备战2023年高考数学一轮复习-第2讲-第1课时-函数的单调性与最大(小)值

第1课时函数的单调性与最大(小)值第二章第2讲函数的基本性质考向预测核心素养以基本初等函数为载体，考查函数的单调性、单调区间及函数最值的确定与应用；题型既有选择题、填空题，又有解答题，中档偏上难度.数学抽象、逻辑推理01基础知识回顾一、知识梳理1．函数的单调性

单调递增单调递减定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1，x2∈D当x1<x2时，都有__________，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增(如图)．特别地，当函数f(x)在它的定义域上__________时，我们就称它是增函数当x1<x2时，都有__________，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减(如图)．特别地，当函数f(x)在它的定义域上__________时，我们就称它是减函数f(x1)<f(x2)单调递增f(x1)>f(x2)单调递减

单调递增单调递减图象[提醒]

①单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示；②有多个单调区间应分开写，不能用“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接．2．函数的最值前提一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)∀x∈I，都有______________；(2)∃x0∈I，使得________________(1)∀x∈I，都有______________；(2)∃x0∈I，使得________________结论M为最大值M为最小值f(x)≤Mf(x0)＝Mf(x)≥Mf(x0)＝M

常用结论3．函数最值存在的两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．

×××

√

√3．(忽视函数定义域致误)函数f(x)＝log(6x2＋x－1)的单调递增区间为________．由复合函数单调性知f(x)的单调递增区间即y＝6x2＋x－1的单调递减区间(定义域内)，02核心考点共研考点一确定函数的单调性(区间)(多维探究)复习指导：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义．角度1求具体函数的单调区间

(1)(链接常用结论2)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(

)A．(－∞，－2)B.(－∞，1)C．(1，＋∞)D.(4，＋∞)【解析】

(1)由x2－2x－8>0，得f(x)的定义域为{x|x>4或x<－2}．设t＝x2－2x－8，则y＝lnt为增函数，要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x－8的单调递增区间(定义域内)．因为函数t＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减，所以函数f(x)的单调递增区间为(4，＋∞)．√(2)函数f(x)＝－x2＋2|x|＋1的单调递增区间为________．画出函数图象如图所示，可知函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1]和(0，1]．【答案】

(2)(－∞，－1]和(0，1]由于x1<x2<1，所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－∞，1)上单调递减；当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，函数f(x)在(－∞，1)上单调递增．当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－∞，1)上单调递减；当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－∞，1)上单调递增．利用定义法证明或判断函数单调性的步骤|跟踪训练|1．函数f(x)＝|x2－6x＋8|的单调递增区间为(

)A．[－3，＋∞)B．(－∞，2)，(4，＋∞)C．(2，3)，(4，＋∞)D．(－∞，2]，[－3，4]√2．设函数f(x)＝

g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是________．解析：由题意知g(x)＝该函数图象如图所示，其单调递减区间是[0，1)．答案：[0，1)考点二函数单调性的应用(多维探究)复习指导：利用函数单调性，可以比较函数值大小，求函数最值，求函数范围等．A．c>a>b

B.c>b>a

C．a>c>b

D.b>a>c√【解析】

(1)根据函数f(x)的图象(图略)可知，f(x)是定义在R上的增函数．所以2－x2>x，所以－2<x<1.(2)已知函数f(x)＝lnx＋2x，若f(x2－4)<2，则实数x的取值范围是________．角度3求参数的值(范围)

(1)(2020·新高考卷Ⅱ)已知函数f(x)＝lg(x2－4x－5)在(a，＋∞)单调递增，则a的取值范围是(

)A．(－∞，－1]B.(－∞，2]C．[2，＋∞)D.[5，＋∞)【解析】

(1)由x2－4x－5＞0，得x＜－1或x＞5.令t＝x2－4x－5，因为外层函数y＝lgt是其定义域内的增函数，所以要使函数f(x)＝lg(x2－4x－5)在(a，＋∞)上单调递增，则需内层函数t＝x2－4x－5在(a，＋∞)上单调递增且恒大于0，则(a，＋∞)⊆(5，＋∞)，即a≥5.所以a的取值范围是[5，＋∞)．故选D.√【答案】

(2)(1，2]函数单调性应用要点(1)比较大小：可将n个自变量化到同一单调区间上．(2)解不等式：利用函数的单调性将“f”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域．(3)利用单调性求参数：①确定函数的单调区间，与已知区间比较；②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．√√

3．已知函数y＝loga(2－ax)在区间[0，1]上单调递减，则实数a的取值范围是________．解析：设u＝2－ax，因为a>0且a≠1，所以函数u＝2－ax在区间[0，1]上单调递减．由题意可知函数y＝logau单调递增，所以a>1.又因为u在区间[0，1]上要满足u>0，所以

