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文档简介

第2讲空间点、直线、平面之间的位置关系第七章立体几何考向预测核心素养考查与点、线、面位置关系有关的命题真假判断和求解异面直线所成的角,题型主要以选择题和填空题的形式出现,解题要求有较强的直观想象和逻辑推理等核心素养,主要为中低档题.

直观想象、逻辑推理、数学抽象、数学运算01基础知识回顾一、知识梳理1.平面(1)四个基本事实基本事实1:过________________的三个点,有且只有一个平面.基本事实2:如果一条直线上的________在一个平面内,那么这条直线在这个平面内.不在一条直线上两个点基本事实3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有______过该点的公共直线.基本事实4:平行于同一条直线的两条直线______.(2)“三个”推论

推论1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.推论2:经过两条______直线,有且只有一个平面.推论3:经过两条______直线,有且只有一个平面.一条平行相交平行相交平行任何(2)异面直线所成的角①定义:设a,b是两条异面直线,经过空间中任一点O作直线a′∥a,b′∥b,把a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).②范围:_____________________.[注意]

两直线垂直有两种情况——异面垂直和相交垂直.(3)空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角____________.相等或互补3.空间中直线、平面的位置关系位置关系符号直线和平面直线在平面内a⊂α直线在平面外直线与平面相交a∩α=A直线与平面平行a∥α平面和平面两平面平行α∥β两平面相交α∩β=l

常用结论1.异面直线的判定过平面外一点和平面内一点的直线,与平面内不过该点的直线是异面直线.2.几个唯一性结论(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行;(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直;(3)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.二、教材衍化1.(多选)(人A必修第二册P128练习T2改编)下列命题是假命题的是(

)A.空间任意三个点确定一个平面B.一个点和一条直线确定一个平面C.两两相交的三条直线确定一个平面D.两两平行的三条直线确定三个平面√√√√2.(多选)(人A必修第二册P132习题8.4T9改编)如图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体,则下列说法正确的是(

)A.AB与CD是异面直线B.GH与CD相交C.EF∥CDD.EF与AB异面√√√解析:把展开图还原成正方体,如图所示.还原后点G与C重合,点B与F重合,由图可知ABC正确,EF与AB相交,故D错误,选ABC.3.(人A必修第二册P132习题8.4T5改编)三个平面最多能把空间分为________部分,最少能把空间分成________部分.解析:三个平面可将空间分成4,6,7,8部分,所以三个平面最少可将空间分成4部分,最多分成8部分.答案:8

4一、思考辨析判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若P∈α∩β且l是α,β的交线,则P∈l.(

)(2)若直线a∩b=A,则直线a与b能够确定一个平面.(

)(3)若A∈l,B∈l且A∈α,B∈α,则l⊂α.(

)(4)分别在两个平面内的两条直线是异面直线.(

)√×√√二、易错纠偏1.(多选)(线面关系概念不清致误)若直线a⊥b,且直线a∥平面α,则直线b与平面α的位置关系是(

)A.b⊂α

B.b∥αC.b与α相交

D.以上都不对√√√√2.(对于直线与直线的位置关系考虑不全面致误)若a∥α,b∥β,α∥β,则a,b的位置关系是(

)A.平行

B.异面C.相交

D.平行或异面或相交解析:如图①②③所示,a,b的关系分别是平行、异面、相交.3.(异面直线所成的角概念理解不清致误)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AD的中点,则异面直线B1C与EF所成角的大小为(

)A.30°

B.45°C.60°

D.90°解析:连接B1D1,D1C(图略),则B1D1∥EF,故∠D1B1C或其补角为所求的角.又B1D1=B1C=D1C,所以∠D1B1C=60°.√02核心考点共研考点一基本事实的应用(综合研析)复习指导:理解四个基本事实的作用.(2022·上海市南洋模范中学月考)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,BD1与平面ACB1交于点P,设BD与AC相交于点O.求证:P∈直线B1O.【证明】

因为BD1⊂平面BDD1B1,且BD1与平面ACB1交于点P,所以点P是平面BDD1B1与平面ACB1的公共点,因为平面BDD1B1∩平面ACB1=B1O,所以P∈直线B1O.共面、共线、共点问题的证明(1)证明共面的方法:①先确定一个平面,然后再证其余的线(或点)在这个平面内.②证两平面重合.(2)证明共线的方法:①先由两点确定一条直线,再证其他各点都在这条直线上.②直接证明这些点都在同一条特定直线上.(3)证明线共点问题的常用方法是:先证其中两条直线交于一点,再证其他直线经过该点.|跟踪训练|1.(多选)如图是正方体或四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,则这四个点共面的图是(

)解析:对于A,PS∥QR,故P,Q,R,S四点共面;同理,B,C图中四点也共面;D中四点不共面.√√√2.如图所示,平面α∩平面β=l,A∈α,B∈α,AB∩l=D,C∈β,C∉l,则平面ABC与平面β的交线是(

