教学课件-复变函数

第一节复数及其代数运算一、复数的概念二、复数的代数运算三、小结与思考作业要求：作业统一用A4

纸做；每章讲完后交作业，一共有六章，请大家认真、独立、按时地完成；请在每张作业纸的上方写好姓名和班级；2作业不要求抄写题目，但是要写明题号。第一章作业：1,3,4,7,10,11,15,16,18,19,21,233一、复数的概念1.虚数单位:对虚数单位的规定:4虚数单位的特性:……52.复数:6例1解令7

两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等.

复数z等于0当且仅当它的实部和虚部同时等于0.说明两个数如果都是实数,可以比较它们的大小,如果不全是实数,就不能比较大小,也就是说,复数不能比较大小.8二、复数的代数运算1.两复数的和:2.两复数的积:3.两复数的商:94.共轭复数:

实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数.例2解105.共轭复数的性质:以上各式证明略.11例3解12例4解13例5解14例6解15例7证16三、小结与思考

本课学习了复数的有关概念、性质及其运算.重点掌握复数的运算,它是本节课的重点.思考题复数为什么不能比较大小？17思考题答案由此可见,在复数中无法定义大小关系.放映结束，按Esc退出.第二节复数的几何表示一、复平面二、复球面三、小结与思考19一、复平面1.复平面的定义202.复数的模(或绝对值)显然下列各式成立213.复数的辐角说明辐角不确定.22辐角主值的定义:234.利用平行四边形法求复数的和差两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致.245.复数和差的模的性质25利用直角坐标与极坐标的关系复数可以表示成复数的三角表示式再利用欧拉公式复数可以表示成复数的指数表示式欧拉介绍6.复数的三角表示和指数表示26例1将下列复数化为三角表示式与指数表示式:解故三角表示式为27指数表示式为故三角表示式为指数表示式为28故三角表示式为指数表示式为29例2解(三角式)(指数式)30例3解31例4证32两边同时开方得33例5证34两边平方,并化简得下面例子表明,很多平面图形能用复数形式的方程(或不等式)来表示;也可以由给定的复数形式的方程(或不等式)来确定它所表示的平面图形.35例6解所以它的复数形式的参数方程为3637例7证38两边同时平方,39例8求下列方程所表示的曲线:解40化简后得41二、复球面1.球面与复平面的对应42球面上的点,除去北极N外,与复平面内的点之间存在着一一对应的关系.我们可以用球面上的点来表示复数.我们规定:复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应,记作.因而球面上的北极N就是复数无穷大的几何表示.球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应,这样的球面称为复球面.2.复球面的定义433.扩充复平面的定义包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面.不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面,或简称复平面.对于复数

来说,实部,虚部,辐角等概念均无意义,它的模规定为正无穷大.复球面的优越处:能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来.4445三、小结与思考学习的主要内容有复数的模、辐角;复数的各种表示法.并且介绍了复平面、复球面和扩充复平面.注意：为了用球面上的点来表示复数，引入了无穷远点．无穷远点与无穷大这个复数相对应,所谓无穷大是指模为正无穷大（辐角无意义）的唯一的一个复数，不要与实数中的无穷大或正、负无穷大混为一谈．46思考题是否任意复数都有辐角?思考题答案否.它的模为零而辐角不确定.资料下载邮箱：账户：scutfbhs@163.com密码：scut201347LeonhardEulerBorn:15April1707inBasel,Switzerland

Died:18Sept1783inStPetersburg,Russia欧拉资料第三节复数的乘幂与方根一、乘积与商二、幂与根三、小结与思考49一、乘积与商定理一

两个复数乘积的模等于它们的模的乘积;两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.证50两复数相乘就是把模数相乘,辐角相加.从几何上看,两复数对应的向量分别为[证毕]51说明由于辐角的多值性,两端都是无穷多个数构成的两个数集.对于左端的任一值,右端必有值与它相对应.例如，52由此可将结论推广到n

个复数相乘的情况:53定理二

两个复数的商的模等于它们的模的商;两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.证按照商的定义,[证毕]54例1解55例2解如图所示,5657二、幂与根1.n次幂:58棣莫佛公式棣莫佛介绍推导过程如下:2.棣莫佛公式59根据棣莫佛公式,60当k以其他整数值代入时,这些根又重复出现.61从几何上看,62例3解6364例4解65即66例5解即6768例6解故原方程可写成69故原方程的根为70例7证利用复数相等可知:71等式得证.72三、小结与思考

应熟练掌握复数乘积与商的运算.在各种形式中以三角形式、指数形式最为方便:

棣莫佛(deMoivre)公式放映结束，按Esc退出.73AbrahamdeMoivre棣莫佛资料Born:26May1667inVitry(nearParis),France

Died:27Nov1754inLondon,England第四节区域一、区域的概念二、单连通域与多连通域三、典型例题四、小结与思考75一、区域的概念1.邻域:说明762.去心邻域:说明773.内点:4.开集:

如果G内每一点都是它的内点,那末G称为开集.785.区域:

如果平面点集D满足以下两个条件,则称它为一个区域.(1)D是一个开集；(2)D是连通的,就是说D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连结起来.6.边界点、边界:

设D是复平面内的一个区域,如果点P不属于D,但在P

的任意小的邻域内总有D中的点,这样的P点我们称为D的边界点.79D的所有边界点组成D的边界.说明(1)区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的.(2)区域D与它的边界一起构成闭区域80以上基本概念的图示区域邻域边界点边界7.有界区域和无界区域:81(1)圆环域:课堂练习判断下列区域是否有界?(2)上半平面:(3)角形域:(4)带形域:答案(1)有界;(2)(3)(4)无界.82二、单连通域与多连通域1.连续曲线:平面曲线的复数表示:832.光滑曲线:

由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为按段光滑曲线.843.简单曲线:

没有重点的曲线C称为简单曲线(或若尔当曲线).85换句话说,简单曲线自身不相交.简单闭曲线的性质:

任意一条简单闭曲线C将复平面唯一地分成三个互不相交的点集.内部外部边界86课堂练习判断下列曲线是否为简单曲线?答案简单闭简单不闭不简单闭不简单不闭874.单连通域与多连通域的定义:

复平面上的一个区域B,如果在其中任作一条简单闭曲线,而曲线的内部总属于B,就称为单连通域.一个区域如果不是单连通域,就称为多连通域.单连通域多连通域88三、典型例题例1

指明下列不等式所确定的区域,是有界的还是无界的,单连通的还是多连通的.解无界的单连通域(如图).89是角形域,无界的单连通域(如图).无界的多连通域.90表示到1,–1的距离之和为定值4的点的轨迹,是椭圆,有界的单连通域.91例2解

满足下列条件的点集是什么,如果是区域,指出是单连通域还是多连通域?是一条平行于实轴的直线,不是区域.单连通域.92是多连通域.不是区域.9394单连通域.95四、小结与思考应理解区域的有关概念:邻域、去心邻域、内点、开集、边界点、边界、区域、有界区域、无界区域理解单连通域与多连通域.放映结束，按Esc退出.第五节复变函数一、复变函数的定义二、映射的概念三、典型例题四、小结与思考9697一、复变函数的定义1.复变函数的定义:982.复变函数与自变量之间的关系:例如,99二、映射的概念(函数的几何理解)1.引入:1002.映射的定义:101今后不再区别函数与映射.1023.两个特殊的映射:103且是全同图形.104105根据复数的乘法公式可知,106(如下页图)107

将第一图中两块阴影部分映射成第二图中同一个长方形.108以原点为焦点,开口向左的抛物线.(图中红色曲线)以原点为焦点,开口向右的抛物线.(图中蓝色曲线)1094.反函数的定义:110解三、典型例题例1还是线段.111例1解112例1解仍是扇形域.113例2解114所以象的参数方程为115四、小结与思考

复变函数以及映射的概念是本章的一个重点.注意：复变函数与一元实变函数的定义完全一样,只要将后者定义中的“实数”换为“复数”即可.115思考题函数、映射、变换等名词有无区别？答

在复变函数中,对“函数”、“映射”、“变换”等名词的使用,没有本质上的区别.只是函数一般是就数的对应而言,而映射与变换一般是就点的对应而言的.第六节复变函数的极限

和连续性一、函数的极限二、函数的连续性三、小结与思考117一、函数的极限1.函数极限的定义:注意:1182.极限计算的定理定理一证根据极限的定义(1)必要性.119(2)充分性.120[证毕]说明121定理二与实变函数的极限运算法则类似.122例1证(一)123根据定理一可知,证(二)124125例2证126根据定理一可知,127二、函数的连续性1.连续的定义:128定理三例如,129定理四130特殊的:(1)有理整函数(多项式)(2)有理分式函数在复平面内使分母不为零的点也是连续的.131例3证132三、小结与思考

通过本课的学习,熟悉复变函数的极限、连续性的运算法则与性质.

