2024-2025学年高中数学第二章平面向量及其应用6.1第2课时正弦定理课后习题含解析北师大版必修第二册

PAGE第2课时正弦定理课后篇巩固提升基础达标练1.(2024石家庄试验中学高一月考)若圆的半径为4,a,b,c为圆的内接三角形的三边,若abc=162,则三角形的面积为()A.22 B.82 C.2 D.2解析由正弦定理可知asinA=2所以sinA=a2所以S△ABC=12bcsinA=abc答案C2.(多选)(2024山东省高一月考)在△ABC中,a=52,c=10,A=30°,则角B的值可以是()A.105° B.15° C.45° D.135°解析因为a=52,c=10,A=30°,所以由正弦定理可得,asin即5212=10sin因为a<c,所以A<C,则C=45°或C=135°,则角B=105°或B=15°.故选AB.答案AB3.(多选)在△ABC中,内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若a=1,b=3,A=30°,则B=()A.30° B.150° C.60° D.120°解析由正弦定理asin得sinB=bsin又b>a,0°<B<180°,所以B=60°或B=120°.故选CD.答案CD4.(多选)(2024福建宁化第一中学高一月考)以下关于正弦定理或其变形正确的有()A.在△ABC中,若sin2A=sin2B,则a=bB.在△ABC中,a≥bsinAC.在△ABC中,若sinA>sinB,则A>B,若A>B,则sinA>sinB都成立D.在△ABC中,a解析在△ABC中,若sin2A=sin2B,则2A=2B,或A+B=π2,所以a=b或a2+b2=c2,故A错误在△ABC中,由正弦定理得a=bsin因为sinB∈(0,1],所以a≥bsinA,故B正确.在△ABC中,由正弦定理得sinA>sinB⇔a2R>b2R⇔a>b⇔A>B,所以A>B是sinA>sinB在△ABC中,由正弦定理得asinA=bsinB=csinC=2R,所以b+c答案BCD5.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若bsinA=asinC,c=1,则b=,△ABC面积的最大值为.

解析因为bsinA=asinC,所以由正弦定理可得ba=ac,所以b=c=1;所以S△ABC=12bcsinA=12sinA≤12,当sinA=1,即A=90°时,答案116.在单位圆上有三点A,B,C,设△ABC三边长分别为a,b,c,则asinA+b解析因为△ABC的外接圆直径为2R=2,所以asinA=b所以asinA+b2sinB+2c答案77.(2024西藏拉萨中学高三月考(文))在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知a=4,B=2π3,bsinC=2sin(1)求b的值;(2)求△ABC的面积.解(1)因为bsinC=2sinB,所以由正弦定理得bc=2b,即c=2,由余弦定理得b2=22+42-2×2×4cos2π3=所以b=27.(2)因为a=4,c=2,B=2π所以S△ABC=12acsinB=12×4×2×32=实力提升练1.(2024山西太原五中高三月考(文))在△ABC中,AB=1,AC=2,∠C=π6,则∠B=(A.π4 B.πC.3π4 D解析由正弦定理得ABsin所以1sinπ6=2sinB,sinB=22,所以B=答案D2.(2024兰州其次中学高二期中(理))在△ABC中,已知a=x,b=2,B=60°,假如△ABC有两组解,则x的取值范围是()A.x>2 B.x<2C.2<x≤433 D.2解析由正弦定理得asin所以a=433sinA,A+C=180°-60°=120由题意得A有两个值,且这两个值之和为180°,所以利用正弦函数的图象可得60°<A<120°,若A=90°,这样补角也是90°,只有一解,不合题意,所以32<sinA<1,因为x=433则2<x<433.故选答案D3.(多选)已知△ABC三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若b=2asinB,则A等于()A.π6 B.π3 C.5π解析因为b=2asinB,所以由正弦定理得sinB=2sinAsinB,因为0<B<π,所以sinB>0,所以2sinA=1,解得sinA=12因为0<A<π,因此,A=π6,或A=5π6.答案AC4.(多选)(2024河北正定中学高一月考)在△ABC中,依据下列条件解三角形,其中只有一解的是()A.b=7,c=3,C=30°B.b=5,c=4,B=45°C.a=6,b=33,B=60°D.a=20,b=30,A=30°解析b=7,c=3,C=30°,由正弦定理可得sinB=bsinCc=b=5,c=4,B=45°,由正弦定理可得sinC=csinBb=4×22a=6,b=33,B=60°,由正弦定理可得sinA=asinBb=6×3233=1,A=90a=20,b=30,A=30°,由正弦定理可得sinB=bsinAa=30×则B有两个可能值,不符合题意.故选BC.答案BC5.(2024天津静海一中高一月考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且满意2b(1)求角A;(2)若a=43,b=4,求△ABC的面积.解(1)由正弦定理及2b可得2sinB因为sinBsinC≠0,所以2cosA=1,即cosA=12又A∈(0,π),所以A=π3(2)由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA得48=16+c2-4c,所以c2-4c-32=0,即(c-8)(c+4)=0,所以c=8或c=-4(舍去).从而S△ABC=12bcsinA=12×4×8×32=素养培优练(2024北京市陈经纶中学高一期中)欲测量河两岸之间的距离(河的两岸可视为平行),受地理条件和测量工具的限制,采纳了如下方法:如图所示,在河的一岸边选择A,B两个观测点,视察对岸的点C,测得∠CAB=75°,∠CBA=45°,AB=120米,由此可得河宽约为()(精确到1米,参考数据:6≈2.45,sin75°≈0.97)A.170米 B.110米 C.95米 D.80米解