第04讲 二次根式（含详解答案）-全国重点高中自主招生大揭秘

二次根式一、单选题1．已知实数x，y满足（x-）（y-）=2008，则3x2-2y2+3x-3y-2007的值为（）A．-2008 B．2008 C．-1 D．12．下列根式中，是最简二次根式的是(

)A． B． C． D．3．化简：的结果是（）A．6 B． C． D．4．记，则（

）A． B． C． D．5．已知的三边长为，，，有以下三个结论：（1）以，，为边长的三角形一定存在；（2）以，，为边长的三角形一定存在；（3）以，，为边长的三角形一定存在．其中正确结论的个数是（

）．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个6．如果一个三角形的三边长分别为1，k，3，则化简的结果是（）A．-5 B．1 C．13 D．19-4k7．设a、b是整数，方程x2+ax+b=0的一根是，则的值为（）A．2 B．0 C．-2 D．-18．已知，将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，再将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，以此类推可得到，，……，．如的整数部分为1，小数部分为，所以．根据以上信息，下列说法正确的有（

）①；②的小数部分为；③；④；⑤．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个二、解答题9．求的值．解：设x=，两边平方得：，即，x2=10∴x=．∵＞0，∴=．请利用上述方法，求的值．10．先化简，再求值：，其中．11．观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题：例1：例2：，，…（1）=；（2）请你用含n(n为正整数)的关系式表示上述各式子的变形规律；（3）利用上面的规律，求下面式子的值：12．（1）已知，求，的值．（2）化简的结果是______．13．若实数x，y满足（x﹣）（y﹣）＝2016．（1）求x，y之间的数量关系；（2）求3x2﹣2y2+3x﹣3y﹣2017的值．14．阅读材料：材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式.例如：，我们称的一个有理化因式是的一个有理化因式是.材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化.例如：，请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题：(1)的有理化因式为______，的有理化因式为______.(均写出一个即可)(2)将下列各式分母有理化(要求写出变形过程)：①.②.(3)请从下列A，B两题中任选一题作答，我选择题.A计算：的结果为______.B计算：的结果为_____.15．阅读下列材料，然后回答问题，在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：＝＝

