2025年人教版（2024）高二数学上册阶段测试试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年人教版（2024）高二数学上册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、已知圆C的方程是x2+y2-4x-4y-10=0，直线l：y=-x，则圆C上有几个点到直线l的距离为（）

A.1个。

B.2个。

C.3个。

D.4个。

2、从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有（）A.96种B.180种C.240种D.280种3、如图，正方体的棱长为点在棱上，且点是平面上的动点，且动点到直线的距离与点到点的距离的平方差为则动点的轨迹是（）A．圆B．抛物线C．双曲线D．直线4、已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为(4，5)，则回归直线的方程是()A.=1.23x＋4B.=1.23x+5C.=1.23x+0.08D.=0.08x+1.235、【题文】已知两点A(-2,0),B(0,2)，点C是圆x2+y2-2x=0上的任意一点，则△ABC的面积最小值是（）A.3-B.3+C.D.6、【题文】.已知函数=Atan（x+）（）

y=的部分图像如下图，则A.2+B.C.D.7、【题文】函数A.是偶函数B.是奇函数C.既是偶函数又是奇函数D.既不是偶函数也不是奇函数8、平面α∥平面β，a⊂α，b⊂β，则直线a，b的位置关系是（）A.平行B.相交C.异面D.平行或异面9、下列四个命题正确的是(

)

垄脵

在线性回归模型中，e鈭�

是b鈭�x+a鈭�

预报真实值y

的随机误差；它是一个观测的量。

垄脷

残差平方和越小的模型；拟合的效果越好。

垄脹

用R2

来刻画回归方程；R2

越小，拟合的效果越好。

垄脺

在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，若带状区域宽度越窄，说明拟合精度越高，回归方程的预报精度越高．A.垄脵垄脹

B.垄脷垄脺

C.垄脵垄脺

D.垄脷垄脹

评卷人得分二、填空题(共9题，共18分)10、已知点是抛物线上的动点，点在轴上的射影是则的最小值是;11、（坐标系与参数方程选做题）已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为参数），则圆心C到直线l的距离为____．12、已知满足约束条件若目标函数取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为_______13、【题文】已知数列{an}中，a1=[an]表示an的整数部分，(an)表示an的小数部分，an+1="["an]+（），数列{bn}中，b1=1,b2=2,（）,则a1b1+a2b2++anbn=____14、【题文】设是已知的平面向量，向量在同一平面内且两两不共线；有如下四个命题:

①给定向量总存在向量使

②给定向量和总存在实数和使

③给定单位向量和正数总存在单位向量和实数使

④若=2，存在单位向量和正实数使则

其中真命题是____________.15、设函数y=f（x）在（-∞，+∞）内有定义，对于给定的正数K，定义函数fK（x）=取函数f（x）=2-x-e-x，若对任意的x∈（-∞，+∞），恒有fK（x）=f（x），则K的最小值为______．16、在等差数列{an}中，公差为且a1+a3+a5++a99=60，则a2+a4+a6++a100=______．17、抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为4或6“；事件B为“两颗骰子的点数之和大干8”求事件A发生时，事件B发生的概率是______．18、已知正四棱锥V-ABCD可绕着AB任意旋转，CD∥平面α．若AB=2，VA=则正四棱锥V-ABCD在面α内的投影面积的取值范围是______．评卷人得分三、作图题(共5题，共10分)19、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）20、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）21、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

22、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）23、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共4题，共28分)24、某种产品的广告费支出(百万元)与销售额(百万元)之间有如下对应数据:。245683040506070如果与之间具有线性相关关系.(1)作出这些数据的散点图；(2)求这些数据的线性回归方程(3)预测当广告费支出为9百万元时的销售额。（参考公式：）25、【题文】已知求的值．26、设a>0f(x)=2x2+x

令a1=1an+1=f(an)n隆脢N*

．

(1)

写出a2a3a4

的值，并猜出数列{an}

的通项公式；

(2)

用数学归纳法证明你的结论．27、设数列{an}

的前n

项和为Sn

且满足an=2鈭�n(n隆脢N*).

(

Ⅰ)

求a1a2a3a4

的值并写出其通项公式；

(

Ⅱ)

用三段论证明数列{an}

是等比数列．评卷人得分五、综合题(共2题，共18分)28、已知f（x）=﹣3x2+a（6﹣a）x+6．29、已知Sn为等差数列{an}的前n项和，S6=51，a5=13．参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、B【分析】

圆C的方程是x2+y2-4x-4y-10=0；

即（x-2）2+（y-2）2=18，圆心为（2，2），r=3．

又因为（2，2）到直线y=-x的距离d=＜3．

所以圆与直线相交，而到直线l的距离为的点应在直线两侧，且与已知直线平行的直线上．

两平行线与圆相交的只有一条．

故满足条件的点只有两个．

故选B．

【解析】【答案】先把圆的方程转化为标准形式；求出圆心和半径；再根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离即可得出结论．

2、C【分析】【解析】试题分析：根据题意；使用间接法，首先计算从6名志愿者中选出4人分别从事四项不同工作的情况数目，再分析计算其包含的甲；乙两人从事翻译工作的情况数目，进而由事件间的关系，计算可得答案【解析】

