《信号与系统(第2版)》第二章-连续系统的时域分析

第二章连续系统的时域分析2.1连续系统的数学模型2.2连续系统的响应2.3冲激响应与阶跃响应2.4卷积积分2.5卷积的性质点击目录，进入相关章节第二章连续系统的时域分析

2.1连续系统的数学模型2.1连续系统数学模型的建立分析一个实际的电路系统，首先要对其建立数学模型，基于建立的数学模型运用数学方法求解，然后再回到实际系统对结果做出相应解释。根据电路系统的结构、元件特性，利用相关基本定律寻找能表征系统特性的数学关系式，称为对系统建模，所建立的数学关系式称之为系统的数学模型。线性时不变连续系统的时域数学模型是线性常系数微分方程。第二章连续系统的时域分析例2.1如图2.1.1所示电路，写出激励和响应间的微分方程。解：根据KVL、KCL可列方程

对上式两边求导，得

将式(2.1.3)代入式(2.1.1)，得

上式即为激励和响应间的微分方程。(2.1.2)(2.1.3)(2.1.1)(2.1.4)第二章连续系统的时域分析例2.2图2.1.2所示电路，输入激励是电流源，试列出以电流为响应的微分方程。(2.1.5)解：由KVL，列出电压方程对式(2.1.5)求导，并考虑到、，则(2.1.6)

根据KCL，有(2.1.7)

因而(2.1.8)

将式(2.1.7)、式(2.1.8)代入式(2.1.6)，得整理上式后，可得第二章连续系统的时域分析上式即为以电流为响应的微分方程。为响应的微分方程为

式(2.1.10)和式(2.1.11)是二阶线性常系数非齐次微分方程。，以电流

采用同样的方法可以求得输入激励是(2.1.10)(2.1.11)第二章连续系统的时域分析从上面例子可得到两点结论：(1)求得的微分方程的阶数与动态电路的阶数(即独立动态元件的个数)是一致的。一般有N个独立动态元件组成的系统是N阶系统，可以由N阶微分方程描述(或N个一阶微分方程组描述)。

(2)输出响应无论是、或是、，还是其它别的变量，它们的齐次方程系数都相同。这表明同一系统当它的元件参数确定不变时，它的自由频率是唯一的。、第二章连续系统的时域分析例题如图2.1.3所示电路，判断系统阶数。解：(1)列电路(a)的KVL方程为(a)

(b)

有两个独立的，所以该系统是二阶系统。

(2)列电路(b)的KVL方程为是通过其它表示的，是非独立的，故系统是二阶系统。第二章连续系统的时域分析2.1.2系统模拟

通过建立数学模型的连续系统分析方法，在实际研究过程中显得十分繁琐。为了简化，可将连续系统分解为若干基本运算单元，由它们组合构成复杂的系统。所谓连续系统模拟是指利用线性微分方程的基本运算单元给出系统方框图的方法。这种方法容易理解系统性能特征的实质，系统分解与互连的研究方法也有助于从系统分析过渡到系统设计。通常用到三种基本运算单元模拟连续系统：数乘器、加法器和积分器。数乘器、加法器和积分器的模型符号及其相应的运算功能如图2.1.4所示。

(a)数乘器

(b)加法器

(c)积分器

第二章连续系统的时域分析例2.4描述一个二阶系统输入与输出关系的微分方程为

请画出该系统的模拟框图。

图2.1.5二阶系统的模拟框图解：为画出该系统的模拟框图，将系统微分方程改写为第二章连续系统的时域分析例2.5描述一个二阶系统输入与输出关系的微分方程为请画出该系统的模拟框图。解：引入一辅助函数，使满足方程

可推导出它满足原方程，则该系统的模拟框图如图2.1.6所示。第二章连续系统的时域分析2.2连续系统的响应2.2.1微分方程的经典解描述LTI连续系统激励与响应关系的数学模型是N阶线性常系数微分方程，即或写为由高等数学知识可知，该微分方程的全解由齐次解和特解组成，即第二章连续系统的时域分析1.微分方程的齐次解当及其各阶导数都等于零时，该微分方程为齐次微分方程，即上式的解为齐次解，其特征方程为其中N个根称为微分方程的特征根。若齐次方程的特征根均为单实根，则其中常数，由初始条件确定。

齐次解的函数形式由特征根确定，表2.1列出了不同的特征根所对应的齐次解。第二章连续系统的时域分析表2.1不同特征根所对应的齐次解第二章连续系统的时域分析2.特解特解的函数形式与激励的函数形式有关，表2.2列出了几种常见类型的激励函数及其所对应的特解第二章连续系统的时域分析3.全解微分方程的全解为齐次解与特解之和，即齐次解的函数形式仅与系统的自身特性相关，而与激励的函数形式由激励确定，也被称为强迫响应。的函数形式无关，也被称为系统的自由响应或固有响应。特解第二章连续系统的时域分析

