空间向量知识点归纳总结

空间向量知识点归纳总结

知iH要点得

1.空间向母的概念：在空间.我Q把具有大小和方向的量叫做向量.

注；(D向瑙般用有向找段衣小对向等长的有向线段表示同一或相等的向耳，

(2)空间的两个向量可用同一中面内的两条仃向线段来表示.

2空间向盘的运鬻.

定义，。平面向是运算一•”.空同向量的加法'■法与/上运算如F(如图)・

运算律।⑴加法交换律；=

⑵加法结合律；(a+fr)+c-a+(fr+c)

《3)数乘分配律：以方+5)=%+%

3.共线向哒,

(1)如果友乐空间向用的有向线段所在的直线平行或重合,那么这些向破也叫做大找

向量或中打向量.力平行十£•记作日〃5.

力我们说向量2、b改找(»ia//b)时.表示力./的仃向歧设所在的R畿可能是同

-以纹.也可能是平行自找.

(2)共线向必定理，空间任宜两个向MN、h(G工6),立〃石存在实数1.使。=

篙，

4.共面向量

(1)定义，一般地.能干跖利同一平面内的向雄叫做共面向量.

说明：々间任意的两向的而是共而的.

(2)共面向H定理：如果两个向量不$不共?3万与向32万共而的条件是存在实数

兑卜使p=xu+yb.

5.空间向岫庭本定理：如果三个向趾万.6.1不共面，月;么时空何任AMp.存在个

K一的有序实数组X,y,z.使口=xd+访+时.

若三向IUB＜：不艮而.我们把悟/；,口叫做空间的一个塞底.江瓦［叫做基向量.空

同任意三个不共而的向3帮“J以内成字间的一个票底.

柢论，设0,48。此不共面的四.点,她对空间任CP.都“在唯一的T个行用实数

不乂二，使。户=xQ/1+yQg4：0C.

6.空间向量的?I珀里标系：

(1)空间直珀坐标系中的坐标：

在空河直角坐标条。-3中,对空间仔点A,存在立•的有序实效期a.y,z),使

OA=xi+yi+zk.有序实（.r.y.2）叫作向WA在&间白角坐惊^O-xyz中的坐标,

记作4x，rz）,1闾幡坐标.>同纵坐标,Z叫竖坐标.

（2）若空词的一个珞底的三个珞向量互相承宜，H长为L这个基底叫单位正交珞底，用

（UH表示.

（3）空间向星的出生电标运算神：

:

：L7i«=（«!，</,.«,）.b=（h，h：也）,则a+B=（q+b,,（t:+也./+/1,）.

（“一々,勺一么,“、一久），>.a-R）.

4_/>・1,2/Z;TX^,X^e

a-b=岫+tfA十《八•

aUhoq="],q=曲,as-也（2vR）.

<z_L&o岫+aA=0-

②若人耳，〈），R（x,y,z）,ARs（x-.y-2-2）,

（8.z:2Ml2：vr2t

•个向晶在比例坐标系中的坐标等于表示这个向G的“向线段的终点的“标MJ；起苴

的坐标.

（4）程长公心若”=（4，4吗）.行=（々也./1J.

则11)|=Ja-a=&：+u；+a；\b|==Qb；+b；+b；

夹角公式：cos（“m）=ab。4+a也一"人

(5)而由5+3〃：物

（6）两点同的即离公式；若g.M.zJ,8（冷加马）,

则I人A1='JAB=/（+-%）'+G、—乂）>十（“一诙）：.

或叫.=他一5）、（心-卬。口「2尸

7.空间向用的数01根.

C）空间向锻的夹角及其衣示2已知两“军向量比6.在空间任取•点0.作

OA=d.ori^b,则N4O笈叫府向量/S/7的夹角.记作<d.E>：且规定0£<G*>4".

0然音<不上>=<5曰A：若<瓦。>=工，则称n与方瓦和垂苴，记作；<iLb.

2

（2）向fit的惶：（）A=d.则有向找段7M的长度叫做向'”的长度成根.记仆：\ii\.

（3）向量的致世枳।已知向量九九则|，|•扬|心〉、々，石、叫做。石的数依积.也

作出5,Wab^\a\\b\aK<d.5>,

（4）空间向量数量枳的性筋：

①小*=！〃|cos<@/>・②dJ■方=d“？=0・@|«|:=<i-fl.

<5）空间向量数呈枳运算律：

①（我）$="不说=万«5）.②/6=5•万（交换律）.

（S）（j（b¥c）=db¥ac（分配律）.

（6）：空间向量的坐花运算:

1.向后的百用坐标选第

♦一=（《.%.4）・力=g.仇也）则

(1>d+书■=(/44此4%,448)：(2)d—b-(.at-ht,a,-b2,a}-hi)(

(3>Xd=)(XeR)：⑷0♦方=«育+aA+a也：

2.KtACXpVpZi).K(x,.y,.2;>.HO~AB=OB-OA=(x2-y^z.-z^.

Ii

3、设〃=(、m)・h=(x2,y2,z2),则

iiiiii*rrri

aPboa="(〃HO)；uLbab=i)«»十,y,+4力=0.

