高考数学模拟试卷学习资料

第1页（共1页）2016年广东省中山市华侨中学高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2015•衡阳二模）设集合A={x||x﹣1|≤2}，B={x|log2x＜2}，则A∪B=（）A．[﹣1，3] B．[﹣1，4） C．（0，3] D．（﹣∞，4）2．（5分）（2016•中山市校级模拟）命题“”的否定是（）A． B．C．． D．3．（5分）（2016•中山市校级模拟）直线y=2x与曲线y=x3围成的封闭图形的面积是（）A．1 B．2 C．2 D．44．（5分）（2016•吉林校级模拟）已知等比数列{an}中，a2•a8=4a5，等差数列{bn}中，b4+b6=a5，则数列{bn}的前9项和S9等于（）A．9 B．18 C．36 D．725．（5分）（2016•中山市校级模拟）已知函数f（x）=2sinxsin（x++φ）是奇函数，其中φ∈（0，π），则函数g（x）=cos（2x﹣φ）的图象（）A．关于点（，0）对称B．可由函数f（x）的图象向右平移个单位得到C．可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到D．可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到6．（5分）（2016•中山市校级模拟）已知函数，若实数a，b满足f（a）+f（b﹣2）=0，则a+b=（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．27．（5分）（2012•雁峰区校级学业考试）给出计算的值的一个程序框图如图，其中判断框内应填入的条件是（）A．i＞10 B．i＜10 C．i＞20 D．i＜208．（5分）（2016•中山市校级模拟）已知||=，||=3，•=0，点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设=m+n（m，n∈R），则等于（）A． B．3 C． D．9．（5分）（2014•衡阳三模）设F1，F2分别是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P满足|PF2|=|F1F2|且cos∠PF1F2=，则双曲线的渐近线方程为（）A．3x±4y=0 B．3x±5y=0 C．4x±3y=0 D．5x±4y=010．（5分）（2016•中山市校级模拟）已知△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若+=2c，则△ABC是（）A．等边三角形 B．锐角三角形C．等腰直角三角形 D．钝角三角形11．（5分）（2016•惠州模拟）某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为（）A．2 B．4 C．2 D．212．（5分）（2016•中山市校级模拟）设函数f（x）=ex（x3﹣3x+3）﹣aex﹣x（x≥﹣2），若不等式f（x）≤0有解，则实数α的最小值为（）A． B．2﹣ C．1﹣ D．1+2e2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）（2012•威海一模）设实数x，y满足，则x﹣2y的最大值为．14．（5分）（2016•中山市校级模拟）已知，则的值为．15．（5分）（2016•中山市校级模拟）已知是互不相同的正数，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），则abcd的取值范围是．16．（5分）（2016•中山市校级模拟）已知等差数列{an}中，a1=1，公差d＞0，且a1，a2，a5成等比数列，，则数列{bn}的前n项和Sn=．三、解答题（17-21为必做题，每题满分60分）17．（12分）（2016•中山市校级模拟）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知b2=ac，且a2﹣c2=ac﹣bc（1）求∠A的大小；（2）设且f（x）的最小正周期为π，求的最大值．18．（12分）（2016•中山市校级模拟）如图，AB是圆O的直径，C是圆O上异于A、B的一个动点，DC垂直于圆O所在的平面，DC∥EB，DC=EB=1，AB=4．（1）求证：DE⊥平面ACD；（2）若AC=BC，求平面AED与平面ABE所成的锐二面角的余弦值．19．（12分）（2016•中山市校级模拟）设一个口袋中装有10个球其中红球2个，绿球3个，白球5个，这三种球除颜色外完全相同．从中一次任意选取3个，取后不放回．（1）求三种颜色球各取到1个的概率；（2）设X表示取到的红球的个数，求X的分布列与数学期望．20．（12分）（2016•中山市校级模拟）已知直线x﹣y+1=0经过椭圆S：的一个焦点和一个顶点．（1）求椭圆S的方程；（2）如图，M，N分别是椭圆S的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k．①若直线PA平分线段MN，求k的值；②对任意k＞0，求证：PA⊥PB．21．（12分）（2016•河西区一模）设函数f（x）=aex（x+1）（其中e=2.71828…），g（x）=x2+bx+2，已知它们在x=0处有相同的切线．（Ⅰ）求函数f（x），g（x）的解析式；（Ⅱ）求函数f（x）在[t，t+1]（t＞﹣3）上的最小值；（Ⅲ）若对∀x≥﹣2，kf（x）≥g（x）恒成立，求实数k的取值范围．