2025年湘教新版高三数学下册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年湘教新版高三数学下册阶段测试试卷890考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共6题，共12分)1、已知四面体S-ABC的所有棱长都相等，它的俯视图如图所示，是一个边长为的正方形；则四面体S-ABC外接球的表面积为（）A.6πB.4πC.8πD.3π2、已知x∈[-1，1]时，f（x）=x2-ax+＞0恒成立，则实数a的取值范围是（）A.（0，2）B.（2，+∞）C.（0，+∞）D.（0，4）3、已知x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为（）A.-3B.C.-2D.4、在一次对性别与是否说谎的调查中；得到如下数据，根据表中数据得到如下结论中正确的是（）

。说谎不说谎合计男6713女8917合计141630A.在此次调查中有95%的把握认为是否说谎与性别有关B.在此次调查中有99%的把握认为是否说谎与性别有关C.在此次调查中有99.5%的把握认为是否说谎与性别有关D.在此次调查中没有充分证据显示说谎与性别有关5、执行如图程序；输出的结果为（）

A.

B.

C.

D.

6、f（x）=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)(ω＞0，＜）的最小正周期为π，且f（-x）=f（x），则下列关于g（x）=sin（ωx+φ）的图象说法正确的是（）A.函数在x∈上单调递增B.关于直线x=对称C.在x∈[0,]上，函数值域为[0，1]D.关于点对称评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)7、若数列{an}满足a1=-2，且对于任意的m，n∈N*，都有am+n=am+an，则a3=____；数列{an}前10项的和S10=____．8、f（x）=x2-2x+5的定义域为A，值域为B，则集合A与B的关系是____．9、【题文】复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数的值为____．10、【题文】若曲线的极坐标方程为极轴为轴正半轴。

建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为____．11、已知向量=（1，m+1），=（m，2），则∥的充要条件是m=______．12、已知等比数列{an}

的公比q

前n

项的和Sn

对任意的n隆脢N*Sn>0

恒成立，则公比q

的取值范围是______．13、如图，在矩形ABCD

中，AB=2BC=2

点E

为BC

的中点，点F

在边CD

上，若AB鈫�鈰�AF鈫�=2

则AE鈫�鈰�BF鈫�

的值是______．评卷人得分三、判断题(共8题，共16分)14、判断集合A是否为集合B的子集；若是打“√”，若不是打“×”．

（1）A={1，3，5}，B={1，2，3，4，5，6}．____；

（2）A={1，3，5}，B={1，3，6，9}．____；

（3）A={0}，B={x|x2+1=0}．____；

（4）A={a，b，c，d}，B={d，b，c，a}．____．15、函数y=sinx，x∈[0，2π]是奇函数．____（判断对错）16、已知函数f（x）=4+ax-1的图象恒过定点p，则点p的坐标是（1，5）____．（判断对错）17、判断集合A是否为集合B的子集；若是打“√”，若不是打“×”．

（1）A={1，3，5}，B={1，2，3，4，5，6}．____；

（2）A={1，3，5}，B={1，3，6，9}．____；

（3）A={0}，B={x|x2+1=0}．____；

（4）A={a，b，c，d}，B={d，b，c，a}．____．18、函数y=sinx，x∈[0，2π]是奇函数．____（判断对错）19、已知函数f（x）=4+ax-1的图象恒过定点p，则点p的坐标是（1，5）____．（判断对错）20、空集没有子集．____．21、任一集合必有两个或两个以上子集．____．评卷人得分四、证明题(共4题，共20分)22、如图；在菱形ABCD中，∠DAB=60°，E为AD的中点，正方形DBFG所在平面与平面ABCD垂直．

（1）求证：BE⊥平面BCF；

（2）求直线AF与平面BCG所成角的正弦值．23、已知5sinβ=sin（2α+β），cosα≠0，cos（α+β）≠0．求证：2tan（α+β）=3tanα24、将正整数按如图的规律排列，把第一行数1，2，3，10，17，记为数列{an}（n∈N+），第一数列1，4，9，16，25，记为数列{bn}（n∈N+）

（1）写出数列{an}，{bn}的通项公式；

（2）若数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，用数学归纳法证明：3（Tn+Tn）=2n3+4n（n∈N+）；

（3）当n≥3时，证明：＜++++＜．25、在数列{an}中，a1=1，an+1=（c为常数，n∈N*）且a1，a2，a5成公比不为1的等比数列．

（1）求证：数列{}是等差数列

（2）求c的值

（3）设bn=an•an+1，数列{bn}的前n项和为Sn，证明：Sn＜．评卷人得分五、解答题(共3题，共27分)26、函数y=|logax|，其中0＜a＜1，比较f（2），f（），f（）的大小．27、【题文】（普通班）设函数其中常数（1）讨论的单调性；（2）若当恒成立，求的取值范围。

（实验班）已知椭圆（0＜b＜2）的离心率等于抛物线（p＞0）.