根据题意，由排列可得，从6名志愿者中选出4人分别从事四项不同工作，有=360种不同的情况，其中包含甲从事翻译工作有=60种，乙从事翻译工作的有=60种，若其中甲、乙两名支援者都不能从事翻译工作，则选派方案共有360-60-60=240种；故选C．考点：排列的应用【解析】【答案】C3、B【分析】以D为原点，ＤＡ、ＤＣ、ＤＤ１所在直线为x.y.z轴建立空间直角坐标系O-xyz,则A(1,0,0),D(0,0,0),设P(x,y,0),则P到A1D1的距离为由题意知方程化简后得显然此方程表示抛物线，应选B.【解析】【答案】B.4、C【分析】根据回归直线过样本中心(4,5),所以应选C.【解析】【答案】C5、A【分析】【解析】

试题分析：A(-2,0),B(0,2)，直线方程为圆x2+y2-2x=0的圆心为半径圆心到直线的距离为所以圆上的点C到直线的最小距离为三角形面积最小值为

考点：圆的对称性及点到直线距离。

点评：要使三角形面积最小需满足动点C到直线AB的距离最小，借助于圆的中心对称性可求得最小距离【解析】【答案】A6、B【分析】【解析】本题考查三角函数的图像和性质；数形结合思想.

由图像知周期则所以由得因为所以则由得于是则故选B【解析】【答案】B7、A【分析】【解析】析：根据题意可得函数的定义域关于原点对称；然后对函数进行化简，而函数满足f（-x）=cos（-x）=cosx=f（x），所以可以判断函数是偶函数．

解答：解：由题意可得：函数的定义域关于原点对称；

又因为函数

所以f（x）=y=cosx；x∈R；

所以f（-x）=cos（-x）=cosx=f（x）；

所以函数f（x）=cosx是偶函数；

所以函数是偶函数．

故选A．【解析】【答案】A8、D【分析】解：∵平面α∥平面β；

∴平面α与平面β没有公共点。

∵a⊂α，b⊂β；

∴直线a，b没有公共点。

∴直线a，b的位置关系是平行或异面。

故选D．

利用平面α∥平面β，可得平面α与平面β没有公共点，根据a⊂α，b⊂β，可得直线a，b没有公共点；即可得到结论．

本题考查面面、线线位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．【解析】【答案】D9、C【分析】解：垄脵

在线性回归模型中，e鈭�

是b鈭�x+a鈭�

预报真实值y

的随机误差；它是一个观测的量，正确；

垄脷

根据比较两个模型的拟合效果；可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好，故正确．

垄脹

用相关指数R2

可以刻画回归的效果；R2

的值越大说明模型的拟合效果越好，故不正确；

垄脺

残差点比较均匀地落在水平的带状区域中；说明这样的模型比较合适.

带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高，故正确．

故选：C

．

由条件利用“残差”的意义；相关指数的意义即可作出判断．

本题考查回归分析，本题解题的关键是理解对于拟合效果好坏的几个量的大小反映的拟合效果的好坏，本题是一个中档题．【解析】C

二、填空题(共9题，共18分)10、略

【分析】试题分析：依据抛物线的定义，过作准线的垂线，垂足为交轴于焦点连接则要使最小，只需最小，而连接交抛物线于点，此时，取最小值为考点：抛物线的定义；【解析】【答案】11、略

【分析】

由直线l的参数方程为（t为参数）；消去参数t得直线l的普通方程y=x+1．

由圆C的参数方程为（θ为参数），消去参数θ得圆C的普通方程（x-2）2+y2=1．

于是圆心C（2，0）到直线l的距离==．

故答案为．

【解析】【答案】先把直线l和圆C的参数方程化为普通方程y=x+1，（x-2）2+y2=1；再利用点到直线的距离公式求出即可．

12、略

【分析】试题分析：由约束条件划出可行域如图，当a>0时，要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，则与2x-y+2=0重合，故a=2;当a<0时，要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，则与x+y-2=0重合，故a=-1.考点：线性规划的有关计算【解析】【答案】2或13、略

【分析】【解析】

试题分析：因为数列{an}中，a1=[an]表示an的整数部分，(an)表示an的小数部分，an+1="["an]+（），则可知a2=，依次可得还可得数列的周期性为2，数列{bn}中，b1=1,b2=2,（），因此可知数列{bn}是等比数列，公比为2，故b­­n=2n-1,因此利用分组求和可知。

a1b1+a2b2++anbn=故答案为

考点：本题主要考查了数列的通项公式和前n项和的求解的运用。

点评：解决该试题的关键是对于两个数列通项公式的分析和求解，然后能合理的选用求公式来得到结论。【解析】【答案】14、略

【分析】【解析】

试题分析：给定向量总存在向量使即显然存在所以①正确.由平面向量的基本定理可得②正确．给定单位向量和正数总存在单位向量和实数使当分解到方向的向量长度大于时，向量没办法按分解，所以③不正确.存在单位向量和正实数由于向量的模为1，由三角形的三边关系可得由所以④成立.综上①②④.

