抽样技术课后习题参考答案

第二章习题

2.1判断下列抽样方法是否是等概的：

（1）总体编号广64,在0〜99中产生随机数r,若厂0或r>64则舍弃重抽。

（2）总体编号「64,在0〜99中产生随机数r,r处以64的余数作为抽中的数，若余数为0则抽

中64.

（3）总体20000〜21000,从广1000中产生随机数r。然后用r+19999作为被抽选的数。

解析：等概抽样属于概率抽样，概率抽样具有一些几个特点：第一，按照一定的概率以随机原则抽

取样本。第二，每个单元被抽中的概率是己知的，或者是可以计算的。第三，当用样本对总体目标

进行估计时，要考虑到该样本被抽中的概率。

因此（1）中只有广64是可能被抽中的，故不是等概的。（2）不是等概的【原因】（3）是等

概的。

2.2抽样理论和数理统计中关于样本均值丫的定义和性质有哪些不同？

解析：油样理论和数理统计中关于样本均值的定义和性质的不同

抽样理论概率统计

定

义

1•期望E（y）=*（i）稣）=$>（g=丫1.期望E（y）=E，汽/

i=li=l51=1/nia]

性22.方差心）=由

质2.方差咐£E（厂瓯1%

2.3为了合理调配电力资源，某市欲了解50000户居民的日用电量，从中简单随机抽取了300户进

行，现得到其日用电平均值7=9.5（千瓦时），S?=206.试估计该市居民用电量的95%置信区间。

如果希望相对误差限不超过10%,则样本量至少应为多少？

解：由己知可得，N=50000,n=300,y=9.5,52=206

该市居民用电量的95%置信区间为

[[Ny±ZgJvG)]=[475000±l.96*41308.19]

2

即为(394035.95,555964.05)

