备战2023年高考数学一轮复习-第2讲-空间点、直线、平面之间的位置关系

第2讲空间点、直线、平面之间的位置关系第七章立体几何考向预测核心素养考查与点、线、面位置关系有关的命题真假判断和求解异面直线所成的角，题型主要以选择题和填空题的形式出现，解题要求有较强的直观想象和逻辑推理等核心素养，主要为中低档题．

直观想象、逻辑推理、数学抽象、数学运算01基础知识回顾一、知识梳理1．平面(1)四个基本事实基本事实1：过________________的三个点，有且只有一个平面．基本事实2：如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．不在一条直线上两个点基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有______过该点的公共直线．基本事实4：平行于同一条直线的两条直线______．(2)“三个”推论

推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条______直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条______直线，有且只有一个平面．一条平行相交平行相交平行任何(2)异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．②范围：_____________________．[注意]

两直线垂直有两种情况——异面垂直和相交垂直．(3)空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角____________．相等或互补3．空间中直线、平面的位置关系位置关系符号直线和平面直线在平面内a⊂α直线在平面外直线与平面相交a∩α＝A直线与平面平行a∥α平面和平面两平面平行α∥β两平面相交α∩β＝l

常用结论1．异面直线的判定过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．2．几个唯一性结论(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直；(3)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．二、教材衍化1．(多选)(人A必修第二册P128练习T2改编)下列命题是假命题的是(

)A．空间任意三个点确定一个平面B．一个点和一条直线确定一个平面C．两两相交的三条直线确定一个平面D．两两平行的三条直线确定三个平面√√√√2．(多选)(人A必修第二册P132习题8.4T9改编)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法正确的是(

)A．AB与CD是异面直线B．GH与CD相交C．EF∥CDD．EF与AB异面√√√解析：把展开图还原成正方体，如图所示．还原后点G与C重合，点B与F重合，由图可知ABC正确，EF与AB相交，故D错误，选ABC.3．(人A必修第二册P132习题8.4T5改编)三个平面最多能把空间分为________部分，最少能把空间分成________部分．解析：三个平面可将空间分成4，6，7，8部分，所以三个平面最少可将空间分成4部分，最多分成8部分．答案：8

4一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若P∈α∩β且l是α，β的交线，则P∈l.(

)(2)若直线a∩b＝A，则直线a与b能够确定一个平面．(

)(3)若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α，则l⊂α.(

)(4)分别在两个平面内的两条直线是异面直线．(

)√×√√二、易错纠偏1．(多选)(线面关系概念不清致误)若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是(

)A．b⊂α

B.b∥αC．b与α相交

D.以上都不对√√√√2．(对于直线与直线的位置关系考虑不全面致误)若a∥α，b∥β，α∥β，则a，b的位置关系是(

)A．平行

B.异面C．相交

D.平行或异面或相交解析：如图①②③所示，a，b的关系分别是平行、异面、相交．3.(异面直线所成的角概念理解不清致误)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为(

)A．30°

B.45°C．60°

D.90°解析：连接B1D1，D1C(图略)，则B1D1∥EF，故∠D1B1C或其补角为所求的角．又B1D1＝B1C＝D1C，所以∠D1B1C＝60°.√02核心考点共研考点一基本事实的应用(综合研析)复习指导：理解四个基本事实的作用．(2022·上海市南洋模范中学月考)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，BD1与平面ACB1交于点P，设BD与AC相交于点O.求证：P∈直线B1O.【证明】

因为BD1⊂平面BDD1B1，且BD1与平面ACB1交于点P，所以点P是平面BDD1B1与平面ACB1的公共点，因为平面BDD1B1∩平面ACB1＝B1O，所以P∈直线B1O.共面、共线、共点问题的证明(1)证明共面的方法：①先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内．②证两平面重合．(2)证明共线的方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．②直接证明这些点都在同一条特定直线上．(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．|跟踪训练|1.(多选)如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图是(

)解析：对于A，PS∥QR，故P，Q，R，S四点共面；同理，B，C图中四点也共面；D中四点不共面．√√√2.如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是(

)A．直线AC

B.直线AB

C．直线CD

D.直线BC解析：由题意知，D∈l，l⊂β，所以D∈β，又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，所以点D在平面ABC与平面β的交线上．又因为C∈平面ABC，C∈β，所以点C在平面β与平面ABC的交线上，所以平面ABC∩平面β＝CD.√考点二空间位置关系的判断(自主练透)复习指导：认识和理解空间点、线、面的位置关系．1．若平面α和直线a，b满足a∩α＝A，b⊂α，则a与b的位置关系是(

