高考数学导数小题练习集(二)

2021年高考数学导数小题练习集(二)

2.函数的图象如下图，在区间〔"可上可找到〃个不同的数%,使得

3二八为)

不，那么〃=()

A.1R.2C.3D.4

3.7'(用是函数/*),(xeR)的导数，满足/*)=・f(x),且"0)=2,设函数

8(1)=/(同一M/十)的一个零点为与,那么以下正确的选项是(

A.e(-4,-3)B.e(-3,-2)

人r04v0

C.G(-2,-1)D.e(-I,0)

人0人ro

4./(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，假设f(x),g(x)满足f(x)=g(x)，那么

/(x)与g(x)满足()

A./(X)=g(X)B./(X)-g(x)为常数函数

C.f(x)=g(x)=QD./(%)+g(x)为常数函数

5.设函数/(x),g(x)在［。,力］上均可导，且/(x)<g(x)，那么当avxvZ?时，有

()

A，f(x)>g(x)B-f(x)<g(x)

C/(X)+g(〃)<g(X)+/(4)Df(X)+g⑸<g(%)+/0)

6.设X)(x)=cosx,工(x)=H(x),f2(x)=f^x)t……，篇*)=<'*),

(7：GN),那么及O2l(x)=().

A.sinxB.—sinxC.cosxD.—cosx

7.如下图的曲线是函数/(")=/+以2+B+d的大致图象，那么+E等于()

810

A.9B.9

165

C.9D.4

8.假设两个函数的图象有一个公共点，并在该点处的切线一样，就说明这两个函数有why

点，函数/(x)=lnx和有why点，那么m所在的区间为()

,c、,21、

A.1-3,-e)B.(~e.------)

8

c,2113、，13-

C.(——，——)D.(——，-2)

866

9.如下图，曲线>x=2/=0,y=0围成的阴影局部的面积为］)

A.J~|x2-1|tZrB.|£(x2-\)dx|

C.J(x2-i)dxD.£(x2-l)iZv+(\-x2)dx

10./'(幻是奇函数/⑶的导函数，〃T)=°,当%>0时，¥'(幻-，㈤>0,那么使得

/&)>°成立的x的取值范围是()

A.(-oo,-l)U(0,DB.(TO)UQm)

C.(-1,O)U(O,1)D.S,T)U(1,3)

11.设函数〃x)=3-2x,假设

/(x+l)+/(y+1)<f(x)+f(y)<0,那么点P(x,y)所形成的

区域的面积为()

44石4乃62九624石

A.—+—B.--------C.—+—D..........-

32323232

12.设函数/(3)是定义在(-8,0)上的可导函数，其导函数为尸(八)，且有

2/(x)+xf(x)>x2,那么不等式(x+2014)2f(x+2014)-4/(-2)>0的解集为

A.(-00-2012)B.(-2012,0)C.(-oo-2016)D.(-2016,0)

13.函数/(x)=d+ar2+bx+/在工=1处有极值10,那么/⑵等于()

A.II或18B.IIC.18D.17或18

14.假设函数/々)=111%+/一以+4+1为(Oy)上的增函数，那么实数〃的取值范围是

0

A.(・8,2A/2]B.(-00,2]C.[I,+00)D.[2,+00)

15.给出以卜命题:

⑴假设Jf{x}dx>0,那么兀r)>0；(2)j)卜出斗拄=4;

(3股)的原函数为尸㈤，且尸㈤是以T为周期的函数，那么J：/(x)dr=J，'/(冷心；

其中正确命题的个数为()

A.IB.2C.3D,0

16.f(x)为定义域为R的函数，F(x)是f(x)的导函数，且f(1)=e,Vx£R都有f

(x)>f(x),那么不等式f(x)Ve'的解集为()

A.(-oo,1)B.(-8,0)C.(0,+oo)D.(1,-H»)

17.函数f(x)=x2-2ax-2alnx(a£R),那么以下说法不正确的命题个数是()

①当aVO时，函数y=f(x)有零点；

②假设函数y=f(x)有零点，那么aVO；

③存在a>0,函数y=f(x)有唯一的零点；

④假设空1,那么函数y=f(x)有唯一的零点.

