2025年北师大版高二数学下册月考试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年北师大版高二数学下册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共7题，共14分)1、已知角的终边过点且则的值为A.B.C.或D.或2、函数有（）A.极大值5，极小值2B.极大值5，极小值1C.极大值5，无极小值D.极小值2，无极大值3、直线y=-x与椭圆C：=1（a＞b＞0）交于A；B两点；以线段AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C的离心率为（）

A.

B.

C.-1

D.4-2

4、【题文】为了了解高三学生的数学成绩；抽取了某班60名学生，将所得数据整理后，画出其频率分布直方图（如右图），已知从左到右各长方形高的比为2：3：5：6：3：1，则该班学生数学成绩在（80，100）之间的学生人数是。

32人27人24人33人5、若复数z=（﹣8+i）i在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6、如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，F为其右焦点，直线与直线B1F相交于点T；线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为（）

A.B.C.D.7、双曲线x2m鈭�y24=1

的焦距为6

则m

的值是(

)

A.6

或2

B.5

C.1

或9

D.3

或5

评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)8、若函数式表示的各位上的数字之和，如所以记则9、【题文】若则的最大值为▲10、已知f（x）=x3+x，x∈R，若至少存在一个实数x使得f（a-x）+f（ax2-1）＜0成立，a的范围为______．11、以下四个命题：

（1）是集合M={m|m=i2，n∈N*}（i为虚数单位）中的元素；

（2）p：函数f（x）=ax-2（a＞0；a≠1）的图象恒过点（0，-2），q：函数f（x）=lg|x|（x≠0）有两个零点，则p∨q是真命题；

（3）函数f（x）=e-x-ex切线斜率的最大值为2

（4）∃x0∈{x|x是无理数}，是无理数，其中正确的命题是______．12、如图所示，在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是棱CC1的中点，则异面直线D1E与AC所成角的余弦值是______．13、若鈭�0娄脨4cosxdx=鈭�0ax2dx

则a3=

______．评卷人得分三、作图题(共5题，共10分)14、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

15、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）16、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）17、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）18、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共3题，共6分)19、国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值（美元）与其重量（克拉）的平方成正比；且一颗重为3克拉的该钻石的价值为54000美元．

（Ⅰ）写出钻石的价值y关于钻石重量x的函数关系式；

（Ⅱ）把一颗钻石切割成两颗钻石；若两颗钻石的重量分别为m克拉和n克拉，试证明：当m=n时，价值损失的百分率最大．

（注：价值损失的百分率=在切割过程中的重量损耗忽略不计）

20、为培养高中生综合实践能力和团队合作意识，某市教育部门主办了全市高中生综合实践知识与技能竞赛.该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的团队按照抽签方式决定出场顺序.通过预赛，共选拔出甲、乙等六个优秀团队参加决赛.（Ⅰ）求决赛出场的顺序中，甲不在第一位、乙不在第六位的概率；（Ⅱ）若决赛中甲队和乙队之间间隔的团队数记为求的分布列和数学期望.21、（本小题满分14分）如图，一简单几何体有五个顶点它的一个面内接于⊙是⊙的直径，四边形为平行四边形，平面．（1）证明：平面平面（2）若求该简单几何体的体积．评卷人得分五、计算题(共4题，共16分)22、1.（本小题满分12分）已知函数在处取得极值.(1)求实数a的值；(2)若关于x的方程在[，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；(3)证明：(参考数据：ln2≈0.6931).23、1.（本小题满分12分）已知投资某项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中价格下降的概率都是．设该项目产品价格在一年内进行2次独立的调整，记产品价格在一年内的下降次数为对该项目每投资十万元，取0、1、2时，一年后相应的利润为1.6万元、2万元、2.4万元．求投资该项目十万元，一年后获得利润的数学期望及方差．24、设L为曲线C：y＝在点(1,0)处的切线．求L的方程；25、解关于x的不等式ax2﹣（2a+2）x+4＞0．评卷人得分六、综合题(共1题，共6分)26、已知f（x）=logax（a＞0，a≠1），设数列f（a1），f（a2），f（a3），，f（an）是首项为4，公差为2的等差数列．参考答案一、选择题(共7题，共14分)1、A【分析】【解析】【答案】A2、C【分析】【解析】【答案】C3、C【分析】