)A．相交 B.平行C．异面

D.相交或异面解析：若A∈b，则a与b相交，若A∉b，则a与b异面，故选D.√2.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为BC，BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是(

)A．直线AA1

B.直线A1B1C．直线A1D1

D.直线B1C1解析：根据异面直线的概念可知直线AA1，A1B1，A1D1都和直线EF为异面直线．因为直线B1C1和EF在同一平面内，且这两条直线不平行，所以直线B1C1和直线EF相交．√3.(多选)(链接常用结论1)(2022·广州六校联考)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1D1，BC，A1D1的中点，下列结论正确的是(

)A．AP与CM是异面直线B．AP，CM，DD1相交于一点C．MN∥BD1D．MN∥平面BB1D1D√√解析：连接MP，AC(图略)，因为MP∥AC，MP≠AC，所以AP与CM是相交直线，又面A1ADD1∩面C1CDD1＝DD1，

所以AP，CM，DD1相交于一点，则A不正确，B正确．令AC∩BD＝O，连接OD1，ON.因为M，N分别是C1D1，BC的中点，则四边形MNOD1为平行四边形，所以MN∥OD1，因为MN⊄平面BD1D，OD1⊂平面BD1D，所以MN∥平面BD1D，C不正确，D正确．4．已知a，b是两条直线，α，β是两个平面，则下列说法中正确的序号为________．①若a平行于α内的无数条直线，则a∥α；②若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线；③若α∥β，a⊂α，则a∥β；④若α∩β＝b，a⊂α，则a与β一定相交．解析：①忽略了a在α内这一情况，故①错误；②直线a与b没有交点，所以直线a与b可能异面也可能平行，故②错误；③直线a与平面β没有公共点，所以a∥β，故③正确；④直线a与平面β可能相交也可能平行，故④错误．答案：③点、线、面位置关系的判定(1)点、线、面位置关系的判定，注意构造几何体(长方体、正方体)模型来判断，常借助正方体模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系．(2)两条直线异面的判定：反证法或利用异面直线的判定定理．考点三异面直线所成的角(综合研析)复习指导：求异面直线所成的角关键是转化为平面角，常利用平移法解决．√√【解析】(2)如图，过点S作SF∥OE，交AB于点F，连接CF，则∠CSF(或其补角)为异面直线SC与OE所成的角．平移法求异面直线所成角的步骤|跟踪训练|(2022·西安质检)将正方形ABCD沿对角线AC折起，并使得平面ABC垂直于平面ACD，则直线AB与CD所成的角为(

)A．90°

B.60°

C.45°

D.30°√解析：如图，取AC，BD，AD的中点，分别为O，M，N，连接ON，OM，MN，则ON∥CD，MN∥AB，所以∠ONM或其补角即为所求的角．因为平面ABC垂直于平面ACD，平面ABC∩平面ACD＝AC，BO⊥AC，AC⊂平面ACD，所以BO⊥平面ACD，因为DO⊂平面ACD，所以BO⊥OD.所以ON＝MN＝OM＝1.所以△OMN是等边三角形，∠ONM＝60°.所以直线AB与CD所成的角为60°.故选B.03课后达标检测[A基础达标]1．(2022·遂宁市射洪中学月考)下列命题中正确的是(

)A．经过三点确定一个平面B．经过两条平行直线确定一个平面C．经过一条直线和一个点确定一个平面D．四边形确定一个平面√解析：对于选项A：经过不共线的三点确定一个平面，故选项A错误，对于选项B：两条平行直线唯一确定一个平面，故选项B正确，对于选项C：经过一条直线和直线外一个点确定一个平面，故选项C错误，对于选项D：因为空间四边形不在一个平面内，故选项D错误．故选B.√2．已知α，β，γ是平面，a，b，c是直线，α∩β＝a，β∩γ＝b，γ∩α＝c，若a∩b＝P，则(

)A．P∈c

B.P∉cC．c∩a＝∅

D.c∩β＝∅解析：因为α∩β＝a，β∩γ＝b，所以a⊂α，b⊂γ，由a∩b＝P，可得P∈a且P∈b，所以P∈α且P∈γ，因为γ∩α＝c，所以P∈c，故选项A正确，选项B不正确；因为P∈c，P∈a，所以c，a有公共点P，故选项C不正确；因为P∈b，b⊂β，所以P∈β，因为P∈c，所以c与β有公共点P，故选项D不正确；故选A.3．在三棱锥A-BCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，若EF∩HG＝P，则点P(

)A．一定在直线BD上B．一定在直线AC上C．在直线AC或BD上D．不在直线AC上，也不在直线BD上解析：如图，因为EF⊂平面ABC，HG⊂平面ACD，EF∩HG＝P，所以P∈平面ABC，P∈平面ACD.又平面ABC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC.故选B.√√4．(2020·高考浙江卷)已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n.“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的(