解答题（三选一，多选者以第一题的分数计入总分）[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2015•邯郸二模）如图，已知AB为半圆O的直径，C为圆弧上一点，过点C作半圆的切线CF，过点A作CF的垂线，垂足为D，AD交半圆于点E，连结EC，BC，AC．（Ⅰ）证明：AC平分∠BAD；（Ⅱ）若AB=3，DE=，求△ABC的面积．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2015•绥化校级二模）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数）．（1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；（2）已知A（﹣2，0），B（0，2），圆C上任意一点M（x，y），求△ABM面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．（2016•上饶一模）设函数f（x）=|2x+2|﹣|x﹣2|．（Ⅰ）求不等式f（x）＞2的解集；（Ⅱ）若∀x∈R，f（x）≥t2﹣t恒成立，求实数t的取值范围．

2016年广东省中山市华侨中学高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2015•衡阳二模）设集合A={x||x﹣1|≤2}，B={x|log2x＜2}，则A∪B=（）A．[﹣1，3] B．[﹣1，4） C．（0，3] D．（﹣∞，4）【解答】解：A={x||x﹣1|≤2}={x|﹣2≤x﹣1≤2}={x|﹣1≤x≤3}，B={x|log2x＜2}={x|0＜x＜4}，则A∪B=[﹣1，4）．故选：B．2．（5分）（2016•中山市校级模拟）命题“”的否定是（）A． B．C．． D．【解答】解：命题为特称命题，则命题的否定为：，故选：B3．（5分）（2016•中山市校级模拟）直线y=2x与曲线y=x3围成的封闭图形的面积是（）A．1 B．2 C．2 D．4【解答】解：由得x3=2x，解得x=0或x=或x=﹣，则由对称性可知所求面积S=2（2x﹣x3）dx=2（x2﹣x4）|=2（2﹣）=2（2﹣1）=2，故选：B4．（5分）（2016•吉林校级模拟）已知等比数列{an}中，a2•a8=4a5，等差数列{bn}中，b4+b6=a5，则数列{bn}的前9项和S9等于（）A．9 B．18 C．36 D．72【解答】解：∵数列{an}是等比数列，∴a2•a8=，又a2•a8=4a5，∴，解得a5=4．∴b4+b6=a5=4．∵数列{bn}是等差数列，∴数列{bn}的前9项和S9==．故选：B．5．（5分）（2016•中山市校级模拟）已知函数f（x）=2sinxsin（x++φ）是奇函数，其中φ∈（0，π），则函数g（x）=cos（2x﹣φ）的图象（）A．关于点（，0）对称B．可由函数f（x）的图象向右平移个单位得到C．可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到D．可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到【解答】解：由于函数f（x）=2sinxsin（x++φ）是奇函数，故y=sin（x++φ）是偶函数，故φ+=kπ+，k∈Z，即φ=kπ+，结合φ∈（0，π），可得φ=，f（x）=2sinxsin（x++）=sin2x=cos（2x+）．故函数g（x）=cos（2x﹣）的图象可以由f（x）=cos（2x+）=cos2（x+）的图象向右平移个单位得到的，故选：B．6．（5分）（2016•中山市校级模拟）已知函数，若实数a，b满足f（a）+f（b﹣2）=0，则a+b=（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2【解答】解：f（x）+f（﹣x）=ln（x+）+ln（﹣x+）=0∵f（a）+f（b﹣2）=0，即为f（a）=f（2﹣b），由f（x）=ln（x+）的导数为f′（x）=•（1+）＞0，可得f（x）单调递增，则a=2﹣b，∴a+b=2故选D．7．（5分）（2012•雁峰区校级学业考试）给出计算的值的一个程序框图如图，其中判断框内应填入的条件是（）A．i＞10 B．i＜10 C．i＞20 D．i＜20【解答】解：根据框图，i﹣1表示加的项数当加到时，总共经过了10次运算，则不能超过10次，i﹣1=10执行“是”所以判断框中的条件是“i＞10”故选A8．（5分）（2016•中山市校级模拟）已知||=，||=3，•=0，点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设=m+n（m，n∈R），则等于（）A． B．3 C． D．【解答】解：如图所示，将向量分解到，，可得=+，由||=||cos30°=||，||=||sin30°=||，则m==，n==，即有=3．故选：B．9．（5分）（2014•衡阳三模）设F1，F2分别是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P满足|PF2|=|F1F2|且cos∠PF1F2=，则双曲线的渐近线方程为（）A．3x±4y=0 B．3x±5y=0 C．4x±3y=0 D．