一般情况下，激励信号是在时刻接入，那么微分方程的全解适合的时间区间为。

为确定解的待定系数就需要一组时刻的值

对于N阶常系数线性微分方程，利用初始条件可求得待定系数。第二章连续系统的时域分析例2.6描述某LTI系统的微分方程为求：

(1)；、时的全解；；、时的全解。

(2)解：求

(1)、时的全解；1)首先求齐次解特征方程为其特征根为和。微分方程的齐次解为

，

2)求特解由表2.2可知，当时，其特解设为第二章连续系统的时域分析将其代入式得解上式得，则微分方程的特解为3)求全解微分方程的全解为其一阶导数第二章连续系统的时域分析令，根据初始条件得到由上两式可解得则微分方程的全解为、时的全解。

(2)1)齐次解同上，即第二章连续系统的时域分析2)当激励时，

其指数与特征根相等。由

表2-2知，其特解设为代入微分方程可得，则，但不能求得，则特解为3)微分方程的全解为第二章连续系统的时域分析其一阶导数为代入初始条件到上两式得求解上两式得所以全解为其中第一项的系数，不能区分和，因而也不能区分自由响应和强迫响应。第二章连续系统的时域分析2.2.2系统初始条件在求系统的初始条件时，可用系数匹配法求时的初始值。

若输入是在时接入系统，则确定待定系数时用时刻的初始值，即。

而输入信号的作用，不便于描述系统的历史信息。

包含了在时，激励尚未接入，该时刻的值历史情况而与激励无关，称这些值为初始状态。

反映了系统的通常，对于具体的系统，初始状态一般容易求得。这样为求解微分方程，就需要从已知的初始状态设法求得第二章连续系统的时域分析例2.7描述某LTI系统的微分方程为已知、，，求和。解：将代入到原微分方程，得用系数匹配法分析：上式对于也成立，在区间等号两端项的系数应相等。

故应包含冲激函数；含有阶跃函数，在处将发生跃变，即但不含冲激函数，否则将含有项，故在处是连续的，即(1)第二章连续系统的时域分析对（1）式从到进行积分，有由于，则又因为，故解得第二章连续系统的时域分析解：(1)以为输出列出其微分方程又因为故整理得第二章连续系统的时域分析将已知参数代入上式得(2)求初始条件和根据系数匹配法可知(3)微分方程的解(2.2.10)式(2.1.10)的特征方程为其特征根：微分方程的齐次解为：第二章连续系统的时域分析由于时，激励为常数，故设特解为将其代入式(2.1.10)，得电容电压全解为,其一阶导数为,将初始条件和代入可得求解得第二章连续系统的时域分析所以电容电压为2.2.3零输入响应与零状态响应线性非时变系统的完全响应也可分解为零输入响应和零状态响应。零输入响应是激励为零时，仅由系统的初始状态所引起的响应，用表示。零状态响应是系统的初始状态为零时，仅由输入信号所引起的响应，用

表示。这样，线性非时变系统的全响应将是零输入响应和零状态响应之和，即1．零输入响应

在零输入条件下，式(2.2.1)等式右端均为零，化为齐次方程第二章连续系统的时域分析若其特征根全为单根，则其零输入响应为其中为待定系数。由于输入为零，则在处都连续，故初始值2．零状态响应

若系统的初始储能为零，亦即初始状态为零，这时式(2.2.1)仍为非齐次方程。若其特征根均为单根，则其零状态响应为第二章连续系统的时域分析其中为待定系数，

为特解。系统的完全响应即可分解为自由响应和强迫响应，也可分解为零输入响应和零状态响应，它们的关系为其中第二章连续系统的时域分析可见，两种分解方式有明显的区别：

(1)尽管自由响应与零输入响应都是齐次方程的解，但二者系数各不相同。由初始状态和激励共同确定，由初始状态确定。(2)自由响应包含了零输入响应和零状态响应中的齐次解。对于系统响应还有一种分解方式，即瞬态响应和稳态响应。

瞬态响应指时，响应趋于零的那部分响应分量。稳态响应指时，响应不为零的那部分响应分量。第二章连续系统的时域分析例2.9描述某LTI系统的微分方程为已知、，。

求该系统的零输入响应、零状态响应和全响应。解：(1)求零输入响应因为激励为零，故满足初始状态为由于激励为零，故在处都连续，即，则第二章连续系统的时域分析该齐次方程的特征根为和，故零输入响应为其一阶导数为将初始值代入上两式得解得将求得系数代入式(2.2.19)得(2.2.19)

，第二章连续系统的时域分析(2)求零状态响应零状态响应应满足现在就要求出初始条件，由系数匹配法，可知

对式(2.2.20)从到进行积分，有(2.2.20)第二章连续系统的时域分析在时，式(2.2.20)有不难求得其齐次解为其特解为于是零状态响应为其一阶导数为将初始值代入上式求得解之得第二章连续系统的时域分析所以有

，(3)求全响应第二章连续系统的时域分析2.3冲激响应与阶跃响应2.3.1冲激响应1.冲激响应的定义当激励为单位冲激函数时，LTI系统的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应。冲激响应用表示，如图2.3.1所示。第二章连续系统的时域分析2.冲激响应的求解例2.10描述某系统的微分方程为试求该系统的冲激响应。(2.3.1)解：由冲激响应的定义可知：首先求初始条件和。

利用系数匹配法：从到积分得(2.3.2)第二章连续系统的时域分析则由上式可得则当时，

式(2.3.2)为微分方程的特征根为故系统的冲激响应为系统的齐次解。，故系统的冲激响应为其一阶导数为代入初始条件得解之得第二章连续系统的时域分析所以系统的冲激响应为3.