由相对误差公式上竺"®W10%

y

50000

可得1.96*/一"*206<9,5*10%

即n》862

欲使相对误差限不超过10%,则样本量至少应为862

2.4某大学10000名本科生，现欲估计爱暑假期间参加了各类英语培训的学生所占的比例。随机抽

取了两百名学生进行调查，得到P=0.35,是估计该大学所有本科生中暑假参加培训班的比例的95%

置信区间。

解析：由已知得：7V=10000〃=200p=0.35/=—=0.02

N

又有：E(p)=E(p)=p=035V(p)=p(\-p}=0.0012

n-i

该大学所有本科学生中暑假参加培训班的比例95%的置信区间为：［E(方)土Zg赤石］

2

代入数据计算得：该区间为［0.2843,0.4157］

2.5研究某小区家庭用于文化方面(报刊、电视、网络、书籍等)的支出，N=200,现抽取一个容

量为20的样本，调查结果列于下表：

编号文化支出编号文化支出

120011150

215012160

317013180

415014130

516015100

613016180

7•14017100

810018180

911019170

1024020120

估计该小区平均的文化支出)，并给出置信水平95%的置信区间。

解析：由已知得：N=200n=20

_120

根据表中数据计算得：y=—fyi=144.5

20G

该小区平均文化支出》的95%置信区间为：丘土ZqM歹］即是：［132.544,156.456］

2

故估计该小区平均的文化支出歹=144.5,置信水平95%的置信区间为「132.544,156.456］。

2.6某地区350个乡为了获得粮食总产量的估计，调查了50个乡当年的粮食产量，得到亍=1120

(吨)，52=25600,据此估计该地区今年的粮食总产量，并给出置信水平95%的置信区间。

解析：由题意知：亍=1120/=—=—=0.142952=25600=>s=160

N350

置信水平95%的置信区间为：口土2八三2］代入数据得：

2Vn

置信水平95%的置信区间为：［1079.872,1160.8721*350

2.7某次关于1000个家庭人均住房面积的调查中，委托方要求绝对误差限为2平方千米，置信水

平95%,现根据以前的调查结果，认为总体方差S?=68,是确定简单随机抽样所需的样本量。若

预订有效回答率为70%,则样本量最终为多少？

22

NZaSn

解析：简单随机抽样所需的样本量％2,«2=—

Nd2+Z^S270%

2

Za=L96

由题意知：N=1000d=2S=682

%==87.142«87

代入并计算得：4=6A113036”61-70%

故知：简单随机抽样所需的样本量为61,若预计有效回答率为70%则样本量最终为87

2.8某地区对本地100家化肥生产企业的尿素产量进行调查，一直去年的总产量为2135吨，抽取

10个企业调查今年的产量，得到y二25,这些企业去年的平均产量为1=22。试估计今年该地区化

肥总产量。

-=X=2135=2135_

解析：由题可知夭=22,一N-10「.”25

——y25

_y-XX-21.35--24.26

则，该地区化肥产量均值「的比率估计量为X24

该地区化肥产量总值Y的比率估计量为0=尼=100*24.26=2426

所以，今年该地区化肥总产量的估计值为2426吨。

2.9如果在解决习题2.5的问题时可以得到这些家庭月总支出，得到如下表：

单位：元

编号文化支出总支出编号文化支出总支出

12002300111501600

21501700121601700

31702000131802000

41501500141301400

51601700151501600

61301400161001200

71401500171801900

81001200181001100

91101200191701800

101401500201201300

全部家庭的总支出平均为1600元，利用比估计的方法估计平均文化支出，给出置信水平95%的置

信区间，并比较比估计和简单估计的效率。

1n1

x=-yxj=—(2300+1700+---+1300)=1580

11

解析：由题可知i=i20

%=X_v'=16001*4H45^=146.329

又"x158()

故平均文化支出的95%的置信区间为

代入数据得(146.329±1.96*1.892)

即为[142.621,150.037]

2.10某养牛场购进了120头肉牛，购进时平均体重100千克。现从中抽取10头，记录重量，3个

月后再次测量，结果如下:

单位：千克

编号原重量现重量

195150

297155

387140

4120180

5110175

6115185

7103165

8102160

992150

10105170

用回归估计法计算120头牛现在的平均重量，计算其方差的估计，并和简单估计的结果进行比较。

解:由题可知，x=-yxj=—（95+-+105）=102.6

10

S146.333

故有色=宜==1.368

106.933

所以总体均值「的回归估计量为

其方差估计为：

R（%）=US2+&2S「_2&S.V）

n

.10

1----

=产（212.222+1.3682*106.933-2*1.368*146.333）

=1.097

而0（y）=ds2

n

1-%20

=—j2*212.222

10

=19.454

显然一汽）＜旧（加

所以，回归估计的结果要优于简单估

第三单元习题答案（仅供参考）

1解：（1）不合适

（2）不合适

（3）合适

（4）不合适

2.将800名同学平均分成8组，在每一组中抽取一名“幸运星二

3.艰据表中调查数据，经计算，可得下表：

h

NfhNh%]

hwhYhSh

1102560.30330.039111.22867.294.4

2104200.49760.023825.510710302.5

3101680.19910.0595203360355.6

总计30844116937.2

±13

Y

•••SFNSh=1Nhyh=20.1

AyLW褊L

=Whsg

v(Yst)-Zh=iF_2h=inr

=9.7681-0.2962

=9.4719

・•・Jv(yst)=3.0777

(2)置信区间为95%相对误差为10%,则有

SLiWhsg

攸匚匕1列力仇:tl'WH、堇：n=NL=l«b.44U7y

V+&h=l

•e*nl=nWl=56,n2=92,n3=37

Q；=]WhsR)2

按内空分配：=l/b

吸+屹—LWhsH

Anl=33,n2=99,。3二43

4.根据调查数据可知：

h

whPh

10.180.9

20.210.933

30.140.9

40.080.867

50.160.933

60.220.967

Pst=]WhPh=O.924

根据各层层权Wh及抽样比fh的结果，可得

v(Pst)二技LN^l-fh);篝0.000396981

:.W、Pst)=1.99%

：・估计量的标准差为1.99%,比例为9.24%

按比例分配：n=2663

Anl=479,n2=559,n3=373,n4=240,n5=426,n6=586

内曼分配：n=2565

An1=536,n2=520,n3=417,n4=304,n5=396,n6=392

5.解：由题意，有

丫二£：=iyw『75.79

・•・购买冷冻食品的平均支出为75.79元

又由v(y)=F£：=iWhsR+£；=i(l-Wh)sR

又n=£：inh/Wh

AV(y)=53.8086

⑺=7.3354

・,・95%的置信区间为［60.63,90.95］。

7.解：(1)对

(2)错

(3)错

(4)错

(5)对

12

8.解：(1)差错率的估计值火石X70%+为X30%=0.027

.1-f.

估计的方差v(y)=?h="匕不^群3.1967X10-4

标准差为S(y)=0.0179。

i1m

(2)用事后分层的公式计算差错率为齐Eh=】Wh(端二%»0.。3

W2s21

估计的方差为；V(y)Nh章"WhWhS2.5726X10-4

9.解：(1)所有可能的样本为：

第一层第二层

X1Y1X2V2

3,50,38,156,9

3,100,68,256,15

5,103,615,259,15

(2)用分别比估计,有门二0.4,「2=0.65,所以用分别比估计可计算得丫=6.4。

用联合比估计，有门=0.5,=2=0.625,所以用联合比估计可计算得丫=6.5。

第四章习题

4.1邮局欲估计每个家庭的平均订报份数，该辖区共有4000户，划分为400个群，每群10户,

现随机抽取4个群，取得资料如下表所示:

