【教无忧】高中数学同步讲义（人教B版2019选择性必修一）第49讲 第2章 圆锥曲线章末测试卷【KS5U 高考】

绝密★考试结束前第2章圆锥曲线章末测试卷（试卷满分150分，考试用时120分钟）姓名___________班级_________考号_______________________注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.（22·23上·北辰·期末）若双曲线x2A．5 B．3 C．2 D．2【答案】A【分析】利用点到直线距离公式求得焦点到渐近线的距离为b，由b=2a计算可得离心率为5.【详解】根据题意不妨取焦点F2c,0，渐近线方程为

可得焦点到渐近线的距离为bca2+则离心率e=c故选：A2．（22·23上·驻马店·期末）抛物线y=2axA．y=±18a B．y=±a2 C．【答案】C【分析】先将抛物线方程化为标准方程，然后由标准方程的准线方程即可求解.【详解】由题意将抛物线方程y=2ax2a≠0因为抛物线x2=2py的准线方程为所以抛物线y=2ax2a≠0故选：C.3．（22·23上·宁河·期末）已知双曲线x2a2−y2bA．x212−C．x23−【答案】D【分析】根据题意，求得双曲线的右焦点为F(2,0)，得到a2+b2=4，再由抛物线的准线方程为x=−2，求得m=−2，将A(−2,−2【详解】由抛物线y2=8x的焦点为因为双曲线x2a2−y即c=2，可得a2又由双曲线x2a2−y因为抛物线准线与一条渐近线交于点A(m,−23)，可得即交点为A(−2,−23)，代入渐近线方程，可得−23将b=3a代入a2+b所以双曲线的方程为x2故选：D.4．（22·23上·齐齐哈尔·期末）已知双曲线C：x2b2−yA．x28−C．y24−【答案】D【分析】由题意可得c2=9，结合渐近线方程列式求【详解】设双曲线C的半焦距为c>0，由椭圆x23+由题意可得c2=a所以双曲线C：x24−故选：D.5．（22·23上·西安·期末）“0<a<3”是“双曲线x2A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据离心率求出参数的取值范围，即可判断.【详解】若双曲线x2a−y29=1所以“0<a<3”是“双曲线x2a−故选：C6．（22·23上·滁州·期末）双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F12A．2 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】根据题意，利用双曲线的定义把△APF1的周长用△APF的周长来表示，可求【详解】如下图所示：

设该双曲线的左焦点为点F，由双曲线的定义可得PFAF=AF所以，△APFAP当且仅当A，P，F三点共线时，△APF1的周长取得最小值，即6+2a=8，解得故选：D．7．（22·23上·包头·期末）已知椭圆Γ:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，直线l依次交x轴、椭圆ΓA．12 B．33 C．22【答案】D【分析】根据题意分析可知：AB的中点即为弦PQ的中点，利用点差法运算求解.【详解】设直线l：y=12x+m设AB的中点为M，连接OM，则AM=BM，因为AP=QB，则PM=QM，即设Px1,因为k=y可得x12a整理得y12−即12×−所以椭圆Γ的离心率为e=c故选：D.

8．（22·23上·新疆·期末）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左焦点为F−3,0，过F的直线l与C的左支交于点A，与A．210−23 B．10−13 【答案】A【分析】根据AB=2FA可得AA1BB1【详解】作AA1⊥x轴，B∵tan∠BOB1=∵OB=3=c，∴O∵AB=2FA∴AA1=1∴A1又A在双曲线C上，∴19a−6解得：a=210−23或故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查直线与双曲线的综合应用问题，本题求解的关键是能够根据共线向量，得到线段长度间的比例关系，从而利用a,c表示出双曲线上的点的坐标，结合双曲线方程求得结果.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.（20·21·南昌·三模）如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月球飞行，然后在点P处变轨进入以F为一焦点的椭圆轨道Ⅱ上绕月球飞行，最后在点Q处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ上绕月球飞行．设圆形轨道Ⅰ的半径为R，圆形轨道Ⅲ的半径为r，则下列结论中正确的是（

