2025年粤教沪科版高一数学上册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年粤教沪科版高一数学上册月考试卷397考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共6题，共12分)1、已知则sinx=（）

A.

B.

C.

D.

2、设函数则的表达式是（）A.B.C.D.3、【题文】已知函数f（x）=ax2+bx-1（a,b∈R且a＞0）有两个零点，其中一个零点在区间（1，2）内，则的取值范围为（）A.（-1，1）B.（-∞，-1）C.（-∞，1）D.（-1，+∞）4、【题文】若函数f(x)=x3(x∈R)，则函数y=f(-x)在其定义域上是A.单调递减的偶函数B.单调递减的奇函数C.单凋递增的偶函数D.单涮递增的奇函数5、以（2，0）为圆心，经过原点的圆方程为（）A.（x+2）2+y2=4B.（x﹣2）2+y2=4C.（x+2）2+y2=2D.（x﹣2）2+y2=26、如图，从气球A

上测得正前方的河流的两岸BC

的俯角分别为75鈭�30鈭�

此时气球的高是60m

则河流的宽度BC

等于(

)

A.30(3+1)m

B.120(3鈭�1)m

C.180(2鈭�1)m

D.240(3鈭�1)m

评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)7、已知2x=9，则x+2y的值=____．8、一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且梯形OA′B′C′的面积为则原梯形的面积为____．

9、若＝．10、下面给出五个命题：①已知平面//平面是夹在间的线段，若//则②是异面直线，是异面直线，则一定是异面直线；③三棱锥的四个面可以都是直角三角形。④平面//平面//则⑤三棱锥中若有两组对棱互相垂直，则第三组对棱也一定互相垂直；其中正确的命题编号是（写出所有正确命题的编号）11、【题文】已知函数有零点，则的取值范围是____________．12、【题文】（选做题）（几何证明选讲）如图所示，过圆C外一点P做一条直线与圆C交于A，B两点，BA=2AP，PT与圆C相切于T点．已知圆C的半径为2，∠CAB=30°，则PT=____．13、在△ABC中，其中x为实数．若△ABC为直角三角形，则x=______．评卷人得分三、解答题(共8题，共16分)14、设函数．

（1）求f（9）的值；

（2）若f（x）=8，求x．

15、（本小题满分10分）已知为常数，且方程有两个相等的实数根。求函数的解析式；16、【题文】已知函数f(x)＝|2x－1－1|.

(1)作出函数y＝f(x)的图象；

(2)若af(c)，求证：2a＋2c<4.17、【题文】给定两个命题，对任意实数都有恒成立；．如果∨为真命题，∧为假命题，求实数的取值范围．18、【题文】设在R上是偶函数.

（1）求的值；

（2）证明在上是增函数.(12分)19、【题文】设点在直线上；求证这条直线的方程。

可以写成．20、【题文】已知函数f(x)=其中为常数，若当x∈(－∞,1］时,f(x)有意义，求实数a的取值范围.21、已知四棱锥P﹣ABCD；其三视图和直视图如图，求该四棱锥体积；

评卷人得分四、计算题(共3题，共27分)22、（2010•泉州校级自主招生）直角三角形ABC中，BC=AC，弧DEF圆心为A．已知两阴影面积相等，那么AD：DB=____．23、如图，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过A作⊙O1的切线交⊙O2于E，连接EB并延长交⊙O1于C，直线CA交⊙O2于点D．

（1）当A；D不重合时；求证：AE=DE

（2）当D与A重合时，且BC=2，CE=8，求⊙O1的直径．24、规定两数a、b通过”*”运算得到4ab，即a*b=4ab．例如，2*6=4×2×6=48．若不论x是什么数时，总有a*x=x，则a=____．评卷人得分五、作图题(共1题，共8分)25、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．评卷人得分六、证明题(共3题，共30分)26、如图；已知AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC切⊙O于C，AD⊥PC于D，CE⊥AB于E，求证：

（1）AD=AE

（2）PC•CE=PA•BE．27、如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC．已知圆过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G．求证：AD⊥BF．28、已知ABCD四点共圆，AB与DC相交于点E，AD与BC交于F，∠E的平分线EX与∠F的平分线FX交于X，M、N分别是AC与BD的中点，求证：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．参考答案一、选择题(共6题，共12分)1、A【分析】