由题意；以AB为直径的圆过椭圆的右焦点，也过左焦点，以这两个焦点A；B两点为顶点得一矩形．

直线y=-x的倾斜角为120°，所以矩形宽为c，长为c．

由椭圆定义知矩形的长宽之和等于2a，即c+c=2a．

∴

故选C．

【解析】【答案】以AB为直径的圆过椭圆的右焦点；也过左焦点，以这两个焦点A；B两点为顶点得一矩形，求出矩形宽与长，利用椭圆的定义，即可求得椭圆C的离心率．

4、D【分析】【解析】根据题意可得该办六个分数段的概率比例依次为2：3：5：6：3：1；进而得到成绩在（80，90）与（90，100）之间的学生人数的概率，即可得到答案．

解：由题意可得：从左到右各长方形高的比为2：3：5：6：3：1；

所以（60；70），（70，80），（80，90），（90，100），（100，110），（110，120）各分数段的概率之比为2：3：5：6：3：1；

所以该班学生数学成绩在（80，90）与（90，100）之间的学生人数的概率分别为：

所以该班学生数学成绩在（80，100）之间的学生人数是：60×(+)=33．

故选D．【解析】【答案】D5、C【分析】【解答】解：∵z=（﹣8+i）i=﹣8i+i2=﹣1﹣8i；

对应的点的坐标为（﹣1；﹣8），位于第三象限；

故选：C．

【分析】根据复数四则运算进行化简，然后根据复数的几何意义，即可得到结论．6、A【分析】【解答】直线方程为直线方程为联立方程得代入椭圆整理的即

【分析】求离心率的值需找到关于的齐次方程，本题思路简单，计算量较大7、B【分析】解：根据题意，双曲线x2m鈭�y24=1

的焦距为6

则有2c=6

即c=3

则有m+4=3

解可得m=5

故选：B

．

根据题意，分析易得c=3

由双曲线的几何性质可得m+4=3

解可得m

的值，即可得答案．

本题考查双曲线的几何性质，注意焦距是2c

不是c

其次要掌握双曲线的几何性质．【解析】B

二、填空题(共6题，共12分)8、略

【分析】【解析】【答案】____9、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】10、略

【分析】解：∵f（x）=x3+x；x∈R为奇函数，且在R上单调递增；

至少存在一个实数x使得f（a-x）+f（ax2-1）＜0成立；

即不等式f（a-x）＜-f（ax2-1）=f（1-ax2）有解；

∴a-x＜1-ax2有解，即ax2-x+a-1＜0有解．

显然；a=0满足条件．

当a＞0时，由△=1-4a（a-1）＞0，即4a2-4a-1＜0；

求得＜a＜∴0＜a＜．

当a＜0时，不等式ax2-x+a-1＜0一定有解．

故答案为：（-∞，）．

根据f（x）=x3+x，x∈R为奇函数，且在R上单调递增，由题意可得ax2-x+a-1＜0有解．分类讨论；求得a的范围．

本题主要考查特称命题，二次函数的性质，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．【解析】（-∞，）11、略

【分析】解：对于（1），=i，∴它不是集合M={m|m=i2，n∈N*}（i为虚数单位）中的元素；命题错误；

对于（2）；p：x=0时，f（0）=-2，函数f（x）图象恒过点（0，-2），是真命题；

q：x=±1时；f（x）=0，∴函数f（x）有两个零点，是真命题，∴p∨q是真命题，命题正确；

对于（3），∵f′（x）=-e-x-ex=-（+ex）≤-2；∴函数f（x）切线斜率的最大值为-2，∴命题错误；

对于（4），当x0=是无理数时，=是无理数；∴命题正确；

综上；以上正确的命题是（2）；（4）．

故答案为：（2）；（4）．

（1）化简判断它是否为集合M中的元素；

（2）判断p或q是否为真命题即可；

（3）求f′（x）的最值；得出函数f（x）切线斜率的最值；

（4）举例说明即可确；

本题考查了集合与复数的应用，复合命题的应用，利用导数求切线的斜率等问题，是综合题．【解析】（2）、（4）12、略

【分析】解：如图，建立空间直角坐标系，

则A（4，0，0），C（0，4，0），D1（0；0，4），E（0，4，2）；

=（-4，4，0），=（0；4，-2）．

cos＜＞===．

∴异面直线D1E与AC所成角的余弦值为．

故答案为：．

以D为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线D1E与AC所成角的余弦值．

本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．【解析】13、略

【分析】解：由题可知鈭�0娄脨4cosxdx=鈭�0ax2dx

得到sinx|0娄脨4=13x3|0a隆脿13a3=22

即a3=322

．

故答案为：322

．

首先等式两边分别求定积分；得到关于a

的方程解之．

本题考查了定积分的计算；熟练掌握基本初等函数的求导公式是关键，属于基础题．【解析】322

三、作图题(共5题，共10分)14、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

15、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．16、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．17、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．18、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共3题，共6分)19、略

