初三自主招生教学案08：分式

分式

知识梳理：

AA

1、分式的概念：一般地，用A、B表示两个整式，A+B可以表示成二的形式。如果B中含有字母，式子叫

BB

做分式。

2、分式的基本性质：

(1)加减法：一±—=-----；—±—=

CCcCDCD

AC

(2)乘除法:AC-A.c也

BD=BDJB丁D=BCBC

AYAn

(3)乘方:

4、整数指数累

(1)正整数指数赛：an=aa--a

〈2)零指数寨；a°=l("O)

(3)负整数指数幕：厂。;工0,p是正整数)

例题精讲：

题型一：化简求值

例1：若〃2=k一80,则卜+的值是________

a+ba+c

113a2-ab

例2：(i)。二」方=L则_______________=jn；

23^^5ab-2b2

x~+3，y+y

(2)若x2+xy-2y2=0,则--~~--二卫；

k+y

例3：设〃、8是实数，且」------匚=」一，则二一二

1+«\+b~b-a

例42化简分式，2。~+3。+2a'—(I—53〃--4a-512d?-8。+5

例5：已知abc=1,求一色—+—b—+---的值。

"+〃+1bc+b+\ca+c+\

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题型二：设及法

例1：已知〃、氏。均为非零实数，满吊a+b-c=a-b+c「a+b+c.*+

题型三：拆项相消法

111

例h（1）试证:（其中n是正整数）；

n〃十1

（2）计算：1।_+-­-+____；

2^39x10

（3）证明：对任意大于1的正整数n,有士+一十…+-J—.

2x33x44/?+1）2

例2;化简分式：——1——

?+3x+2+.?+5x+6+?+7x+12

题型匹；因式分解法

例1：已知实数。、氏c满足a+〃+c=O,ahc=^,则J_+!_+Lj为值为（）

A.正数B.零C,负数D.可为正数，也可以为负数

例2；化简求值；二f+，岂/):+♦一("J

(a+c)2-b2(a+/?)2-c2(b+cj2-a2

1+X2-2X(1+X2)

例3：化简求值:

*+(l广?-lA-ll+?+2r(l+x)

题型五；求倒拆分法

X(\)X2

例1：已知二Ja注，“40[,求分式的值6

x2+x+l\2)/+x2+l

例2：已知实数。、b、c满足条件ab_\bc1acJ,求限的值。

―—=—,

。+力3b+c4a+c5ab+bc+ac

同步练习：

“「一、i3abc,a-\b-\。一1、，1II、

练习1：计算：------------（----+----+----）+（一+-十一）二

ab+bc+caabcabc

练习2：正数x,y满足f一丁=2"，则^

x+y-

Vz

练习3；已知^^=4,——=b，——二C,求证：—」一+—J=1

y+22+.rx+y1+〃1+b1+c

练习冬若-_=_^==_（a,b,c互不相等），求证工+y+z=O

a-bb-cc-a

练习5：设正整数〃?、〃满足m<n,且——1—in+n的值。

2

m2+m+（7M+1）2+（77I+1）n+n23

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参考答案

题型一：化简求值

例卜答案：I

解析：直接通分，得到原式二£+。2+访+讹，根据已知条件〃2bc=b2,所以原式等于％

a2+bc+ab-ac+2

说明；如果方程或代数式没有很强的规律性，可以先直接通分，找到与己知条件相关的结论得到答案。

3S1

例2：答案：⑴；(2)或-

725

解析；⑴原始心”公=一上3。

(3a-b)(a+2b)4+26~+2x-「

23

说明：若直接带入求解较复杂，若分子分母能因式分解，然后能够约分，可先化的再计算。

(2)已知方程可因式分解，求得x-y=O或1+2y=0,所以x=y或x=-2,，分别带入原式求解即可。

例3：答案：3士«

2

解析：观察到题H中有两处1+。和1+人且人。=(1+方)-(1+。)，所以不妨设l+a=x,l+b=y,则原方

程可亿为x,y的二元二次方程52一30+12=。，根据公式法得丫以匚,上，所以原式三》臼巳。

2x2

说明；如果方程或代数式中有较强的规律性，可以用整体思想，必要的时候设未知数求解。

例4；答案：________________________

(a+l)(a+2)(a-2)(a-3)