∵

∴tanx=cosx；

∴sinx=cos2x；

∴sin2x+sinx-1=0，解得sinx=（或＜-1；舍去）．

故选A．

【解析】【答案】利用诱导公式和同角三角函数基本关系；把题设等式转化成关系sinx的一元二次方程求得sinx的值．

2、A【分析】【解析】试题分析：由题意可知令x+2=t,则所以考点：本小题考查了用换元法求函数的解析式.【解析】【答案】A3、D【分析】【解析】因为所以恒成立。因为其中一个零点在区间内，所以即从而有或

当时，因为此时不存在满足条件的点的可行域；当时，结合可得满足条件的点的可行域如下：

由图可知，目标函数在点处取到最小值-1，无最大值，因为边界无法取到，所以故选D【解析】【答案】D4、B【分析】【解析】函数单调递减且为奇函数,选(B).【解析】【答案】B5、B【分析】【解答】解：∵圆经过圆点；

∴半径r=2；

则以（2，0）为圆心，经过原点的圆方程为（x﹣2）2+y2=4；

故选：B

【分析】根据条件求出半径即可．6、B【分析】解：如图，隆脧DAB=15鈭�

隆脽tan15鈭�=tan(45鈭�鈭�30鈭�)=tan45鈭�鈭�tan30鈭�1+tan45鈭�tan30鈭�=2鈭�3

．

在Rt鈻�ADB

中；又AD=60

隆脿DB=AD?tan15鈭�=60隆脕(2鈭�3)=120鈭�603

．

在Rt鈻�ADC

中，隆脧DAC=60鈭�AD=60

隆脿DC=AD?tan60鈭�=603

．

隆脿BC=DC鈭�DB=603鈭�(120鈭�603)=120(3鈭�1)(m)

．

隆脿

河流的宽度BC

等于120(3鈭�1)m

．

故选：B

．

由题意画出图形，由两角差的正切求出15鈭�

的正切值；然后通过求解两个直角三角形得到DC

和DB

的长度，作差后可得答案．

本题给出实际应用问题，求河流在BC

两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题．【解析】B

二、填空题(共7题，共14分)7、略

【分析】

∵知2x=9，

∴x=log29，y=

x+2y=log29+2=log29×=log264=6；

故答案为6；

【解析】【答案】根据指数函数的性质求出x和y；再代入x+2y进行求解；

8、略

【分析】

如图：

由斜二测画法原理知；平面中的图形与直观图中的图形上下底边的长度是一样的，不一样的是两个梯形的高；

其高的关系是这样的：

平面图中的高OA是直观图中OA'长度的2倍；如直观图；

OA'的长度是直观图中梯形的高的倍；

由此平面图中梯形的高OA的长度是直观图中梯形高的2×=2倍；

故其面积是梯形OA′B′C′的面积2倍，梯形OA′B′C′的面积为

所以原梯形的面积是4．

故答案为：4．

【解析】【答案】根据斜二测画法的规则将图形还原；平面图是一个直角梯形，易求原梯形的面积．

9、略

【分析】试题分析：因为所以因为所以又所以因此考点：两角和与差正弦公式【解析】【答案】10、略

【分析】试题分析：①：由//得确定一平面，其与平面平面的交线为因为平面//平面所以因此四边形为平行四边形，所以选①②：本题中结论为“一定”，可举反例，如正方体中与是异面直线，与是异面直线，但与不是异面直线，不选②③：本题中结论为“可以”，可举正例，如正方体中三棱锥其四个面都是直角三角形，选③④：本题证明较难，需用同一法,但直观判断简单.过点P作平面交平面平面于则又由//线面平行性质定理可得因为在同一平面内，过一点与同一直线平行的直线只有一条，所以直线与直线重合，而直线在平面内，所以选④⑤：本题难点在需作一辅助垂线，即底面上的高.设三棱锥求证过点作面于则易得所以为三角形的垂心，即因此选⑤考点：直线与平面平行与垂直关系判定，综合应用.【解析】【答案】①③④⑤11、略

【分析】【解析】

试题分析：由题意知有解，即方程有解，可转化为直线与方程所表示的曲线有交点，用数形结合思想可得的取值范围。

考点：函数的零点与相应的方程根的关系及数形结合思想的应用。【解析】【答案】12、略

【分析】【解析】

试题分析：由已知中圆C的半径为2；∠CAB=30°，我们要以求出AB的长，又由过圆C外一点P做一条直线与圆C交于A，B两点，BA=2AP，我们可以进一步求出PA，PB长，结合已知中PT与圆C相切于T点和切割线定理，我们即可求出出线段PT的长。