4.头角公式设d=（4，%.修），ii=他也八）.K'Jcos>=

Ja；+a；+a；出+优+厅

5.井血H线所成角

cos。hcosG力卜曲=尔；+）$+斗I=

'/l«ll/»lJxj++ZJ•J.2+汇+X

6.平面外一点〃到平面a的即离

已知力“为平面a的一条斜技,£为平面a的一个法

向员，人到平Ifna的即周为：d

向

【典理例题】

例上己岬行六面体'吧）一±?'021，化简下列向址表达式，标出化简纳果的向量，

<l）A»+flCs⑵丽+而+府；

⑶而十，cc’；⑷L48十八万十八八'）

23*/--------------------

02

例2.对空间住一点。和不共找的三点AR.C,向满足向量式：性

OPxOA^yOB^zOC（其中X+$+2=1）的四点PAS.C是否共面？

例3.已知空间四边形O/1AC.共对角纹。凡八C.M.N分别是对功04.，C的中点,

点G在我以MN匕RMG=2GN.用基底向ftia4.O反CM4我示<2

向屋丽.

C

ML如图・在空间四边膨CMBC中,OA=3,人k=6・，tC=4,flC=5.ZO/1C-45.

zaw=6o,求。、与8。的夹角的余龙信.八

小

\X

B

说明：由图形如向量的夹角向曲的,如<OA.AC>=]35易借与成<OA,AC>=45.

切记！

例5.长方体ABCD-中.AB=BC=4.E为AGqBJ1的交点•产为

与8c的交点,乂求长方体的高日用“fl

*----B

空间向量与立体几何练习题

一、选择题-酊

1.如图.段长为2的正fi依ABC!)-AKR在空间比加坐♦*&___________f,

泰中，苦E尸分别是BCD"中点.则E尸的坐标为

A.(1,2,-1)B.(7,2-1)

C.(-1.-2.I)D.

2.如图，40—446〃是正方体，a6=〃6=坐

4

1A

15/:•~

A.—B

17

8

C.——D

17

3.在四怪雄P-ABCD中.底而AKD是正方形，E为PC中点，若图

4=九Pff=b,PC=H，"带T

1-•1r1-

A.-a---n+-cB.-ZJ----b-----c1/[\N

222

八1-3A1-

C.—ci-Z»+-c222R-…#

222

图

二、填空题

九苦点41.2,3),+比=0,则点C的“标为_

5.在正方体人a7)-4/?£4中，宜找与平面A^G夹用的余花值为

三、解答题

k在正四极件ABCD-ABC岛中.是&与底面ARCD所成的用为£■.

4

(I)求证明1曲AB。⑵求;面角修一AC-。的正切伯

2.在三校雄P-/WC中，人8=八。=3

人尸二4.PALHiiAflC.£RAC-90°.Q是掰中门.力.E在RC

R8E=2CE.(1)求证：AC±lfD^(2)求直找DE与PC大角0的氽

弦品⑶求点A例f而BDE的距离d的值,

3.在四枝锥〜40中，底血被〃是一旦角梯形，/川火KT,盟〃此/酢&,仍2«,

口为J.底面4应力.刖与底面或3。"角.

(1)若血总£为垂足.求i£tBELPDt

＜2＞求异面有线然与S所成也的余弦值.

4、已如校长为1的正方体””E、F分别是AC、GD的中点.(I》求证:E、F、I)、8共而:

(2)求点儿到平时的加1T的距忠；(3＞求且线从D与平面酰F所成的角.

8

X

5.已知正方体做田匕4的腕长为2,点£为校面的中产，求：

(I)〃£与平面国〃所成角的大小,(II)二面角/A阳一。的大小;

【模拟试题】

1.已知空间四边形八4。。,违结ACA/),设M,G分别是8CCD的中点，化荷卜列

外龙达式，井标山化简结果向量：(I)Ali^HC^-CD：(2)而+■!•(而+旅5：

2

(3)AC/—(>tB+AC')•

2

2.已知平行四边形.口3,从F面,外宝。引向量.

OE=kOA.OF«kOB,OC-kOC.OH-k()D(I)?、：因「££G,H共面;

(2》平面AC〃平面EG”

3.如图正方体4BCQ-A耳。"中，四目=RK=2A区,

4

求A瑞与/)百所成角的余弦.

4.已知空间三点A(0.2.3).B(-2.1.6)»C(1.-b5>.

《D求以向的丽•飞为一级钙边的平行㈣边形的山)积S：

⑺若向量d分别与向量X反/重化且旧二6求向量d的坐标.

5.已知平行六面体4附7)-八方(?77中.Aii=4.AD=X/Ur=5.Z^D=9C.

ZRAX=ZOAA'=60.求人C*的K,

【叁专答案］

I.帆如图.

(1)ABtBCfCD-^C+CD\l)：

(2)其月+;(A/5+而)=A5+J而+g/"工

=4-A/G=AG：

(3)^G-l(Afl44C)=4G-/Uf'=/VfG.

2

2.“1)上明二四边形他e是平行四边杉，，小。=人8十八万，

'：EG^OG-OE,

=kOC-kOA~k(OC-dA)*kAC*k(AB^AD)

-k(OR-OA¥OD-OA)^OF-OE^OH-OE

=乔+而

：.E.k\GJ/rtrth

(2)W：7EF~OF-OE-k(Olf-OA)=kAB,EG-k\C

：.EFJfAR,EG//AC.

所以.平面AC〃平if