数学-四川省自贡市、遂宁市、广安市等九市2024-2025学年高中二年级第一（上）学期期末质量监测考试试题和答案

秘密★启用前遂宁市2024一2025学年度高中二年级第一学期期末质量监测数学试题本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分,考试时间120分钟。—、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分·在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合i-lA·2B./3C.2D.3的方法抽取300头牛,其中甲品种牛30头,乙品种牛90头,丙品种牛180头,现采用分层抽样A.6,18,36B.6,20,34C.10,18,32D.10,20,303.经过点P(2,3)且与直线2zy=0垂直的直线l的方程为A.2z十y-7=0B.2cy-1=0C.x十2y一8=0D.x+2y+4=04.将一枚质地均匀的正四面体教具连续抛掷n(n≥8,nEN)次,第5次和第8次某一面朝下的概率分别记为p,q,则p,q的大小关系为A.p,q的大小由n确定B.p<qC.p>qD.p=q5.已知圆C:(az+1)2+(y十4)2=25,圆C2:x2y2z一4y-1=0,则圆C与圆C2的位置关系是A.外离B.外切C.相交D.内含高二数学试题第1页(共4页)3小题,每小题5分,共15分.,1,0),b=(-1,0,1),若ka+b与b互相垂直则实数k的值为·13.已知直线(m-2)x十(m-1)y-4=0与直线3z+4y十m+6=0平行(其中m为实数),则它们之间的距离为·14.已知三棱柱ABCABiC,点P在△ABC内,D,E,F分别为△AiB,C三边的一个三等分点,n为面ABC的一个法向量,且nl=1.若P到面AiBici的距离为2,则n·(PD+PE+PF)= 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤·15.(13分)已知椭圆C:+-la>b>长E为s.·(1)求椭圆C的方程;(2)以C的焦点为顶点短轴为虚轴的双曲线记为C2,求C的方程及其渐近线方程·16.(15分)已知直线l:y=k(x+1),圆M:z2十y2一4.z—4y+4=0(点M为圆心).(1)若直线l与圆M相切,求实数k的值;(2)当k=1时,判断直线l与圆M是否相交于不同的两点?如果相交于不同两点为A,B,并求△MAB的面积,如果不相交,请说明理由·17.(15分)2个红球1个白球乙的盒子里面有2个红球3个白球,这些球只有颜色不同·每一轮比赛的高二数学试题第3页(共4页)18.(17分)如图,等腰梯形ABED的高为2,ABDE,AB=3DE=6,C是AB上靠近A的三等分点,如图①所示,将ACD沿DC折起到ACD的位置,使得AC上CB,如图②所示,点M在棱AiB上·(1)求证:直线AC上平面BCDE;(2)若M是AiB的中点,求直线DM与平面A1BE19.(17分)已知抛物线C:y2=2pz(p>0)的焦点为F,第一象限内的一点P(4,y,)在抛物线且IPFI=5·(1)求抛物线C的方程;(2)直线PF与抛物线c的另一个交点为Q,求△OPQ的面积(其中。为坐标原点);C上,,B,若高二数学试题第4页(共4页)高二数学答案第1页(共7页)数学试题参考答案及评分标准一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求.【解析】由题可知,a=2,c=\故离心率【命题意图】考查双曲线方程标准方程及几何性质等基础知识,考查数学运算素养。【解析】抽取的甲品种牛的头数为乙品种牛的头数为=18,丙品种牛的头数为=36,故抽取甲、乙、丙三个品种牛的头数分别为6,18,36.【命题意图】考查分层抽样方法的应用,通过计算各层抽样数量,考查学生的数据分析素养。【解析】直线2父—y=0的斜率为2,则直线l的斜率为其方程为y—3=—即父十2y—8=0.【命题意图】本小题主要考查两直线的位置关系,直线方程等基础知识,考查运算求解等数学能力。【解析】第5次和第8次某一面朝下的概率p=q,故D正确.【命题意图】测试伯努利试验下概率的均等性,理解频率与概率的关系,考查学生的数学抽象、数据分析素养。【解析】圆C1的圆心C1(—1,—4),半径r1=5,圆C2的标准方程为(父—2)2十(y—2)2=9,其 圆心C2(2,2),半径r2=3.圆C1与圆C2的圆心距|C1C2|=\/(—1—2)2十(—4—2)2=3\5,r1十r2=8,r1—r2=2,可得r1—r2<|C1C2|<r1十r2,所以圆C1与圆C2相交.