群各户订报数为

11,2,1,3,3,2,1,4,1,119

21,3,2,2,3,1,4,1,1,220

32,1,1,1,1,3,2,1,3,116

41,1,3,2,1,5,1,2,3,120

试估计平均每户家庭订报份数及总的订报份数，以及估计量的方差。

解：由题意得到N=400,〃=4,M=10»/=—==0.01

N400

19+20+16+20

故彳=亍=1.875（份）

10x4

y=M-j=10xl.875=18.75（份）

r=A/^y=10x400=7500（份）

于是由以上的计算结果得到平均每户的订报份数为1.875,估计量方差为0.00391875。该辖区

总的订阅份数为7500,估计量方差为62700。

4.2某工业系统准备实行一项改革措旎。该系统共有87个单位，现采用整群抽样，用简单随机抽

样抽取15个单位做样本，征求入选单位中每个工人对政策改革措施的意见，结果如下：

单位总人数赞成人数

15142

26253

34940

47345

510163

64831

76538

84930

97354

106145

115851

125229

136546

144937

155542

（1）估计该系统同意这一改革人数的比例，并计算估计标准误差。

（2）在调查的基础上对方案作了修改，拟再一次征求意见，要求估计比例的允许误差不超过8%,

则应抽取多少个单位做样本？

解：题目已知N=87,w=15,f=—=—

"N87

1）由已知估计同意改革的比例

此估计量的标准差为

4.3某集团的财务处共有48个抽屉，里面装有各种费用支出的票据。财务人员欲估计办公费用支

出的数额，随机抽取了其中的10个抽屉，经过清点，整理出办公费用的票据，得到下表资料:

抽屉编号票据数Mj费用额（以，百元）

14283

22762

33845

463112

57296

61258

72475

81458

93267

104180

要求以95%的置信度估计该集团办公费用总支出额度置信区间（a=0.05）o

*,由题意得£%=736,名%=365,

解：已知N=48,n=10,

48

则办公费用的总支出的估计为？=四5>=—x736=3532.8(元)

〃i=\10

1”1

群总和均值》二一£M=—x736=73.6(元)

10

422次”—1°、

u48(83—73.6)2+(62—73.6)2+...+(80—73.6)2

--10*9-

=182.4x1x3590.4

9

=72765.44

;269.7507

则Y的置信度为95%的置信区间为3532.8±1.96x269.7507,即[3004.089,4061.511].

4.4为了便于管理，将某林区划分为386个小区域。现采用简单随机油样方法，从中抽出20个小

区域，测量树的高度，得到如下资料:

数目株数平均高度数目株数平均高度

区域编号区域编号

%(尺)跖歹,(尺)

1426.211606.3

2515.812526.7

3496.713615.9

4554.914496.1

5475.215576.0

6586.916634.9

7434.317455.3

8595.218466.7

9485.719626.1

10416.120587.0

估计整个林区树的平均高度及95%的置信区间。

解：由已知得N=386,n=20,/=—=—=0.0518

N386

n

4ZM%

整体的平均高度〒=9=上——=61808=5909

i-l

2।歹产

方差估计值后户用二鼎―丁一

AIA

标准方差5(F)=Vv(F)=Vo.02706=0.1644

在置信度95%下，该林区的树木的平均高度的置信区间为

4.5某高校学生会欲对全校女生拍摄过个人艺术照的比例进行调查。全校共有女生宿舍200间，

每间6人。学生会的同学运用两阶段抽样法设计了抽样方案，从200间宿舍中抽取了10间样

本宿舍，在每间样本宿舍中抽取3位同学进行访问，两个阶段的抽样都是简单随机抽样，调

查结果如下表：

样本宿舍拍照人数样本宿舍拍照人数

1261

2070

3181

4291

51100

试估计拍摄过个人艺术照的女生比例，并给出估计的标准差。

解：题目已知N=200,«=1O,M=6,m=3,/.=—=—=0.05,/=—=0.5

1N2002M

在置信度95%下，p的置信区间为

(力士J/2心而);(03±1.96x0.0758)=(0.151432,0.448568)