A.1个B.2个C.3个D.4个

18.函数/⑴的定义域为［T+8),且/⑹=2八幻为/(%)的Ay

导函数，/(幻的图像如右图所示.假设正数〃泊满足：

f(2a+b)v2,那么。一2的取值范围是()Y

39第1渡

(F,-7)U(3,+OO)(--,3)

A.2B.2

(-00,-2)J(3,+oo)(二巧)

C.2D.1~/

19.函数f(x)是定义域为R的函数，对任意实数X都有/(x)=/(2-x)成立.假设当

2时，不等式。一1)"'(乃<°成立，设”/。5),，=八5),。=八3),那么

a,b,c的大小关系是()

A.b>a>cB.a>b>cC.c>b>aD.a>c>b

20.记/(,)w=[/(x)r,/(2)(x)=[/(h(x)r.............

/(M)(x)=[/<n-,)U)r(〃eN+，〃22).假设f(x)=xcosx,那么

/(0)+/(|)(0)+/出(0)+.-+/(刈2)(0)的值为()

A.1006B.2012C.-2012D.-1006

21.假设点P在曲线y=•?一3工2+(3-6卜+之上移动，经过点P的切线的倾斜角为a,

那么角a的取值范围是()

C.[等，兀)D.[0,3u―，受

22.设函数/(x)=8(seV+四gv+4,其中0£(_工三，那么导数f⑴

64tan。I22,

的取值范围是()

A.(-5，I]B.(-I)C.(■!，D.(-~]

222222

23.函数/(x)=ar3+加+cx+d的图象如下图，y|

那么()

A.Z?e(-oo,0)B.Z?e(0,l)/

C.be(1,2)D.be(2,+oo)-----\A--X---------：

24.过点产(2,-2)且与曲线y=3x-V相切的直线方程是(jA\/

A.y=-9x+16B.y=9x-20V,/

C.y=-2D.j=-9x+16Wcy=-2

25.函数f(x)=(x-x(其中王<工3)，g(x)=3x+sin(2x+l),

lXX-X2X-V-A：3)

且函数f(x)的两个极值点为a,闻a<〃).设2=土产,〃=”区，那么

A爪。)<爪义)<狼QvQIb./>D〈双a)〈双£)〈鼠㈤

C,出〈鼠G<Q)<«W)D.g(a)<g(2)<典)<3

26.设/(a)=J,一呐,当a》。时，筛)的最小值是()

o

A.-B1C.--D.无最小值

343

27.尸(外是定义在R上的函数/(%)的导函数，且/(工)=/(5-％),§-幻/3<0假设

%<4,%+工2<5,那么以下结论中正确的选项是()

A.f(X])<f(X2)B./(^)+/|>2)>0

C./(^)+/(x>)<0D.

/(A^)>/(X2)

28.函数f(x)的导函数图象如下图，假设△ABC为锐角三角形，那么一定成立的是

()

A.f(cosA)<f(cosB)B.f(sinA)<f(cosB)

C.f(sinA)>f(sinB)D.f(sinA)>f(cosB)

29.如果函数/⑴一^/一^^满足：对于任意的xi,x2e(o,1b都司f(xi)-f(x2)

恒成立，那么a的取值范围是()

A.5等，孚B.(一等，婴)

C.［-平，o)U(o,平］D.(-零0)U(0,平)

JJJJ

，那么(yH—

30.彳度设〃=+的展开式中常数项为()

Iy)

A.8B.16C.24D.60

31<x)=/-3x+m在区间［0,2］上任取三个数a,b,c,均存在以y(a),瓦切，y(c)为边长的三

角形，那么实数m的取值范围是()

A.(6,+oo)B.(5,+8)C.(4,+oo)D.(3,+oo)

