期末复习综合测试题(3)-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册

必修第一册综合复习测试题三一．选择题（共8小题）1．已知全集为实数集，，，则A． B． C． D．2．设，则“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．若，则化简得A． B． C． D．4．若，，则下列不等式中必然成立的一个是A． B． C． D．5．若函数与在区间，上都是严格减函数，则实数的取值范围为A． B．，， C． D．，6．模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数的单位：天）的模型：其中为最大确诊病例数．当时，标志着已初步遏制疫情，则约为A．60 B．65 C．66 D．697．已知指数函数的图象经过点，，（1），，则A． B． C． D．8．已知函数，的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则的单调递减区间是A．，， B．，， C．，， D．，，二．多选题（共5小题）9．设集合，，则下列关系正确的是A． B． C． D．10．已知，，设，，则下列说法正确的是A．有最小值，最小值为1 B．有最大值，最大值为 C．没有最小值 D．有最大值，最大值为11．已知函数的图象关于直线对称，则A． B．函数的图象关于，中心对称 C．函数在，上单调递增 D．若，则的最小值为12．已知定义在上的函数满足，且当时，，则可作为方程实根的有A． B． C． D．三．填空题（共4小题）13．命题：，的否定是．14．若函数，的图象恒过定点，则点的坐标为；若点在角的终边上，则．15．已知函数的图象向左平移个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到的图象，函数在区间，上的最大值是．16．已知函数，若函数有四个零点，则实数的取值范围是．四．解答题（共6小题）17．已知是第四象限角，且，计算：（1）；（2）．18．已知函数．（1）求的值及函数的最小正周期；（2）求在区间上的最值及对应的值．19．已知函数．（1）求的值及函数的单调增区间；（2）若，，不等式恒成立，求实数的取值集合．20．已知某工厂生产机器设备的年固定成本为200万元，每生产1台还需另投入20万元，设该公司一年内共生产该机器设备台并全部销售完，每台机器设备销售的收入为万元，且．（1）求年利润（万元）关于年产量（台的函数解析式；（2）当年产量为多少台时，该工厂生产所获得的年利润最大？并求出最大年利润．21．已知．（1）若对任意的，恒成立，求的取值范围；（2）试判断在，上的零点个数．22．已知函数是偶函数（其中为自然对数的底数，．（1）求的值；（2）若方程在区间，上有实数根，求实数的取值范围．

参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．已知全集为实数集，，，则A． B． C． D．【分析】可求出集合，然后进行补集和交集的运算即可．【解答】解：，，，．故选：．【点评】本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2．设，则“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】解不等式，根据集合的包含关系判断即可．【解答】解：，，故是的充分不必要条件，故选：．【点评】本题考查了集合的包含关系，考查充分必要条件，是一道基础题．3．若，则化简得A． B． C． D．【分析】利用有理数指数幂的运算性质求解．【解答】解：，．故选：．【点评】本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，是基础题．4．若，，则下列不等式中必然成立的一个是A． B． C． D．【分析】根据题意取特殊值即可判断，利用不等式的基本性质即可判断．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于，若，，，，满足，，但不满足，错误，对于，若，，，，满足，，但不满足，错误，对于，若，则，又由，则，正确，对于，若，，，，满足，，但不满足，错误，故选：．【点评】本题考查了不等式的性质，属于基础题．5．若函数与在区间，上都是严格减函数，则实数的取值范围为A． B．，， C． D．，【分析】结合函数图象的变换及反比例函数与一次函数性质可求．【解答】解：因为与在区间，上都是严格减函数，所以，故．故选：．