注意:复变函数极限的定义与一元实变函数极限的定义虽然在形式上相同,但在实质上有很大的差异,它较之后者的要求苛刻得多.133思考题思考题答案没有关系.极限值都是相同的.第一节解析函数的概念一、复变函数的导数与微分二、解析函数的概念三、小结与思考135一、复变函数的导数1.导数的定义:136在定义中应注意:

易见：函数f(z)在z0处可导则在z0处一定连续,但函数f(z)在z0处连续不一定在z0处可导.137例1解138例2解1391402.求导法则:

由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致,并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样,因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来,且证明方法也是相同的.求导公式与法则:141142二、解析函数的概念1.解析函数的定义1432.奇点的定义根据定义可知:函数在区域内解析与在区域内可导是等价的.但是,函数在一点处解析与在一点处可导是不等价的概念.即函数在一点处可导,不一定在该点处解析.函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高得多.144例3解由本节例1知:145146147例4解148定理以上定理的证明,可利用求导法则.149根据定理可知:(1)所有多项式在复平面内是处处解析的.150三、小结与思考

理解复变函数导数与微分以及解析函数的概念;掌握连续、可导、解析之间的关系以及求导方法.

注意:复变函数的导数定义与一元实变函数的导数定义在形式上完全一样,它们的一些求导公式与求导法则也一样,然而复变函数极限存在要求与z趋于零的方式无关,这表明它在一点可导的条件比实变函数严格得多.151思考题思考题答案反之不对.152第二章作业：P332，4，7，1012，14，16，18第二节函数解析的充要条件一、主要定理二、典型例题三、小结与思考154一、主要定理定理一155证(1)必要性.156157(2)充分性.由于158159160[证毕]161162解析函数的判定方法:163二、典型例题例1判定下列函数在何处可导,在何处解析:解不满足柯西－黎曼方程,164四个偏导数均连续指数函数165四个偏导数均连续166例2证167168例3解169课堂练习答案170例4证171参照以上例题可进一步证明:172三、小结与思考

在本课中我们得到了一个重要结论—函数解析的充要条件:掌握并能灵活应用柯西—黎曼方程.173思考题思考题答案174Augustin-LouisCauchyBorn:21Aug1789inParis,France

Died:23May1857inSceaux(nearParis),France柯西资料175Riemann黎曼资料Born:17Sept1826inBreselenz,Hanover(nowGermany)

Died:20July1866inSelasca,Italy第三节初等函数一、指数函数二、对数函数三、乘幂

ab与幂函数四、三角函数和双曲函数五、反三角函数和反双曲函数六、小结与思考177一、指数函数1.指数函数的定义:178指数函数的定义等价于关系式:1792.加法定理证180181例1解182例2解求的辐角主值:183二、对数函数(多值函数)1.定义184其余各值为特殊地,185例3解注意:在实变函数中,负数无对数,而复变数对数函数是实变数对数函数的拓广.186例4解1872.性质188证(3)[证毕]189三、乘幂与幂函数1.乘幂的定义注意:190191特殊情况:192193例5解答案课堂练习1942.幂函数的解析性它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的,195它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的,196四、三角函数和双曲函数1.三角函数的定义将两式相加与相减,得现在把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变数取复值的情况.197198有关正弦函数和余弦函数的几组重要公式正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数.199(注意：这是与实变函数完全不同的)200其他复变数三角函数的定义201例6解2022.双曲函数的定义203它们的导数分别为并有如下公式:它们都是以为周期的周期函数,204例7解205五、反三角函数和反双曲函数1.反三角函数的定义两端取对数得206

同样可以定义反正弦函数和反正切函数,重复以上步骤,可以得到它们的表达式:2.反双曲函数的定义207例8解208六、小结与思考

复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围内的自然推广,它既保持了后者的某些基本性质,又有一些与后者不同的特性.如:1.指数函数具有周期性2.负数无对数的结论不再成立3.三角正弦与余弦不再具有有界性4.双曲正弦与余弦都是周期函数209思考题

实变三角函数与复变三角函数在性质上有哪些异同?答

两者在函数的奇偶性、周期性、可导性上是类似的,而且导数的形式、加法定理、正余弦函数的平方和等公式也有相同的形式.

最大的区别是,实变三角函数中,正余弦函数都是有界函数,但在复变三角函数中,第一节复变函数积分的概念一、积分的定义二、积分存在的条件及其计算法三、积分的性质四、小结与思考211一、积分的定义1.有向曲线:

设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线,如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向),那么我们就把C理解为带有方向的曲线,称为有向曲线.如果A到B作为曲线C的正向,那么B到A就是曲线C的负向,212简单闭曲线正向的定义:

简单闭曲线C的正向是指当曲线上的点P顺此方向前进时,邻近P点的曲线的内部始终位于P点的左方.与之相反的方向就是曲线的负方向.关于曲线方向的说明:

在今后的讨论中,常把两个端点中的一个作为起点,另一个作为终点,除特殊声明外,正方向总是指从起点到终点的方向.2132.积分的定义:214(215关于定义的说明:216二、积分存在的条件及其计算法1.存在的条件记住如下重要公式217在形式上可以看成是公式218在今后讨论的积分中,总假定被积函数是连续的,曲线C是按段光滑的.2.积分的计算法219例1解(1)积分路径的参数方程为y=x220(2)积分路径的参数方程为y=x221y=x(3)积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数方程为1到1+i直线段的参数方程为222例2解积分路径的参数方程为223例3解积分路径的参数方程为224重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.记住！225三、积分的性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质.估值不等式226性质(4)的证明两端取极限得[证毕]227例4解根据估值不等式知228229四、小结与思考

本课我们学习了积分的定义、存在条件以及计算和性质.应注意复变函数的积分有跟微积分学中的线积分完全相似的性质.本课中重点掌握复积分的一般方法.第三章作业：P542，4，5(4)，6(1),(3),(5),(7)，7(3)，9，10，11230思考题231思考题答案即为一元实函数的定积分.放映结束，按Esc退出.第二节柯西－古萨基本定理一、问题的提出二、基本定理三、典型例题四、小结与思考233例

解直线方程为一、问题的提出234此时积分与路线无关.观察上节例1,积分与路线有关。由以上讨论可知,积分是否与路线有关,可能决定于被积函数的解析性.235二、基本定理柯西－古萨基本定理此定理也称为柯西积分定理.236三、典型例题例1解根据柯西－古萨定理,有237例2证由柯西－古萨定理,238由柯西－古萨定理,由上节例3可知,？239例3解根据柯西－古萨定理得240241四、小结与思考通过本课学习,重点掌握柯西－古萨基本定理:并会利用该定理去计算一些较为复杂的积分.242最后一点注记柯西-古萨定理不能反过来用.放映结束，按Esc退出.243Augustin-LouisCauchyBorn:21Aug1789inParis,France

Died:23May1857inSceaux(nearParis),France柯西资料244GoursatBorn:21May1858inLanzac,Lot,France

Died:25Nov1936inParis,France古萨资料第三节基本定理的推广一、问题的提出二、复合闭路定理三、典型例题复合闭路定理四、小结与思考246一、问题的提出根据本章第一节例4可知,由此希望将基本定理推广到多连域中.247二、复合闭路定理248三、典型例题例1解依题意知,249根据复合闭路定理,250例2解圆环域的边界构成一条复合闭路,根据闭路复合定理,251例3解252由复合闭路定理,此结论非常重要,用起来很方便,因为不必是圆,a也不必是圆的圆心,只要a在简单闭曲线内即可.253例4解由上例可知254四、小结与思考本课所讲述的复合闭路定理与闭路变形原理是复积分中的重要定理,掌握并能灵活应用它是本章的难点.常用结论:255思考题复合闭路定理在积分计算中有什么用?要注意什么问题?思考题答案利用复合闭路定理是计算沿闭曲线积分的最主要方法.使用复合闭路定理时,要注意曲线的方向.第四节原函数与不定积分一、主要定理和定义二、典型例题三、小结与思考257一、主要定理和定义定理一由定理一可知:解析函数在单连通域内的积分只与起点和终点有关,(如下页图)1.两个主要定理:258259定理二证利用导数的定义来证.260由于积分与路线无关,261262由积分的估值性质,263此定理与微积分学中的对变上限积分的求导定理完全类似.[证毕]2642.原函数的定义:原函数之间的关系:证265那末它就有无穷多个原函数,根据以上讨论可知:[证毕]2663.不定积分的定义:定理三(类似于牛顿-莱布尼兹公式)267证根据柯西-古萨基本定理,[证毕]说明:有了以上定理,复变函数的积分就可以用跟微积分学中类似的方法去计算.268二、典型例题例1解由牛顿-莱布尼兹公式知,269例2解(使用了微积分学中的“凑微分”法)270例3解由牛顿-莱布尼兹公式知,271例3另解此方法使用了微积分中“分部积分法”272例4解利用分部积分法可得课堂练习答案273例5解274例6解所以积分与路线无关,根据牛—莱公式:275三、小结与思考本课介绍了原函数、不定积分的定义以及牛顿—莱布尼兹公式.在学习中应注意与《高等数学》中相关内容相结合,更好的理解本课内容.276思考题解析函数在单连通域内积分的牛顿–莱布尼兹公式与实函数定积分的牛顿–莱布尼兹公式有何异同?277思考题答案两者的提法和结果是类似的.两者对函数的要求差异很大.放映结束，按Esc退出.第五节柯西积分公式一、柯西积分公式二、典型例题三、小结279一、柯西积分公式定理280关于柯西积分公式的说明:(1)把函数在C内部任一点的值用它在边界上的值表示.(这是解析函数的又一特征)(2)公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法,而且给出了解析函数的一个积分表达式.(这是研究解析函数的有力工具)(3)一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.281二、典型例题例1解282283例2解由柯西积分公式284例3解由柯西积分公式285例４解根据柯西积分公式知,286例5解287例5解288由闭路复合定理,得例5解289课堂练习答案290三、小结柯西积分公式是复积分计算中的重要公式,它的证明基于柯西–古萨基本定理,它的重要性在于:一个解析函数在区域内部的值可以用它在边界上的值通过积分表示,而这个可以作为研究解析函数的重要工具.柯西积分公式:第六节高阶导数一、问题的提出二、主要定理三、典型例题四、小结与思考292一、问题的提出问题:(1)解析函数是否有高阶导数?(2)若有高阶导数,其定义和求法是否与实变函数相同?回答:(1)解析函数有各高阶导数.(2)高阶导数的值可以用函数在边界上的值通过积分来表示,这与实变函数完全不同.解析函数高阶导数的定义是什么?293二、主要定理注记：该定理说明解析函数具有各阶导数.应用：不在于通过积分来求导,而在于通过求导来求积分.294三、典型例题例1解(1)295296根据复合闭路定理297298课堂练习答案299例4解300根据复合闭路定理和高阶导数公式,301302例5(Morera定理)证依题意可知303参照本章第3节定理3,可证明因为解析函数的导数仍为解析函数,304四、小结与思考高阶导数公式是复积分的重要公式.它表明了解析函数的导数仍然是解析函数这一异常重要的结论,同时表明了解析函数与实变函数的本质区别.高阶导数公式305思考题解析函数的高阶导数公式说明解析函数的导数与实函数的导数有何不同?思考题答案这一点与实变量函数有本质的区别.一、复数列的极限二、级数的概念第一节复数项级数三、典型例题四、小结与思考307一、复数列的极限1.定义记作3082.复数列收敛的条件：定理一定理一说明:可将复数列的敛散性转化为判别两个实数列的敛散性.309课堂练习:下列数列是否收敛?如果收敛,求出其极限.310二、级数的概念1.定义表达式称为复数项无穷级数.其最前面n