（1）以上这种化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：＝

（2）①请参照（1）（2）的方法用两种方法化简：方法一：＝方法二：＝②直接写出化简结果：＝＝③计算：++

+…++16．定义，求+…++…+的值.17．设，，求为何值时，代数式的值为2001.18．阅读下列两则材料，回答问题：材料一：我们将与称为一对“对偶式”因为，所以构造“对俩式”相乘可以有效地将和中的去掉.例如：已知，求的值．解：，材料二：如图，点，点，以AB为斜边作，则，于是，，所以.反之，可将代数式的值看作点到点的距离.例如：=．所以可将代数式的值看作点到点的距离．利用材料一，解关于x的方程：，其中；利用材料二，求代数式的最小值，并求出此时y与x的函数关系式，写出x的取值范围；将所得的y与x的函数关系式和x的取值范围代入中解出x，直接写出x的值．19．经研究发现：，由于30没有大于1的平方约数，因此为有理数的条件是正整数（其中t为正整数）．(1)若正整数a使得，则a的值为_________．(2)已知a、b、c是正整数，满足．当时，称为“三元数组”．①若为“三元数组”，且，则________；②若为“三元数组”，且，则________，________；③“三元数组”共有_________个．三、填空题20．计算，所得的结果是______.21．已知，是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对共有________对．22．已知，则=_______23．设表示最接近的整数(，为整数)，则的值为______.24．观察下列等式：第1个等式：，第个等式：，第个等式：，第个等式：，…按上述规律，计算___________．参考答案：1．D【详解】由（x-）（y-）=2008，可知将方程中的x,y对换位置，关系式不变，那么说明x=y是方程的一个解由此可以解得x=y=，或者x=y=-，则3x2-2y2+3x-3y-2007=1，故选D.2．C【详解】解：A．，不是最简二次根式；B．=2，不是最简二次根式；C．是最简二次根式；D．，不是最简二次根式；故选C．【点睛】本题考查了最简二次根式，在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．3．D【分析】利用完全平方公式化简即可.【详解】故选D【点睛】本题考查多重二次根式的化简，熟练掌握完全平方公式是解题关键.4．D【分析】利用完全平方公式可化简为，再利用二次根式的性质即可开方，再分别取k=1，2，3，4，…，n，并相加求得，取n=2016即可求得结果．【详解】．所以，故．所以．故选：D．【点睛】本题考查了分式的化简及运算、二次根式的性质，就中项的一般形式化简是本题的关键．5．C【分析】不妨设0＜a≤b≤c，利用作差法求出（＋）2－（）2的符号和三角形的三边关系即可判断（1）；利用举反例的方法即可判断（2）；假设≤≤，根据绝对值的性质：和三角形的三边关系，即可得出结论．【详解】解：的三边长为，，，不妨设0＜a≤b≤c，∴a＋b＞c，＜＜则（＋）2－（）2==∵∴＞0∴（＋）2＞（）2∴＋＞∴以，，为边长的三角形一定存在，故（1）正确；令a=2，b=3，c=4，此时a＋b＞c，符合条件此时＋=13，=16，∴＋＜∴以，，为边长的三角形不一定存在，故（2）错误；假设≤≤根据绝对值的性质：＋≥=∴＋＋2＞∴＋＞∴以，，为边长的三角形一定存在，故（3）正确．综上：正确的有2个故选C．【点睛】此题考查的是三角形的三边关系、二次根式的运算和绝对值的性质，掌握三角形的三边关系、二次根式的运算法则、利用举反例说明假命题和绝对值的性质是解决此题的关键．6．B【详解】由三角形三边关系得：2＜k＜4，，，所以原式等于，所以选B．7．C【分析】先化简，再代入方程x2+ax+b=0并整理，根据题意列出二元一次方程组并求解求得a和b的值，再代入计算即可．【详解】解：==1．∵方程x2+ax+b=0的一根是，∴++b=0．∴．∴．∵、是整数，∴解得∴==．故选：C．【点睛】本题考查二次根式的化简，一元二次方程的解，二元一次方程组的应用，正确构造二元一次方程组是解题关键．8．B【分析】根据定义找到的规律，再逐个判断即可．【详解】解：由题意得，，它的整数部分为2，小数部分为；，它的整数部分为4，小数部分为；，它的整数部分为5，小数部分为；，它的整数部分为7，小数部分为；，它的整数部分为8，小数部分为；，它的整数部分为10，小数部分为；∴n为奇数时，，它的整数部分为，小数部分为；n为偶数时，，它的整数部分为，小数部分为；∴①，正确；②的小数部分为，错误；③，正确；④，错误；⑤，正确；综上所述，正确的是①③⑤,共3个；故选：B．【点睛】本题考查的是数字类规律探究、估算无理数的大小，二次根式的混合运算，通过计算找到规律是解题的关键．9．【分析】根据题意给出的解法即可求出答案即可．【详解】设x=+，两边平方得：x2=（）2+（）2+2，即x2=4++4﹣+6，x2=14∴x=±．∵+＞0，∴x=．【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是正确理解题意给出的解法，本题属于中等题型．10．1【详解】分析：将括号内的部分通分后相减，再将除法转化为乘法后代入求值．解：原式=．当时，原式=．11．（1）；（2）；（3）-1【分析】（1）利用分母有理化求解；（2）按照所给等式的变化规律写出第n个等式即可；（3）先分母有理化，然后合并后利用平方差公式计算．【详解】解：（1）==.

故答案为：

（2）.（3）==-1【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可，在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质,选择恰当的解题途径,往往能事半功．12．（1）x=3或y=2；，；（2）【分析】（1）把等式右边展开和左边对比，据含根号的项相等和不含根号的项相等，列出关于x、y的方程组，解方程组即可．（2）变形，设运用（1）的方法求出x、y再进行化简即可【详解】解：（1），解得，，即，或者，．（2）因为，故设∴得解得，，∴==．【点睛】此题考查二次根式的化简，对于二重根号，其关键是要列方程组找到x、y，使得成立．13．（1）x=y；（2）-1.【分析】（1）将式子变形后，再分母有理化得①式：x﹣＝y+，同理得②式：x+＝y﹣，将两式相加可得结论；（2）将x=y代入①式得：x2=2016，再代入原式结合x2=2016，计算即可．【详解】解：（1）∵（x﹣）（y﹣）＝2016，∴x﹣＝＝＝y+①，同理得：x+＝y﹣②，①+②得：2x＝2y，∴x＝y，（2）把x＝y代入①得：x－＝x+，∴x2＝2016，则3x2－2y2+3x－3y－2017，＝3x2－2x2+3x－3x－2017，＝x2－2017，＝2016－2017，＝－1．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简,掌握分母有理化的方法是解题的关键.14．(1)；(2)①；②；(3)A：；B：.【分析】（1）乘以本身即可得有理数；乘以可得有理数，因此填，；（2）①中的分母乘以即可分母有理化；②中分子分母都乘以；（3）将每项分母有理化后进行加法计算即可【详解】解：(1)乘以本身即可得有理数；乘以可得有理数，因此填，；(2)①.②(3)A：=B：==故A填；B填【点睛】此题是阅读理解题，理解题意很重要，根据题意找到相应的分母有理化因式，才能将每个因式分母有理化.15．①方法一：＝＝

