2024-2025学年高一数学同步试题（人教A版2019）1．3 集合的基本运算（六大题型）

1．3集合的基本运算目录TOC\o"1-2"\h\z\u【题型归纳】 2题型一：集合的交集运算 2题型二：并集运算 3题型三：补集运算 3题型四：集合的交集、并集与补集的混合运算 4题型五：已知集合的交集、并集、补集求参数 5题型六：韦恩图在集合运算中的应用 6【重难点集训】 9【高考真题】 15【题型归纳】题型一：集合的交集运算1．（2024·高三·四川达州·开学考试）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题易得．故选:B．2．（2024·高一·广东梅州·期中）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由集合，，得．故选：A3．（2024·高一·全国·专题练习）已知，，则中的元素个数为（

）A．0 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】因为函数过点，过点，结合二次函数，绝对值函数和反比例函数图象画法，故A，B对应的函数图象如下图所示:显然，两个图象有3个交点，所以中有3个元素．

故选：C.4．（2024·浙江杭州·三模）设集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】易知集合，，则中前面的系数应为的最小公倍数，故排除A，B，对于C，当时，集合为，而令，可得不为整数，故不含有7，可得中不含有7，故C错误，故选：D题型二：并集运算5．（2024·高一·湖北十堰·期末）集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】集合，，所以.故选：D6．（2024·高二·新疆·学业考试）已知集合，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题意得.故选：D.7．（2024·高二·浙江·期末）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以．故选：A．题型三：补集运算8．（2024·高一·全国·课堂例题）已知集合，，则.【答案】【解析】因为集合，，所以.故答案为：.9．（2024·高一·全国·课后作业）已知全集，集合或，则.【答案】或【解析】在数轴上表示出全集,集合,根据补集的概念可知或.故答案为：或.10．（2024·高一·广东佛山·期中）已知集合，设全集，则．【答案】【解析】因为集合，全集，所以.故答案为：.题型四：集合的交集、并集与补集的混合运算11．（2024·高三·甘肃定西·开学考试）设集合.求：(1)；(2).【解析】（1）因为，所以.（2）因为，则，所以或.12．（2024·高一·上海·课堂例题）已知全集，且，，求集合．【解析】∵全集，满足，，有元素，没有，有，∴．13．（2024·高一·广西河池·期末）集合.(1)求；(2)求.【解析】（1），所以；（2）或，所以.题型五：已知集合的交集、并集、补集求参数14．（2024·高二·江西南昌·期中）设集合，，(1)若，求，；(2)若中只有一个整数，求实数m的取值范围．【解析】（1）因为，所以，又，所以或，所以，．（2）由（1）知或，又中只有一个整数，由图知，，且，+解得，所以实数m的取值范围是．15．（2024·高一·北京·期中）已知集合，.(1)当时，求和；(2)若，求m的取值范围.【解析】（1）当时，，因为，所以；；（2）因为，所以或，因为，所以，因为，所以或，得或，所以m的取值范围为或.16．（2024·高一·广东珠海·期中）已知集合，.(1)若，求的值；(2)若，求实数的取值范围.【解析】（1）集合，，，则由交集的定义可知，且，解得.（2）当，即时，，符合题意；当，即时，，符合题意；当，即时，或，若，则，解得，综上，实数的取值范围是.17．（2024·高一·内蒙古赤峰·期末）已知集合，，全集．(1)当时，求；(2)若，求实数的取值范围．【解析】（1）当时，，或x>5，所以（2）若，则，①当时，；②，则，.综上所述，或．题型六：韦恩图在集合运算中的应用18．（2024·高一·陕西西安·期中）我校召开秋季运动会，高一某班有28名同学参加比赛，有15人参加集体项目，有8人参加田赛，有14人参加径赛，同时参加集体项目和田赛的有3人，同时参加集体项目和径赛的有3人，没有人同时参加三个项目的比赛，则只参加径赛的有人．【答案】8【解析】假设只参加径赛的有人，又没有人同时参加三个项目的比赛，所以同时参加田赛和径赛人数为，只参加田赛人数为，综上，，可得.故答案为：819．（2024·高一·上海浦东新·期中）某学校举办秋季运动会时，高一某班共有名同学参加比赛，有人参加游泳比赛，有人参加田赛，有人参加径赛，同时参加游泳比赛和田赛的有人，同时参加游泳比赛和径赛的有人，没有人同时参加三项比赛，借助文氏图（Venndiagram），可知同时参加田赛和径赛的有人．