（1）若抛物线的焦点F在椭圆的顶点上；求椭圆和抛物线的方程；

（2）若抛物线的焦点F为在抛物线上是否存在点P，使得过点P的切线与椭圆相交于A，B两点，且满足若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.28、已知曲线C的极坐标方程是ρ-6cosθ+2sinθ+=0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点P（3，3），倾斜角α=．

（1）写出曲线C直角坐标方程和直线l的参数方程；

（2）设l与曲线C相交于A，B两点，求|AB|的值．参考答案一、选择题(共6题，共12分)1、A【分析】【分析】由三视图可知：该四面体是正方体的一个内接正四面体．此四面体的外接球的半径为正方体的对角线长=．利用球的表面积计算公式即可得出．【解析】【解答】解：由三视图可知：该四面体是正方体的一个内接正四面体．

∴此四面体的外接球的直径为正方体的对角线长=．

∴此四面体的外接球的表面积为表面积==6π．

故选：A．2、A【分析】【分析】根据x∈[-1，1]时，ff（x）=x2-ax+＞0恒成立，结合二次函数的图象，通过对对称轴分类讨论列出不等式组，求出a的范围．【解析】【解答】解：因为f（x）=x2-ax+＞0恒成立；

所以或或

解得0＜a＜2

故选：A3、C【分析】【分析】作出平面区域，求出角点的坐标，平移直线2x+y=0确定最小值．【解析】【解答】解：画出满足条件的平面区域；如图示：

由；解得A（2，-2）；

由z=x+2y得：y=-x+；

结合图象得直线过A（2；-2）时，z最小，最小值是-2；

故选：C．4、D【分析】【分析】根据列联表运用公式求出k值，根据计算出的临界值，同临界值表进行比较，得到假设不合理的程度．【解析】【解答】解：根据题目中的列联表数据；得到。

＜0.455．

所以；在犯错误的概率不超过50%的情况下认为说谎与性别无关．

也就是说；在此调查中没有充分的证据显示说谎与性别有关．

故选D．5、B【分析】

程序在运行过程中各变量的值如下表示：

是否继续循环xyz

循环前/112

第一圈是123

第二圈是235

第三圈是358

第4圈是5813

第5圈是81321

第6圈是132134

第7圈是213455

第8圈是345589

第9圈是5589144

第10圈否。

故输出的值为：

故选B．

【解析】【答案】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量的值；并输出．模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．

6、B【分析】【解答】根据题意，由于f（x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)=2sin(ωx+φ+)(ω＞0，＜)的最小正周期为π,可知w=2，同时且f（-x)=f（x)，说明是偶函数，则可知φ+=故可知因此可知g（x)=sin（ωx+φ)=sin(2x+),那么可知函数在x∈[]上单调递增，成立，对于在x∈[0,]上，函数值域为[0，1]，根据整体的性质可知，满足题意，对于关于点对称，即将x=代入；函数值为零成立，故排除法选B。

【分析】本题考查命题的真假判断，解题时要认真审题，注意三角函数的性质的合理运用．二、填空题(共7题，共14分)7、略

【分析】【分析】对于任意的m，n∈N*，都有am+n=am+an，取m=1，则an+1-an=a1=-2，可得数列{an}是等差数列，首项为-2，公差为-2，利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解析】【解答】解：∵对于任意的m，n∈N*，都有am+n=am+an；

∴取m=1，则an+1-an=a1=-2；

∴数列{an}是等差数列；首项为-2，公差为-2；

∴an=-2-2（n-1）=-2n．

∴a3=-6；

∴数列{an}前10项的和S10==-110．

故答案分别为：-6；-110．8、略

【分析】【分析】根据二次函数的性质求出函数的定义域和值域即可得到结论．【解析】【解答】解：要使函数有意义；则x∈R；

f（x）=x2-2x+5=（x-1）2+4≥4；

即函数的定义域为A=R；值域B=[4，+∞）；

∴B⊊A；

故答案为：B⊊A9、略

【分析】【解析】

试题分析：因为，复数（是虚数单位）是纯虚数；

所以，解得，

故答案为1.

