2024-2025学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.1集合1.1.1集合及其表示方法第1课时学案含解析新人教B版必修第一册

集合及其表示方法第1课时学习目标1.借助生活和数学实例了解集合的含义,并理解集合中元素的三个特性.2.理解元素与集合的关系,驾驭特别数集的符号表示,培育数学抽象素养.3.理解集合相等的概念.自主预习1.集合(深刻理解集合的有关概念是我们正确运用集合学问的基础)(1)集合与元素的概念集合与元素概念及数学符号表示.思索1:集合的元素特点有哪些?思索2:怎样推断两个集合相等?(2)元素与集合的关系集合与元素之间的关系只能用“∈”或“∉”表示,对一个确定的对象和一个给定的集合,这两种关系有且只有一个成立.学问点关系概念记法读法元素与集合的关系属于a是集合A的元素不属于a不是集合A的元素2.几种常见的数集及表示符号(务必记忆数学符号,学会用数学语言去表达)名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法课堂探究一、情境问题在生活与学习中,我们常常要对事物进行分类.最典型的是图书馆中的书籍就是依据肯定规律分类摆放贮存的.在数学学问中,同样也存在着很多分类,例如整数可以分为正整数、负整数和零,三角形可以分为直角三角形、锐角三角形和钝角三角形等.思索1:你能说出数学中其他的分类实例吗?思索2:是否可以借助袋子、抽屉等来直观地理解集合?思索3:方程x+1=x+2的全部解组成的集合是什么?思索4:①我们班全部的“追梦人”能否构成一个集合?②我们班身高不低于175cm的同学能否构成一个集合?③我们班的高个子同学能否构成一个集合?④不等式x-2>1的全部解能否构成一个集合?【小试牛刀】例1(1)(多选)下列每组对象,能构成集合的是()A.中国各地的漂亮乡村B.直角坐标系中横、纵坐标相等的点C.不小于3的自然数D.截止到2024年1月1日,参与“一带一路”的国家(2)下列说法中,正确的有.(填序号)

①单词book的全部字母组成的集合的元素共有4个;②集合M中有3个元素a,b,c,假如a,b,c是△ABC的三边长,则△ABC不行能是等腰三角形;③将小于10的自然数按从小到大的依次排列和按从大到小的依次排列分别得到不同的两个集合.跟踪训练(1)下列各组对象可以构成集合的是()A.数学必修第一册课本中全部的难题B.小于8的全部素数C.直角坐标平面内第一象限的一些点D.全部小的正数(2)下列每组对象能否构成一个集合?①不超过20的非负数;②方程x2-9=0在实数范围内的解;③某校2024年在校的全部矮个子同学;④3的近似值的全体.二、特别数集思索5:若a∈N,b∈N,则a+b,ab,a-b,ab是否属于N呢思索6:若a∈Z,b∈Z,则a+b,ab,a-b,ab是否属于Z呢思索7:若a∈Q,b∈Q,则a+b,ab,a-b,ab是否属于Q呢拓展:①无限循环小数可以表示成分数吗?举例说明.②任何一个无限循环小数都是Q中的元素吗?思索8:若a∈R,b∈R,则a+b,ab,a-b,ab是否属于R呢【学以致用】例2(1)(多选)下列关系中正确的有()A.2∈Q B.-1∉NC.π∉R D.|-4|∈Z(2)下列说法中正确的有.

①集合N与集合N+是同一个集合;②集合N中的元素都是集合Z中的元素;③集合Q中的元素都是集合Z中的元素;④集合Q中的元素都是集合R中的元素.跟踪训练(多选)给出下列关系,其中不正确的有()A.12∈R B.|-3|∉C.|-3|∈Q D.0∉N例3已知集合A是由a-2,2a2+5a,12三个元素组成的,且-3∈A,求实数a.跟踪训练已知集合A含有两个元素a-3和2a-1,若-3∈A,试求实数a的值.延长探究:若将“-3∈A”换成“a∈A”,求实数a的值.课堂练习1.(多选)下列给出的对象中,能组成集合的是()A.方程x2-4=0在实数范围内的解B.不超过30的全部非负整数C.平面直角坐标系中第一象限内的点D.方程x2=-1的实数根2.下列结论不正确的是()A.|-1|∈N B.2∉QC.0∉Q D.π∈R3.若以集合A的四个元素a,b,c,d为边长构成一个四边形,则这个四边形可能是()A.梯形 B.平行四边形C.菱形 D.矩形4.一个小书架上有十个不同品种的书各3本,那么由这个书架上的书组成的集合中含有个元素.

5.已知集合A中的元素x满意x≥2,若a∉A,则实数a的取值范围是.