【答案】【解析】设同时参加田赛和径赛的学生人数为，如下图所示：由韦恩图可的，解得.因此，同时参加田赛和径赛的有人.故答案为：.20．（2024·高一·云南楚雄·期中）某商场为了了解顾客对该商场产品质量和商场服务人员的服务态度的满意情况，随机采访了50名顾客，其中对商场产品质量满意的顾客有42名，对商场服务人员的服务态度满意的顾客有38名，对该商场产品质量和商场服务人员的服务态度都不满意的顾客有6名，则对该商场产品质量和商场服务人员的服务态度都满意的顾客有名.【答案】36【解析】设对该商场产品质量和商场服务人员的服务态度都满意的顾客有名，则，解得.故答案为：21．（2024·高一·云南昆明·期中）某年级举行数学、物理、化学三项竞赛，共有88名学生参赛，其中参加数学竞赛有48人，参加物理竞赛有48人，参加化学竞赛有38人，同时参加物理、化学竞赛有18人，同时参加数学、物理竞赛有28人，同时参加数学、化学竞赛有18人，这个年级三个学科竞赛都参加的学生共有名．【答案】18【解析】设这个年级三个学科竞赛都参加的学生有人，只参加数学，化学竞赛的有人，只参加物理，化学竞赛的有人，只参加数学，物理竞赛的有人，只参加数学竞赛的有，只参加物理竞赛的有，只参加化学竞赛的有，故参加竞赛的总人数为：，解得，这个年级三个学科竞赛都参加的学生有人.故答案为：18.22．（2024·高一·四川成都·阶段练习）中国健儿在杭州亚运会上取得傲人佳绩，获奖多多，为丰富学生课余生活，拓宽学生视野，石室成飞中学积极开展社团活动，每人都至少报名参加一个社团，高一（1）班参加社团的学生有人，参加社团的学生有人，参加社团的学生有人，同时参加社团的学生有人，同时参加社团的学生有人，同时参加社团的学生有人，三个社团同时参加的学生有人，那么高一（1）班总共有学生人数为．【答案】【解析】由题意，用分别表示参加杜团、参加杜团和参加杜团的学生形成的集合，则,,因此.所以高一（1）班总共有学生人数为人.故答案为：.【重难点集训】1．（2024·高一·安徽芜湖·开学考试）若集合，，则满足的实数a的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】因为，所以，即或者，解之可得或或，当时，，符合题意；当时，，符合题意；当时，，根据集合元素互异性可判断不成立。所以实数a的个数为2个.故选：B2．（2024·高一·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知集合，，若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】解得或，故，又，，所以.故选：A.3．（2024·高一·上海·课后作业）若、、为三个集合，，则一定有（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以，，，所以,所以，对于A，因为，所以，故A正确；对于B，当且仅当时，，故B错误；对于C，当时，满足，故C错误；对于D，当时，满足，故D错误.故选：A.4．（2024·高二·辽宁大连·阶段练习）若集合，，则（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】B【解析】因为集合，，则或，所以或．故选：B．5．（2024·高三·全国·专题练习）已知全集，集合，满足，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】全集，集合，满足，绘制Venn图，如下：对于A：，A错误；对于B：，B错误；对于C：，C正确；对于D：；D错误；故选：C.6．（2024·高一·安徽·阶段练习）已知集合，，若，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，，因为，所以，所以，故选：A.7．（2024·高一·河南郑州·阶段练习）某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座，其中有人听了数学讲座，人听了历史讲座，人听了音乐讲座，记是听了数学讲座的学生，是听了历史讲座的学生，是听了音乐讲座的学生.用来表示有限集合中元素的个数，若，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】将已知条件用Venn图表示出来如下图，对A：，故A错误；对B：，故B正确；对C：，故C错误；对D：，故D错误；故选：B.8．（2024·高一·辽宁·阶段练习）已知集合，，在求时，甲同学因将看成，求得，乙同学因将看成，求得.若甲、乙同学求解过程正确，则（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】根据题意：且，解得，即，由，解得，故.故选：A.9．（多选题）（2024·高一·广东梅州·开学考试）设U为全集，下面三个命题中为真命题的是（