考点：复数的概念【解析】【答案】110、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】11、略

【分析】解：∵∥∴=m（m+1）-2=0；

解得m=-2或1．

故答案为：-2或1．

利用向量共线定理即可得出．

本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【解析】-2或112、略

【分析】解：q鈮�1

时，有Sn=1(1鈭�qn)1鈭�q

隆脽Sn>0隆脿a1>0

则1鈭�qn1鈭�q>0

恒成立；

垄脵

当q>1

时，1鈭�qn<0

恒成立，即qn>1

恒成立，由q>1

知qn>1

成立；

垄脷

当q=1

时，只要a1>0Sn>0

就一定成立；

垄脹

当q<1

时，需1鈭�qn>0

恒成立；

当0<q<1

时，1鈭�qn>0

恒成立；

当鈭�1<q<0

时，1鈭�qn>0

也恒成立；

当q<鈭�1

时，当n

为偶数时，1鈭�qn>0

不成立；

当q=鈭�1

时，1鈭�qn>0

也不可能恒成立；

所以q

的取值范围为(鈭�1,0)隆脠(0,+隆脼)

．

故答案为：(鈭�1,0)隆脠(0,+隆脼)

．

q鈮�1

时，由Sn>0

知a1>0

从而1鈭�qn1鈭�q>0

恒成立；由此利用分类讨论思想能求出公比q

的取值范围．

本题考查等比数列的公比的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．【解析】(鈭�1,0)隆脠(0,+隆脼)

13、略

【分析】解：隆脽AF鈫�=AD鈫�+DF鈫�

AB鈫�鈰�AF鈫�=AB鈫�鈰�(AD鈫�+DF鈫�)=AB鈫�鈰�AD鈫�+AB鈫�鈰�DF鈫�=AB鈫�鈰�DF鈫�=2|DF鈫�|=2

隆脿|DF鈫�|=1|CF鈫�|=2鈭�1

隆脿AE鈫�鈰�BF鈫�=(AB鈫�+BE鈫�)(BC鈫�+CF鈫�)=AB鈫�鈰�CF鈫�+BE鈫�鈰�BC鈫�=鈭�2(2鈭�1)+1隆脕2=鈭�2+2+2=2

故答案为：2

根据所给的图形；把已知向量用矩形的边所在的向量来表示，做出要用的向量的模长，表示出要求得向量的数量积，注意应用垂直的向量数量积等于0

得到结果．

本题考查平面向量的数量积的运算.

本题解题的关键是把要用的向量表示成已知向量的和的形式，本题是一个中档题目．【解析】2

三、判断题(共8题，共16分)14、√【分析】【分析】根据子集的概念，判断A的所有元素是否为B的元素，是便说明A是B的子集，否则A不是B的子集．【解析】【解答】解：（1）1；3，5∈B，∴集合A是集合B的子集；

（2）5∈A；而5∉B，∴A不是B的子集；

（3）B=∅；∴A不是B的子集；

（4）A；B两集合的元素相同，A=B，∴A是B的子集．

故答案为：√，×，×，√．15、×【分析】【分析】根据奇函数的定义进行判断即可得到答案．【解析】【解答】解：∵x∈[0；2π]，定义域不关于原点对称；

故函数y=sinx不是奇函数；

故答案为：×16、√【分析】【分析】已知函数f（x）=ax-1+4，根据指数函数的性质，求出其过的定点．【解析】【解答】解：∵函数f（x）=ax-1+4；其中a＞0，a≠1；

令x-1=0，可得x=1，ax-1=1；

∴f（x）=1+4=5；

∴点P的坐标为（1；5）；

故答案为：√17、√【分析】【分析】根据子集的概念，判断A的所有元素是否为B的元素，是便说明A是B的子集，否则A不是B的子集．【解析】【解答】解：（1）1；3，5∈B，∴集合A是集合B的子集；

（2）5∈A；而5∉B，∴A不是B的子集；

（3）B=∅；∴A不是B的子集；

（4）A；B两集合的元素相同，A=B，∴A是B的子集．

故答案为：√，×，×，√．18、×【分析】【分析】根据奇函数的定义进行判断即可得到答案．【解析】【解答】解：∵x∈[0；2π]，定义域不关于原点对称；

故函数y=sinx不是奇函数；

故答案为：×19、√【分析】【分析】已知函数f（x）=ax-1+4，根据指数函数的性质，求出其过的定点．【解析】【解答】解：∵函数f（x）=ax-1+4；其中a＞0，a≠1；

令x-1=0，可得x=1，ax-1=1；

∴f（x）=1+4=5；

∴点P的坐标为（1；5）；

故答案为：√20、×【分析】【分析】根据空集的性质，分析可得空集是其本身的子集，即可得答案．【解析】【解答】解：根据题意；空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；