项的和称为级数的部分和.部分和311收敛与发散说明:与实数项级数相同,判别复数项级数敛散性的基本方法是:3123132.复数项级数收敛的条件定理二说明

复数项级数的审敛问题实数项级数的审敛问题(定理二)314解所以原级数发散.课堂练习315必要条件重要结论:316不满足必要条件,所以原级数发散.启示:判别级数的敛散性时,可先考察?级数发散;应进一步判断.3173.绝对收敛与条件收敛注意应用正项级数的审敛法则判定.定理三318非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数.如果

收敛,那末称级数

为绝对收敛.定义319下列数列是否收敛,如果收敛,求出其极限.而解

三、典型例题例1320解

所以数列发散.321例2解级数满足必要条件,但322例3故原级数收敛,且为绝对收敛.因为所以由正项级数的比值判别法知:解323故原级数收敛.所以原级数非绝对收敛.例4解324四、小结与思考通过本课的学习,应了解复数列的极限概念;熟悉复数列收敛及复数项级数收敛与绝对收敛的充要条件;理解复数项级数收敛、发散、绝对收敛与条件收敛的概念与性质.第二节幂级数一、幂级数的概念二、幂级数的敛散性三、幂级数的运算和性质四、典型例题五、小结与思考326或这种级数称为幂级数.一、幂级数的概念327二、幂级数的敛散性1.收敛定理(阿贝尔Abel定理)如果级数在收敛,那末对的级数必绝对收敛,如果在级数发散,那末对满足的级数必发散.满足阿贝尔介绍328证由收敛的必要条件,有因而存在正数M,使对所有的n,329而由正项级数的比较判别法知:收敛.[证毕]3302.收敛圆与收敛半径对于一个幂级数,其收敛半径的情况有三种:(1)对所有的正实数都收敛.由阿贝尔定理知:级数在复平面内处处绝对收敛.331例如,级数对任意固定的z,从某个n开始,总有于是有故该级数对任意的z均收敛.332(2)对所有的正实数除z=0外都发散.此时,级数在复平面内除原点外处处发散.(3)既存在使级数发散的正实数,也存在使级数收敛的正实数.例如,级数通项不趋于零,如图:故级数发散.333..收敛圆收敛半径幂级数的收敛范围是以原点为中心的圆域.334答案:

幂级数的收敛范围是何区域?问题1:

在收敛圆周上是收敛还是发散,不能作出一般的结论,要对具体级数进行具体分析.注意问题2:幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?335例如,级数:收敛圆周上无收敛点;在收敛圆周上处处收敛.3363.收敛半径的求法方法1:比值法(定理二):那末收敛半径注意:存在且不为零.定理中极限337如果:即注意:存在且不为零.定理中极限(极限不存在),即338答案课堂练习试求幂级数的收敛半径.339方法2:根值法(定理三)那末收敛半径说明:(与比值法相同)如果340三、幂级数的运算和性质1.幂级数的有理运算341定理四设幂级数的收敛半径为那末(2)在收敛圆内的导数可将其幂级数逐项求导得到,是收敛圆内的解析函数

.(1)2.复变幂级数在收敛圆内的性质342(3)在收敛圆内可以逐项积分,简言之:在收敛圆内,幂级数的和函数解析;幂级数可逐项求导,逐项积分.(常用于求和函数)即343四、典型例题例1

求幂级数的收敛范围与和函数.解级数的部分和为344级数收敛,级数发散.且有收敛范围为一单位圆域由阿贝尔定理知:在此圆域内,级数绝对收敛,收敛半径为1,345例2求下列幂级数的收敛半径:(1)(并讨论在收敛圆周上的情形)(2)(并讨论时的情形)或解(1)因为346所以收敛半径即原级数在圆内收敛,在圆外发散,收敛的级数所以原级数在收敛圆上是处处收敛的.在圆周上,级数347说明：在收敛圆周上既有级数的收敛点,也有级数的发散点.原级数成为交错级数,收敛.发散.原级数成为调和级数，(2)348例3求级数的收敛半径与和函数.解利用逐项积分,得:所以349五、小结与思考

这节课我们学习了幂级数的概念和阿贝尔定理等内容，应掌握幂级数收敛半径的求法和幂级数的运算性质.350阿贝尔资料Born:5Aug1802inFrindoe(nearStavanger),Norway

Died:6April1829inFroland,NorwayNielsAbel第三节泰勒级数一、泰勒定理二、将函数展开成泰勒级数三、典型例题四、小结与思考五、泰勒级数的应用一、泰勒定理352其中这个级数称为泰勒级数，系数称为泰勒系数利用柯西积分公式证明（略）那末即因此,任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数,因而展开式是唯一的.问题1：展开式是否唯一？354问题2：“附近”到底是怎样一个范围？355问题3：从形式上看复变函数展开为泰勒级数的条件要比实函数时弱得多，为什么？复变函数的连续性和解析性要比实函数的连续性和可导性强很多！356所以复变函数展为泰勒级数的实用范围就要比实变函数广阔的多.注意因为解析，可以保证无限次可各阶导数的连续性;二、将函数展开成泰勒级数357常用方法:

直接法和间接法.1.直接法:由泰勒展开定理计算系数358例如，故有359仿照上例,3602.间接展开法:

借助于一些已知函数的展开式,结合解析函数的性质,幂级数运算性质(逐项求导,积分等)和其它数学技巧(代换等),求函数的泰勒展开式.间接法的优点:

不需要求各阶导数与收敛半径,因而比直接展开更为简洁,使用范围也更为广泛.361例如，362附:常见函数的泰勒展开式363三、典型例题364例1解365上式两边逐项求导,366例2分析如图,367即

将展开式两端沿C逐项积分,得解368例3

解369例4解370例5解四、小结与思考371理解泰勒展开定理熟记五个基本函数的泰勒展开式掌握将函数展开成泰勒级数的方法，熟练准确奇、偶函数的泰勒级数有什么特点?思考题奇函数的泰勒级数只含z的奇次幂项,偶函数的泰勒级数只含z的偶次幂项.思考题答案补充：泰勒级数的应用3721.解析函数零点的孤立性373补充：泰勒级数的应用3742.解析函数的唯一性定理3.解析函数的最大模原理3752，4(2)(4)，7(1)(3)(5)，1011(2)(4)(6)(8)，12(2)(4)(6)，16(1)(4)(7)，1718(3)(5)(7)，19(2)，21第四章作业P87泰勒资料376Born:18Aug1685inEdmonton,Middlesex,England

Died:29Dec1731inSomersetHouse,London,EnglandBrookTaylor第四节洛朗级数二、洛朗级数展开定理三、函数的洛朗展开式一、问题的引入五、小结与思考四、典型例题378一、问题的引入问题:负幂项部分正幂项部分主要部分解析部分同时收敛收敛379收敛半径收敛域收敛半径收敛域两收敛域无公共部分,两收敛域有公共部分R380结论:.常见的特殊圆环域:...381例如，都不解析,但在圆环域及内都是解析的.而2.问题:在圆环域内解析的函数是否一定能展开成级数?382所以即内可以展开成级数.也可以展开成级数：383二、洛朗级数展开定理C为圆环域内绕

