2024-2025学年高中数学第二章数列2.2第1课时等差数列的定义及通项公式学案含解析新人教A版必修5

PAGE1-2．2等差数列第1课时等差数列的定义及通项公式[目标]1.会用等差数列的定义推断数列是等差数列；2.记住等差数列的通项公式，并能进行相关的运算；3.记住等差中项的概念，并能进行简洁的应用．[重点]等差数列的定义、通项公式、等差中项及应用．[难点]等差数列概念的理解，归纳法推导通项公式．学问点一等差数列的定义[填一填]一般地，假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．[答一答]1．怎样推断一个数列是等差数列？提示：推断数列{an}是等差数列，只需判定an＋1－an(n∈N*)是一个常数即可．2．下列数列是等差数列的是①②.①an＝－3n②an＝－1③an＝n2④an＝3n－1解析：依据等差数列的定义来推断．对于①，an＋1－an＝－3(n＋1)－(－3n)＝－3，是常数，故为等差数列；对于②，an＋1－an＝0，是常数，故为等差数列；对于③，an＋1－an＝(n＋1)2－n2＝2n＋1,2n＋1是依靠于n的变量，不是常数，故不是等差数列，另外，我们也可以写出此数列的前几项：1,4,9,16，…，视察并依据定义易知其不是等差数列；对于④，an＋1－an＝(3n＋1－1)－(3n－1)＝2×3n,2×3n是依靠于n的变量，不是常数，故不是等差数列．我们也可以写出此数列的前几项来推断．学问点二等差中项[填一填]在由三个数a，A，b组成的等差数列中，A叫做a与b的等差中项．这三个数满意关系式2A＝a＋b[答一答]3．能否由2an＝an－1＋an＋1(n≥2)来证明{an}是等差数列？提示：能．由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项(有穷数列的末项除外)都是它前一项与后一项的等差中项．反之，若数列{an}中随意相邻三项an－1，an，an＋1(n≥2)满意an＝eq\f(an－1＋an＋1,2)，则该数列是等差数列．学问点三等差数列的通项公式[填一填]假如等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么通项公式an＝a1＋(n－1)d递推公式an＋1－an＝d(或an－an－1＝d(n≥2))[答一答]4．在等差数列{an}中，公差为d.若m，n∈N*，且m≤n，则am与an的关系是怎样的？提示：由等差数列的通项公式得an＝a1＋(n－1)d，am＝a1＋(m－1)d，以上两式左、右两边分别相减得an－am＝(n－m)d，即an＝am＋(n－m)d(m≤n)．5．若数列{an}的通项公式an＝pn＋q，n∈N*，那么该数列{an}肯定为等差数列吗？为什么？提示：该数列肯定为等差数列．因为an＋1－an＝p(n＋1)＋q－(pn＋q)＝p(p为常数)，满意等差数列的定义．类型一等差数列的通项公式及其应用[例1](1)在等差数列{an}中，首项a1＝－1，公差d＝3，则当an＝2018时，n等于()A．671 B．672C．673 D．674(2)在等差数列40,37,34，…中，第一个负数项是()A．第13项 B．第14项C．第15项 D．第16项(3)在等差数列{an}中，若a3＝12，a6＝27，则其通项公式为________．[分析](1)与(2)均可先求通项公式，再利用通项公式解决相应问题；(3)可依据已知条件建立关于a1和d的方程组，求得a1和d即可得到通项公式．[解析](1)因为an＝a1＋(n－1)d，所以－1＋3(n－1)＝2018，解得n＝674，故选D.(2)首项a1＝40，公差d＝－3，所以an＝40－3(n－1)＝43－3n.令an＝43－3n<0，解得n>eq\f(43,3).因为n∈N*，所以n≥15，即第一个负数项是第15项．(3)设首项为a1，公差为d，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋2d＝12，,a1＋5d＝27，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝2，,d＝5，))故an＝2＋5(n－1)＝5n－3.[答案](1)D(2)C(3)an＝5n－3在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素；有关等差数列的问题，假如条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1，d的关系列方程组求解，但是，要留意公式的变形及整体计算，以削减计算量.[变式训练1](1)在等差数列{an}中，已知a1＝eq\f(1,3)，a2＋a5＝4，an＝33，则n＝(C)A．48 B．49C．50 D．51解析：设公差为d，则a1＋d＋a1＋4d＝4，又a1＝eq\f(1,3)，∴d＝eq\f(2,3)，∴an＝eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)(n－1)＝eq\f(2,3)n－eq\f(1,3)，由an＝33得eq\f(2,3)n－eq\f(1,3)＝33，∴n＝50.(2)a1＝eq\f(1,25)，公差d>0，且从第10项起先每项都大于1，则此等差数列公差d的取值范围是eq\f(8,75)<d≤eq\f(3,25).解析：依题意应有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a10>1，,a9≤1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,25)＋9d>1，,\f(1,25)＋8d≤1，))解得eq\f(8,75)<d≤eq\f(3,25).类型二等差数列的判定[例2](1)已知数列{an}的通项公式为an＝4－2n，求证：数列{an}是等差数列；(2)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝1－eq\f(1,4an)，bn＝eq\f(2,2an－1)，其中n∈N*.求证：数列{bn}是等差数列．[分析]依据等差数列的定义即可证明．[证明](1)∵an＝4－2n，∴an＋1＝4－2(n＋1)＝2－2n.∴an＋1－an＝(2－2n)－(4－2n)＝－2.∴{an}是等差数列．(2)∵bn＋1－bn＝eq\f(2,2an＋1－1)－eq\f(2,2an－1)＝eq\f(2,2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4an)))－1)－eq\f(2,2an－1)＝eq\f(4an,2an－1)－eq\f(2,2an－1)＝2(n∈N*)，且b1＝eq\f(2,2×1－1)＝2，∴数列{bn}是以2为首项，2为公差的等差数列．推断数列{an}是否为等差数列，主要是利用等差数列的定义，即验证其通项是否满意an＋1－an＝d(n∈N*)．详细步骤为(1)确定数列{an}的通项公式；(2)由an表示an＋1，即将an中的n替换为n＋1得an＋1；(3)作差：an＋1－an，并推断其结果是否为常数；(4)总结：若an＋1－an是常数(即一个与n无关的数)，则数列{an}是等差数列，否则数列{an}不是等差数列．