即空集是其本身的子集；则原命题错误；

故答案为：×．21、×【分析】【分析】特殊集合∅只有一个子集，故任一集合必有两个或两个以上子集错误．【解析】【解答】解：∅表示不含任何元素；∅只有本身一个子集，故错误．

故答案为：×．四、证明题(共4题，共20分)22、略

【分析】【分析】（1）由已知推导出BE⊥BC；BF⊥BC，由此能证明BE⊥平面BCF．

（2）以B为原点，EB延长线为x轴，BC为y轴，BF为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AF与平面BCG所成角的正弦值．【解析】【解答】证明：（1）∵在菱形ABCD中；∠DAB=60°，E为AD的中点；

∴BE⊥AD；∵AD∥BC，∴BE⊥BC；

∵正方形DBFG所在平面与平面ABCD垂直；

∴BF⊥BD；∴BF⊥平面ABCD，∴BF⊥BC；

∵BF∩BC=B；

∴BE⊥平面BCF．

解：（2）以B为原点；EB延长线为x轴，BC为y轴，BF为z轴，建立空间直角坐标系；

设AB=2，则A（-；-1，0），F（0，0，2）；

B（0，0，0），C（0，2，0），G（-；1，2）；

=（，1，2），=（-，1，2），=（0；2，0）；

设平面BCG的法向量=（x；y，z），111111111111

则；

取x=4，得=（4；0，6）；

设直线AF与平面BCG所成角为θ；

则sinθ=|cos＜＞|=||=||=．

∴直线AF与平面BCG所成角的正弦值为．23、略

【分析】【分析】把已知等式中的角β变为（α+β）-α，2α+β变为（α+β）+α，然后展开两角和与差的正弦得答案．【解析】【解答】证明：由5sinβ=sin（2α+β）；

得5sin[（α+β）-α]=sin[（α+β）+α]；

即5sin（α+β）cosα-5cos（α+β）sinα=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα；

∴4sin（α+β）cosα=6cos（α+β）sinα；

∵cosα≠0；cos（α+β）≠0；

∴2tan（α+β）=3tanα．24、略

【分析】【分析】（1）依题意，可知an-an-1=2n-1，从而可求得an=a1+1+3++（2n-3）=n2-2n+2；观察知bn=n2；

（2）利用数学归纳法证明即可：当n=1时3（T1+S1）=2×13+4×1=6成立；假设n=k时等式成立，即3（Tk+Sk）=2k3+4k，去推证n=k+1时，3（Tk+1+Sk+1）=2（k+1）3+4（k+1）也成立即可；

（3）当n≥3时，bn=n2＞0，易证+++＞+=；利用放缩法易证+++=++++＜+++++，再利用裂项法即可证得结论成立．【解析】【解答】（本小题满分14分）

解：（1）由an-an-1=2n-1，得：an=a1+1+3++（2n-3）=n2-2n+2；（3分）

bn=n2（4分）

（2）①当n=1时，T1=S1=1，∴3（T1+S1）=6，又2n3+4n=6；∴n=1时等式成立；（5分）

②假设n=k时等式成立，即3（Tk+Sk）=2k3+4k；

则n=k+1时；

3（Tk+1+Sk+1）=3（Tk+Sk）+3（bk+1+ak+1）=2k3+4k+3[（k+1）2+（k+1）2-2（k+1）+2]

=2k3+4k+6+6（k+1）2-6（k+1）

=2k（k2-1）+6（k+1）+6k（k+1）

=（2k2+4k+6）（k+1）

=[2（k+1）2+4]（k+1）

=2（k+1）3+4（k+1）；

∴n=k+1时等式也成立．（8分）

根据①②，3（Tn+Sn）=2n3+4n（n∈N+）；都成立．（9分）

（3）当n≥3时，bn=n2＞0，∴+++＞+=．（11分）

又+++=++++＜+++++

=+（-）+（-）++（-）=+-＜．

综上可知：综上可知：＜+++＜成立．（14分）25、略

【分析】【分析】（1）要证明数列{}是等差数列，即要证明是一个常数，对条件an+1=取倒数即可证明结论；

（2）根据（1）的结论，可以求出数列{an}的通项公式，从而求得a2，a5，根据a1，a2，a5成公比不为1的等比数列，可得；解此方程即可求得结果；

（3）根据（2）求得c的值，并代入bn=an•an+1，求出数列数列{bn}的通项公式，利用裂项相消法即可求得Sn，从而证明结论．【解析】【解答】解：（1）证明：∵an+1=

∴=

∴数列{}是等差数列；

（2）由（1）知数列{}是以1为