江苏省南京市第五中学2021-2022学年高三上学期一模热身数学试题 附答案

南京市第五高级中学高三数学一模热身测一､单选题（本题共8小题，每题5分，共40分）1.“”是“向量，，则”的（）条件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要【答案】A2.函数的图像可能是（）A. B.C. D.【答案】B3.已知，，，则，，大小关系为（）．A. B.C. D.【答案】C4.已知函数，下列说法正确的个数为（）①的图象的一个对称中心为②的图象的一条对称轴为③的单调递增区间是④函数的图象向左平移个单位后得到的是一个奇函数的图象A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B5.已知，为锐角，，，则（）A. B. C. D.【答案】C6.圆C：上恰好存在2个点，它到直线的距离为1，则R的一个取值可能为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B7.有四位同学参加校园文化活动，活动共有四个项目，每人限报其中一项.已知甲同学报的项目其他同学不报，则4位同学所报选项各不相同的概率等于（）A. B. C. D.【答案】C8.已知，，有如下结论：①有两个极值点；②有个零点；③的所有零点之和等于零.则正确结论的个数是（）A. B. C. D.【答案】D二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知在某市的一次学情检测中，学生的数学成绩X服从正态分布，其中90分为及格线，120分为优秀线，下列说法正确的是（）附:随机变量服从正态分布，则，，.A.该市学生数学成绩的标准差为100B.该市学生数学成绩的期望为100C.该市学生数学成绩的及格率超过0.8D.该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等【答案】BC10.若，，则下列不等式中一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】D11.已知函数，，则（）A.函数为偶函数B.函数为奇函数C.函数在区间上的最大值与最小值之和为0D.设，则的解集为【答案】BCD12.在单位圆O：上任取一点，圆O与x轴正向交点是A，设将OA绕原点O旋转到OP所成的角为，记x，y关于的表达式分别为，，则下列说法正确的是（）A.是偶函数，是奇函数B.在为增函数，在为减函数C.对于恒成立D.函数的最大值为【答案】ACD三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.在展开式中，偶数次幂项的系数之和为8，则______.【答案】14.已知圆锥顶点为P，底面的中心为O，过直线OP的平面截该圆锥所得的截面是面积为的正三角形，则该圆锥的体积为___________.【答案】15.平行四边形中，，，点满足，点满足，则_________．【答案】016.在中，，为的中点，，则面积的最大值为______.【答案】四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17已知函数（1）求的最小正周期；（2）讨论在区间上的单调性；【答案】（1）.（2）在区间上单调递增；在区间上单调递减.18.已知数列，，为数列的前n项和，，，若，，且，.（1）求数列的通项公式；（2）证明为等差数列；（3）若数列的通项公式为，令为的前项的和，求．【答案】（1）（2）证明见解析（3）19.在底面为正方形的四棱锥中，平面平面分别为棱和的中点.(1)求证:平面;(2)若直线与所成角的正切值为，求平面与平面所成锐二面角的大小.【答案】（1）见解析（2）20.某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答，至少答对3个才能通过初试已知甲、乙两人参加初试，在这8个试题中甲能答对6个，乙能答对每个试题的概率为，且甲、乙两人是否答对每个试题互不影响.（1）试通过概率计算，分析甲、乙两人谁通过自主招生初试的可能性更大；（2）若答对一题得5分，答错或不答得0分，记乙答题的得分为，求的分布列及数学期望和方差.【答案】（1）甲通过自主招生初试的可能性更大.（2）见解析，，.21.已知双曲线的焦距为4，直线l：与交于两个不同的点D､E，且时直线l与的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形.（1）求双曲线的方程；（2）若坐标原点O在以线段DE为直径的圆的内部，求实数m的取值范围；（3）设A､B分别是的左､右两顶点，线段BD的垂直平分线交直线BD于点P，交直线AD于点Q，求证：线段PQ在x轴上的射影长为定值.【答案】（1）（2）（3）