2024-2025学年高中数学第三章三角恒等变形课时作业263.3.2半角公式含解析北师大版必修4

课时作业26半角公式时间：45分钟满分：100分——基础巩固类——一、选择题(每小题5分，共40分)1．cos2eq\f(π,8)－eq\f(1,2)的值为(D)A．1B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(\r(2),4)解析：原式＝eq\f(1＋cos\f(π,4),2)－eq\f(1,2)＝eq\f(\r(2),4).2．若cos2α＝－eq\f(4,5)，且α∈[eq\f(π,2)，π]，则sinα的值为(A)A.eq\f(3\r(10),10) B.eq\f(\r(10),10)C.eq\f(3,5) D.eq\f(\r(10),5)解析：sinα＝eq\r(\f(1－cos2α,2))＝eq\r(\f(1＋\f(4,5),2))＝eq\r(\f(9,10))＝eq\f(3\r(10),10).3．已知α为锐角，且sinαsineq\f(α,2)＝85，则cosα的值为(A)A.eq\f(7,25)B.eq\f(12,25)C.eq\f(8,25)D.eq\f(4,5)解析：由eq\f(sinα,sin\f(α,2))＝eq\f(8,5)，得2coseq\f(α,2)＝eq\f(8,5)，∴coseq\f(α,2)＝eq\f(4,5).∴cosα＝2cos2eq\f(α,2)－1＝2×eq\f(16,25)－1＝eq\f(7,25).4．若|cosα|＝eq\f(1,5)，且eq\f(5π,2)<α<3π，则sineq\f(α,2)－2coseq\f(α,2)的值等于(D)A．－eq\f(\r(15),5)－eq\f(\r(10),5)B.eq\f(\r(15),5)＋eq\f(\r(10),5)C．－eq\f(\r(15),5)－eq\f(2\r(10),5)D．－eq\f(\r(15),5)＋eq\f(2\r(10),5)解析：因为eq\f(5π,2)<α<3π，eq\f(5π,4)<eq\f(α,2)<eq\f(3π,2)，所以cosα＝－eq\f(1,5)，sineq\f(α,2)<0，coseq\f(a,2)<0，所以sineq\f(α,2)＝－eq\r(\f(1－cosα,2))＝－eq\r(\f(1＋\f(1,5),2))＝－eq\f(\r(15),5)，coseq\f(α,2)＝－eq\r(\f(1＋cosα,2))＝－eq\r(\f(1－\f(1,5),2))＝－eq\f(\r(10),5)，所以sineq\f(α,2)－2coseq\f(α,2)＝－eq\f(\r(15),5)＋eq\f(2\r(10),5).5．已知2sinθ＝1＋cosθ，则taneq\f(θ,2)的值等于(B)A．2 B.eq\f(1,2)或不存在C.eq\f(1,2) D．不存在解析：若1＋cosθ＝0，则cosθ＝－1，此时，θ＝2kπ＋π，k∈Z，eq\f(θ,2)＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，故taneq\f(θ,2)不存在；若1＋cosθ≠0，则eq\f(sinθ,1＋cosθ)＝eq\f(1,2)＝eq\f(2sin\f(θ,2)cos\f(θ,2),2cos2\f(θ,2))＝taneq\f(θ,2)，即taneq\f(θ,2)＝eq\f(1,2).故B正确．6．已知α∈(－eq\f(π,2)，0)，cosα＝eq\f(4,5)，则taneq\f(α,2)＝(D)A．3 B．－3C.eq\f(1,3) D．－eq\f(1,3)解析：因为α∈(－eq\f(π,2)，0)，且cosα＝eq\f(4,5)，所以eq\f(α,2)∈(－eq\f(π,4)，0)，taneq\f(α,2)＝－eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))＝－eq\r(\f(1－\f(4,5),1＋\f(4,5)))＝－eq\f(1,3)，故选D.7．已知sin2α＝eq\f(2,3)，则cos2(α＋eq\f(π,4))＝(A)A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(2,3)解析：本题考查半角公式及诱导公式．由半角公式可得，cos2(α＋eq\f(π,4))＝eq\f(1＋cos2α＋\f(π,2),2)＝eq\f(1－sin2α,2)＝eq\f(1－\f(2,3),2)＝eq\f(1,6)，故选A.8．已知cos(α－eq\f(π,4))＝eq\f(1,4)，则sin2α的值为(C)A.eq\f(31,32) B．－eq\f(31,32)C．－eq\f(7,8) D.eq\f(7,8)解析：sin2α＝cos(eq\f(π,2)－2α)＝cos[2(eq\f(π,4)－α)]＝2cos2(eq\f(π,4)－α)－1＝2cos2(α－eq\f(π,4))－1＝2×(eq\f(1,4))2－1＝－eq\f(7,8).二、填空题(每小题5分，共15分)9．求值：taneq\f(π,8)＝eq\r(2)－1.解析：原式＝eq\f(1－cos\f(π,4),sin\f(π,4))＝eq\f(1－\f(\r(2),2),\f(\r(2),2))＝eq\r(2)－1.10．