5x±4y=0【解答】解：依题意|PF2|=|F1F2|，可知三角形PF2F1是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影A是线段PF1中点，由勾股定理知可知|PF1|=2|F1A|=2|F1F2|cos∠PF1F2=2×2c×=，根据双曲定义可知|PF1|﹣|PF2|=2a，即﹣2c=2a，整理得c=a，代入c2=a2+b2整理得4b=3a，求得=∴双曲线渐近线方程为y=±x，即4x±3y=0故选：C．10．（5分）（2016•中山市校级模拟）已知△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若+=2c，则△ABC是（）A．等边三角形 B．锐角三角形C．等腰直角三角形 D．钝角三角形【解答】解：∵+=2c，∴由正弦定理可得：，而+≥2=2，当且仅当sinA=sinB时取等号．∴2sinC≥2，即sinC≥1，又sinC≤1，故可得：sinC=1，∴∠C=90°．又∵sinA=sinB，可得A=B，故三角形为等腰直角三角形．故选：C．11．（5分）（2016•惠州模拟）某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为（）A．2 B．4 C．2 D．2【解答】解：由三视图知该几何体为棱锥S﹣ABD，其中SC⊥平面ABCD；四面体S﹣ABD的四个面中SBD面的面积最大，三角形SBD是边长为2的等边三角形，所以此四面体的四个面中面积最大的为=2．故选：C．12．（5分）（2016•中山市校级模拟）设函数f（x）=ex（x3﹣3x+3）﹣aex﹣x（x≥﹣2），若不等式f（x）≤0有解，则实数α的最小值为（）A． B．2﹣ C．1﹣ D．1+2e2【解答】解：f（x）≤0可化为ex（x3﹣3x+3）﹣aex﹣x≤0，即a≥x3﹣3x+3﹣，令F（x）=x3﹣3x+3﹣，则F′（x）=3x2﹣3+=（x﹣1）（3x+3+e﹣x），令G（x）=3x+3+e﹣x，则G′（x）=3﹣e﹣x，故当e﹣x=3，即x=﹣ln3时，G（x）=3x+3+e﹣x有最小值G（﹣ln3）=﹣3ln3+6=3（2﹣ln3）＞0，故当x∈[﹣2，1）时，F′（x）＜0，x∈（1，+∞）时，F′（x）＞0；故F（x）有最小值F（1）=1﹣3+3﹣=1﹣；故实数α的最小值为1﹣．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）（2012•威海一模）设实数x，y满足，则x﹣2y的最大值为4．【解答】解：如图，作出可行域，作出直线l0：y=x，将l0平移至过点A（4，0）处时，直线y=x﹣z在y轴上的截距最小，函数z=x﹣2y有最大值4．故答案为：414．（5分）（2016•中山市校级模拟）已知，则的值为．【解答】解：==cosα．则=cos=cos=，故答案为：．15．（5分）（2016•中山市校级模拟）已知是互不相同的正数，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），则abcd的取值范围是（21，24）．【解答】解：函数f（x）的图象如下图所示：若a、b、c、d互不相同，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），不妨令a＜b＜c＜d，则0＜a＜1，1＜b＜4，则log3a=﹣log3b，即log3a+log3b=log3ab=0，则ab=1，由x2﹣x+8=1得x2﹣10x+21=0，得x=7或x=3，同时c∈（3，4），d∈（6，7），∵c，d关于x=5对称，∴=5，则c+d=10，则10=c+d，同时cd=c（10﹣c）=﹣c2+10c=﹣（c﹣5）2+25，∵c∈（3，4），∴当c=3时，cd=3×7=21，当c=4时，cd=4×6=24，∴cd∈（21，24），即abcd=cd∈（21，24），故答案为：（21，24）；16．（5分）（2016•中山市校级模拟）已知等差数列{an}中，a1=1，公差d＞0，且a1，a2，a5成等比数列，，则数列{bn}的前n项和Sn=[1+（﹣1）n﹣1]．【解答】解：a2=1+d，a5=1+4d；∵a1，a2，a5成等比数列；∴；即（1+d）2=1•（1+4d）；又d＞0，∴解得d=2；∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1，an+1=2n+1；∴==；∴Sn=b1+b2+b3+…+bn==；∴若n为奇数，；若n为偶数，；即．故答案为：．三、解答题（17-21为必做题，每题满分60分）17．（12分）（2016•中山市校级模拟）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知b2=ac，且a2﹣c2=ac﹣bc（1）求∠A的大小；（2）设且f（x）的最小正周期为π，求的最大值．【解答】解：（1）在△ABC中，∵b2=ac，且a2﹣c2=ac﹣bc，∴b2+c2﹣a2=bc，∴，∴cosA=，又A是三角形的内角，故A=．（2）因为====sin（ωx+），因为f（x）的最小正周期为π，所以ω=2，函数解析式为：f（x）=sin（2x+），，2x+∈，当x=时，函数的最大值为．18．（12分）（2016•中山市校级模拟）如图，AB是圆O的直径，C是圆O上异于A、B的一个动点，DC垂直于圆O所在的平面，DC∥EB，DC=EB=1，AB=4．（1）求证：DE⊥平面ACD；（2）若AC=BC，求平面AED与平面ABE所成的锐二面角的余弦值．【解答】解：（1）∵DC⊥面ABC，∴DC⊥BC，又∵AB是⊙O的直径，∴AC⊥BCAC∩DC=C，AC，DC⊂面ACD，∴BC⊥平面ACD又∵DC∥EB，DC=EB，∴四边形BCDE是平行四边形，∴DE∥BC，∴DE⊥平面ACD．