解析：原式二2a42a+a+l+1/+2。一3〃-6+13/-6。+2〃-4-1+2a-6a-2^+6-1

r制+1「ift2i]厂2i-I。-3

」(2〃+1)+=(〃-3)+」(3〃+2)-“(2〃-2)-1

4+1][。+2_||_0一2_|[a一3_|

=’(2〃+1)_(〃_3)-(3〃+2)+(2〃-2)]+(1_1।1_____二

a+1a+2a-2a-3

=1-1J_1

a+1a+2+a-2~a-3

1--------1

=-----------1

(a+l)(a+2)(a-2)(a-3)

(a-2)(a-3)-(a+1)(a+2)

(a+1)(〃+2)(〃-2)(〃-3)

_-Sa+4

(〃+1)(〃+2)(Q-2)(〃-3)

说明：宜接通分计算较繁，先把每个假分式化成整式与真分式之和的形式，再化简将简便得多。例

5：答案：1

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解析：本题可将分式通分后，再进行化简求值，但较复杂，巧妙的利用"儿代替1，从而使化简更简洁。下

面提供三种化简变形的方法，同学们可仔细体会，领会其化简中的本质的东西。

解法一：因为abc=\,所以〃、b、c都不为零,

原式二—U，

ab+a-\-abcbc+h-i-\+bca-\-c-\

Ibbe

b+1+bebc+b+\bca+be+b

1bbe

b+\+bebe+h+\1+be+b

_\be

1+b+be

=1

解法二：因为abc=1,所以〃、b、c都不为零。

原式=一--十-•--—+血.---

ab+a+labeabca+c+l

=fl4.ab+abc

〃8+〃+labc+ab+aabca+abc+ab

二。;此]

ab+a+]\+ab+a+a+l+ab

aA-abA-\

ab+a±\

=1

解法三由abc=1,得。=_L,将之代入原式

be

1

^__Hbe

原式=_Lb+_L+i加+"ic-_L+c+1

bebebe

_1bbe

b+l+bebe+b+11be+b

_1+b+be

1+b+be

=1

题型二，设k法

例h答案：8或-1

解析：令^•二a-,+c「+6+

cba

/〃+力=(*l)c①

则4+C=0+i%②

b+c=(4l)〃③

①+②+@有_a_±b_z_c色.b+c—a+b+c

-c-~5-=7T-

所以(Q+b+c)(女-1)=(),故有k=I,或〃+b+c=()

当k=l时，（〃+b）（4+c）0+c）-2四21_

abc~abc~0

当〃+8+c=0时，（。++，'）伍+。）==7

ahcabc

说明：引进一个参数女表示以连比形式出现的已知条件，可使已知条件便于使用。

题型三：拆项相消法

例1：答案：⑴证明：.•.11一S+l)f_1,

nn+1〃(〃+1)〃(〃+1)

.•.」=)-1_(其中〃是正整数)成立.

〃(〃+1)n/I+1

(2)解：由(1)可知

1I1

___++•••+

1x22x39x10

=(1-1)+(1-1)+…+c!-JJ

22391()

(3)证明：・.・TG+不二+…+二百；

2x33x4n[n+\)

—(-)+(-)+・一+(一

2334n»+1

_11

一—----।

2〃+1

又n>2,且〃是正整数，

.」_一定为正数，

力+1

11+■•­+<

/.-----+______—

2x33x4〃(〃+1)2

解析：J1是常考的一种变形。

«(7?+1)n〃+1

例2：答案：—I----

x2+5x+4

1□1_E

解析：原式=,+2)(x+1)+(x+27+3)(x+3)(x+4)

=—+—+—

(x+1x+2J[x+2x+3J[x+3x+4J

%+1x+4-r+5x+4

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说明：三个分式•起通分运算量大，可先将每个分式的分母分解因式，然后再化简c本题在将每个分式的分