课后巩固1.以下各组对象不能组成集合的是()A.中国古代四大独创B.地球上的小河流C.方程x2-7=0的实数解D.周长为10cm的三角形2.若a是R中的元素,但不是Q中的元素,则a可以是()A.3.14 B.-5 C.37 D.3.(多选)下列说法中,不正确的是()A.集合N中最小的数为1B.若-a∈N,则a∈NC.若a∈N,b∈N,则a+b的最小值为2D.全部小的正数组成一个集合4.(多选)下列关系中正确的有()A.13∈R B.5∈C.-3∉Z D.-3∉N5.集合A中含有三个元素2,4,6,若a∈A,且6-a∈A,那么a为()A.2 B.2或4 C.4 D.06.(多选)已知x,y为非零实数,代数式x|x|+y|y|+xy|xy|A.-1∈M B.1∈M C.2∈M D.3∈M7.(多选)由a2,2-a,4组成一个集合A,且集合A中含有3个元素,则实数a的取值可以是()A.1 B.-2 C.-1 D.38.已知集合A是由0,m,m2-3m+2三个元素构成的集合,且2∈A,则实数m=.

9.由实数x,-x,|x|,x2,-3x3所组成的集合,最多含10.设A是由满意不等式x<6的自然数组成的集合,若a∈A且3a∈A,求a的值.11.设x∈R,集合A中含有三个元素3,x,x2-2x.(1)求元素x应满意的条件;(2)若-2∈A,求实数x的值.核心素养专练1.已知集合M有两个元素x,2-x,若-1∉M,则下列说法肯定错误的是.

①2∈M;②1∈M;③x≠3.2.设集合A中的元素均为实数,且满意条件:若a∈A,则11-a∈A(a≠求证:(1)若2∈A,则A中必还有另外两个元素;(2)集合A不行能是单元素集.参考答案自主预习略课堂探究思索:略例1(1)BCD(2)②跟踪训练(1)B(2)①对随意一个实数能推断出是不是“不超过20的非负数”,所以能构成集合;②能构成集合;③“矮个子”无明确的标准,对于某个人算不算矮个子无法客观地推断,因此不能构成一个集合;④“3的近似值”不明确精确到什么程度,因此很难推断一个数如“2”是不是它的近似值,所以不能构成集合.规律方法推断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的推断标准,使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的.假如是“确定无疑”的,就可以构成集合;假如是“模棱两可”的,就不能构成集合.思索:略例2(1)BD(2)②④跟踪训练BCD例3解:由-3∈A,可得-3=a-2或-3=2a2+5a,∴a=-1或a=-32当a=-1时,a-2=-3,2a2+5a=-3,不符合集合中元素的互异性,故a=-1应舍去.当a=-32时,a-2=-72,2a2+5a=-3,符合集合中元素的互异性.∴a=-【总结归纳】利用集合中元素的互异性求参数的策略及留意点:(1)策略:依据集合中元素的确定性,可以解出字母的全部可能值,再依据集合中的元素的互异性对求得的参数值进行检验.(2)留意点:利用集合中元素的互异性解题时,要留意分类探讨思想的应用.跟踪训练解:∵-3∈A,∴-3=a-3或-3=2a-1,若-3=a-3,则a=0,此时集合A中含有两个元素-3,-1,符合题意;若-3=2a-1,则a=-1,此时集合A中含有两个元素-4,-3,符合题意;综上所述,a=0或a=-1.延长探究解:∵a∈A,∴a=a-3或a=2a-1,解得a=1,此时集合A中有两个元素-2,1,符合题意.故所求a的值为1.课堂练习1.ABCD2.C3.A4.105.a<2课后巩固1.B2.D3.ABCD4.AD5.B解析:若a=2,则6-2=4∈A;若a=4,则6-4=2∈A;若a=6,则6-6=0∉A,故选B.6.AD解析:①当x,y均为正数时,代数式x|x|+y|y|+xy|xy|的值为3;②当x,y为一正一负时,代数式x|x|+y|y|+xy|xy|的值为-1;③当x,y均为负数时,代数式x|7.CD解析:由题意知a2≠4,2-a≠4,a2≠2-a,解得a≠±2,且a≠1,故选CD.8.3解析:由题意知,m=2或m2-3m+2=2,解得m=2或m=0或m=3.阅历证,当m=0或m=2时,不满意集合中元素的互异性,当m=3时,满意题意,故m=3.9.2解析:由于|x|=±x,x2=|x|,-3x3=-x,并且x,-x,|x|之中至少有两个相等,所以最多含10.解:∵a∈A且3a∈A,∴a<6,3a<6,解得a<2.又a11.解:(1)由集合元素的互异性可得x≠3,x2-2x≠x,且x2-2x≠3,解得x≠-1,x≠0,且x≠3.(2)若-2∈A,则x=-2或x2-2x=-2.由于方程x2-2x+2=0无实数解,所以x=-2.经检验,知x=-2时三个元素满意互异性.故x=-2.核心素养专练1.②解析:依题意x≠-1,2-x≠-1,x≠2当x=2或2-x=2,即x=2或x=0时,M中的元素为0,2,故①可能正确;当x=1或2-x=1,即x=1时,M中两元素为1,1,不满意互异性,故②不正确,③明显正确.2.证明:(1)若a∈A,则11-又因为2∈A,所以11-2=-1∈A.因为-1∈A,所以11因为12∈A,所以11-12=2∈A.所以A中另外两个元素为(2)若A为单元素集,则a=11-a,即a2-a+1=0所以a≠11-a,所以集合A学习目标1.了解集合的含义,理解元素与集合的“属于”关系;2.理解集合的元素特点,体会数学符号语言的抽象性、简洁性和逻辑性.自主预习1.集合(1)元素与集合的概念①把一些能够、对象汇合在一起,就说由这些对象组成一个集合(有时简称为集),组成集合的每个对象都是这个集合的元素.

