2024-2025学年新教材高中数学第3章指数运算与指数函数1指数幂的拓展学案含解析北师大版必修第一册

PAGE2-§1指数幂的拓展学习目标核心素养1．理解分数指数幂的概念，会进行分数指数幂与根式的互化．(重点)2．了解无理数指数幂的概念，了解无理数指数幂可以用有理数指数幂靠近的思想方法．(易混点)1．通过指数幂的拓展的学习，培育逻辑推理素养．2．通过分数指数幂与根式的互化，培育数学运算素养．1．根式(1)定义：式子eq\r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．(2)性质：(n＞1，且n∈N*)①eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(n,a)))eq\s\up8(n)＝a．②eq\r(n,an)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，n为奇数，,|a|，n为偶数．))2．正分数指数幂给定正数a，和正整数m，n(n＞1，且m，n互素)，若存在唯一的正数b，使得bn＝am，则称b为a的eq\f(m,n)次幂，记作b＝aeq\s\up6(\f(m,n))，这就是正分数指数幂．3．分数指数幂分数指数幂正分数指数幂规定：aeq\s\up6(\f(m,n))＝eq\r(n,am)(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)负分数指数幂规定：aeq\s\up6(－\f(m,n))＝eq\f(1,a\s\up6(\f(m,n)))＝eq\f(1,\r(n,am))(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)0的分数指数幂0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义思索：根式与分数指数幂有什么关系？提示：eq\r(n,am)＝aeq\s\up6(\f(m,n))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a>0，m，n∈N＋，且n>1)).1．计算243eq\s\up6(\f(1,5))等于()A．9B．3C．±3D．－3B[由35＝243，得243eq\s\up6(\f(1,5))＝3.]2．若b－3n＝5m(m，n∈N＋)，则bA．5eq\s\up6(－eq\f(3n,m))B．5eq\s\up6(－eq\f(m,3n))C．5eq\s\up6(eq\f(3n,m)) D．5eq\s\up6(eq\f(m,3n))[答案]B3．用分数指数幂表示下列各式(式中a>0)，(1)eq\r(a3)＝________；(2)eq\f(1,\r(3,a5))＝________．(1)aeq\s\up6(\f(3,2))(2)aeq\s\up6(－eq\f(5,3))[(1)eq\r(a3)＝aeq\s\up6(\f(3,2)).(2)eq\f(1,\r(3,a5))＝eq\f(1,a\s\up6(\f(5,3)))＝aeq\s\up6(－eq\f(5,3)).]4．若－1<x<2，化简eq\r(x2－4x＋4)－eq\r(x2＋2x＋1).[解]原式＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－2))\s\up8(2))－eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋1))\s\up8(2))＝|x－2|－|x＋1|.∵－1<x<2，∴x＋1>0，x－2<0，∴原式＝2－x－x－1＝1－2x.根式的化简与求值【例1】化简：(1)eq\r(n,（x－π）n)(x＜π，n∈N*)；(2)eq\r(4,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋2))\s\up8(4)).[解](1)∵x＜π，∴x－π＜0.当n为偶数时，eq\r(n,（x－π）n)＝|x－π|＝π－x；当n为奇数时，eq\r(n,（x－π）n)＝x－π.综上可知，eq\r(n,（x－π）n)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(π－x，n为偶数，n∈N*，,x－π，n为奇数，n∈N*.))(2)eq\r(4,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋2))\s\up8(4))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋2))＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2，x≥2,－x－2，x<－2)).正确区分eq\r(n,an)与eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(n,a)))eq\s\up8(n)(1)eq\r(n,an)表示a的n次方的n次方根，而eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(n,a)))eq\s\up8(n)表示a的n次方根的n次方，因此从运算角度看，运算依次不同．(2)运算结果不同①eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(n,a)))eq\s\up8(n)＝a.②eq\r(n,an)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，n为奇数，,|a|，n为偶数．))eq\a\vs4\al([跟进训练])1．若xy≠0，则使eq\r(4x2y2)＝－2xy成立的条件可能是()A．x＞0，y＞0 B．x＞0，y＜0C．x≥0，y≥0 D．x＜0，y＜0B[∵eq\r(4x2y2)＝2|xy|＝－2xy，∴xy≤0.又∵xy≠0，∴xy＜0，故选B.]2．若eq\r(（2a－1）2)＝eq\r(3,（1－2a）3)，则实数a的取值范围为________．