1、的一般形式，与分式运算的通分思想方法相反，这种化简的方

母因式分解后，各个分式具有产十十〃十。

加简糊佣的技巧。

法叫*拆项相消”法，它是分式

题型四：因式分解法

例1：答案：c

解析：常见的代数式化简：1+1+1三斜+庆+",常用的三数和平方公式:

abcabc

(a+b+c)=a~^-b~^-c~+l(ab+bc+cc)

例2：答案：1

解析：原式二(〃-1+e)(>+c-c+〃)(c+4-b)(c—〃+力)

(a+c+b)(a+c-b)(〃+b+c)(Q+b-c)(b+c+4)(b+c-4)

a-^-b-cb+c-aa+c-ba^-b+c

=------+-------+-------=-------=1t

a+b+ca+b+ca+b+ca+b+c

例3：答案：-------

*二产\-3x+x2_L)-2?+X2-2X+1-X2-\-Zt(x2+l)+(x2+l)

解析；原式二卜+x+「4-1卜八犷+*-77(+/+，)+(1+川)

(2+1)」+1)(2rT)_Zx±lA--1

(X-1)(A^+X+1)(x2+x+l)(x+l)(x-l)(2x-l)2X2-3X+1

题型王：求倒拆分法

例1：答案：-2—

1-2a

x2+x+l111121nYI-2a-a2

=2

解析：由题意得，x=x+x+1=所以x+x=-1,x+2l一H一2=，所

21)。

x4+x2+l211-2a2"2

二4YCl

以X++1=,所以1-

222x4++11-2a

说明：总分式的分子为余积式，娘母为和时，可考虑求例数。

例2：答案：

„,a+bI-b+c11.

解A析r：=+=3=+=4l+C11-山八］1113+4+5

=_+±5,所以_+_+_==f6

abbabecbaccaabc2

口-5ab+bc+ac111,-abc1

所以-----------=-+-+-=6,所Cr以Hl一；--------=-

abcabcab+bc+ac6

同步练习：

练习1：答案：1

解析：原式二3abe一[3-(土土_；1+(++)=3abe3abe+1=1

ab+be+caabcabcab+be+caab+be+ca

练习2：答案：-1也

解析：解法一：由求根公式法得不二(1士④)y，分别带入解得原式二・1±a。

解法二：观察发现/_),2=々一),)(、+),),&+),)+々_y)=2x,(x+y)-(x-y)=2y,所以不妨设

"y=mx+y=4所以原方程可化为曲二七日，整理得〃2+2〃6—/=0,a=(-]±42)b,所以

x+yb

练习3,证明略

解析：观察式子。bc很有规律，不妨先算其中一个找到规律：。+l=x+)'+z,

1+al+bl+cy+z1+«x+y+z

所以abC=xVzx+V+z.

1+a\+b1+cx+y+zx+y+zx+y+z~x+y+z~

练习4：证明略

解析：用设A法，设原式为K得到三个方程，相加即可。

练习5；青案；527][[1

解析：++…+=++…+=1_1=1

m2+m(/n+l)2+(/n+l)it+nm(m+l)(m+l)(/M+2)〃(〃+l)m〃+l23

1111111।]

-

M------二-=--------=-，山以加=22,〃+1=22x23

根热(+1)n〃+1,r所CKI以〃+1nnn+k,因为232222乂外

练习6：证明略

11n+2-n2〜,

_]=____________=,所以

解析：因为,〃+1)(w+1)(«+2)从〃+1)(〃+2)乂〃+1)(〃+2)

I+1+…+1=ij1一11+11一11+'''+16儿)-1

1x2x32x3x4«(/?+1)(/?+2)2[_vx2x3)(2x33x4j((〃+1)(〃+2)

1「1ill11

=____丁__________=_—____________<_

21lx2(〃+1)(〃+2y42(〃+1)(〃+2)4

练习7：答案：0或±1XMn

I+C+C+CX4X

力r

解析：不妨设〃+8+c=工++r-l+c-++++

—

--「

"Macbaab^lk+ac