【分析】

（Ⅰ）由题意，可设价值与重量的关系式为y=kx2；

∵3克拉的钻石价值是54000美元，∴54000=k•32，解得：k=6000，∴y=6000•x2；

所以，此钻石的价值与重量的函数关系式为y=6000•x2．

（Ⅱ）若两颗钻石的重量为m、n克拉，则原有价值是6000（m+n）2；

现有价值是6000m2+6000n2；价值损失的百分率为：

=当且仅当m=n时取等号；

所以；当m=n时，钻石价值损失的百分率最大．

【解析】【答案】（Ⅰ）设价值与重量的关系式为y=kx2；3克拉的钻石价值是54000美元；代入上式，可得k的值，从而得函数关系式．

（Ⅱ）两颗钻石的重量为m、n克拉，原有价值是6000（m+n）2，现有价值是6000m2+6000n2；价值损失的百分率为：

化简整理，得其最大值，即钻石价值损失的最大百分率．

20、略

【分析】试题分析：(1)古典概型的概率问题，关键是正确找出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，然后利用古典概型的概率计算公式计算；（2)当基本事件总数较少时，用列举法把所有的基本事件一一列举出来，要做到不重不漏，有时可借助列表，树状图列举，当基本事件总数较多时，注意去分排列与组合；求随机变量的分布列的主要步骤：一是明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种概率分布；二是求每一个随机变量取值的概率，三是列成表格；（3）求出分布列后注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确；（4)求解离散随机变量分布列和方差，首先要理解问题的关键，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相对应的概率，写成随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算.试题解析：【解析】

（Ⅰ）设“甲不在第一位、乙不在第六位”为事件则所以甲不在第一位、乙不在第六位的概率为．（Ⅱ）随机变量的可能取值为随机变量的分布列为：。因为所以随机变量的数学期望为．考点：利用古典概型求随机事件的概率以及随机变量的分布列和期望.【解析】【答案】(1)（2）分布列略，21、略

【分析】第一问要证明面面垂直，关键是证明线面垂直，借助于面面垂直的判定定理得到结论即可即证平面第二问中，将该几何体的体积分解为两个三棱锥的体积即可。注意合理分解为两个特殊几何体的体积是解决该试题的关键。解:(1)证明:平面平面1分是⊙的直径,2分又3分平面4分平面5分又平面6分平面平面7分(2)设所求简单几何体的体积为平面平面平面在中8分方法一:连由(1),(2)知是三棱锥的高,是三棱锥的高9分11分13分该简单组合体的体积14分方法二:平面平面又由(1)知又平面是四棱锥的高,且由(1),(2)证明易知四边形为边长为的正方形.10分11分12分13分14分【解析】【答案】（1）见解析；（2）1.五、计算题(共4题，共16分)22、略

【分析】【解析】

(1)f'(x)＝1＋，由题意，得f'(1)＝0Þa＝02分(2)由(1)知f(x)＝x－lnx∴f(x)＋2x＝x2＋bóx－lnx＋2x＝x2＋bóx2－3x＋lnx＋b＝0设g(x)＝x2－3x＋lnx＋b(x＞0)则g'(x)＝2x－3＋＝4分当x变化时，g'(x)，g(x)的变化情况如下表。x(0，)(，1)1(1，2)2g'(x)＋0－0＋G(x)↗极大值↘极小值↗b－2＋ln2当x＝1时，g(x)最小值＝g(1)＝b－2，g()＝b－－ln2，g(2)＝b－2＋ln2∵方程f(x)＋2x＝x2＋b在[，2]上恰有两个不相等的实数根高考+资-源-网由ÞÞ＋ln2≤b≤28分(3)∵k－f(k)＝lnk∴nk＝2ó(n∈N，n≥2)设Φ(x)＝lnx－(x2－1)则Φ'(x)＝－＝当x≥2时，Φ'(x)＜0Þ函数Φ(x)在[2，＋∞)上是减函数，∴Φ(x)≤Φ(2)＝ln2－＜0Þlnx＜(x2－1)∴当x≥2时，∴＞2[(1－)＋(－)＋(－)＋(－)＋()]＝2(1＋－)＝.∴原不等式成立.12分'【解析】【答案】(1)a＝0(2)＋ln2≤b≤2(3)原不等式成立.23、略

【分析】由题设得则的概率分布为4分。012P故收益的概率分布为。1.622.4P所以=28分12分【解析】【答案】=224、解：所以当x=1时，k=点斜式得直线方程为y＝x－1【分析】【分析】函数的导数这是导函数的除法运算法则25、解：不等式ax2﹣（2a+2）x+4＞0；