平均值不超过600台C.2024年第一季度总销量为900台D.2024年月销量最大的是6月份【解析】选CD.由题图得3月份的销售任务是400台,所以A正确;由题图得2024年月销售任务超过600台的只有3个月,则平均值不超过600台,所以B正确;由题图得第一季度的总销量为300×50%+200×100%+400×120%=830(台),故C不正确;由题图得销量最大的月份是5月份,为800台,故D不正确.12.如图1为某省2024年1～4月份快递业务量统计图,图2为该省2024年1～4月份快递业务收入统计图,对统计图理解正确的是 ()A.2024年1～4月份快递业务量3月份最高,2月份最低,差值接近2000万件B.2024年1～4月份快递业务量同比增长率均超过50%,在3月份最高,和春节蛰伏后网购迎来喷涨有关C.从两图中看,业务量与业务收入改变基本一样D.从1～4月份来看,业务量与业务收入有波动,但整体保持高速增长【解析】选ABC.由题图1可知快递业务量3月份为4397万件,2月份为2411万件,差值为4397-2411=1986万件,故A正确;由题图1可知B也正确;对于C,由两图易知业务量从高到低改变是3月→4月→1月→2月,业务收入从高到低改变是3月→4月→1月→2月,改变基本一样,所以C正确;对于D,由题图知业务收入2月比1月削减,4月比3月削减,整体不具备高速增长之说,所以D不正确.三、填空题(每小题5分,共20分)13.某产品售后服务中心随机选取了10个工作日,分别记录了每个工作日接到的客户服务电话的数量(单位:次):63382542564853392847则上述数据的50%分位数为,中位数与极差之和为.(第一空2分,其次空3分)

【解析】把这组数据从小到大排序:25,28,38,39,42,47,48,53,56,63,则10×50%=5.所以50%分位数为42+472=892=44.5.数据的50%分位数即中位数,极差为63-25=38,答案:44.582.514.某中学初中部共有110名老师,中学部共有150名老师,其性别比例如图所示,则该校女老师的人数为.

【解析】由题图可知该校女老师的人数为110×70%+150×(1-60%)=77+60=137.答案:13715.一组数据按从小到大的依次排列为1,2,2,x,5,10,其中x≠5,已知该组数据的中位数是众数的32倍,则该组数据的标准差为【解析】由题意,可得该组数据的众数为2,所以2+x2=32×2=3,解得x=4,故该组数据的平均数为1+2+2+4+5+106=4.所以该组数据的方差为16×[(1-4)2+(2-4)2+(2-4)2+(4-4)2+(5-4)2答案:316.某校从参与高三年级期中考试的学生中抽出60名学生,并统计了他们的物理成果(成果均为整数且满分为100分),把其中不低于50分的分成五段[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]后画出如图所示的部分频率分布直方图,则物理成果低于50分的学生人数与及格的学生的物理平均成果分别为.