）

A．轨道Ⅱ的焦距为R−rB．轨道Ⅱ的长轴长为R+rC．若R不变，r越大，轨道Ⅱ的短轴长越小D．若r不变，R越大，轨道Ⅱ的离心率越大【答案】ABD【分析】设椭圆方程x2a2+y2b2=1a>b>0，根据椭圆的性质得到【详解】解：设椭圆方程x2由椭圆的性质知，a+b=R，a−c=r，则2c=R−r，2a=R+r，故选A，B正确；a=R+r2，c=R−r若R不变，r越大，2b越大，即轨道Ⅱ的短轴长越大，故C的错误；e=ca=若r不变，R越大，则21+Rr故选：ABD．10．（22·23上·贵港·期末）已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为FA．双曲线的渐近线方程为y=±33xC．双曲线的离心率为2 D．双曲线的离心率为2【答案】BD【分析】根据题意，由△APQ为等腰直角三角形，列出方程求得c=2a及b=3【详解】如图所示，设双曲线的左顶点为A，因为以PQ为直径的圆恰好经过双曲线的左顶点，可得△APQ为等腰直角三角形，又因为过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于P,Q两点，可得|PQ|=2所以a+c=b2a，因为b2=所以双曲线的离心率为e=c由b=c2−故选：BD.

11．（22·23下·浙江·期末）双曲线C:x24A．该双曲线渐近线为y=±B．过点(3,0)的直线与双曲线C交于A、B两点，若AB=5C．与双曲线C两支各有一个交点的直线斜率可以是1.1D．过点P能作4条仅与双曲线C有一个交点的直线【答案】ACD【分析】由双曲线渐近线的定义可求出渐近线方程，判断A选项；再由直线与双曲线的位置关系依次判断选项B、C、D.【详解】由题意，双曲线a=2,b=5则双曲线渐近线为y=±5依题意，当过点(3,0)的直线直线与双曲线的右支交于A、B两点时，通径最短，为2b当直线与双曲线的两支交于A、B两点时，AB的最小值为2a=4，所以，若AB=5由于双曲线渐近线为y=±5与双曲线C两支各有一个交点的直线斜率k∈−而1.1∈−过点P(1,2)能作两条与渐近线平行的直线和两条切线，均与双曲线C只有一个交点，故满足条件的直线有4条，选项D正确.故选：ACD

12．（22·23·秦皇岛·模拟预测）已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，点M,N为抛物线上两个位于第一象限的动点，且有xM2A．当xN=9时，MF=FA C．当xM=2时，AF:BF=9:5 D．当【答案】ACD【分析】易得抛物线的焦点为F1,0，准线为x=−1，则xA=xB=−1，xM【详解】抛物线的焦点为F1,0，准线为x=−1，则x由xM2=对于A，当xN=9时，则MFAF=3−1对于B，当xM=2时，可得M2,2则FM=设直线MF:x=my+1，把M2,22代入，可得令x=−1同理B−1,−则FA=因为∠AFB=∠MFN，所以sin∠AFB=所以S△MFN对于C，由B选项知，AF:对于D，当xM=3时，xN∴MC∴S由选项A知MF=NF:FB=∴S故选：ACD．

【点睛】思路点睛：求三角形面积的比值可转化为边长的比值，进而可转化为相似比问题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（13·14·全国·专题练习）已知椭圆的两焦点为F1−4,0,F2【答案】x【分析】由题意可知当P在y轴上时△PF1F2的面积最大，从而可求出b，再结合【详解】如图，当P在y轴上时△PF1F2的面积最大，所以又c=4，所以a2所以椭圆的标准方程为x2故答案为：x

14．（22·23上·滁州·期末）已知双曲线x2a2−y2=1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2【答案】25+4【分析】由离心率求出a、c，再由双曲线定义结合已知可得PF1+【详解】由题意可得b=1，c=a∵e=a∴a=3，c=2∵P为双曲线右支上一点，∴P又∵PF∴P则△PF1F故答案为：25

15．（22·23下·楚雄·期末）已知过抛物线T:y2=8x的焦点F且互相垂直的直线l【答案】32【分析】由题意知直线l1,l2的斜率均存在且不为零，可设直线l1的方程为x=ky+2，则直线l2的方程为x=−1ky+2，将直线l【详解】由题意知直线l1,l2的斜率均存在且不为零，F(2,0)，因此可设直线l1的方程为x=ky+2由y2=8xx=ky+2，消去x，得y2−8ky−16=0所以yP=y1+y2所以|PF|=4k21+所以|FP|⋅|FQ|=4k21+当且仅当|k|=1|k|，即k=±1时等号成立，所以故答案为：32

16．（22·23下·大理·期末）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，点【答案】15【分析】取线段AF1的中点N，由已知条件得出2OM=MN，从而O,M,N三点共线，且2【详解】不妨设点A在x轴上方，设点A的纵坐标为yA，点M的纵坐标为yM，△AF1F