考点：1.向量的运算.2平面向量的基本定理.3.基本不等式.【解析】【答案】①②④15、略

【分析】解：f′（x）=-1+e-x=

当x＞0时；f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x＜0时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．

因此当x=0时；函数f（x）取得最大值f（0）=1．

∵对任意的x∈（-∞，+∞），恒有fK（x）=f（x）≤1；

又对任意的x∈（-∞，+∞），恒有fK（x）=f（x）；

∴故K的最小值为1．

故答案为：1．

利用导数研究函数f（x）的单调性极值与最值，和函数fK（x）的定义即可得出．

本题考查了导数研究函数f（x）的单调性极值与最值和新定义，属于难题．【解析】116、略

【分析】解：设d=由等差数列的定义知a2=a1+d，a4=a3+d，a6=a5+d，，a100=a99+d；共有50项。

所以a2+a4+a6++a100=a1+a3+a5++a99+50d=60+25=85．

故答案为：85

由等差数列的定义知a2=a1+d，a4=a3+d，a6=a5+d，，a100=a99+d，共有50项，所以a2+a4+a6++a100=a1+a3+a5++a99+50d，由于d=从而求解．

考查学生运用等差数列性质的能力，考查学生逻辑推理，归纳总结的能力．【解析】8517、略

【分析】解：设事件A为“蓝色骰子的点数为4或6“的概率为P（A）=

两颗骰子的点数之和大干8的6+3；6+4，6+5，6+6，3+6，4+6，5+6，5+5，4+5，5+4

事件B为“两颗骰子的点数之和大干8”的概率P（B）==

∴事件A发生时，事件B发生的概率P（B|A）===

故答案为：．

先求出所有可能的事件的总数；及事件A，事件B，事件AB包含的基本事件个数，代入条件概率计算公式，可得答案。

本题考查条件概率，条件概率有两种做法，本题采用事件发生所包含的事件数之比来解出结果．【解析】18、略

【分析】解：由题意，侧面上的高为=2，∴侧面的面积为=2；

又由于底面的面积为2×2=4；

当正四棱锥的高平行于面时面积最小是

∴正四棱锥V-ABCD在面α内的投影面积的取值范围是[4）；

故答案为：[4）．

求出底面的面积；侧面的面积；即可得出结论．

本题考查平行投影，考查学生的计算能力，比较基础．【解析】[4）三、作图题(共5题，共10分)19、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．20、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．21、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

22、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．23、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共4题，共28分)24、略

【分析】

（1）图略（2）∴线性回归方程为（3）当时，即当广告费支出为9百万元时，销售额为78百万元。【解析】略【解析】【答案】25、略

【分析】【解析】由已知得

．

．【解析】【答案】26、略

【分析】

(1)

由题设条件；分别令n=123

能够求出a2a3a4.

猜想数列{an}

的通项公式。

(2)

检验n=1

时等式成立；假设n=k

时命题成立，证明当n=k+1

时命题也成立．

本题考查数列的递推公式，用数学归纳法证明等式成立.

证明当n=k+1

时命题也成立，是解题的难点．【解析】解：(1)

由an+1=f(an)=2an2+an

因为a1=1

所以a2=2a12+a1=23a3=f(a2)=12a4=f(a3)=25

猜想an=2n+1(n隆脢N*)

．

(2)

证明：垄脵

易知；n=1

时，猜想正确；

垄脷

假设n=k(k隆脢N*)

时，ak=2k+1

成立；

则ak+1=f(ak)=2隆脕ak2+ak=2k+1+1

这说明；n=k+1

时成立．

由垄脵垄脷

知，对于任何n隆脢N*

都有an=2n+1

．27、略

【分析】

(I)

由已知中数列{an}

的前n

项和为Sn

且满足an=2鈭�n(n隆脢N*).

将n=1234

分别代入，可得a1a2a3a4

的值，分析规律后，可得an

的表达式．

(

Ⅱ)

将等比数列的定义做为大前提；(I)

中猜想做为小前提，可得结论：{an}

是等比数列．

本题考查的知识点是归纳推理和演绎推理，熟练掌握两种推理的定义和适用范围，是解答的关键．【解析】解：(

Ⅰ)

由an=2鈭�Sn

当n=1

时；a1=2鈭�S1=2鈭�a1

解得：a1=1

当n=2

时，a2=2鈭�S2=2鈭�a1鈭�a2

解得：a2=12

当n=3

时，a3=2鈭�S3=2鈭�a1鈭�a2鈭�a3

解得：a3=14

当n=4

时，a4=2鈭�S4=2鈭�a1鈭�a2鈭�a4鈭�a4

解得：a4=18

由此归纳推理得：an=(12)n鈭�1(n隆脢N*).(6

分)

(

Ⅱ)隆脽

通项公式为an

的数列{an}

若an+1an=pp

是非零常数，则{an}

是等比数列；

因为通项公式an=(12)n鈭�1

又an+1an=12

所以通项公式an=(12)n鈭�1

的数