集合通常用英文大写字母…表示,集合的元素通常用英文小写字母…表示.

一般地,我们把任何元素的集合称为空集,记作.

(2)元素与集合的关系①属于:假如a是集合A的元素,就记作,读作“aA”.

②不属于:假如a不是集合A中的元素,就记作,读作“aA”.

(3)集合中元素的特点①:集合的元素必需是确定的.

②互异性:对于一个给定的集合,集合中的元素肯定是的.

③:集合中的元素可以随意排列,与次序无关.

(4)集合相等:给定两个集合A和B,假如组成它们的元素,就称这两个集合相等,记作.

(5)集合的分类依据集合含有的元素个数分为两类:①有限集:含有元素的集合(空集可以看成包含0个元素的集合,所以空集是有限集).

②:含有无限个元素的集合.

2.几种常见的数集及表示符号名称自然数集正整数集有理数集记法ZR课堂探究一集合概念的理解例1下列每组对象能否构成一个集合:(1)不超过20的非负数;(2)方程x2-9=0在实数范围内的解;(3)某校2024年在校的全部矮个子同学;(4)3的近似值的全体.规律方法:训练1(1)下列给出的对象中能构成集合的是()A.闻名物理家 B.很大的数C.聪慧的人 D.小于3的实数(2)下列各组对象可以构成集合的是()A.数学必修第一册课本中全部的难题B.小于8的全部素数C.平面直角坐标系内第一象限的一些点D.全部小的正数二元素与集合的关系、集合的元素特点及应用例2(1)给出下列关系:①12∈R;②|-3|∉N;③|-3|∈Q;④0∉N.其中正确的个数为(A.1 B.2 C.3 D.4(2)已知集合A是由a-2,2a2+5a,12三个元素组成的,且-3∈A,求实数a.规律方法:训练2(1)设集合M是由不小于23的数组成的集合,若a=11,则下列关系中正确的是()A.a∈M B.a∉MC.a=M D.a≠M(2)已知集合A含有两个元素a-3和2a-1,若-3是集合A中的元素,试求实数a的值.核心素养专练1.用符号“∈”或“∉”填空.(1)-15Q;(2)0N(2)3Q; (4)π3R(5)sin45°Z; (6)cos30°Q.

2.下列条件所指对象能构成集合的是()A.与0特别接近的数B.我班喜爱唱歌的同学C.我校学生中的团员D.我班的高个子学生3.已知由数x,-x,|x|,x2,-3x3所组成的集合中元素的个数最多可以是A.2 B.3 C.4 D.54.已知2∈A且A中元素有1,x,x2+x,求实数x的值.5.设集合A中的元素x满意6+3<x≤10.(1)A是有限集还是无限集?(2)53是不是A中的元素?参考答案自主预习略课堂探究例1解:(1)对随意一个实数能推断出是不是“不超过20的非负数”,所以能构成集合;(2)能构成集合;(3)“矮个子”无明确的标准,对于某个人算不算矮个子无法客观地推断,因此不能构成一个集合;(4)“3的近似值”没有明确精确到什么程度,因此很难推断一个数如“2”是不是它的近似值,所以不能构成集合.规律方法推断一组对象能否构成集合的关键在于是否有明确的推断标准,使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的.假如是“确定无疑”的,就可以构成集合;假如是“模棱两可”的,就不能构成集合.训练1解析:(1)只有选项D有明确的标准,能构成一个集合.(2)A中“难题”的标准不确定,不能构成集合;B能构成集合;C中“一些点”无明确的标准,对于某个点是否在“一些点”中无法确定,因此“平面直角坐标系内第一象限的一些点”不能构成集合;D中没有明确的标准,所以不能构成集合.答案:(1)D(2)B例2(1)解析:①正确;②③④不正确.答案:A(2)解:由-3∈A,