)A.直线AC

B.直线AB

C.直线CD

D.直线BC解析:由题意知,D∈l,l⊂β,所以D∈β,又因为D∈AB,所以D∈平面ABC,所以点D在平面ABC与平面β的交线上.又因为C∈平面ABC,C∈β,所以点C在平面β与平面ABC的交线上,所以平面ABC∩平面β=CD.√考点二空间位置关系的判断(自主练透)复习指导:认识和理解空间点、线、面的位置关系.1.若平面α和直线a,b满足a∩α=A,b⊂α,则a与b的位置关系是(

)A.相交 B.平行C.异面

D.相交或异面解析:若A∈b,则a与b相交,若A∉b,则a与b异面,故选D.√2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为BC,BB1的中点,则下列直线中与直线EF相交的是(

)A.直线AA1

B.直线A1B1C.直线A1D1

D.直线B1C1解析:根据异面直线的概念可知直线AA1,A1B1,A1D1都和直线EF为异面直线.因为直线B1C1和EF在同一平面内,且这两条直线不平行,所以直线B1C1和直线EF相交.√3.(多选)(链接常用结论1)(2022·广州六校联考)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别是C1D1,BC,A1D1的中点,下列结论正确的是(

)A.AP与CM是异面直线B.AP,CM,DD1相交于一点C.MN∥BD1D.MN∥平面BB1D1D√√解析:连接MP,AC(图略),因为MP∥AC,MP≠AC,所以AP与CM是相交直线,又面A1ADD1∩面C1CDD1=DD1,

所以AP,CM,DD1相交于一点,则A不正确,B正确.令AC∩BD=O,连接OD1,ON.因为M,N分别是C1D1,BC的中点,则四边形MNOD1为平行四边形,所以MN∥OD1,因为MN⊄平面BD1D,OD1⊂平面BD1D,所以MN∥平面BD1D,C不正确,D正确.4.已知a,b是两条直线,α,β是两个平面,则下列说法中正确的序号为________.①若a平行于α内的无数条直线,则a∥α;②若α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b是异面直线;③若α∥β,a⊂α,则a∥β;④若α∩β=b,a⊂α,则a与β一定相交.解析:①忽略了a在α内这一情况,故①错误;②直线a与b没有交点,所以直线a与b可能异面也可能平行,故②错误;③直线a与平面β没有公共点,所以a∥β,故③正确;④直线a与平面β可能相交也可能平行,故④错误.答案:③点、线、面位置关系的判定(1)点、线、面位置关系的判定,注意构造几何体(长方体、正方体)模型来判断,常借助正方体模型,以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系.(2)两条直线异面的判定:反证法或利用异面直线的判定定理.考点三异面直线所成的角(综合研析)复习指导:求异面直线所成的角关键是转化为平面角,常利用平移法解决.√√【解析】(2)如图,过点S作SF∥OE,交AB于点F,连接CF,则∠CSF(或其补角)为异面直线SC与OE所成的角.平移法求异面直线所成角的步骤|跟踪训练|(2022·西安质检)将正方形ABCD沿对角线AC折起,并使得平面ABC垂直于平面ACD,则直线AB与CD所成的角为(

)A.90°

B.60°

C.45°

D.30°√解析:如图,取AC,BD,AD的中点,分别为O,M,N,连接ON,OM,MN,则ON∥CD,MN∥AB,所以∠ONM或其补角即为所求的角.因为平面ABC垂直于平面ACD,平面ABC∩平面ACD=AC,BO⊥AC,AC⊂平面ACD,所以BO⊥平面ACD,因为DO⊂平面ACD,所以BO⊥OD.所以ON=MN=OM=1.所以△OMN是等边三角形,∠ONM=60°.所以直线AB与CD所成的角为60°.故选B.03课后达标检测[A基础达标]1.(2022·遂宁市射洪中学月考)下列命题中正确的是(

)A.经过三点确定一个平面B.经过两条平行直线确定一个平面C.经过一条直线和一个点确定一个平面D.四边形确定一个平面√解析:对于选项A:经过不共线的三点确定一个平面,故选项A错误,对于选项B:两条平行直线唯一确定一个平面,故选项B正确,对于选项C:经过一条直线和直线外一个点确定一个平面,故选项C错误,对于选项D:因为空间四边形不在一个平面内,故选项D错误.故选B.√2.已知α,β,γ是平面,a,b,c是直线,α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c,若a∩b=P,则(

)A.P∈c

B.P∉cC.c∩a=∅

D.c∩β=∅解析:因为α∩β=a,β∩γ=b,所以a⊂α,b⊂γ,由a∩b=P,可得P∈a且P∈b,所以P∈α且P∈γ,因为γ∩α=c,所以P∈c,故选项A正确,选项B不正确;因为P∈c,P∈a,所以c,a有公共点P,故选项C不正确;因为P∈b,b⊂β,所以P∈β,因为P∈c,所以c与β有公共点P,故选项D不正确;故选A.3.在三棱锥A-BCD的边AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,若EF∩HG=P,则点P(

