计算机图形学课件第11讲二维变换及二维观察

Theclassisbegin!2025/1/311信息科学与工程学院第6章二维变换及二维观察提出问题如何对二维图形进行方向、尺寸和形状方面的变换如何方便地实现在显示设备上对二维图形进行观察图形变换的作用可由简单图形得到复杂图形，方便用户观察可应用户需求随时对图形进行连续几何变换2025/1/312信息科学与工程学院6.1根本概念2025/1/313信息科学与工程学院齐次坐标表示就是用n+1维向量表示一个n维向量。如：在二维平面中，点p[x,y]的齐次坐标表示为[hx,hy,h]，h为任一不为0的比例系数。在三维、四维……n维空间中依此类推。可见，某点的齐次坐标是不唯一的。2025/1/314信息科学与工程学院保证齐次坐标惟一性的方法就是定义标准化齐次坐标表示。标准化齐次坐标表示就是h=1的齐次坐标表示。标准化齐次坐标表示提供了用矩阵运算把二维、三维甚至更高维空间中的一个点集从一个坐标系变换到另一个坐标系的有效方法。2025/1/315信息科学与工程学院在定义了标准化齐次坐标后，图形变换可以表示为图形点集的标准化齐次坐标矩阵与某一变换矩阵进行矩阵相乘的形式。如，二维齐次变换矩阵，简称为二维变换矩阵为：2025/1/316信息科学与工程学院图形的几何变换是指对图形的几何信息经过平移、比例、旋转等变换后产生新的图形，是图形在方向、尺寸和形状方面的变换。6.1.2几何变换2025/1/317信息科学与工程学院6.1.3二维变换矩阵设p(x,y)为xOy平面上二维图形变换前的一点，变换后该点为p`(x`,y`)，通过引入标准化齐次坐标可进行如下变换：比例、旋转、对称、错切等变换平移变换投影变换整体比例变换2025/1/318信息科学与工程学院6.2根本几何变换根本几何变换都是相对于坐标原点和坐标轴进行的几何变换【声明】在以下的讲述中，均假定用p(x,y)表示平面xOy上一个未被变换点，该点经某种变换后变为新点用p`(x`,y`)表示。2025/1/319信息科学与工程学院6.2.1平移变换平移是指将p点沿直线路径从一个坐标位置移到另一个坐标位置的重定位过程。p点经平移变换后有：x`=x+Txy`=y+TyTx、Ty分别为x方向、y方向的平移矢量平移是一种不产生变形而移动物体的刚体变换〔rigid-bodytransformation〕2025/1/3110信息科学与工程学院引入齐次坐标和二维变换矩阵后，平移变换的计算形式可写为：6.2.1