的任一正向简单闭曲线.为洛朗系数.384说明:函数在圆环域内的洛朗展开式在圆环域内的洛朗(Laurent)级数.1)2)某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的，这就是f(z)的洛朗级数.定理给出了将圆环域内解析的函数展为洛朗级数的一般方法.385三、函数的洛朗展开式常用方法:1.直接法2.间接法1.直接展开法利用定理公式计算系数然后写出缺点:计算往往很麻烦.386根据正、负幂项组成的的级数的唯一性,可用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开.优点:简捷,快速.2.间接展开法387四、典型例题例1解由定理知:其中388故由柯西–古萨基本定理知:由高阶导数公式知:389另解本例中圆环域的中心z=0既是各负幂项的奇点,390例2内是处处解析的,试把f(z)在这些区域内展开成洛朗级数.解391oxy139212oxy由且仍有3932oxy由此时394仍有395注意:奇点但却不是函数的奇点.本例中圆环域的中心是各负幂项的说明:1.函数在以为中心的圆环域内的洛朗级数中尽管含有的负幂项,而且又是这些项的奇点,但是可能是函数的奇点,也可能的奇点.不是3962.给定了函数与复平面内的一点以后,函数在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开式(包括泰勒展开式作为它的特例).回答：不矛盾.朗展开式是唯一的)问题：这与洛朗展开式的唯一性是否相矛盾?(唯一性

:指函数在某一个给定的圆环域内的洛397解

例3398例4解399例5内的洛朗展开式.解400401402五、小结与思考

在这节课中,我们学习了洛朗展开定理和函数展开成洛朗级数的方法.将函数展开成洛朗级数是本节的重点和难点.403洛朗级数与泰勒级数有何关系?思考题

洛朗级数是一个双边幂级数,其解析部分是一个普通幂级数;思考题答案是一般与特殊的关系.洛朗级数的收敛区域是圆环域第四节孤立奇点一、孤立奇点的概念二、函数的零点与极点的关系三、函数在无穷远点的性态四、小结与思考405一、孤立奇点的概念定义

如果函数在

不解析,但在的某一去心邻域内处处解析,则称为的孤立奇点.例1是函数的孤立奇点.是函数的孤立奇点.注意:

孤立奇点一定是奇点,但奇点不一定是孤立奇点.406例2

指出函数在点的奇点特性.解即在的不论怎样小的去心邻域内,的奇点存在,函数的奇点为总有不是孤立奇点.所以407孤立奇点的分类依据在其孤立奇点的去心邻域内的洛朗级数的情况分为三类:1．可去奇点1．可去奇点;2．极点;3．本性奇点.如果洛朗级数中不含

的负幂项,那末孤立奇点

称为

的可去奇点.1)定义408其和函数为在解析的函数.说明:(1)(2)无论在是否有定义,补充定义则函数在解析.4092)可去奇点的判定(1)由定义判断:的洛朗级数无负在如果幂项则为的可去奇点.(2)

判断极限若极限存在且为有限值,则为的可去奇点.410如果补充定义:时,那末在解析.例3中不含负幂项,是的可去奇点.411例4说明为的可去奇点.解

所以为的可去奇点.无负幂项另解

的可去奇点.为4122.极点

其中关于的最高幂为即级极点.那末孤立奇点称为函数的或写成1)定义

如果洛朗级数中只有有限多个的负幂项,413说明:1.2.特点:(1)(2)的极点,则为函数如果例5有理分式函数是二级极点,是一级极点.4142)极点的判定方法的负幂项为有的洛朗展开式中含有限项.在点的某去心邻域内其中在的邻域内解析,且(1)由定义判别(2)由定义的等价形式判别(3)利用极限判断

.415课堂练习求的奇点,如果是极点,指出它的级数.答案416本性奇点3.如果洛朗级数中含有无穷多个那末孤立奇点称为的本性奇点.的负幂项,例如，含有无穷多个z的负幂项特点:

在本性奇点的邻域内不存在且不为同时不存在.417综上所述:孤立奇点可去奇点m级极点本性奇点洛朗级数特点存在且为有限值不存在且不为无负幂项含无穷多个负幂项含有限个负幂项关于的最高幂为418二、函数的零点与极点的关系1.零点的定义不恒等于零的解析函数如果能表示成其中在解析且m为某一正整数,那末称为的

m级零点.例6注意:

