2024-2025学年高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.2第1课时组合一练习含解析新人教A版选修2-3

PAGE1-第一章1.21.2.2第1课时请同学们仔细完成练案[5]A级基础巩固一、选择题1．由Ceq\o\al(x＋1,10)＋Ceq\o\al(17－x,10)可得不相同的值的个数是(B)A．1 B．2C．3 D．4[解析]∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1≤10,17－x≤10,x＋1≥0,17－x≥0))，∴7≤x≤9，又x∈Z，∴x＝7,8,9．当x＝7时，Ceq\o\al(8,10)＋Ceq\o\al(10,10)＝46；当x＝8时，Ceq\o\al(9,10)＋Ceq\o\al(9,10)＝20；当x＝9时，Ceq\o\al(10,10)＋Ceq\o\al(8,10)＝46．2．下面几个问题中属于组合问题的是(C)①由1,2,3,4构成的双元素集合；②5个队进行单循环足球竞赛的分组状况；③由1,2,3构成两位数的方法；④由1,2,3组成无重复数字的两位数的方法．A．①③ B．②④C．①② D．①②④[解析]①②取出元素与依次无关，③④取出元素与依次有关．3．某探讨性学习小组有4名男生和4名女生，一次问卷调查活动须要选择3名同学参与，其中至少一名女生，则不同的选法种数为(C)A．120种 B．84种C．52种 D．48种[解析]间接法：Ceq\o\al(3,8)－Ceq\o\al(3,4)＝52种．4．平面上有12个点，其中没有3个点在一条直线上，也没有4个点共圆，过这12个点中的每三个作圆，共可作圆(A)A．220个 B．210个C．200个 D．1320个[解析]Ceq\o\al(3,12)＝220，故选A．5．(2024·潍坊高二检测)5个代表分4张同样的参观券，每人最多分一张，且全部分完，那么分法一共有(D)A．Aeq\o\al(4,5)种 B．45种C．54种 D．Ceq\o\al(4,5)种[解析]由于4张同样的参观券分给5个代表，每人最多分一张，从5个代表中选4个即可满意，故有Ceq\o\al(4,5)种．6．(2024·佛山高二检测)将标号为A、B、C、D、E、F的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张卡片，其中标号为A、B的卡片放入同一信封，则不同的放法共有(B)A．12种 B．18种C．36种 D．54种[解析]由题意，不同的放法共有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)＝3×eq\f(4×3,2)＝18种．二、填空题7．(2024·遂宁市高二)如图所示，机器人亮亮从A地移动到B地，每次只移动一个单位长度，则亮亮从A移动到B最近的走法共有__80__种．[解析]分步计算，第一步A→C最近走法有2种；其次步C→D最近走法有Ceq\o\al(3,6)＝20种；第三步D→B最近走法有2种，故由A→B最近走法有2×20×2＝80种．故答案为80．8．已知Ceq\o\al(4,n)，Ceq\o\al(5,n)，Ceq\o\al(6,n)成等差数列，则Ceq\o\al(12,n)＝__91__．[解析]∵Ceq\o\al(4,n)，Ceq\o\al(5,n)，Ceq\o\al(6,n)成等差数列，∴2Ceq\o\al(5,n)＝Ceq\o\al(4,n)＋Ceq\o\al(6,n)，∴2×eq\f(n！,5！n－5！)＝eq\f(n！,4！n－4！)＋eq\f(n！,6！n－6！)整理得n2－21n＋98＝0，解得n＝14，n＝7(舍去)，则Ceq\o\al(12,14)＝Ceq\o\al(2,14)＝91．9．对全部满意1≤m<n≤5的自然数m，n，方程x2＋y2Ceq\o\al(m,n)＝1所表示的不同椭圆的个数为__6__．[解析]∵1≤m<n≤5，所以Ceq\o\al(m,n)可以是Ceq\o\al(1,2)，Ceq\o\al(1,3)，Ceq\o\al(2,3)，Ceq\o\al(1,4)，Ceq\o\al(2,4)，Ceq\o\al(3,4)，Ceq\o\al(1,5)，Ceq\o\al(2,5)，Ceq\o\al(3,5)，Ceq\o\al(4,5)，其中C13＝Ceq\o\al(2,3)，Ceq\o\al(1,4)＝Ceq\o\al(3,4)，Ceq\o\al(1,5)＝Ceq\o\al(4,5)，Ceq\o\al(2,5)＝Ceq\o\al(3,5)，∴方程x2＋Ceq\o\al(m,n)y2＝1能表示的不同椭圆有6个．