初始值的确定一般说来，若N阶微分方程的等号右端只含有激励，即当时，冲激响应应满足方程

由系数平衡法，可推得各初始值为第二章连续系统的时域分析4.LTI系统冲激响应的求解步骤一般情况下，描述LTI系统的微分方程为(1)选取新变量，满足方程的求解过程与式(2.3.2)的求解过程相同。(2)根据线性时不变系统零状态响应的线性性质和微分特性，即可求出式(2.3.6)所示系统的冲激响应为(2.3.6)第二章连续系统的时域分析例2.11描述某系统的微分方程为:试求该系统的冲激响应解：(1)选取新变量满足方程微分方程的特征根为，故冲激响应为其一阶导数为代入初始条件得解得第二章连续系统的时域分析所以(2)求系统的冲激响应第二章连续系统的时域分析2.3.2阶跃响应1.阶跃响应的定义

当输入激励为单位阶跃函数时所引起的零状态响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应。阶跃响应用表示，如下图所示2.初始值的确定及

的求解

如果N阶微分方程等号右端只含有，当激励为时，系统的零状态响应即为阶跃响应，满足方程第二章连续系统的时域分析根据系数匹配可知：(2.3.11)式(2.3.11)为非齐次微分方程，其解由齐次解和特解组成。3.阶跃响应

与冲激响应

的关系

冲激函数与阶跃函数的关系为根据线性时不变系统的微分、积分性质可得第二章连续系统的时域分析例2.12描述某LTI系统的微分方程为求该系统的阶跃响应。解：阶跃响应满足方程微分方程的特征根为，故齐次解为特解为则阶跃响应将初始值代入上式，得解得全解为第二章连续系统的时域分析例2.13如图所示的LTI系统，求其阶跃响应及冲激响应。图2.3.3例2.13用图

解：(1)列写微分方程设图2.3.3中右端积分器的输出为，则左端加法器的输出即右端加法器的输出消去中间变量后得到系统的微分方程为(2.3.18)第二章连续系统的时域分析(2)阶跃响应先求出如下微分方程的解根据线性性质，则式(2.3.18)描述的系统的阶跃响应为满足方程(2.3.19)由系数匹配可知式(2.3.18)微分方程的特征根为，其特解为0.5，则第二章连续系统的时域分析将求得的初始值代入上式，有由解上式得：于是得：其一阶导数为：所以系统的阶跃响应为：第二章连续系统的时域分析根据冲激响应与阶跃响应的关系，即得(3)冲激响应第二章连续系统的时域分析2.4卷积积分2.4.1卷积的定义1.信号的分解如果系统的激励是任意信号，近似地看成由许多幅度不等的矩形脉冲组成。这些窄脉冲的宽度为，幅度分别取窄脉冲左侧的函数值。第二章连续系统的时域分析当时，窄脉冲可用阶跃函数表示为令(2.4.2)式(2.4.2)表示幅值为，宽度为，面积等于1的矩形脉冲，则所以，当，将变为冲激函数，即第二章连续系统的时域分析故任意信号当时，，于是式(2.4.6)可改写为(2.4.6)由式(2.4.6)可知，可看成由许多冲激函数叠加而成。

2.任意信号作用下系统的零状态响应若已知LTI系统的冲激响应，即第二章连续系统的时域分析当系统的激励为任意信号时的零状态响应为当，上式可写为称为卷积积分简记为3.卷积的定义若已知定义在区间上的任意两个信号

和，则其积分称为信号和的卷积积分，简称卷积，记为第二章连续系统的时域分析例2.14已知某LTI系统的冲激响应为，求当激励时的零状态响应。解：系统的零状态响应是激励信号与冲激响应的卷积积分，即由于当，，则第二章连续系统的时域分析2.4.2卷积的图解

对于一些较简单的函数，如方波、三角波等，可以利用图解方式来计算卷积。熟练掌握图解卷积的方法，对理解卷积的运算过程是有帮助的。下面通过例题来介绍图解卷积的具体步骤。例2.15已知信号已知两信号和的波形如下图所示，求第二章连续系统的时域分析第二章连续系统的时域分析图解法一般比较繁琐，但若只求某一时刻的卷积值还是比较方便的。