【命题意图】本小题主要考查圆的方程、两圆的位置关系等基础知识,考查运算求解等高能力。【解析】因为a=(1,1,1),b=(0,m,2),c=(1,0,0),且a,b,c共面,所以a=父b十yc,又父b十高二数学答案第2页(共7页),得到,解得m=2,故选A.【命题意图】考查空间向量共面的条件,通过计算参数,提升学生的数学运算和逻辑推理素养。【解析】平均来说,甲队失球平均数少,防守效果较好,选项A错误;甲队失球数的标准差比乙队大,乙队的技术水平更稳定,选项B错误;甲队平均失球少,标准差大,故甲队表现好时失球少,表现差时失球多,选项C正确;综合失球平均数和方差考虑,甲队个别场次可以没有失球,选项D错误.【命题意图】本小题主要考查统计量的意义等基础知识,考查了数学抽象、数据处理等数学核心素养。【解析】对于Ω1={(父,y)|父十y十|父—y|=2},当父≥y时,父=1;当父<y时,y=1.可知曲线Ω1为右图“7”字曲线.对于Ω2={(父,y)|(a父十y)2十(a父y)2=4},当a=0时,方程(a父十y)2十(a父y)2=4化简为y2=2, 即y=±\2,此时Γ1,Γ2仅有一个公共点,不合题意,A选项不正确;当a≠0时,曲线Ω2的方程为a2父2十y2=2,曲线Ω2为图中的环形曲线,要使Γ1,Γ2有四个公共点,结合图形可知,a∈(—\2,—1)U(1,\2).【命题意图】判断两曲线(直线与圆,直线与椭圆)交点个数,通过方程求解参数范围,考查学生的数学运算和逻辑推理素养。二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共计18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.【解析】事件D指的是“恰好二次投中”和“恰好三次都投中”,故A,C正确,D正确;而B∩D=⑦,故选ACD.【命题意图】通过事件的运算和关系判断,发展学生的逻辑推理和数学抽象素养。【解析】直线2父十1=0表示一条垂直于父轴的直线,它的一个方向向量为(0,1),故选项A正确;对于选项B,KAB=,所以KAB=K故选项B正确;对于选项C,由2(m十1)父十(3—m)y—9—5m=0可得:m(2父—y—5)十2父十3y—9=0,则解得所以直线2(m十1)父十(3—m)y—9—5m=0必过定点(3,1),故高二数学答案第3页(共7页)选项C正确;对于选项D,当θ=90。时,直线的斜率不存在,选项D错误.故选ABC.【命题意图】综合考查直线方向向量、三点共线、直线过定点及直线方程等多个知识点,培养学生的直观想象、逻辑推理和数学运算素养。设点P,显然y≠±1,父≠0,→y2—=1.当m=—1时,得y2=1且y≠±1,所以C是以原点为圆心,半径为1的圆,且除去(0,—1),(0,1)两点,故选项A错误;当m>0时,由方程易知选项B正确;对于C,当m=—时,曲线C:y2十2父2=1,过点(1,0)的直线父=1与曲线C没有公共点,故选项C错误;当m>0时,由方程知,它表示除去上下顶点的双曲线,因此直线y=k父十2与C有两个公共点,必须满足直线y=k父十2与C的渐近线不能平行,故选项D正确,故选BD.【命题意图】通过判断动点轨迹形状和直线与双曲线的关系,考查学生直观想象、逻辑推理和数学运算素养。三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.【解析】由题知ka十b=(k—1,k,1),所以1—k十1=0,即k=2.【命题意图】利用向量垂直的条件求解参数,培养学生的逻辑推理和数学运算素养。【解析】因为直线(m—2)父十(m—1)y—4=0与直线3父十4y十m十6=0平行,所以4(m—2)—3(m—1)=0,解得m=5.此时两直线可化为3父十4y—4=0和3父十4y十11=0,其距离为d=【命题意图】考查直线的平行关系和平行线间的距离公式,通过计算提升学生数学运算素养。又因为|PD||cOS〈n,PD〉|又因为|PD||cOS〈n,PD〉|表示PD在n上投影向量的长度,故n.PD=±2,同理可求得n.=±2,n.=±2,据图可知这三个数量积的符号同为正或同为负,故答案为±6.【命题意图】利用空间向量求解几何量,考查学生对投影向量的理解,培养学生空间想象和数学运算素养。四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)【解析】(1)依题意,可知2a=8,得a=4,……………………2分由e==,解得c=2,……………………4分所以b=\/a2—c2=2\3,……………………6分故椭圆C1的方程为十=1.……………7分 (2)椭圆C1的焦点为F1(—2,0),F2(2,0),且短轴长为4\3.