三、解答题10．平面内有10个点，其中任何3个点不共线，(1)以其中随意2个点为端点的线段有多少条？(2)以其中随意两个点为端点的有向线段有多少条？(3)以其中随意三个点为顶点的三角形有多少个？[解析](1)所求线段的条数，即为从10个元素中任取2个元素的组合，共有Ceq\o\al(2,10)＝eq\f(10×9,2×1)＝45(条)，即以10个点中的随意2个点为端点的线段共有45条．(2)所求有向线段的条数，即为从10个元素中任取2个元素的排列，共有Aeq\o\al(2,10)＝10×9＝90(条)，即以10个点中的2个点为端点的有向线段共有90条．(3)所求三角形的个数，即从10个元素中任选3个元素的组合数，共有Ceq\o\al(3,10)＝120(个)．B级素养提升一、选择题1．集合{0,1,2,3}含有3个元素的子集的个数是(A)A．4 B．5C．7 D．8[解析]由于集合中的元素是没有依次的，一个含有3个元素的子集就是一个从{0,1,2,3}中取出3个元素的组合，这是一个组合问题，组合数是Ceq\o\al(3,4)＝4．2．某施工小组有男工7名，女工3名，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工小组，不同的选法有(D)A．Ceq\o\al(3,10)种 B．Aeq\o\al(3,10)种C．Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,7)种 D．Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,7)种[解析]每个被选的人都无依次差别，是组合问题．分两步完成：第一步，选女工，有Ceq\o\al(1,3)种选法；其次步，选男工，有Ceq\o\al(2,7)种选法．故共有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,7)种不同的选法．二、填空题3．甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等，则车票票价的种数是__3__．[解析]甲、乙、丙三地之间的距离不等，故票价不同，同距离两地票价相同，故该问题为组合问题，不同票价的种数为Ceq\o\al(2,3)＝eq\f(3×2,2)＝3．4．若eq\f(1,C\o\al(3,n))－eq\f(1,C\o\al(4,n))<eq\f(2,C\o\al(5,n))，则n的取值集合为__{5,6,7,8,9,10,11}__．[解析]由eq\f(6,nn－1n－2)－eq\f(24,nn－1n－2n－3)<eq\f(240,nn－1n－2n－3n－4)，可得n2－11n－12<0，解得－1<n<12．又n∈N＋，且n≥5，所以n∈{5,6,7,8,9,10,11}．三、解答题5．(2024·遵义高二检测)现有5名男司机，4名女司机，需选派5人运货到某地．(1)假如派3名男司机、2名女司机，共有多少种不同的选派方法？(2)至少有两名男司机，共有多少种不同的选派方法？[解析](1)利用分步乘法计数原理得Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(2,4)＝60种．(2)利用分类加法与分步乘法计数原理Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(5,5)Ceq\o\al(0,4)＝121种．6．已知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C\o\al(x,n)＝C\o\al(2x,n)，,C\o\al(x＋1,n)＝\f(11,3)C\o\al(x－1,n)))，试求x和n的值．[解析]由Ceq\o\al(x,n)＝Ceq\o\al(2x,n)得x＝2x或x＋2x＝n，即x＝0或n＝3x，明显x＝0时Ceq\o\al(x－1,n)无意义，把n＝3x代入