解得a<2.综上得1<a<2.答案：(1，2)考点三求函数的最值(综合研析)复习指导：会通过函数的图象或性质求函数的最值．【答案】

(1)1【解析】

(2)在同一直角坐标系中，作出函数f(x)，g(x)的图象，依题意，h(x)的图象如图所示．易知点A(2，1)为图象的最高点，因此h(x)的最大值为h(2)＝1.【答案】

(2)1求函数最值的三种常用方法|跟踪训练|1．(多选)已知函数f(x)＝ln(x－2)＋ln(6－x)，则(

)A．f(x)在(2，6)上单调递增B．f(x)在(2，6)上的最大值为2ln2C．f(x)在(2，6)上无最小值D．f(x)的图象关于直线x＝4对称√√√解析：

f(x)＝ln(x－2)＋ln(6－x)＝ln[(x－2)(6－x)]，定义域为(2，6)．令t＝(x－2)(6－x)，则y＝lnt.因为二次函数t＝(x－2)(6－x)的图象的对称轴为直线x＝4，且在(2，4)上单调递增，在(4，6)上单调递减，所以当x＝4时，t有最大值4，所以f(x)max＝f(4)＝2ln2，f(x)在(2，6)上无最小值．答案：[4，＋∞)03课后达标检测√[A基础达标]1．(2021·高考全国卷甲)下列函数中是增函数的为(

)

方法二(图象法)：如图，在坐标系中分别画出A，B，C，D四个选项中函数的大致图象，即可快速直观判断D项符合题意．故选D.A．在区间(1，＋∞)上单调递增B．在区间(1，＋∞)上单调递减C．在区间(－∞，1)上单调递增D．在定义域内单调递减√3．(2022·兰州一模)已知函数f(x)＝loga(－x2－2x＋3)(a>0且a≠1)，若f(0)<0，则此函数的单调递增区间是(

)A．(－∞，－1]B.[－1，＋∞)C．[－1，1)D.(－3，－1]解析：令g(x)＝－x2－2x＋3，由题意知g(x)>0，可得－3<x<1，故函数f(x)的定义域为{x|－3<x<1}．根据f(0)＝loga3<0，可得0<a<1，又g(x)在定义域(－3，1)内的单调递减区间是[－1，1)，所以f(x)的单调递增区间为[－1，1)．√√5．(2022·沧州模拟)已知函数f(x)是R上的增函数，A(0，－1)，B(3，1)是其图象上的两点，那么|f(x＋1)|<1的解集为(

)A．(－1，2) B.(1，4)C．(－∞，－1)∪[4，＋∞) D.(－∞，－1]∪[2，＋∞)解析：由题意可得，f(0)＝－1，f(3)＝1，因为函数f(x)是R上的增函数，所以由|f(x＋1)|<1得－1<f(x＋1)<1，即f(0)<f(x＋1)<f(3)，因此0<x＋1<3，解得－1<x<2，即|f(x＋1)|<1的解集为(－1，2)．√√√6．(多选)已知函数f(x)＝loga|x－1|在区间(－∞，1)上单调递增，则(

)A．0<a<1B．a>1C．f(a＋2022)>f(2023)D．f(a＋2022)<f(2023)解析：

f(x)＝loga|x－1|的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)．设z＝|x－1|，可得函数z在(－∞，1)上单调递减；在(1，＋∞)上单调递增，当a>1时，f(x)＝logaz在z∈(0，＋∞)上单调递增，可得函数f(x)＝loga|x－1|在区间(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；当0<a<1时，f(x)＝logaz在z∈(0，＋∞)上单调递减，可得函数f(x)＝loga|x－1|在区间(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．由题意可得0<a<1，故A正确，B错误；由于0<a<1，可得1<a＋2022<2023，又f(x)在(1，＋∞)上单调递减，则f(a＋2022)>f(2023)，故C正确，D错误．故选AC.

√答案：4

[0，2]

10．已知函数f(x)＝(1)用定义证明f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增；解：(1)证明：任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1<x2，则因为1≤x1<x2，所以x1－x2<0，(x1＋1)(x2＋1)>0，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，故函数f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增．(2)求该函数在区间[2，4]上的最大值与最小值．解：(2)由(1)知函数f(x)在区间[2，4]上单调递增，√解析：要使此分段函数为R上的增函数，必须使函数g(x)＝(2b－1)x＋b－1在(0，＋∞)上单调递增，函数h(x)＝－x2＋(2－b)x在(－∞，0]上单调递增，且满足h(0)≤g(0)，根据一次函数和二次函数的单调性可得

解得1≤b≤2，即实数b的取值范围是[1，2]．答案：[1，＋∞)

解：二次函数y1＝x2－4x＋3的对称轴是x＝2，所以该函数在(－∞，0]上单调递减，所以x2－4x＋3≥3.同理可知函数y2＝－x2－