…4分（2）如图，以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CD为z轴，建立空间直角坐标系，则，…6分设平面ADE的一个法向量，则，令x=1得…8分设平面ABE的一个法向量，则，令x=1得，…10分∴，∴平面AED与平面ABE所成的锐二面角的余弦值为．…12分．19．（12分）（2016•中山市校级模拟）设一个口袋中装有10个球其中红球2个，绿球3个，白球5个，这三种球除颜色外完全相同．从中一次任意选取3个，取后不放回．（1）求三种颜色球各取到1个的概率；（2）设X表示取到的红球的个数，求X的分布列与数学期望．【解答】解：（1）设A表示事件“三种颜色的球各取到一个”，则P（A）==．（2）由已知得X的所有可能值为0，1，2，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，∴X的分布列为：X012PEX+=（个）．20．（12分）（2016•中山市校级模拟）已知直线x﹣y+1=0经过椭圆S：的一个焦点和一个顶点．（1）求椭圆S的方程；（2）如图，M，N分别是椭圆S的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k．①若直线PA平分线段MN，求k的值；②对任意k＞0，求证：PA⊥PB．【解答】解：（1）在直线x﹣y+1=0中令x=0得y=1；令y=0得x=﹣1，由题意得c=b=1，∴a2=2，则椭圆方程为．（2）①，N（0，﹣1），M、N的中点坐标为（，），所以．②解法一：将直线PA方程y=kx代入，解得，记，则P（m，mk），A（﹣m，﹣mk），于是C（m，0），故直线AB方程为，代入椭圆方程得（k2+2）x2﹣2k2mx+k2m2﹣8=0，由，因此，∴，，∴，∴，故PA⊥PB．解法二：由题意设P（x0，y0），A（﹣x0，﹣y0），B（x1，y1），则C（x0，0），∵A、C、B三点共线，∴=，又因为点P、B在椭圆上，∴，，两式相减得：，∴=﹣=﹣1，∴PA⊥PB．21．（12分）（2016•河西区一模）设函数f（x）=aex（x+1）（其中e=2.71828…），g（x）=x2+bx+2，已知它们在x=0处有相同的切线．（Ⅰ）求函数f（x），g（x）的解析式；（Ⅱ）求函数f（x）在[t，t+1]（t＞﹣3）上的最小值；（Ⅲ）若对∀x≥﹣2，kf（x）≥g（x）恒成立，求实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=aex（x+2），g'（x）=2x+b﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）由题意，两函数在x=0处有相同的切线．∴f'（0）=2a，g'（0）=b，∴2a=b，f（0）=a=g（0）=2，∴a=2，b=4，∴f（x）=2ex（x+1），g（x）=x2+4x+2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）（Ⅱ）f'（x）=2ex（x+2），由f'（x）＞0得x＞﹣2，由f'（x）＜0得x＜﹣2，∴f（x）在（﹣2，+∞）单调递增，在（﹣∞，﹣2）单调递减．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）∵t＞﹣3，∴t+1＞﹣2①当﹣3＜t＜﹣2时，f（x）在[t，﹣2]单调递减，[﹣2，t+1]单调递增，∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）②当t≥﹣2时，f（x）在[t，t+1]单调递增，∴；∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（Ⅲ）令F（x）=kf（x）﹣g（x）=2kex（x+1）﹣x2﹣4x﹣2，由题意当x≥﹣2，F（x）min≥0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）∵∀x≥﹣2，kf（x）≥g（x）恒成立，∴F（0）=2k﹣2≥0，∴k≥1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）F'（x）=2kex（x+1）+2kex﹣2x﹣4=2（x+2）（kex﹣1），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）∵x≥﹣2，由F'（x）＞0得，∴；由F'（x）＜0得∴F（x）在单调递减，在单调递增﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）①当，即k＞e2时，F（x）在[﹣2，+∞）单调递增，，不满足F（x）min≥0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）②当，即k=e2时，由①知，，满足F（x）min≥0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）③当，即1≤k＜e2时，F（x）在单调递减，在单调递增，满足F（x）min≥0．综上所述，满足题意的k的取值范围为[1，e2]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）解答题（三选一，多选者以第一题的分数计入总分）[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2015