【点评】本题主要考查了基本初等函数单调性的应用，属于基础题．6．模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数的单位：天）的模型：其中为最大确诊病例数．当时，标志着已初步遏制疫情，则约为A．60 B．65 C．66 D．69【分析】由已知可得方程，解出即可．【解答】解：由已知可得，解得，两边取对数有，解得，故选：．【点评】本题考查函数模型的实际应用，考查学生计算能力，是基础题．7．已知指数函数的图象经过点，，（1），，则A． B． C． D．【分析】设，利用待定系数法进行求的解析，然后判断，，的大小关系．【解答】解：设，的图象经过点，（3），则，即．（1），，，，，故选：．【点评】本题主要考查指数函数解析式和单调性，利用待定系数法求出函数的解析式是解决本题的关键，属基础题．8．已知函数，的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则的单调递减区间是A．，， B．，， C．，， D．，，【分析】由题意可得，第一个交点与第三个交点的差是一个周期；第一个交点与第二个交点的中点的横坐标对应的函数值是最大值．从这两个方面考虑可求得参数、的值，进而利用三角函数的单调性求区间．【解答】解：与直线的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8知函数的周期为，得，再由五点法作图可得，求得，函数，令，，解得：，，即，，故选：．【点评】本题主要考查三角函数的单调性的求解，根据条件求出函数的周期是解决本题的关键，属于中档题．二．多选题（共5小题）9．设集合，，则下列关系正确的是A． B． C． D．【分析】由指数函数的性质求出函数的值域即集合，由对数函数的性质即真数大于0，解一元二次不等式得到集合，判断两个集合的关系，结合选项可得正确答案．【解答】解：集合，集合，，，即，故选：．【点评】本题考查了集合间的关系，以及指数函数和对数函数的性质，属于基础题．10．已知，，设，，则下列说法正确的是A．有最小值，最小值为1 B．有最大值，最大值为 C．没有最小值 D．有最大值，最大值为【分析】由已知结合基本不等式及不等式的性质分别求解，的取值范围，进而可求判断．【解答】解：，当且仅当时取等号，故，即的最大值为，错误，正确；，则，即没有最小值，有最大值．故选：．【点评】本题主要考查了基本不等式及不等式的性质的简单应用，解题的关键是不等式性质的熟练应用．11．已知函数的图象关于直线对称，则A． B．函数的图象关于，中心对称 C．函数在，上单调递增 D．若，则的最小值为【分析】由题意利用正弦函数的图象和性质，得出结论．【解答】解：函数的图象关于直线对称，，，，函数．故有，故错误；令，求得，可得函数的图象关于，中心对称，故正确；当，，，函数没有单调性，故错误；若，则和中，一个最大，另一个最小，的最小值，故正确，故选：．【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．12．已知定义在上的函数满足，且当时，，则可作为方程实根的有A． B． C． D．【分析】由已知求得函数解析式，得到，进一步写出分段函数，求解方程得答案．【解答】解：，为定义在上的奇函数，当时，，设，则，得，即．，则，令，当时，解得或或．故选：．【点评】本题考查函数的奇偶性的应用，考查函数与方程思想，考查逻辑思维能力与运算求解能力，是中档题．三．填空题（共4小题）13．命题：，的否定是，．【分析】利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，的否定是：，．故答案为：，．【点评】本题考查特称命题与全称命题的否定关系，考查基本知识的应用．14．若函数，的图象恒过定点，则点的坐标为；若点在角的终边上，则．【分析】令幂指数等于零，求得、的值，可得它的图象经过定点的坐标，再根据三角形函数的定义即可求出．【解答】解：对于函数，，令，求得，，可得它的的图象恒过定点，点在角的终边上，，，故答案为：，4．【点评】本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，还考查了任意角的三角函数，属于基础题15．已知函数的图象向左平移个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到的图象，函数在区间，上的最大值是．【分析】由题意利用三角恒等变换化简的解析式，再利用函数的图象变换规律，得到的解析式，再根据正弦函数的定义域和值域，求得在区间，上的最大值．