2024-2025学年高二数学同步试题（人教A版2019）重难点02 数列求和（七大题型）

重难点02数列求和【题型归纳目录】题型1：公式法题型2：错位相减法题型3：分组求和法题型4：裂项相消法题型5：倒序相加法题型6：并项求和题型7：数列奇偶项求和【方法技巧总结】一．公式法（1）等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法．（2）等比数列的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法．（3）一些常见的数列的前n项和：①；②；③；=4\*GB3④二．几种数列求和的常用方法（1）分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．（2）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．（3）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解．（4）倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解．三．常见的裂项技巧积累裂项模型1：等差型（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）积累裂项模型2：根式型（1）（2）（3）（4）（5）（6）积累裂项模型3：指数型（1）（2）（3）（4）（5）（6），设，易得，于是（7）积累裂项模型4：对数型积累裂项模型5：三角型（1）（2）（3）（4），则【典例例题】题型1：公式法【典例1-1】已知等差数列中，，．（1）求的通项公式；（2）令，求数列的前项和．【解析】解：（1）设数列的公差为，由题意得解得，，的通项公式为．（2）由得，是首项为，公比的等比数列．．【典例1-2】（2024·陕西·石泉县江南高级中学高二期中）在数列中，a1＝1，an＝2an﹣1+n﹣2（n≥2）．(1)证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；(2)求数列{an}的前n项和Sn．【解析】（1）明：因为＝，数列{an+n}是首项为a1+1＝2，公比为2的等比数列，那么，即．（2）由（1）知，＝＝【变式1-1】（2024·西藏·林芝市第二高级中学高二期中）在等比数列中，，．(1)求；(2)设，求数列的前项和．【解析】（1）设的公比为，依题意得，解得，因此．（2）∵，∴数列是首项为0，公差为1的等差数列，故其前项和．题型2：错位相减法【典例2-1】（2024·高三·河南许昌·期中）已知数列的前n项和为，且，.(1)求实数的值和数列的通项公式；(2)若，求数列的前n项和.【解析】（1）当时，，又，则，所以；当时，，整理得，因此数列是以1为首项，3为公比的等比数列，所以数列的通项公式为.（2）由（1）知，，则，于是，两式相减得，所以.【典例2-2】（2024·高三·湖南·期中）记首项为1的数列的前项和为，且.(1)探究数列是否为单调数列；(2)求数列的前项和.【解析】（1）由题意得，当时，，两式作差得，所以，则数列为常数数列，无单调性，故数列不是单调数列.（2）由（1）可得，所以，故．所以，①，②①-②得所以【变式2-1】（2024·高三·河南南阳·期中）设数列是首项为1的等比数列，已知成等差数列，数列满足.(1)求数列和的通项公式；(2)记和分别为数列和的前项和，证明：.【解析】（1）因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列，设的公比为，由，可得，解得：或（舍去）.故，.（2）由（1）可得.数列的前项和，①则.②由①②得，即.由，可得，得证.【变式2-2】（2024·高三·山西太原·期中）已知单调递增的等比数列满足，.(1)求的通项公式；(2)设（），是数列的前n项和，若不等式恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1）设的公比为q，则，解得或（舍去），∴（）；（2）由（1）可得（），∴，①∴，②①－②，整理得，所以对于任意的，不等式恒成立，即不等式对于任意的恒成立，∴，解得，∴实数的取值范围是.题型3：分组求和法【典例3-1】（2024·高二·上海·阶段练习）已知等差数列的前项和为，，且，数列为等比数列，公比为2，且．(1)求数列与的通项公式；(2)设数列满足，求数列的前项和．【解析】（1）设的公差为，因为，所以，又，则，故，所以；因为，，所以，解得，所以.（2）结合（1）可得：.【典例3-2】（2024·高三·全国·专题练习）已知数列满足，.(1)令，证明：数列为等比数列；(2)求数列的前项和.