设5π<θ<6π，coseq\f(θ,2)＝a，则sineq\f(θ,4)＝－eq\f(\r(21－a),2).解析：∵5π<θ<6π，∴eq\f(5π,4)<eq\f(θ,4)<eq\f(3π,2).∴sineq\f(θ,4)＝－eq\r(\f(1－cos\f(θ,2),2))＝－eq\r(\f(1－a,2))＝－eq\f(\r(21－a),2).11．化简：eq\f(1＋sinθ＋cosθ,sin\f(θ,2)＋cos\f(θ,2))＝2coseq\f(θ,2).解析：原式＝eq\f(1＋cosθ＋sinθ,sin\f(θ,2)＋cos\f(θ,2))＝eq\f(2cos2\f(θ,2)＋2sin\f(θ,2)cos\f(θ,2),sin\f(θ,2)＋cos\f(θ,2))＝eq\f(2cos\f(θ,2)cos\f(θ,2)＋sin\f(θ,2),sin\f(θ,2)＋cos\f(θ,2))＝2coseq\f(θ,2).三、解答题(共25分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)12．(12分)已知sinα＝eq\f(4,5)，α∈(0，eq\f(π,2))，求sineq\f(α,2)，coseq\f(α,2)，taneq\f(α,2).解：∵α∈(0，eq\f(π,2))，∴eq\f(α,2)∈(0，eq\f(π,4))，∵sinα＝eq\f(4,5)，∴cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\f(3,5)，∴sineq\f(α,2)＝eq\r(\f(1－cosα,2))＝eq\r(\f(1－\f(3,5),2))＝eq\f(\r(5),5)，coseq\f(α,2)＝eq\r(\f(1＋cosα,2))＝eq\r(\f(1＋\f(3,5),2))＝eq\f(2\r(5),5)，taneq\f(α,2)＝eq\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2))＝eq\f(1,2).13．(13分)如图，以Ox为始边作角α与β(0<β<α<π)，它们的终边分别与单位圆相交于点P，Q，已知点P的坐标为(－eq\f(3,5)，eq\f(4,5))．(1)求eq\f(sin2α＋cos2α＋1,1＋tanα)的值；(2)若eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))＝0，求sin(α＋β)．解：(1)由三角函数定义得cosα＝－eq\f(3,5)，sinα＝eq\f(4,5)，∴原式＝eq\f(2sinαcosα＋2cos2α,1＋\f(sinα,cosα))＝eq\f(2cosαsinα＋cosα,\f(sinα＋cosα,cosα))＝2cos2α＝2×(－eq\f(3,5))2＝eq\f(18,25).(2)∵eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))＝0，∴α－β＝eq\f(π,2)，∴β＝α－eq\f(π,2)，∴sinβ＝sin(α－eq\f(π,2))＝－cosα＝eq\f(3,5)，cosβ＝cos(α－eq\f(π,2))＝sinα＝eq\f(4,5).∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝eq\f(4,5)×eq\f(4,5)＋(－eq\f(3,5))×eq\f(3,5)＝eq\f(7,25).——实力提升类——14．(5分)设a＝eq\f(1,2)cos6°－eq\f(\r(3),2)sin6°，b＝eq\f(2tan13°,1－tan213°)，c＝eq\r(\f(1－cos50°,2))，则有(C)A．a>b>cB．a<b<cC．a<c<bD．b<c<a解析：a＝eq\f(1,2)cos6°－eq\f(\r(3),2)sin6°＝sin30°cos6°－cos30°sin6°＝sin24°，b＝eq\f(2tan13°,1－tan213°)＝tan26°，c＝eq\r(\f(1－cos50°,2))＝sin25°，依据正弦函数和正切函数的图像可知tan26°>sin25°>sin24°⇒b>c>a.15．(15分)已知函数f(x)＝tan(2x＋eq\f(π,4))．(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)设α∈(0，eq\f(π,4))，若f(eq\f(α,2))＝2cos2α，求α的大小．解：(1)由2x＋eq\f(π,4)≠eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)，得x≠eq\f(π,8)＋eq\f(kπ,2)(k∈Z)，所以f(x)的定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈R\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠\f(π,8)＋\f(kπ,2)))，k∈Z)).f(x)的最小正周期为eq\f(π,2).(2)由f(eq\f(α,2))＝2cos2α，得tan(α＋eq\f(π,4))＝2cos2α，即eq\f(sinα＋\f(π