【解答】解：函数，把的图象向左平移个单位长度，得到的图象，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到的图象．当，，，，故当时，取得最大值为，故答案为：．【点评】本题主要考查三角恒等变换，函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于中档题．16．已知函数，若函数有四个零点，则实数的取值范围是．【分析】对分段函数进行分类讨论，分别研究当时，函数和的交点个数，然后再研究当时，与有两个交点，利用数形结合的方法进行分析求解，即可得到答案．【解答】解：若函数有四个零点，需和有四个交点，当时，作出函数和的图象如下图所示，直线恒过定点，设于相切于点，，则，，由，得，所以，解得，即当时，函数与有两个交点，当时，若与有两个交点，需有两个不相等的实根，当时，无解；当时，，由对勾函数图象可得，当，即时，与有两个交点，故与有两个交点，综上可得，当时，函数有四个零点．故答案为：．【点评】本题考查了函数的零点与方程根的关系，涉及了分段函数的应用、对数函数的图象和性质、曲线的切线方程的应用，对于分段函数的问题，解题的方法一般是分类讨论和数形结合四．解答题（共6小题）17．已知是第四象限角，且，计算：（1）；（2）．【分析】又已知利用同角三角函数基本关系式化简可得，的值，（1）利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简即可求解；（2）利用诱导公式化简即可代入求解；【解答】解：是第四象限角，且，可得，可得，，（1）；（2）．【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18．已知函数．（1）求的值及函数的最小正周期；（2）求在区间上的最值及对应的值．【分析】（1）利用二倍角公式，两角和的正弦公式化简函数解析式可得，利用特殊角的三角函数值可得解的值，利用正弦函数的周期公式即可求解的最小正周期．（2）由已知可求范围，利用正弦函数的性质即可求解．【解答】解：（1）因为，所以，的最小正周期为．（2）因为，可得，所以，，当，即时，取得最小值为，当，即时，取得最大值为1．【点评】本题主要考查了二倍角公式，两角和的正弦公式，特殊角的三角函数值，以及正弦函数的性质，考查了函数思想，属于基础题．19．已知函数．（1）求的值及函数的单调增区间；（2）若，，不等式恒成立，求实数的取值集合．【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式，代入计算可求的值，结合正弦函数的单调性列出不等式解出单调区间；（2）求出在，上的值域，根据题意列出不等式组即可解出的范围．【解答】解：（1），，令，解得，．的单调递增区间是，，．（2），，可得，，当时，取得最大值1，当时，取得最小值．恒成立，，解得．实数的取值范围是，．【点评】本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的单调性，三角函数的值域，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．20．已知某工厂生产机器设备的年固定成本为200万元，每生产1台还需另投入20万元，设该公司一年内共生产该机器设备台并全部销售完，每台机器设备销售的收入为万元，且．（1）求年利润（万元）关于年产量（台的函数解析式；（2）当年产量为多少台时，该工厂生产所获得的年利润最大？并求出最大年利润．【分析】（1）由分段写出函数解析式；（2）分类利用函数的单调性及换元法、配方法求最值，取最大值中的最大者得结论．【解答】解：（1）当时，；当时，．；（2）①当时，在，上为增函数，当时，（万元）；②当时，，令，，当，即时，（万元）．综上，当年产量为49台时，获得的年利润最大，最大为1780万元．【点评】本题考查函数模型的选择及应用，训练了利用换元法及配方法求最值，考查运算求解能力，是中档题．21．已知．（1）若对任意的，恒成立，求的取值范围；（2）试判断在，上的零点个数．【分析】（1）将看成自变量，得到关于为自变量的一次函数，根据一次函数在指定区间的端点处取得最小值，由此构造出关于的不等式组，求解即可；（2）分离参数，利用对勾函数的单调性研究函数的单调性、最值情况，据此构造出的不等式组，求解．【解答】解：（1）原函数式可化为（a），．由题意可得，即，解得，故的取值范围是，或．（2）令得，因为，故，，令，由对勾函数的性质可知，函数在上单调递减，在上单调递增，且，，（4）．故当时，函数只有一个零点；当时，原函数有两个零点；当或