)A．充分不必要条件

B.必要不充分条件C．充分必要条件

D.既不充分也不必要条件解析：由m，n，l在同一平面内，可能有m，n，l两两平行，所以m，n，l可能没有公共点，所以不能推出m，n，l两两相交．由m，n，l两两相交且m，n，l不经过同一点，可设l∩m＝A，l∩n＝B，m∩n＝C，且A∉n，所以点A和直线n确定平面α，而B，C∈n，所以B，C∈α，所以l，m⊂α，所以m，n，l在同一平面内，故选B.5.(多选)如图，点E，F，G，H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1中棱AA1，AB，BC，C1D1的中点，则(

)A．GH＝2EFB．GH≠2EFC．直线EF，GH是异面直线D．直线EF，GH是相交直线√√解析：如图，取棱CC1的中点N，A1D1的中点M，连接EM，MH，HN，NG，FG，AC，A1C1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为MH∥A1C1∥AC∥FG，所以M，H，F，G四点共面，同理可得E，M，G，N四点共面，E，F，H，N四点共面，所以E，M，H，N，G，F六点共面，均在平面EFGNHM内，因为EF∥HN，HN∩HG＝H，HN，HG，EF⊂平面EFGNHM，所以EF与GH是相交直线．由正方体的结构特征及中位线定理可得EF＝HN＝NG＝FG＝EM＝MH，6．已知在棱长为a的正方体ABCD-A′B′C′D′中，M，N分别为CD，AD的中点，则MN与A′C′的位置关系是________．解析：如图，由题意可知MN∥AC.又因为AC∥A′C′，所以MN∥A′C′.答案：平行7．如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为________．解析：如图，将原图补成正方体ABCD-QGHP，连接AG，GP，则GP∥BD，所以∠APG或其补角为异面直线AP与BD所成的角，在△AGP中，AG＝GP＝AP，8.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1的交点．求证：D1，H，O三点共线．证明：如图，连接BD，B1D1，则BD∩AC＝O，因为BB1綉DD1，所以四边形BB1D1D为平行四边形，又H∈B1D，B1D⊂平面BB1D1D，则H∈平面BB1D1D，因为平面ACD1∩平面BB1D1D＝OD1，所以H∈OD1.即D1，H，O三点共线．9.如图，已知在空间四边形ABCD中，AD＝BC，M，N分别为AB，CD的中点，且直线BC与MN所成的角为30°，求BC与AD所成的角．解：如图，连接BD，并取其中点E，连接EN，EM，则EN∥BC，ME∥AD，故∠ENM(或其补角)为BC与MN所成的角，∠MEN(或其补角)为BC与AD所成的角．由AD＝BC，知ME＝EN，所以∠EMN＝∠ENM＝30°，所以∠MEN＝180°－30°－30°＝120°，即BC与AD所成的角为60°.[B综合应用]10．(多选)如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则直线GH，MN是异面直线的图形有(

)√√解析：

A中GH∥MN；B中，G，H，N三点共面，但M∉平面GMN，因此GH，MN是异面直线；C中连接GM，GM∥HN且GM≠HN，所以直线GH与MN必相交；D中，G，M，N三点共面，但H∉平面GMN，因此GH，MN是异面直线．11．(多选)(2022·潍坊模拟)已知平面α∩平面β＝直线l，点A，C∈平面α，点B，D∈平面β，且A，B，C，D∉l，点M，N分别是线段AB，CD的中点，则下列说法错误的是(

)A．当CD＝2AB时，M，N不可能重合B．M，N可能重合，但此时直线AC与l不可能相交C．当直线AB，CD相交，且AC∥l时，BD可与l相交D．当直线AB，CD异面时，MN可能与l平行√√√解析：

A选项，当CD＝2AB时，若A，B，C，D四点共面且AC∥BD时，M，N两点能重合，可知A错误；B选项，若M，N重合，则AC∥BD，则AC∥平面β，故AC∥l，此时直线AC与直线l不可能相交，可知B正确；C选项，当AB与CD相交，且AC∥l时，直线BD与l平行，可知C错误；D选项，当AB与CD是异面直线时，MN不可能与l平行，可知D错误．故选ACD.√√√又GH∥BD，所以EF∥GH，因此E，F，G，H共面，A项正确；假设FG∥平面ADC成立，因为平面ABC∩平面DAC＝AC，因为FG⊂平面ABC，P∈FG，所以P∈平面ABC，同理P∈平面ADC，因为平面ABC∩平面ADC＝AC，所以P∈AC，所以