平移变换[x`y`1]=[xy1]*=[x+Txy+Ty1]平移变换矩阵2025/1/3111信息科学与工程学院6.2.2比例变换比例变换是指对p点相对于坐标原点沿x方向放缩Sx倍，沿y方向放缩Sy倍。p点经比例变换后有：x`=x.Sxy`=y.SySx和Sy称为比例系数2025/1/3112信息科学与工程学院引入齐次坐标和二维变换矩阵后，比例变换的计算形式如下：6.2.2比例变换[x`y`1]=[xy1]*=[x.Sxy.Sy1]比例矩阵2025/1/3113信息科学与工程学院6.2.2比例变换比例变换可改变物体的大小2025/1/3114信息科学与工程学院可推导得，当Sx=Sy时，称为整体比例变换，可用以下矩阵进行计算:6.2.2比例变换[x`y`1]=[xy1]*=[xyS]=[x/Sy/S1]考虑：S>1、0<S<1、S<0的情况？2025/1/3115信息科学与工程学院6.2.3旋转变换二维旋转是指将p点绕坐标原点转动某个角度θ〔逆时针为正，顺时针为负〕得到新的点p’的重定位过程。2025/1/3116信息科学与工程学院6.2.3旋转变换对于给定的p点(x,y)，其极坐标形式为：x=rcosαy=rsinα于是p`(x`,y`)：x`=rcos(α+θ)=…=xcosθ-ysinθy`=rsin(α+θ)=…=xsinθ+ycosθ2025/1/3117信息科学与工程学院可推导得，逆时针旋转θ角的齐次坐标计算形式为：练习：顺时针旋转θ角?6.2.3旋转变换[x`y`1]=[xy1]*=[xcosθ–ysinθxsinθ+ycosθ1]2025/1/3118信息科学与工程学院当θ(此时为弧度值)很小时，cosθ≈1,sinθ≈θ,那么简化计算形式：6.2.3旋转变换2025/1/3119信息科学与工程学院6.2.4对称变换对称变换〔反射变换、镜像变换〕后的图形是原图形关于某一轴线或原点的镜像。2025/1/3120信息科学与工程学院6.2.4对称变换2025/1/3121信息科学与工程学院(1)关于x轴对称点p(x,y)经过关于x轴的对称变换后形成点p`(x`,y`)，那么x`=x,y`=-y，写成齐次坐标计算形式为:[x`y`1]=[xy1]*=[x-y1]2025/1/3122信息科学与工程学院(2)关于y轴对称[x`y`1]=[xy1]*=[-xy1]2025/1/3123信息科学与工程学院(3)关于原点对称[x`y`1]=[xy1]*=[-x-y1]2025/1/3124信息科学与工程学院(4)关于y=x轴对称[x`y`1]=[xy1]*=[yx1]2025/1/3125信息科学与工程学院(5)关于y=-x轴对称[x`y`1]=[xy1]*=[-y-x1]2025/1/3126信息科学与工程学院6.2.5错切变换错切变换，也称为剪切、错位变换，用于产生弹性物体的变形处理。2025/1/3127信息科学与工程学院变换矩阵的非对角元素不为0，那么意味着x,y同时对图形的变换起作用，即把图形沿x轴或y轴错切。

6.2.5错切变换[x`y`1]=[xy1]*=[x+cybx+y1]2025/1/3128信息科学与工程学院沿x方向错切

当b=0时，(x`y`1)=(x+cyy1)：图形的y坐标不变。当c>0：图形沿+x方向作错切位移。ABCD→A1B1C1D1当c<0：图形沿-x方向作错切位移。ABCD→A2B2C2D22025/1/3129信息科学与工程学院沿y方向错切当c=0时,(x`

y`1)=(xbx+y1):图形的x坐标不变。当b>0：图形沿+y方向作错切位移。ABCD→A1B1C1D1当b<0：图形沿-y方向作错切位移。ABCD→A2B2C2D22025/1/3130信息科学与工程学院两个方向错切当b

0且c

0时，(x`

y`1)=(x+cybx+y1)：图形沿x,y两个方向作错切位移。∴错切变换引起图形角度关系的改变，甚至导致图形发生变形。2025/1/3131信息科学与工程学院过渡以上的分析均是以点的变换为根底的，但得到的变换矩阵是完全可以推广到直线、多边形等二维图形的几何变换的变换中即二维图形的几何变换均可表示成齐次坐标与3阶的二维变换矩阵T的乘法形式。2025/1/3132信息科学与工程学院6.2.6二维图形几何变换的计算一般，几何变换均可表示成P’=P*T的形式，其中，P为变换前二维图形的标准化齐次坐标，P`为变换后二维图形的标准化齐次坐标，T为变换矩阵。2025/1/3133信息科学与工程学院点的变换将点表示为标准化齐次坐标形式，可为行矩阵〔或列矩阵〕，那么P’=P*T的形式可写为：[x`y`1]=[xy1]*T2025/1/3134信息科学与工程学院直线的变换直线的变换可通过对直线两端点进行变换，从而改变直线的位置和方向。直线两端点的标准化齐次坐标矩阵为：与变换矩阵相乘，P’=P*T，即x1y11x2y21x1`y1`1x2`y2`1x1y11x2y21.T=2025/1/3135信息科学与工程学院多边形的变换多边形的变换是将变换作用于每个顶点的坐标位置，并按新的顶点坐标和当前属性设置来生成新的多边形。具体操作为：首先将各个顶点坐标写成矩阵形式，然后集中一起与变换矩阵相乘。例如：有n个顶点的多边形，顶点矩阵为：2025/1/3136信息科学与工程学院多边形的变换与变换矩阵相乘，P’n=Pn*T，即x1y11x2y21………xnyn1.T=