上海市金山区2022届高三上学期一模数学试卷 附答案

高三数学高三数学第页2021学年第一学期质量监控高三数学试卷(满分：150分，完卷时间：120分钟)（答题请写在答题纸上）一、填空题考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．已知集合，，则．2．函数的定义域是．3．若复数满足(为虚数单位)，则．4．的展开式中的系数为．(结果用数值表示)5．已知，则行列式的值为．6．某小区共有住户2000人，其中老年人600人，中年人1000人，其余为青少年等人群，为了调查该小区的新冠疫苗接种情况，现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为400的样本，则样本中中年人的人数为．7．设为直线上的一点，且位于第一象限，若点到双曲线的两条渐近线的距离之积为，则点的坐标为．8．已知，，且，则的最小值为．9．有身高全不相同的6位同学一起拍毕业照，若6人随机排成两排，每排3人，则后排每人都比前排任意一位同学高的概率是．(结果用最简分数表示)10．已知、、、…、是抛物线上不同的点，点，若，则．11．若数列满足…（，），则称数列为“阶相消数列”．已知“2阶相消数列”的通项公式为，记…，，，则当=___________时，取得最小值．12．已知点、和，记线段的中点为，取线段和线段中的一条，记其端点为、，使之满足；记线段的中点为，取线段和线段中的一条，记其端点为、，使之满足；依次下去，得到点、、…、、…，则．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．已知，则“”是“”的()．(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件14．下列函数中，以为周期且在区间上单调递增的是()．(A)(B)(C)(D)15．如图，在棱长为1的正方体中，、、分别是棱、、的中点，以△为底面作一个直三棱柱，使其另一个底面的三个顶点也都在正方体的表面上，则这个直三棱柱的体积为()．(A)(B)(C)(D)16．已知向量与的夹角为，且，向量满足()，且.记向量在向量与方向上的投影分别为、.现有两个结论：①若，则；②的最大值为，则正确的判断是()．(A)①成立，②成立(B)①成立，②不成立(C)①不成立，②成立(D)①不成立，②不成立三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，已知圆锥的底面半径，经过旋转轴的截面是等边三角形，点为半圆弧的中点，点为母线的中点.（1）求此圆锥的表面积；（2）求异面直线与所成角的大小．18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数.（1）设是的反函数，若，求的值；（2）是否存在常数，使得函数为奇函数．若存在，求的值，并证明此时在上单调递增；若不存在，请说明理由.19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）落户上海的某休闲度假园区预计于2022年开工建设.如图，拟在该度假园区入口处修建平面图呈直角三角形的迎宾区，，迎宾区的入口设置在点处，出口在点处.游客可从入口沿着观景通道到达出口，其中米，米,也可以沿便捷通道到达出口（为内一点）.（1）若是以为直角顶点的等腰直角三角形，某游客的步行速度为每分钟50米，则该游客从入口步行至出口，走便捷通道比走观景通道可以快几分钟？（结果精确到1分钟）（2）园区计划将区域修建成室外游乐场，若，该如何设计使室外游乐场的面积最大，请说明理由.20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知为椭圆内一定点，为直线上一动点，直线与椭圆交于、两点(点位于、两点之间)，为坐标原点.（1）当直线的倾斜角为时，求直线的斜率；（2）当△的面积为时，求点的横坐标；（3）设，，试问是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知有穷数列的各项均不相等，将的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列，称为的“序数列”.例如：数列满足，则其“序数列”为1，3，2.若两个不同数列的“序数列”相同，则称这两个数列互为“保序数列”.（1）若数列，，的“序数列”为2，3，1，求实数的取值范围；（2）若项数均为2021的数列、互为“保序数列”，其通项公式分别为，（为常数），求实数的取值范围；（3）设，其中、是实常数，且，记数列的前项和为.若当正整数时，数列的前项与数列的前项(都按原来的顺序)总是互为“保序数列”，求、满足的条件.2021学年第一学期质量监控高三数学试卷评分标准一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．；2．；3．2；4．160； 5.；6．200；7．； 8．25； 9．；10．40; 11．2020;12．.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.D14.A15.C16.C三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：(1)由，得．…………3分又，故．…………6分即此圆锥的表面积为．(2)取的中点，连接．因点为母线的中点，故．所以为异面直线与所成的角．…………9分在中，，故．由点为半圆弧的中点，知，在中，．…………12分由底面，知底面，在中，，故，即异面直线与所成角的大小为．…………14分18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）因为函数，所以，．…………2分．…………6分（2）由题意得：．解法一：因为为奇函数，所以，即，…8分整理得：，故．…………12分解法二：因为是定义域为的奇函数，故，即，解得．…………8分此时，定义域为关于原点对称，且．故当时，为奇函数．………12分任取，则．因为，所以且，故，即函数在上单调递增．…………14分19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）若游客走观景通道，则所需时间为分钟；……2分由是以为直角顶点的等腰直角三角形，可得且．在中，由余弦定理可得：，．……4分故游客若走便捷通道，所需时间为分钟；……5分因此，游客从入口步行至出口，走便捷通道比走观景通道可以快大约3分钟．……6分（2）解法一：．……8分在中，由余弦定理可得：，即，……10分当且仅当时，等号成立．……12分所以当时，可使室外游乐场的面积最大．……14分解法二：可设，在中，，即．……8分故……10分．……12分所以当，即时，可使室外游乐场的面积最大．……14分20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）解：(1)当直线的倾斜角为时，其斜率，直线的方程为.…2分联立，解得，即.从而，即直线的斜率为.…4分(2)由题意，可设直线的方程为.联立，消去，整理得.设、，则…………5分从而由，得解得，.……8分故直线的方程为.令，得点的横坐标为.……10分(3)①当直线与轴重合时，，，故.…………12分②当直线不与轴重合时，设直线的方程为.设、，由(2)知从而……14分,即.………16分综上，为定值.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）解：（1）由题意得，即，……2分解得．……4分（2）．……5分当时，即，当时，即，……7分故，又，，，因此的序数列为…，2021．……8分又因、互为“保序数列”，故，只需满足，解得：．……10分(3)解：①当或时，数列中有相等的项，不满足题意.……11分②当时，数列单调递增，故也应单调递增，从而对且恒成立.又数列单调递增，故.……13分③当时，数列单调递减，故也应单调递减，从而对且恒成立.又数列单调递减，故.