【解析】因为各组的频率和等于1.所以由频率分布直方图得低于50分的频率为f1=1-(0.015×2+0.03+0.025+0.005)×10=0.1.又抽出的学生共有60名,所以成果低于50分的人数为60×0.1=6.由题意,得[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]四组的人数分别为9,18,15,3.又四组的组中值分别为65,75,85,95,所以及格的学生的物理平均成果约为9×65+18×75+15答案:6,77.7四、解答题(共70分)17.(10分)2024年春节前,有超过20万名来自广西、四川的外来务工人员选择驾乘摩托车沿321国道返乡过年,为防止摩托车驾驶人员因长途疲惫驾驶而引发交通事故,肇庆市公安交警部门在321国道沿线设立了多个休息站,让过往的摩托车驾驶人员有一个停车休息的场所.交警小林在某休息站连续15天对进站休息的驾驶人员省籍询问的记录中,随机取了5天的询问结果作出如图折线图:(1)交警小林抽取5天进站休息的驾驶人员的省籍询问记录采纳的是什么抽样方法?(2)用分层抽样的方法对被询问了省籍的驾驶人员进行抽样,若广西籍的有5名,则四川籍的应抽取几名?【解析】(1)依据题意,因为总体与样本量都较小,所以交警小林可以采纳抽签法.(2)从题图中可知,被询问了省籍的驾驶人员中广西籍的有5+20+25+20+30=100(人),四川籍的有15+10+5+5+5=40(人),设四川籍的驾驶人员应抽取x名,依题意得5100=x40,解得x=2,即四川籍的应抽取218.(12分)某市有210名初中生参与数学竞赛预赛,随机调阅了60名学生的答卷,成果如表:成果1分2分3分4分5分6分7分8分9分10分人数0006152112330(1)求样本的平均成果和标准差(精确到0.01分);(2)若规定预赛成果在7分或7分以上的学生参与复赛,试估计有多少名学生可以进入复赛?【解析】(1)x=160×(4×6+5×15+6×21+7×12+8×3+9×3)=6.00,s2=160×[6×(4-6)2+15×(5-6)2+21×(6-6)2+12×(7-6)2+3×(8-6)2+3×(9-6)2]=1.5,所以s≈1.22,故样本的平均成果为6.00分,标准差约为1.22(2)在60名选手中,有12+3+3=18(名)学生预赛成果在7分或7分以上,所以估计210人中有1860×210=63(名)学生的预赛成果在7分或7分以上,故大约有63名学生可以进入复赛19.(12分)(2024·全国卷Ⅲ)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度,进行如下试验:将200只小鼠随机分成A,B两组,每组100只,其中A组小鼠给服甲离子溶液,B组小鼠给服乙离子溶液,每组小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.依据试验数据分别得到如下直方图:记C为事务:“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”,依据直方图得到P(C)的估计值为(1)求乙离子残留百分比直方图中a,b的值.(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).【解析】(1)由已知得0.70=a+0.20+0.15,故a=0.35.b=1-0.05-0.15-0.70=0.10.(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05.乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00.20.(12分)某学校高一(1)、(2)班各有49名学生,两班在一次数学测验中的成果统计如表.平均分众数中位数标准差(1)班79708719.8(2)班7970795.2(1)请你对下面的一段话赐予简要分析.高一(1)班的小刚回家对妈妈说:“昨天的数学测验,全班平均分79分,得70分的人最多,我得了85分,在班里算是上游了!”(2)请你依据表中的数据,对这两个班的数学测验状况进行简要分析,并提出建议.【解析】(1)由于(1)班49名学生数学测验成果的中位数是87,则85分排在全班第25名之后,所以从位次上看,不能说85分是上游,该成果应当属于中下游.但是我们不能以位次来推断学习的好坏,小刚得了85分,说明他对这段时间的学习内容驾驭得较好,从驾驭学习的内容上讲,也可以说属于上游.(2)(1)班成果的中位数是87分,说明高于87分(含87分)的人数占一半或一半以上,而平均分为79分,标准差又很大,说明低分也许多,两极分化严峻,建议加强对学习困难的学生的帮助.(2)班的中位数和平均数都是79分,标准差又小,说明学生之间差别较小,学习很差的学生少,学习优异的学生也很少,建议实行措施提高优秀率.21.(12分)某地区有居民600户,其中一般家庭450户、高收入家庭150户.为了调查该地区居民奶制品月消费支出,确定采纳分层随机抽样的方法,按一般家庭、高收入家庭进行分层,得到一般家庭、高收入家庭的奶制品平均月消费支出分别为40元和90元.(1)假如在各层中按比例安排样本,总样本量为60,那么在一般家庭、高收入家庭中分别抽取了多少户?在这种状况下,请估计该地区全体居民奶制品的平均月消费支出.(2)假如从一般家庭、高收入家庭中抽取的样本量分别为30和30,那么在这种状况下,抽取的这60户居民奶制品的平均月消费支出是多少?用这60户居民奶制品的平均月消费支出估计该地区全体居民奶制品的平均月消费支出合理吗?假如不合理,那该怎样估计更合理?【解析】(1)设在一般家庭、高收入家庭中分别抽取了m,n户,则m450=n150=60600,解得m=45,n=15.样本平均数x=4560×40+1560×90=52.5(元).在比例安排的分层随机抽样中,我们可以干脆用样本平均数x估计总体平均数X,即在一般家庭、高收入家庭中分别抽取了45户、15户(2)抽取的这60户居民奶制品的平均月消费支出是3060×40+3060×90=65(元),因为在该地区居民中,一般家庭户数是高收入家庭户数的3倍,而抽取的一般家庭的样本量与高收入家庭的样本量相等,所以用这60户居民奶制品的平均月消费支出估计该地区全体居民奶制品的平均月消费支出不合理.应当用抽取的一般家庭奶制品的平均月消费支出40元估计该地区全体一般家庭的平均月消费支出,用抽取的高收入家庭的平均月消费支出90元估计该地区全体高收入家庭的平均月消费支出,得到该地区全体居民奶制品的平均月消费支出为450600×40+150600×90=52.5(22.(12分)某公司安排购买1台机器,该种机器运用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零