2024-2025学年新教材高中数学课时素养评价四十八互斥事件的概率含解析北师大版必修1

PAGE8-课时素养评价四十八互斥事务的概率(15分钟35分)1.某射手的一次射击中,射中10环,9环,8环的概率分别为0.20,0.30,0.10.则此射手在一次射击中不够8环的概率为 ()A.0.40 B.0.30 C.0.60 【解析】选A.不够8环的概率为1-0.20-0.30-0.10=0.40.2.甲、乙两人下棋,甲获胜的概率为40%,甲不输的概率是90%,则甲、乙两人下和棋的概率是 ()A.60% B.30% C.10% D.50%【解析】选D.“甲获胜”与“甲、乙下成和棋”是互斥事务,“甲不输”即“甲获胜或甲、乙下成和棋”,故P(甲不输)=P(甲胜)+P(甲、乙和棋),所以P(甲、乙和棋)=P(甲不输)-P(甲胜)=90%-40%=50%.3.甲、乙两人有三个不同的学习小组A,B,C可以参与,若每人必需参与并且仅能参与一个学习小组,则两人参与同一个小组的概率为 ()A.13 B.14 C.15【解析】选A.因为甲、乙两人参与学习小组的全部事务有(A,A),(A,B),(A,C),(B,A),(B,B),(B,C),(C,A),(C,B),(C,C),共9个,其中两人参与同一个小组的事务有(A,A),(B,B),(C,C),共3个,所以两人参与同一个小组的概率为39=14.在正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点,则构成的四边形是梯形的概率为 ()A.15 B.25 C.16【解析】选B.如图,在正六边形ABCDEF的6个顶点中随机选择4个顶点,共有15种选法,其中构成的四边形是梯形的有ABEF,BCDE,ABCF,CDEF,ABCD,ADEF,共6种状况,故构成的四边形是梯形的概率P=615=25.盒中装有形态、大小完全相同的5个球,其中红色球3个,黄色球2个.若从中随机取出2个球,则所取出的2个球颜色不同的概率为.

【解析】设3个红色球为A1,A2,A3,2个黄色球为B1,B2,从5个球中,随机取出2个球的事务有:A1A2,A1A3,A1B1,A1B2,A2A3,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2,B1B2共10种.其中2个球的颜色不同的有A1B1,A1B2,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2共6种,所以所求概率为6答案:3【补偿训练】一个盒子里装有标号为1,2,3,4的4张卡片,随机地抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为 ()A.14B.13C.1【解析】选D.从盒中装有数字1,2,3,4的4张卡片中随机抽取2张,有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)共6种,取出的2张卡片上的数字之和为奇数的取法有(1,2),(1,4),(2,3),(3,4)共4种,故取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为46=26.齐王与田忌赛马,田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马,田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马,田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机选一匹进行一场竞赛,求田忌获胜的概率.【解析】分别用A,B,C表示齐王的上、中、下等马,用a,b,c表示田忌的上、中、下等马,现从双方的马匹中随机选一匹进行一场竞赛有Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Bc,Ca,Cb,Cc共9场竞赛,其中田忌获胜的有Ba,Ca,Cb共3场竞赛,所以田忌获胜的概率为13(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.从分别写有A,B,C,D,E的5张卡片中任取2张,这2张卡片上的字母按字母依次恰好是相邻的概率为 ()A.15 B.25 C.310【解析】选B.试验的样本空间Ω={AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE},共有10个样本点,其中事务“这2张卡片上的字母按字母依次恰好是相邻的”包含4个样本点,故所求的概率为410=22.古代“五行”学说认为:“物质分金、木、水、火、土五种属性,金克木,木克土,土克水,水克火,火克金.”从五种不同属性的物质中随机抽取两种,则抽取的两种物质不相克的概率为 ()A.310 B.25 C.12【解析】选C.试验的样本空间Ω={金木,金水,金火,金土,木水,木火,木土,水火,水土,火土},共10个样本点,事务“抽取的两种物质不相克”包含5个样本点,故其概率为510=13.甲、乙两人玩猜数字嬉戏,先由甲心中想一个数字,记为a,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为b,其中a,b∈{1,2,3,4,5,6},若a=b或a=b-1,就称甲、乙“心有灵犀”,现在随意找两人玩这个嬉戏,则他们“心有灵犀”的概率为 ()A.736 B.14 C.1136【解析】选C.由于甲、乙各记一个数,则样本点总数为6×6=36个,而满意a=b或a=b-1的共有(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6)11个.所以概率P=11364.(2024·全国卷Ⅱ)生物试验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标,若从这5只兔子中随机取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为()A.23 B.35 C.25【解析】选B.从5只兔子中随机取出3只,总的样本点有10种;又因为只有3只测量过某项指标,故恰有2只测量过该指标的种数为6,则恰有2只测量过该指标的概率为610,即3二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.黄种人群中各种血型的人所占的比例见下表:血型ABABO该血型的人所占比例0.280.290.080.35已知同种血型的人可以输血,O型血可以给任何一种血型的人输血,任何血型的人都可以给AB血型的人输血,其他不同血型的人不能相互输血,下列结论正确的是 ()A.任找一个人,其血可以输给B型血的人的概率是0.64B.任找一个人,B型血的人能为其输血的概率是0.29C.任找一个人,其血可以输给O型血的人的概率为1D.任找一个人,其血可以输给AB型血的人的概率为1【解析】选AD.任找一个人,其血型为A、B、AB、O型血的事务分别记为A′、B′、C′、D′,它们两两互斥.由已知,有P(A′)=0.28,P(B′)=0.29,P(C′)=0.08,P(D′)=0.35.因为B,O型血可以输给B型血的人,所以“可以输给B型血的人”为事务B′∪D′,依据概率的加法公式,得P(B′∪D′)=P(B′)+P(D′)=0.29+0.35=0.64,故A正确;B型血的人能为B型、AB型的人输血,其概率为0.29+0.08=0.37,B错误;由O型血只能接受O型血的人输血知,C错误;由任何人的血都可以输给AB型血的人,知D正确.6.事务A,B互斥,它们都不发生的概率为25,且P(A)=2P(B),则A.P(A)=35 B.P(B)=C.P(A)=45 D.P(B)=3【解析】选AB.由题得P(A)+P(B)=1-25=3因为P(A)=2P(B),所以P(A)=25,P(B)=1所以P(A)=1-P(A)=35,P(B)=1-P(B)=4三、填空题(每小题5分,共10分)7.从集合A={-3,-2,-1,2}中随机选取一个数记为k,从集合B={-2,1,2}中随机选取一个数记为b,则k>0,b>0的概率为.