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))[eq\r(（2a－1）2)＝|2a－1|，eq\r(3,（1－2a）3)＝1－2a.因为|2a－1|＝1－2a，故2a－1≤0，所以a≤eq\f(1,2).]根式与分数指数幂的互化【例2】(1)3eq\s\up6(\f(3,2))可化为()A．eq\r(2) B．eq\r(3,3)C．eq\r(3,27) D．eq\r(27)(2)eq\r(5,a－2)可化为()A．aeq\s\up8(－eq\f(2,5)) B．aeq\s\up6(\f(5,2))C．aeq\s\up6(\f(2,5)) D．－aeq\s\up6(\f(5,2))[思路点拨]娴熟应用eq\r(n,am)＝aeq\s\up6(\f(m,n))是解决该类问题的关键．(1)D(2)A[(1)3eq\s\up6(\f(3,2))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(33))eq\s\up6(\f(1,2))＝eq\r(27).(2)eq\r(5,a－2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－2))eq\s\up6(\f(1,5))＝aeq\s\up8(－eq\f(2,5)).]根式与分数指数幂的互化规律1．关于式子eq\r(n,am)＝aeq\s\up8(eq\f(m,n))的两点说明(1)根指数n即分数指数的分母；(2)被开方数的指数m即分数指数的分子．2．通常规定aeq\s\up6(\f(m,n))中的底数a>0.eq\a\vs4\al([跟进训练])3．将下列各根式化为分数指数幂的形式：(1)eq\f(1,\r(3,a))；(2)eq\r(4,（a－b）3).[解](1)eq\f(1,\r(3,a))＝eq\f(1,a\s\up10(\f(1,3)))＝aeq\s\up6(－eq\f(1,3)).(2)eq\r(4,（a－b）3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－b))eq\s\up6(\f(3,4)).求指数幂aeq\s\up6(\f(m,n))的值【例3】求下列各式的值：(1)64eq\s\up6(\f(2,3))；(2)81eq\s\up6(－eq\f(1,4)).[思路点拨]结合分数指数幂的定义，即满意bn＝am时，aeq\s\up6(\f(m,n))＝b(m，n∈N＋，a，b>0)求解．[解](1)设64eq\s\up6(\f(2,3))＝x，则x3＝642＝4096，又∵163＝4096，∴64eq\s\up6(\f(2,3))＝16.(2)设81eq\s\up6(－eq\f(1,4))＝x,则x4＝81－1＝eq\f(1,81)，又∵(eq\f(1,3))4＝eq\f(1,81)，∴81eq\s\up6(－eq\f(1,4))＝eq\f(1,3).解决此类问题时，依据分数指数幂的定义将分数指数幂转化为熟识的整数指数幂，进而转化为正整数指数幂．eq\a\vs4\al([跟进训练])4．求下列各式的值：(1)125eq\s\up6(\f(1,3))；(2)128eq\s\up6(－eq\f(1,7)).[解](1)设125eq\s\up6(\f(1,3))＝x，则x3＝125，又∵53＝125，∴x＝5.(2)设128eq\s\up6(－eq\f(1,7))＝x，则x7＝128－1＝eq\f(1,128)，又∵(eq\f(1,2))7＝eq\f(1,128)，∴128eq\s\up6(－eq\f(1,7))＝eq\f(1,2).正分数指数幂，规定：aeq\s\up6(\f(m,n))＝eq\r(n,am)(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)，负分数指数幂，规定：aeq\s\up6(－eq\f(m,n))＝eq\f(1,a\s\up6(\f(m,n)))＝eq\f(1,\r(n,am))(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)，零的分数指数幂，0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．1．思索辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)2eq\s\up6(\f(2,3))表示eq\f(2,3)个2相乘． ()(2)aeq\s\up6(\f(m,n))＝eq\r(m,an)(a>0，m，n∈N＋，且n>1). ()(3)aeq\s\up6(－eq\f(m,n))＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N＋，且n>1). ()[答案](1)×(2)×(3)√2.eq\r(3,a－2)可化为()A.aeq\s\up6(－eq\f(2,3))B．aeq\s\up6(－eq\f(3,2))C．aeq\s\up6(\f(2,3)) D．－aeq\s\up6(\f(2,3))[答案]A3．25eq\s\up6(\f(3,2))＝()A.5B．15C．25D．125[答案]D4.求值：(1)8eq\s\up6(\f(2,3))；(2)25eq\s\up6(－eq\f(1,2))；(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up8(5)；(4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,81)))eq\s\up6(－eq\f(3,4)).[解](1)设8eq\s\up6(\f(2,3))＝x，则x3＝82＝64，又∵43＝64，∴8eq\s\up6(\f(2,3))＝4.(2)设25eq\s\up6(－eq\f(1,2))＝x，则x2＝25－1＝eq\f(1,25)，又∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))eq\s\up8(2)＝eq\f(1,25)，∴25eq\s\up6(－eq\f(1,2))＝eq\f(1,5).(3)(eq\f(1,2))5＝eq\f(1,32).(4)设eq