∵圆C的半径为2；∠CAB=30°；

∴

又∵BA=2AP；

∴

又∵PT与圆C相切于T点．

由切割线定理可得：

PT2=PA•PB=9；

∴PT=3

考点：圆的切线的性质定理的证明。

点评：本题考查的知识点是与圆有关的比例线段，其中根据已知条件计算出PA，PB长，为使用切割线定理，创造使用条件是解答本题的关键【解析】【答案】313、略

【分析】解：∵在△ABC中，

∴=-=（x-2；4）；

∴当A为直角时，=2x-3=0，解得x=

当B为直角时，•=2x-4-4=0；解得x=4；

当C为直角时，=x（x-2）+12=0；方程无解．

综上可得x=或4．

故答案为：或4

由向量垂直和数量积的关系分类讨论可得x的方程；解方程可得．

本题考查数量积与向量的垂直关系，涉及分类讨论的思想，属基础题．【解析】或4三、解答题(共8题，共16分)14、略

【分析】

（1）因为9＞2；所以f（9）=2×9=18（4分）

（2）①若则即x=或x=-

而x≤2，所以x的值为-（10分）

②若2x=8，则x=4＞2，所以x=4；

综上得x=4或x=-（16分）

【解析】【答案】（1）直接利用分段函数求出f（9）的值；即可．

（2）分别在x≤2与x＞2时列出方程；求出满足题意的x的值．

（本题满分16分）

15、略

【分析】本试题主要是考查了二次函数与方程的求解问题的综合运用。方程f(x)=x有两个相等的实数根且f(x)=ax2+bx则满足判别式等于零，可知参数b的值。又因为f(2)=0,可知a的值。【解析】

（1）方程有两个相等的实数根且又【解析】【答案】16、略

【分析】【解析】(1)f(x)＝其图象如图所示．

(2)证明：由图知，f(x)在(－∞，1]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，故结合条件知必有a<1.

若c≤1，则2a<2，2c≤2，所以2a＋2c<4；

若c>1，则由f(a)>f(c)，得1－2a－1>2c－1－1，即2c－1＋2a－1<2，所以2a＋2c<4.

综上知，总有2a＋2c<4.【解析】【答案】（1）

（2）见解析17、略

【分析】【解析】

试题分析：先分别求出为真时的取值范围，对命题恒成立，先检验时是否符合要求，当时，由求解即可，从而得到真时的取值范围；对命题求得由∨为真命题，∧为假命题，结合复合命题的真值表可知中有且只有一个为真，分别求出真假时与假真时的取值范围，取两种情况的并集即可确定的取值范围.

试题解析：命题恒成立。

当时；不等式恒成立，满足题意2分。

当时，解得4分。

∴6分。

命题解得9分。

∵∨为真命题，∧为假命题。

∴有且只有一个为真11分。

如图可得。

或13分.

考点：1.二次不等式；2.逻辑联结词；3.命题真假的判断.【解析】【答案】或18、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】

19、略

【分析】【解析】由已知，点在直线上，所以有．

于是即．【解析】【答案】证明见解析20、略

【分析】【解析】解：>0,且a2－a+1=(a－)2+>0,

∴1+2x+4x·a>0,a>

当x∈(－∞,1]时,y=与y=都是减函数；

∴y=在(－∞,1]上是增函数，max=－

∴a>－故a的取值范围是(－+∞).【解析】【答案】(－+∞).21、解：此几何体为一个四棱锥。

由三视图知底面ABCD为矩形，两边长分别为AB=2，BC=4，故其底面积SABCD=4×2=8

顶点P在面ABCD内的射影为BC为中点E；即棱锥的高为2；

则此四棱锥的体积

即该四棱锥体积为：【分析】【分析】由三视图及题设条件知，此几何体为一个四棱锥，其高已知，底面是一个矩形，故先求出底面积，再由体积公式求解其体积即可四、计算题(共3题，共27分)22、略

【分析】【分析】若两个阴影部分的面积相等，那么△ABC和扇形ADF的面积就相等，可分别表示出两者的面积，然后列等式求出AD与DB的比．【解析】【解答】解：设AB=BC=a则AB=a；

∵两阴影面积相等，∴SABC=S扇形ADF

即a2=AD2•π；

∴AD=；

∴AD：DB=AD：（AB-AD）=；

故答案为．23、略

【分析】【分析】（1）通过证角相等来证边相等．连接AB，那么ABED就是圆O2的内接四边形，根据内接四边形的性质，∠ABC=∠D，那么只要再得出∠DAE=∠ABC即可得证，我们发现∠EAD的对顶角正好是圆O1的弦切角；因此∠DAE=∠ABC，由此便可求出∠DAE=∠D，根据等角对等边也就得出本题要求的结论了；