取线段AF1的中点N，设点N的纵坐标为因为3M所以2F1M+MF∴O,M,N三点共线，且2OM=MN，∵S△AF1FS△AS△M∴rc+a=6rc，∴椭圆的离心率故答案为：15【点睛】方法点睛：椭圆离心率的三种求法：（1）若给定椭圆的方程，则根据焦点位置确定a2,b2，求出（2）求椭圆的离心率时，若不能直接求得ca的值，通常由已知寻求a,b,c的关系式，再与a2=b2+c（3）求离心率时要充分利用题设条件中的几何特征构建方程求解，从而达到简化运算的目的．四．解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（15·16下·莆田·阶段练习）已知圆C：(1)若点P运动到1,3处，求此时切线l的方程；(2)求满足条件PM=【答案】(1)x=1或3x+4y−15=0(2)2x−4y+1=0.【分析】（1）由圆心到直线距离等于半径，求切线方程；（2）设Px,y，由PM【详解】（1）把圆C：x2∴圆心为C−1,2，半径r=2当l的斜率不存在时，此时l的方程为x=1，C到l的距离d=2=r，满足条件．当l的斜率存在时，设斜率为k，得l的方程为y−3=k（x−1）则−k−2+3−k1+k2∴l的方程为y−3=−3即3x+4y−15=0，综上，满足条件的切线l的方程为x=1或3x+4y−15=0.（2）

设Px,y，则PM2=∵PM=PO，∴整理，得2x−4y+1=0，∴点P的轨迹方程为2x−4y+1=0.18．（22·23下·新余·期末）椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆C经过点(2(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点(2,1)且倾斜角为π4的直线l与椭圆C交于A，B两点，求线段AB【答案】(1)x(2)4【分析】（1）根据椭圆的几何性质即可求解，（2）由弦长公式即可求解.【详解】（1）由题意设椭圆C的方䄇为x2因为椭圆经过点(2,0)且短轴长为2，所以a=所以椭圆C的标准方程为x2（2）由已知得直线l的方程为y=x−1，设Ax1,y1得3x2−4x=0，易得Δ>0，所以x所以AB=

19．（22·23上·驻马店·期末）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右顶点分别为A，B，椭圆的离心率为e=12，动点Q在曲线C上，且

(1)求椭圆C的方程；(2)若点M在第一象限，求kMA【答案】(1)x(2)3−10【分析】（1）先利用题给条件求得a,b的值，进而求得椭圆C的方程；（2）先求得直线l的斜率不存在时kMA2−3kBN的值，再将直线l【详解】（1）由条件e=12=cS△ABQ∈(0,23]，也即ab=23，解得从而椭圆C的方程x（2）当直线l的斜率不存在时，M12,kBNk当直线l的斜率存在时，不妨设l:y=kx−12，M联立方程y=kx−1则x1+x从而k=x1x2也即恒有kBN因为点M在第一象限，从而k从而kMA2−3的取值范围是3−103综上，kMA2−3

20．（22·23上·包头·期末）已知椭圆Γ:x2a2+y2b2=1(a>b>0)左右焦点分别为F1、F2(1)求椭圆Γ的方程；(2)设OA、OB斜率分别为k1、k2，且k1、k、k2依次成等比数列，求【答案】(1)x2(2)k=12；y=1【分析】（1）根据△AF2B的周长为4a求出a=2（2）设出直线l的方程为y=kx+mm≠0,m≠±1，与椭圆方程联立，借助韦达定理表示出k1、k、k2依次成等比数列，进而求出k的值；再利用弦长公式和点到直线距离公式表示出△AOB【详解】（1）由题意，4a=8,e=ca=32故椭圆Γ的方程为x2（2）设直线l的方程为y=kx+mm≠0,m≠±1与椭圆方程联立得，1+4kΔ=64k2所以y1由题意，k1k2∵m≠0,k>0,∴k=1此时，2xAB=又点O到直线AB的距离d=2m5，故三角形OAB解得m=±12或所以直线l方程为y=12x±

21．（22·23上·包头·期末）如图1、2，已知圆A方程为(x+2)2+y2=12，点B2,0．M是圆A上动点，线段

(1)求点N的轨迹方程；(2)记点N的轨迹为曲线Γ，过点P32,12是否存在一条直线l，使得直线