)A.一定在直线BD上B.一定在直线AC上C.在直线AC或BD上D.不在直线AC上,也不在直线BD上解析:如图,因为EF⊂平面ABC,HG⊂平面ACD,EF∩HG=P,所以P∈平面ABC,P∈平面ACD.又平面ABC∩平面ACD=AC,所以P∈AC.故选B.√√4.(2020·高考浙江卷)已知空间中不过同一点的三条直线l,m,n.“l,m,n共面”是“l,m,n两两相交”的(

)A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件解析:由m,n,l在同一平面内,可能有m,n,l两两平行,所以m,n,l可能没有公共点,所以不能推出m,n,l两两相交.由m,n,l两两相交且m,n,l不经过同一点,可设l∩m=A,l∩n=B,m∩n=C,且A∉n,所以点A和直线n确定平面α,而B,C∈n,所以B,C∈α,所以l,m⊂α,所以m,n,l在同一平面内,故选B.5.(多选)如图,点E,F,G,H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1中棱AA1,AB,BC,C1D1的中点,则(

)A.GH=2EFB.GH≠2EFC.直线EF,GH是异面直线D.直线EF,GH是相交直线√√解析:如图,取棱CC1的中点N,A1D1的中点M,连接EM,MH,HN,NG,FG,AC,A1C1,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,因为MH∥A1C1∥AC∥FG,所以M,H,F,G四点共面,同理可得E,M,G,N四点共面,E,F,H,N四点共面,所以E,M,H,N,G,F六点共面,均在平面EFGNHM内,因为EF∥HN,HN∩HG=H,HN,HG,EF⊂平面EFGNHM,所以EF与GH是相交直线.由正方体的结构特征及中位线定理可得EF=HN=NG=FG=EM=MH,6.已知在棱长为a的正方体ABCD-A′B′C′D′中,M,N分别为CD,AD的中点,则MN与A′C′的位置关系是________.解析:如图,由题意可知MN∥AC.又因为AC∥A′C′,所以MN∥A′C′.答案:平行7.如图,四边形ABCD和ADPQ均为正方形,它们所在的平面互相垂直,则异面直线AP与BD所成的角为________.解析:如图,将原图补成正方体ABCD-QGHP,连接AG,GP,则GP∥BD,所以∠APG或其补角为异面直线AP与BD所成的角,在△AGP中,AG=GP=AP,8.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为正方形ABCD的中心,H为直线B1D与平面ACD1的交点.求证:D1,H,O三点共线.证明:如图,连接BD,B1D1,则BD∩AC=O,因为BB1綉DD1,所以四边形BB1D1D为平行四边形,又H∈B1D,B1D⊂平面BB1D1D,则H∈平面BB1D1D,因为平面ACD1∩平面BB1D1D=OD1,所以H∈OD1.即D1,H,O三点共线.9.如图,已知在空间四边形ABCD中,AD=BC,M,N分别为AB,CD的中点,且直线BC与MN所成的角为30°,求BC与AD所成的角.解:如图,连接BD,并取其中点E,连接EN,EM,则EN∥BC,ME∥AD,故∠ENM(或其补角)为BC与MN所成的角,∠MEN(或其补角)为BC与AD所成的角.由AD=BC,知ME=EN,所以∠EMN=∠ENM=30°,所以∠MEN=180°-30°-30°=120°,即BC与AD所成的角为60°.[B综合应用]10.(多选)如图,G,H,M,N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则直线GH,MN是异面直线的图形有(

)√√解析:

A中GH∥MN;B中,G,H,N三点共面,但M∉平面GMN,因此GH,MN是异面直线;C中连接GM,GM∥HN且GM≠HN,所以直线GH与MN必相交;D中,G,M,N三点共面,但H∉平面GMN,因此GH,MN是异面直线.11.(多选)(2022·潍坊模拟)已知平面α∩平面β=直线l,点A,C∈平面α,点B,D∈平面β,且A,B,C,D∉l,点M,N分别是线段AB,CD的中点,则下列说法错误的是(

)A.当CD=2AB时,M,N不可能重合B.M,N可能重合,但此时直线AC与l不可能相交C.当直线AB,CD相交,且AC∥l时,BD可与l相交D.当直线AB,CD异面时,MN可能与l平行√√√解析:

A选项,当CD=2AB时,若A,B,C,D四点共面且AC∥BD时,M,N两点能重合,可知A错误;B选项,若M,N重合,则AC∥BD,则AC∥平面β,故AC∥l,此时直线AC与直线l不可能相交,可知B正确;C选项,当AB与CD相交,且AC∥l时,直线BD与l平行,可知C错误;D选项,当AB与CD是异面直线时,MN不可能与l平行,可知D错误.故选ACD.√√√又GH∥BD,所以EF∥GH,因此E,F,G,H共面,A项正确;假设FG∥平面ADC成立,因为平面ABC∩平面DAC=AC,因为FG⊂平面ABC,P∈FG,所以P∈平面ABC,同理P∈平面ADC,因为平面ABC∩平面ADC=AC,所以P∈AC,所以

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