【解析】依据题意可知,总的样本点(k,b)共有4×3=12个,事务“k>0,b>0”包含的样本点有(2,1),(2,2),共2个,依据古典概型的概率计算公式可知所求概率P=212=答案:18.如图所示,a,b,c,d,e是处于断开状态的开关,随意闭合其中的两个,则电路接通的概率是.

【解析】“随意闭合其中的两个开关”所包含的样本点总数是10,“电路接通”包含6个样本点,所以电路接通的概率P=35答案:3四、解答题(每小题10分,共20分)9.学校射击队的某一选手射击一次,其命中环数的概率如表:命中环数10环9环8环7环概率0.320.280.180.12求该选手射击一次,(1)命中9环或10环的概率;(2)至少命中8环的概率;(3)命中不足8环的概率.【解析】记“射击一次,命中k环”为事务Ak(k=7,8,9,10).(1)因为A9与A10互斥,所以P(A9∪A10)=P(A9)+P(A10)=0.28+0.32=0.60.(2)记“至少命中8环”为事务B.B=A8∪A9∪A10,又A8,A9,A10两两互斥,所以P(B)=P(A8)+P(A9)+P(A10)=0.18+0.28+0.32=0.78.(3)记“命中不足8环”为事务C.则事务C与事务B是对立事务.所以P(C)=1-P(B)=1-0.78=0.22.10.一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次,每次抽取1张,将抽取的卡片上的数字依次记为a,b,c.求:(1)“抽取的卡片上的数字满意a+b=c”的概率;(2)“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率.【解析】(1)由题意知,试验的样本空间Ω={(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3)},共27个样本点.设“抽取的卡片上的数字满意a+b=c”为事务A,则事务A={(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3)},共3个.所以P(A)=327=19.因此,“抽取的卡片上的数字满意a+b=c”的概率为(2)设“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”为事务B,则事务B包括(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),共3个.所以P(B)=1-P(B)=1-327=8因此,“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率为891.假如事务A与B是互斥事务,且事务A∪B发生的概率是0.64,事务B发生的概率是事务A发生的概率的3倍,则事务A发生的概率为.

【解析】设P(A)=x,P(B)=3x,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=x+3x=0.64.所以P(A)=x=0.16.答案:0.16【补偿训练】从4名男生和2名女生中任选3人参与演讲竞赛,所选3人中至少有1名女生的概率为45,那么所选3人中都是男生的概率为【解析】设A={3人中至少有1名女生},B={3人都为男生},则A、B为对立事务,所以P(B)=1-P(A)=15答案:12.已知国家某5A级大型景区对拥挤等级与每日游客数量n(单位:百人)的关系有如下规定:当n∈[0,100)时,拥挤等级为“优”;当n∈[100,200)时,拥挤等级为“良”;当n∈[200,300)时,拥挤等级为“拥挤”;当n≥300时,拥挤等级为“严峻拥挤”.该景区对6月份的游客数量作出如图的统计数据:(1)表格是依据统计数据得到的频率分布表,求出a,b的值,并估计该景区6月份游客人数的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).游客数量(单位:百人)[0,100)[100,200)[200,300)[300,400]