不恒等于零的解析函数的零点是孤立的.4192.零点的判定零点的充要条件是证

(必要性)由定义:设的泰勒展开式为:如果在解析,那末为的级如果为的级零点420其中展开式的前m项系数都为零,由泰勒级数的系数公式知:并且充分性证明略.421(1)由于知是的一级零点.课堂练习是五级零点,是二级零点.知是的一级零点.解

(2)由于答案例7求以下函数的零点及级数:(1)(2)的零点及级数.求4223.零点与极点的关系定理如果是的m级极点,那末就是的

m级零点.反过来也成立.证如果是的m级极点,则有当时,函数在解析且423由于只要令

那末的m级零点.就是反之如果

的m级零点,是那末当时,解析且所以是的m级极点.424说明此定理为判断函数的极点提供了一个较为简便的方法.例8函数有些什么奇点,如果是极点,指出它的级.解

函数的奇点是使的点,这些奇点是是孤立奇点.的一级极点.即425解

解析且所以不是二级极点,而是一级极点.是的几级极点?思考例9问是的二级极点吗?注意:不能以函数的表面形式作出结论.426三、函数在无穷远点的性态1.定义如果函数在无穷远点的去心邻域内解析,则称点为的孤立奇点.Rxyo427令变换规定此变换将:映射为扩充z平面扩充t平面映射为映射为映射为428结论:

在去心邻域内对函数的研究在去心邻域内对函数的研究因为在去心邻域内是解析的,所以是的孤立奇点.规定:

m级奇点或本性奇点.的可去奇点、m级奇点或本性奇点,如果t=0

是是的可去奇点、

那末就称点4291)不含正幂项;2)含有有限多的正幂项且为最高正幂;3)含有无穷多的正幂项;那末是的1)可去奇点;2)m级极点;3)本性奇点.判别法1(利用洛朗级数的特点)2.判别方法:在内的洛朗级数中:如果430例10(1)函数在圆环域内的洛朗展开式为:不含正幂项所以是的可去奇点.(2)函数含有正幂项且z为最高正幂项,所以是的m级极点.431(3)函数的展开式:含有无穷多的正幂项所以是的本性奇点.课堂练习的奇点及其类型.说出函数答案432判别法2:(利用极限特点)如果极限1)存在且为有限值;2)无穷大;3)不存在且不为无穷大;那末是的1)可去奇点;2)m级极点;3)本性奇点.433例11函数在扩充复平面内有些什么类型的奇点?如果是极点,指出它的级.解

函数除点外,所以这些点都是的一级零点,故这些点中除1,-1,2外,都是的三级极点.内解析.在434所以那末是的可去奇点.

因为435不是的孤立奇点.所以436四、小结与思考

理解孤立奇点的概念及其分类;掌握可去奇点、极点与本性奇点的特征;熟悉零点与极点的关系.思考题答案第一节留数理论一、留数的引入二、利用留数求积分三、在无穷远点的留数四、典型例题五、小结与思考438一、留数的引入设为的一个孤立奇点;内的洛朗级数:在.的某去心邻域邻域内包含的任一条正向简单闭曲线4390(基本结论)0(柯西-古萨基本定理)440定义

记作的一个孤立奇点,则沿内包含的任意一条简单闭曲线

C的积分的值除后所得的数称为以如果441二、利用留数求积分1.留数定理在区域

D内除有限个孤外处处解析,C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线,那末立奇点函数...442证[证毕]两边同时除以且...如图4432.留数的计算方法(1)如果为的可去奇点,如果为的一级极点,那末规则1成洛朗级数求(2)如果为的本性奇点,(3)如果为的极点,则有如下计算规则展开则需将444如果为的级极点,规则2证那末445+(含有正幂的项)两边求阶导数,[证毕]得446规则3

如果设及在都解析，证的一级零点,为的一级极点.为那末为的一级极点,

且有447解析且在因此其中在解析且为的一级极点,448三、在无穷远点的留数注意积分路线取顺时针方向说明记作1.定义设函数在圆环域内解析，C为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线，449.......证由留数定义有:(绕原点的并将内部的正向简单闭曲线)包含在2.定理二如果函数在扩充复平面内只有有限个孤立奇点,那末在所有各奇点

(包括

点)的留数的总和必等于零.[证毕]450说明:由定理得(留数定理)计算积分计算无穷远点的留数.优点:使计算积分进一步得到简化.(避免了计算诸有限点处的留数)4513.在无穷远点处留数的计算规则4说明:定理二和规则4提供了计算函数沿闭曲线积分的又一种方法:

在很多情况下此法更为简单.452四、典型例题例1求在的留数.解453例2

求在的