【解析】（1）因为.又，故数列是首项为1，公比为3的等比数列.（2）由（1）有，可得，所以有.【变式3-1】（2024·高二·湖南长沙·期中）已知公差不为零的等差数列的前n项和为，若，且，，成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前n项和.【解析】（1）根据为等差数列，设公差为.，即①，，，成等比数列∴，②，由①②解得：，数列的通项公式为.（2）由，数列的前n项和.题型4：裂项相消法【典例4-1】（河北省部分学校2023-2024学年高三12月阶段性测数学试卷）已知数列为等差数列，且，.(1)求数列的通项公式；(2)数列满足，求数列的前项和.【解析】（1）设等差数列的公差为，则，解得，故.（2）因为，因此，.【典例4-2】（东三省2023-2024学年高三12月调研测试数学试题）已知数列的首项为1，其前项和为，等比数列是首项为1的递增数列，若．(1)求数列和的通项公式；(2)证明：；(3)求使得成立的最大整数．【解析】（1）因为，所以当时，，作差得，两边同时除以得，又，所以，得，所以，故对，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以，则．设等比数列的公比为，因为，所以由，或又因以数列是递增数列，所以．（2）因为，所以．（3）由（1）知，即，令，则，，所以当时，，当时，，当时，，即有，，又，故当时，，所以，，又，所以，当时，，故使得成立的最大整数为6．【变式4-1】（2024·高三·全国·专题练习）已知数列，，且，，为等差数列.(1)求的通项公式；(2)若对任意正整数，都有，求的取值范围.【解析】（1）因为，，则，，可知等差数列的首项为1，公差，则，即当时，，且符合上式，所以，.（2）由（1）可知：，则.由题可知，所以的取值范围是.【变式4-2】（江苏省“决胜新高考”2024届高三12月联考数学试卷）记为数列的前项和，且．(1)证明：数列为等比数列；(2)求数列的前项和；(3)数列的前n项和为，且，求证：．【解析】（1）证明：当时，，则，当时，，即，而，所以数列成首项为3，公比为的等比数列，（2）由（1）知，，则，由，所以，则，设前n项和记为，所以①，则②，①②得，则，即数列的前n项和为.（3）证明：由（2）知，，则，所以所以，因为，所以．【变式4-3】（2024·高三·天津河东·阶段练习）已知等比数列的各项均为正数，、、成等差数列，且满足，等差数列数列的前项和，，．(1)求数列和的通项公式；(2)设，，的前项和，求．【解析】（1）由题，设数列的公比为，的公差为，由，即，解得，所以，，又，即，解得，所以，．所以数列的通项公式为，数列的通项公式为．（2）由（1）得，所以.题型5：倒序相加法【典例5-1】（2024·高三·山东济宁·阶段练习）定义在上的函数满足是奇函数，若数列的项满足：，则数列的通项公式为．【答案】【解析】由条件可知，，即，所以，，两式相加得，即，则.故答案为：【典例5-2】（2024·高三·山东济宁·期中）已知函数，，则的对称中心为；若（），则数列的通项公式为．【答案】【解析】函数的定义域为R，，由，得，则，因此函数图象的对称中心是；由，得，当时，，，，于是，即，所以数列的通项公式为.故答案为：；【变式5-1】（2024·高三·全国·专题练习）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学王子．他年幼时，在的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律而生成．此方法也称为高斯算法．现有函数，设数列满足，若存在使不等式成立，则的取值范围是．【答案】【解析】因为，所以的图象关于点中心对称．因为，所以，两式相加得，所以．由，得，所以．令，则当时，单调递减；当时，单调递增．又，所以，所以，即的取值范围是．故答案为：【变式5-2】（2024·上海宝山·一模）已知函数，正项等比数列满足，则【答案】【解析】函数，可看成向左平移1个单位，向上平移1个单位得到,因为的对称中心为，所以的对称中心为，所以，因为正项等比数列满足，所以，所以，所以，①，②，则①②相加得：即，所以.故答案为：.【变式5-3】（2024·高三·全国·专题练习）已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试用推导等差数列前n项和的方法探求：若，则.【答案】4038【解析】正数数列是公比不等于1的等比数列，，则，由，当时，，于是，令，则因此，所以.故答案为：4038题型6：并项求和【典例6-1】（2024·高二·广东东莞·期中）已知公差的等差数列满足，成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)设，求【解析】（1）由题设，因为成等比数列，即，所以，由，可解得所以（2）因为，所以.