……………8分以F1(—2,0),F2(2,0)为左、右顶点的双曲线C2的方程设为—=1(m>0,n>0).…………………9分 依题意,得m=2,n=2\3,…………………10分所以,双曲线C2的方程为2—=1.……………………11分 其渐近线方程为y=±\3父.………………13分【命题意图】通过椭圆和双曲线的标准方程及它们的性质,考查学生的数学运算、逻辑推理、几何直观素养。16.(15分)…【解析】(1)圆M的标准方程为:(父—2)2十(y—2)2=4,圆M的圆心为(2,2),半径为2.…2分直线l:k父—y十k=0,圆心M到l的距离d=|2k—2十k|=|3k—2|,……………4分\/k2十12\/k2十1因为直线l与圆M相切,所以|3k—2|=2,\/k2十112解得k=5或k=0.…………7分(2)直线l与圆M相交于不同的两点.………8分理由如下:当k=1时,直线l:父—y十1=0,由(1)可知,圆心M到直线l的距离d=1<2,……………9分\2所以直线l与圆M相交于不同的两点.……………………10分【注:也可以根据(1)中直线l与圆M相切时的斜率进一步得到,直线l与圆M相交时,其斜12率满足0<k<5,故当k=1时,直线l与圆M相交于不同的两点】12所以|AB|=2\,………13分高二数学答案第4页(共7页)高二数学答案第5页(共7页)所以△MAB的面积S△MAB=|AB|d=.……………15分【命题意图】通过判断直线与圆的位置关系和求解弦长等问题,考查学生的直观想象、逻辑推理和数学运算素养。17.(15分)【解析】(1)经过多轮比赛后,估计甲走的步数比乙多.……2分原因是每轮比赛中甲向前走一步的可能性更大,具体如下:………………4分一轮比赛中,记“甲向前走一步”为事件A,“乙向前走一步”为事件B,根据古典概型概率的计算可得,……5分则P(A)>P(B),即每轮比赛中甲向前走一步的可能性更大.……………6分所以多轮比赛后,估计甲走的步数比乙多.…………………7分(2)在2轮比赛后,事件“乙走的步数比甲多”包含“乙恰好向前走一步,甲没有前进”和“乙恰好向前走两步,甲最多向前走一步”两个事件,分别记为C,D,且事件C,D为互斥事件.则,………………10分……………13分所以2轮比赛后,乙走的步数比甲多概率为十P.………15分【命题意图】通过概率计算考查学生对古典概型、相互独立事件和互斥事件等基础知识的理解和相关数据分析能力,通过分类讨论培养学生的逻辑推理素养。18.(17分)【解析】(1)证明:在图①中,作AB的靠近B的三等分点H,连接DH,所以AB=3HB,结合AB=3DE和DEⅡHB.所以四边形EDHB为平行四边形,所以DH=EB.所以△ADH为等腰三角形,因为C是AB上靠近A的三等分点,所以C为等腰三角形ADH底边上的中点,所以DC丄AC.所以在图②中,A1C丄CD.又因为A1C丄CB,且CD∩CB=C,所以直线A1C丄平面BCDE.………5分(2)由(1)知CD,CB,CA1两两垂直,分别以CD,CB,CA1所在直线为父轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.高二数学答案第6页(共7页)则C(0,0,0),D(2,0,0),E(2,2,0),B(0,4,0),A1(0,0,2),M(0,2,1),所以DM=(—2,2,1),A1B=(0,4,—2),BE=(2,—2,0).…………………7分设平面A1BE的法向量为n=(父,y,z),(n.A1B=4y—2z=0,则〈→令y=1,得n=(1,1,2).………9分(n.BE=2父—2y=0,设直线DM与平面A1BE所成角的大小为θ,|n||DM|3×\69|n||DM|3×\69 所以直线DM与平面A1BE所成角的正弦值为\.……11分(3)CD=(2,0(3)CD=(2,0,0),CB=(0,4,0),CA1=(0,0,2),A1E=(2,2,—2).设A1M=λA1B,0≤λ≤1,则CM=CA1十A1M=CA1十λA1B=(0,4λ,2(1—λ)).……12分设平面DCM的法向量为m=(a,b,c),→(m.CD→解得a=0.……………(m(m.CM=4λb十2(1—λ)c=013分令c=2λ,得b=λ—1,可得平面DCM的一个法向量为m=(0,λ—1,2λ),……………14分2十4λ2=\,……………15分解得,且点M在棱A1B上, 所以的值为16.……………………17分【命题意图】通过空间几何的证明和直线与平面所成角以及二面角的求解,培养学生的空间想象、逻辑推理和数学运算素养。19.(17分)【解析】(1)由抛物线定义可知|PF|=4十=5,…………3分解得p=2.……………………4分所以抛物线C的方程为y2=4父.……………5分(2)由P(4,y0)在抛物线上且在第一象限,得y