（2）DA重合时，CA与圆O2只有一个交点，即相切．那么CA，AE分别是⊙O1和⊙O2的直径（和切线垂直弦必过圆心），根据切割线定理AC2=CB•CE，即可得出AC=4，即圆O1的直径是4．【解析】【解答】解：（1）证明：连接AB，在EA的延长线上取一点F，作⊙O1的直径AM；连接CM；

则∠ACM=90°；

∴∠M+∠CAM=90°；

∵AE切⊙O1于A；

∴∠FAM=∠EAM=90°；

∴∠FAC+∠CAM=90°；

∴∠FAC=∠M=∠ABC，

即∠FAC=∠ABC；

∵∠FAC=∠DAE；

∴∠ABC=∠DAE；

而∠ABC是⊙O2的内接四边形ABED的外角；

∴∠ABC=∠D；

∴∠DAE=∠D；

∴EA=ED．

（2）当D与A重合时，直线CA与⊙O2只有一个公共点；

∴直线AC与⊙O2相切；

∴CA，AE分别是⊙O1和⊙O2的直径；

∴由切割线定理得：AC2=BC•CE；

∴AC=4．

答：⊙O1直径是4．24、略

【分析】【分析】根据a*b=4ab得到4ax=x，求出方程的解即可．【解析】【解答】解：∵a*x=x；

∴4ax=x；

当x≠0时；

∴a=．

故答案为：．五、作图题(共1题，共8分)25、略

【分析】【分析】作点A关于河CD的对称点A′，当水厂位置O在线段AA′上时，铺设管道的费用最省．【解析】【解答】解：作点A关于河CD的对称点A′；连接A′B，交CD与点O，则点O即为水厂位置，此时铺设的管道长度为OA+OB．

∵点A与点A′关于CD对称；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

过点A′作A′E⊥BE于E；则∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4；

∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米）；

∴2000×5=10000（元）．

答：铺设管道的最省费用为10000元．六、证明题(共3题，共30分)26、略

【分析】【分析】（1）连AC；BC；OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥PD，而AD⊥PC，则OC∥PD，得∠ACO=∠CAD，则∠DAC=∠CAO，根据三角形相似的判定易证得Rt△ACE≌Rt△ACD；

即可得到结论；

（2）根据三角形相似的判定易证Rt△PCE∽Rt△PAD，Rt△EBC∽Rt△DCA，得到PC：PA=CE：AD，BE：CE=CD：AD，而CD=CE，即可得到结论．【解析】【解答】证明：（1）连AC、BC，OC，如图，

∵PC是⊙O的切线；

∴OC⊥PD；

而AD⊥PC；

∴OC∥PD；

∴∠ACO=∠CAD；

而∠ACO=∠OAC；

∴∠DAC=∠CAO；

又∵CE⊥AB；

∴∠AEC=90°；

∴Rt△ACE≌Rt△ACD；

∴CD=CE；AD=AE；

（2）在Rt△PCE和Rt△PAD中；∠CPE=∠APD；

∴Rt△PCE∽Rt△PAD；

∴PC：PA=CE：AD；

又∵AB为⊙O的直径；

∴∠ACB=90°；

而∠DAC=∠CAO；

∴Rt△EBC∽Rt△DCA；

∴BE：CE=CD：AD；

而CD=CE；

∴BE：CE=CE：AD；

∴BE：CE=PC：PA；

∴PC•CE=PA•BE．27、略

【分析】【分析】作DE⊥AC于E，由切割线定理：AG2=AF•AC，可证明△BAF∽△AED，则∠ABF+∠DAB=90°，从而得出AD⊥BF．【解析】【解答】证明：作DE⊥AC于E；

则AC=AE；AB=5DE；

又∵G是AB的中点；

∴AG=ED．

∴ED2=AF•AE；

∴5ED2=AF•AE；

∴AB•ED=AF•AE；

∴=；

∴△BAF∽△AED；

∴∠ABF=∠EAD；

而∠EAD+∠DAB=90°；

∴∠ABF+∠DAB=90°；

即AD⊥BF．28、略

【分析】【分析】（1）在△FDC中；由三角形的外角性质知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四边形ABCD内接于圆，则∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，联立①②，即可证得∠AFB+∠AED+2∠FAE=180°，而FX；EX分别是∠AFB和∠AED的角平分线，等量代换后可证得∠AFX+∠AEX