【典例6-2】（2024·高二·重庆·期中）已知数列的前项和满足：,．(1)求；(2)若，求的前项和．【解析】（1）因为数列的前项和满足：，则，则，可得，当时，由可得，上述两个等式作差可得，可得，令，可得，则，解得，所以，，且，所以，数列为等比数列，首项为，公比为，所以，，故.（2）因为，对任意的，，问题转化为求数列的前项和，记数列的前项和为，，则，上式下式得，化简得，因此，.【变式6-1】（2024·高三·全国·专题练习）在①数列为等差数列，且；②，；③正项数列满足这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.问题：已知数列的前项和为，且__________.(1)求数列的通项公式；(2)若数列的前项和为，求.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【解析】（1）若选①，因为为等差数列，令，则，所以公差，所以等差数列的通项公式为；若选②，当时，，因此，即，所以为常数列，因此，所以；若选③，当时，，即.又因为，所以.当时，有，，所以，即.又因为，所以，所以是以2为公差的等差数列，所以.（2）若选①，由（1）可知，；若选②，由（1）可知，；若选③，由（1）可知，.【变式6-2】（2024·高三·全国·专题练习）已知数列满足，．(1)求数列的通项公式；(2)若满足，．设为数列的前n项和，求．【解析】（1）因为，，所以当时，，则，即，当时，也成立，所以．（2）由（1），，则，则．【变式6-3】（2024·高三·全国·专题练习）已知数列的前项和，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【解析】（1）当时，；当时，.也满足，故数列的通项公式为.（2）当为偶数时，.当为奇数时，.综上，题型7：数列奇偶项求和【典例7-1】（2024·高三·天津南开·阶段练习）已知等差数列前项和为，数列是等比数列，，.(1)求数列和的通项公式；(2)对任意的正整数，设记数列的前项和为，求.(3)设，若对任意的，都有.成立，求实数的取值范围.【解析】（1）设的公差为d，的公比为q．则，∴∴；（2）由（1）知，所以，所以，令，，两式相减可得：，所以，令，所以，（3），所以，由恒成立可得：恒成立，即求当时的最小值，对于，显然当递增，当时取最小15，令，则，显然当时，，即当时取最大为，所以的最小值为11，所以，所以实数的取值范围是【典例7-2】（2024·高三·河北邢台·阶段练习）已知数列的前项和为，，，等差数列的前项和为，，.(1)求和的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【解析】（1）因为，①所以当时，，又，所以.当时，，②①式减去②式得，所以.又，，所以，，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以.设等差数列的公差为，因为，，可得，解得，所以，即的通项公式为.（2）因为，设数列的前项和为，则，，因此，.【变式7-1】（2024·高三·广东深圳·阶段练习）已知数列满足，(1)记，写出，，并证明数列为等比数列；(2)求的前项和．【解析】（1）显然为偶数，则，．所以，即．且．所以是以5为首项，2为公比的等比数列，于是，，．（2）记，则从而数列的前项和为：【变式7-2】（2024·高三·黑龙江大庆·阶段练习）已知数列的前项和为，且满足.(1)求证:数列为等比数列;(2)已知，求数列的前2n项和.【解析】（1）当n=1时，，解得，当时，由，可得，两式相减得，所以，又因为，所以是首项为，公比为2的等比数列.（2）由（1）可知，所以，设数列的前项和为，所以，即，令，知，，，作差得，化简，所以【变式7-3】（2024·高二·辽宁大连·期末）已知正项数列的前项和为，且满足.(1)求数列的通项公式；(2)若的前项和为，求.【解析】（1）因为①，时，②，①-②整理得，数列是正项数列，，当时，，，数列是以1为首项，2为公差的等差数列，；（2）由题意知，设的前项中奇数项的和为，偶数项的和为，，，.【变式7-4】（2024·高三·内蒙古包头·开学考试）已知正项数列的前n项和为，且．(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前2n项和．【解析】（1）依题意，，，当时，，解得，（舍去）.当时，由得，两式相减得，即，由于，所以，所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以（也符合）.（2）