方法二：＝②；；③【分析】①根据材料运用的两种方法进行分母有理化即可；②根据材料运用的两种方法进行分母有理化即可；③先分母有理化，再根据式子的规律即可求解.【详解】①方法一：＝＝

方法二：＝②＝＝＝＝故答案为；③++

+…++【点睛】本题主要考查二次根式的分母有理化，分析材料，运用材料的方法是解题关键.16．5.【分析】将进行分母有理化，分子分母同时乘以可得，进而求得，，，则【详解】，，，，…，．．【点睛】本题以新定义型题形式考查了二次根式的运算，解本题的关键是通过分母有理化将简化，再代值得到，即可解题.17．t=2.【分析】将x，y部分进行分母有理化可得，原代数式进行整理可得：，代x，y值即可解题【详解】，，．由题知．则．或(舍去)．当时，代数式的值为2001．【点睛】本题考查了二次根式的运算，解一元二次方程，解本题的关键是通过对x，y进行分母有理化及对代数式用完全平方公式进行整理即可解题.18．（1）；（2）①，；②.【分析】根据理解材料一的内容进行解答，比对这题很容易解决．中把根式下的式子转化成平方平方的形式，转化成点到点的距离问题，根据两点之间距离最短，所以当三个点共线时距离最短，可以求出最小值和函数关系式中也根据材料二的内容来解答求出x的值．【详解】根据材料一；,，，,,解得：,；解：由材料二知：，，可将的值看作点到点的距离的值看作点到点的距离，∴，当代数式取最小值，即点与点，在同一条直线上，并且点位点的中间，的最小值=，且，设过，，的直线解析式为：，解得：，；中，，(ⅰ),又(ⅱ)由(ⅰ)得：，解得：舍，，的值为.【点睛】本题是材料阅读题，属于新定义题，理解新定义的内容是解题的关键.19．(1)120(2)①270；②，；③3【分析】（1）根据算术平方根的定义即可求解；（2）①由可得，即可解答；②设，（，为正整数而且），由可得，进行求解即可；③设，，（，，为正整数而且），可得，根据分子为1的分数和为1的分数的特点进行讨论求解．【详解】（1）解：∵，∴，∴，故答案为：；（2）①∵，∴，又∵，∴，∴，∴，故答案为：270，②∵，∴，∴，设，（，为正整数而且），∴，即，∵，∴，，∴，，∴，；故答案为：120，1080；③设，，（，，为正整数而且），∵，∴，∴，又∵∴，，当时，，此时，，当，∴，∴，当时，同②，，，；当时，，，，；综上所述：“三元数组”共有3个．故答案为：3.【点睛】本题主要考查了算术平方根的应用，理解题干所给的提示，将转化为几个分子为1的分数和为1的分数的式子求解是解题关键．20．2005【分析】先把“2005×2006×2007×2008+1=（20052+3×2005+1）2”化为完全平方的形式，再开平方，然后再来求值．【详解】∵2005×2006×2007×2008+1=2005×（2005+3）×（2005+1）（2005+2）+1=（20052+3×2005）×（20052+3×2005+2）+1=（20052+3×2005）2+2（20052+3×2005）+1=（20052+3×2005+1）2∴=20052+3×2005+1；∴-20062=20052+3×2005+1-20062=（2005+2006）（2005-2006）+3×2005+1=2005；故答案为2005．【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值．解答此题的难点是化“2005×2006×2007×2008+1”为完全平方的形式，并开平方，然后再利用平方差公式求出20052-20062=（2005+2006）（2005-2006）的值．21．7【分析】把2放在根号下，得出+，2()是整数，a、b的值进行讨论，使