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第六节函数展开成幂级数三函数展开成幂级数二泰勒级数一问题的提出2.展开式是否唯一?3.在什么条件下才能展开成幂级数?1.如果能展开,是什么?上节例题即得形如函数的展开式.需要考虑问题

是否存在幂级数在其收敛域内以

为和函数?一问题的提出二泰勒级数1.Toylor公式：复习前面的两个公式其中

在与之间函数展开幂级数的必要条件.定理1若在处能展开成幂级数则在内具有任意阶导数,且证明在内收敛于,即令,即得逐项求导任意次,得即为泰勒系数且泰勒系数是唯一的,所以的展开式是唯一的.问题泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)?不一定.定义如果f(x)在点处任意阶可导,则幂级数称为在点的泰勒级数.称为在点的麦克劳林级数.在x=0点任意可导,且例如麦克劳林级数为该级数在内和函数可见除外,的麦氏级数处处不收敛于.函数展开幂级数的充要条件.证明必要性.设能展开为泰勒级数.定理2在点的泰勒级数,在内收敛于在内充分性即的泰勒级数收敛于定理3设在上有定义,对恒有则在内可展开成点的泰勒级数.证明在收敛故可展成点的泰勒级数.三函数展开成幂级数1.直接法(泰勒级数法)步骤:写出级数:讨论或则级数在收敛区间内收敛于解由于M的任意性,即得例1将展开成幂级数.在

上解且例2将展开成幂级数.解例3将展开成幂级数.在内,若利用两边积分得即牛顿二项式展开式注意在处收敛性与的取值有关.双阶乘当时,有2.间接法根据唯一性,利用常见展开式,通过变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分等方法,求展开式.从而可以得到以下几个常见的展开式:由例4将展开成幂级数.解把换成得例5将展

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