4.6上题中，学生会对女生勤工助学月收入的一项调查中，根据以往同类问题的调查，宿舍间的

标准差为S/326元，宿舍内同学之间的标准差为§2二188元。以一位同学进行调查来计算，调

查每个宿舍的时间g为1分钟，为了调查需要做各方面的准备及数据计算等工作，所花费的

时间为c0是4小时，如果总时间控制在8小时以内，则最优的样本宿舍和样本学生是多少？

解：由已知条件得到以下信息：

S]=326（元）S2=188（元）C）=10（分钟）c2=1（分钟）co=4x6O=24O（分钟）

由此得到

S?=106276,S；=35344,=S,-^-=106276-^1=100385.33

u'M6

因而取最优的m=2,进一步计算n。以

由于总时间的限制C=480,由关系式

C=c0+c1n+c2nm得到480=240+10110?（+2nopl

计算方程得到%,=20,因而取n=20

则最优的样本宿舍数为20间，最优样本学生数为2。

4.7某居委会欲了解居民健身活动情况，如果一直该居委会有500名居民，居住在10个单元中。

现先抽取4个单元，然后再样本单元中分别抽出若干居民，两个阶段的抽样都是简单随机抽

样，调查了样本居民每天用于健身锻炼的时间结果如下（以10分钟为1个单位）：

单元，居民人数样本量犯健身锻炼时间为

13244,2,3,6

24552,2,4,3,6

33643,2,5,8

45464,3,6,2,4,6

试估计居民平均每天用于锻炼的时间，并给出估计的标准差。

（1）简单估计量

（2）比率估计量

（3）对两种估计方法及结果进行评价。

解：（1）简单估计

=^x（32x3.75+45x3.4+36x4.5+54x4.17）

二1650,

研LA翳=33,

A1HA1

又工=-Yy；-=-x660=165,

y4

所以v&u）=N2（i"）3上必

nn—\ni=l"

分别计算

“A

12（1一力）一工）一%）％2

所以，W匕）一而；「二—最

=0.11556+0.046285«0.162

A/A

所以标准差s（匕）=6（匕）=0.402

（2）比率估计

抡Y'叫%

其中小务二^一

i=l

人

⑶•.,简单估计标准差S（吃）=0.402,比率估计标准差s（%）=0.2647

二.比率估计更好

第五章不等概抽样习题答案

5.1解：

分析题目可知“代码法”与“拉希里法”都是PPS抽样（放回的与规模大小成比例的不等概抽

样)的实施方法，而此题需要用此两种方法进行不放回抽样，故需进一步进行改进：即采用重抽法

抽取，如果抽到重复单元，则放弃此样本单元，重新抽取，直到抽到规定的样本量且所有样本党员

不重复：

(1)代码法：由Zi=丛=4仁可假设Mo=1000000,则=列成数据表为:

M。、

i=l

PSU代码

Mj累计比

11101101-110

21855618666111〜18666

629998166518667〜

3

81665

7821615988181666〜

4

159881

75245235126159982〜

5

235126

73983309109235127〜

6

309109

76580385689309110-

7

385689

38981424670385690〜

8

424670

40772465442424671-

9

465442

22876488318465443〜

10

488318

3721492039488319〜

11

492039

24971517010492040〜

12

517010

40654557664517011〜

13

557664

14804572468557665〜

14

572468

5577578045572469〜

15

578045

70784648829578046〜

16

648829

69635718464648830〜

17

718464

34650753114718465〜

18

753114

69492822606753115〜

19

822606

36590859296822607〜

20

859296

33853893049859297〜

21

893049

16959910008893050〜

22

910008

9066919074910009〜

23

919074

21795940869919075〜

24

940869

591851000054940870〜

25

1000054

我们看到抽取的范围比较大，所以我们利用计算机中的随机数表来抽取，第一个随机数为444703,

615432,791937,921813,738207,176266,405706935470,916904,57891

按照范围我们可以知道抽取的PSU9,PSU16,PSU19,PSU24,PSU18,PSU2,PSU8

PSU24PSU23PSU2,我们看到第2组和24组重复抽取了，故进行重新抽取，抽到4组和6组;

综上所述，抽取的样本为2,4,6,8,9,16,18,19,23,24组

(2)拉希里法：Mx=78216,N=25,在［1,25］和［1,78216］中分别产生(n,m)：

(13.38678),%3=40654238678,入样：

(8；57764),M8=3898X57764,舍弃，重抽;

(23,13365),M23=9066<13365,舍弃，重抽;

(19,38734),M19=69492>38734,入样；

以此类推，当得到重复入样情况时，同上重新抽取，得到抽取结果为:

2,3,5,6,7,12,13,16,19,24组

5.2解：

由数据可得：

3二X%广20,t2=^y27=25,t3=38,t4=24,t5=21；

J=I〜

结合t值数据,我们可以推得Z的值

MS

Z,=—L=—=0.2,Z=0.16,Z=0.32,Z=0.2,Z=0.12,

12345

Mo253

4Z,.Z/1-Z,.-Z,)

由公式啊

(1-2Z,X1-2Z.]

样本

1,20.273769

1,30.217405

1,40.283079

1,50.243826

2,30.166251

2,40.213142

2,50.243826

3,40.603903

3,50.53546

4,50.243826

5.3解：

设：M>=L则有：Mi=Z,.,得到下表:

j累计代码

MxlOOO

10.1041041041—104

20.192192296105—296

30.138138434297—434

40.06262496435—496

50.05252548497—548

60.147147695