[变式训练2]已知数列{an}满意a1＝2，an＋1＝eq\f(2an,an＋2).求证：数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差数列．证明：∵a1＝2，an＋1＝eq\f(2an,an＋2)，∴eq\f(1,an＋1)＝eq\f(an＋2,2an)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,an)，∴eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝eq\f(1,2).则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是首项为eq\f(1,a1)＝eq\f(1,2)，公差为d＝eq\f(1,2)的等差数列．类型三等差中项[例3](1)三个数成等差数列，它们的和为21，它们的平方和为155，求这三个数；(2)已知四个数成等差数列，它们的和为28，中间两项的积为40，求这四个数．[分析]若干脆设所求的三个数或四个数列方程，未知数个数较多，且方程组难解．可采纳对称设法，既削减了未知数的个数，又降低了计算量．[解](1)设这三个数分别为a－d，a，a＋d.则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－d＋a＋a＋d＝21，,a－d2＋a2＋a＋d2＝155，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝7，,d＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝7，,d＝－2，))∴这三个数分别为5,7,9或9,7,5.(2)设这四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－3d＋a－d＋a＋d＋a＋3d＝28，,a－da＋d＝40，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝7，,d＝3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝7，,d＝－3.))∴这四个数依次为－2,4,10,16或16,10,4，－2.[名师点评](1)设未知数时，尽量削减未知数的个数．(2)结果应给出由大到小和由小到大两种状况．若三个数a、b、c成等差数列，则a＋c＝2b，即b为a、c的等差中项，这个结论在已知等差数列的题中常常用到．[变式训练3]已知三个数成等差数列，它们的和为9，积为－21，求这三个数．解析：设这三个数为a－d，a，a＋d.由题意可得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－d＋a＋a＋d＝9，,a－d·a·a＋d＝－21，))解得a＝3，d＝±4，当d＝4时，三个数分别为－1,3,7；当d＝－4时，三个数分别为7,3，－1.1．已知等差数列{an}的首项a1＝2，公差d＝3，则数列{an}的通项公式为(A)A．an＝3n－1 B．an＝2n＋1C．an＝2n＋3 D．an＝3n＋2解析：∵an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)·3＝3n－1.2．等差数列的前3项依次是x－1，x＋1,2x＋3，则其通项公式为(B)A．an＝2n－5 B．an＝2n－3C．an＝2n－1 D．an＝2n＋1解析：∵x－1，x＋1,2x＋3是等差数列的前3项，∴2(x＋1)＝x－1＋2x＋3，解得x＝0.∴a1＝x－1＝－1，a2＝1，a3＝3，∴d＝2，∴an＝－1＋2(n－1)＝2n－3.3．等差数列的第3项是7，第11项是－1，则它的第7项是3.解析：设首项为a1，公差为d，由a3＝7，a11＝－1得，a1＋2d＝7，a1＋10d＝－1，所以a1＝9，d＝－1，则a7＝3.4．已知：1，x，y,10构成等差数列，则x，y的值分别为4,7.解析：由已知，x是1和y的等差中项，即2x＝1＋y①，y是x和10的等差中项，即2y＝x＋10②，由①②可解得x＝4，y＝7.5．在等差数列{an}中，(1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d；(2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9.解：(1)由题意，知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋5－1d＝－1，,a1＋8－1d＝2.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－5，,d＝1.))(2)由题意，知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a1＋6－1d＝12，,a1＋4－1d＝7.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝2.))∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1.∴a9＝2×9－1＝17.——本课须驾驭的两大问题1．在学习等差数列的定义时，应留意如下问题学习等差数列定义时需留意以下三点：(1)留意定义中“从第2项起”这一前提条件．这一条件有两层意义，其一，第一项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合；其二，必需从第2项起保证使数列中各项均与其前面一项作差．如若不然，从第3项(或第4项，…)起作差，则势必遗漏前若干项．(2)留意定义中“每一项与它的前一项的差”这一运算要求，它的含