）A．若，则； B．若，则；C．若，则； D．若，则.【答案】ABD【解析】对于A，若，则成立，即A正确；对于B，若，则成立，即B正确；对于C，不妨设，有，但不成立，即C错误；对于D，若，则集合A、集合B中均没有元素，即D正确.故选：ABD10．（多选题）（2024·江西宜春·模拟预测）已知，如果实数满足对任意的，都存在，使得，则称为集合的“开点”，则下列集合中以0为“开点”的集合有（

）A．， B．，C． D．【答案】AC【解析】对于，对任意的，存在，使得，故正确；对于，假设集合，以0为“开点“，则对任意的，存在，，使得，当时，该式不成立，故错误；对于，假设集合以0为“开点“，则对任意的，存在，使得，故正确；对于，集合，，，当时，，时，使得不成立，故错误．故选：．11．（多选题）（2024·高一·河南开封·期中）当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合成“偏食”.对于集合，，若与B构成“全食”或“偏食”，则实数的取值可以是（

）A．-2 B． C．0 D．1【答案】BCD【解析】当时，，当时，，对选项A：若，，此时，不满足；对选项B：若，，此时，满足；对选项C：若，，此时，满足；对选项D：若，，此时，满足；故选：BCD.12．（2024·高一·上海·期中）设全集U=Z，定义A❀B=，若，则❀=.【答案】【解析】因为U=Z,所以A❀B=，所以❀=故答案为：.13．（2024·高一·江苏·阶段练习）已知集合，，，若，，则．【答案】4【解析】，，因为，，所以，，由得，即，解得或，当时，解得，此时，不满足题意；当时，解得，满足题意.所以.故答案为：414．（2024·高一·北京·期中）设，，若，则实数的值可以为．（将你认为正确的序号都填上，若填写有一个错误选项，此题得零分）

①

②

③

④【答案】①②④【解析】集合，由可得，则分和或或，当时，满足即可；当时，满足，解得：；当时，满足，解得：；当时，显然不符合条件，所以的值可以为.故答案为：①②④.15．（2024·高一·广东佛山·阶段练习）设，，且.(1)求的值及集合，；(2)设全集，求；(3)写出的所有子集.【解析】（1）根据题意得：，，将代入中的方程得：，即，则，；（2）全集，，；（3）的所有子集为，，，．16．（2024·高一·重庆沙坪坝·期中）设全集，集合，.(1)若集合恰有一个元素，求实数的值；(2)若，，求.【解析】（1）集合A恰有一个元素，，解得：；（2），；又，；即，17．（2024·高一·江苏苏州·阶段练习）已知集合或x>2，．(1)求，；(2)若集合是集合的真子集，求实数的取值范围．【解析】（1），则，，或，∴或；（2）∵集合是集合的真子集，∴或，解得或．18．（2024·高一·上海·课堂例题）对于非负整数集合（非空），若对任意，都有，或者，则称为一个好集合，以下记为的元素个数．(1)写出两个所有的元素均小于3的好集合；（给出结论即可）(2)设集合，，若集合为好集合，求出、、，所满足的条件．（需说明理由）【解析】（1），（2）由题意：，故，即，考虑、，可知，∴或．若，则考虑，，∵，∴，则，∴，但此时，不满足题意；若，此时，满足题意，∴，其中、为相异正整数．【高考真题】1．（2024年北京高考数学真题）已知集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意得.故选：C.2．（2024年高考全国甲卷数学真题）若集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依题意得，对于集合中的元素，满足，则可能的取值为，即，于是.故选：C3．（2024年高考全国甲卷数学真题）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以，则，故选：D4．（2024年天津高考数学真题）集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为集合，，所以，故选：B5．（2023年北京高考数学真题）已知集合，则（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意，，，根据交集的运算可知，.故选：A6．（2023年高考全国乙卷数学真题）设全集，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意可得，则.故选：A.7．（2023年高考全国甲卷数学真题）设全集，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为