32.函数/(x)=xn+\n£N*)的图象与直线X=1交于点P,假设图象在点P处的切线与

X轴交点的横坐标为工〃，那么10g20l3$+1082013工2+…+1。82013%枷2的值为()

A.-1B.1-Iog2o2i2021C.-Iog202i2021D.1

33.函数/(x)=L/+2⑪,g(x)=3/lnx+Z?,设两曲线y=f(x),y=g(x)有公共点，

2

且在该点处的切线一样，那么aW(0,+oo)时，实数b的最大值是：

22

A.率和.春6c.工和.2J

6622

34.函数/⑴=/的图象在点4和/(为))与点8(看,/(工2))处的切线互相垂直，并交于点

P,那么点P的坐标可能是

31

A.(——,3)B.(0,-4)C.(2,3)D.(1,——)

35.函数y=f(x)对任意的满足/(x)cosx+/(x)sinx>0(其中/(%)是

函数/(幻的导函数)，那么以下不等式成立的是()

A.

3434

C./(0)>V2/(JD./(0)<2/(1)

36.函数y=f(x)的图象为如下图的折线ABC,那么]以川竹k”(

-1

A.VB.TC.0D.《

363

37.函数f(x)满足：f(x)+2F(x)>0,那么以下不等式成立的是()

A.f(l)>^-B.f(2)<^-

vee

C.f(l)>V7f(2)D.f(0)>e2f⑷

38.函数/(幻=(/—。)2+(6-*一。)2(0<以<2)的最小值为()

A、a2-2B.2(〃-l)2。、2-a2D.-2(a-l)2

39.设函数f(x)=ex(sinx-cosx)(0<x<2021n),那么函数f(x)的各极大值之和为

)

「(〜2叱)」(一2。他)

B.D.

l-e2'1-e"-

40.函数f(x)的定义域为R,且x3f(x)+x3f(-x)=0,假设对任意x£[0,+oo)都有

3xf(x)+x2f(x)<2,那么不等式x3f(x)-8f(2)Vx2-4的解集为(

A.[-2,2)B.(-oo,-2)U(2,+oo)

C.(-4,4)D.(-Q0,-4)U(4,+oo)

41旧1()

A.至少有三个实数根B.至少有两个实根

C.有且只有一个实数根D.无实根

42.设函数f(x)在R上存在导函数Fix),对任意的实数x都有fix)=2x2-f(-x),

当x£(-oo,0)时，f(x)+l<2x.假设f(m+2)<f(-m)+4m+4,那么实数m的取

值范围是()

i3

A.[--,+oo)B.[--,+oo)C.[-1»+oo)D.[-2,+co)

乙乙

43.f(x)=|xex|,又g(x)=f2(xj-tf(x)(t£R),假设满足g(x)=-1的x有四

个，那么t的取值范围是()

222

A.(g,-^1)B.(3,+8)C.-2)

eee

2

D.(2,

e

44.定义在R上的函数f(x)的图象关于y轴对称，且f(x)在[0,

+oo)上单调递减，假设关于x的不等式f(2mx-Inx-3)>2f(3)-f(-2mx+lnx+3)在

xe[l,3]上恒成立，那么实数m的取值范围为()

A'B.国c.B，D.[工

2e6e3e32e6

45.函数f(x)='-x：a,x4°,且mx°£[2,+oo)使得f(-x0)=f(x0),假设对任

[(x-1)3+l,x>0

意的x£R,f(x)>1)恒成立，那么实数b的取值范围为(

A.(-oo,0)B.(-8,0]C.(-oo,a)D.(-co,a]

46.设函数/(x)=Jln4+x+加,假设曲线y=^cosx+9上存在(xo,yo)，使得

/(/(%))=%成立，那么实数m的取值范围为()

A.[0,e2-e+l]B.[0,e2+e-1]C.[0,e2+e+l]D.[0,e2-e-1]

2

47.设函数f(x)满足2x?f(x)+x3f(x)=ex,f(2)=—,那么x£[2,+oo)时，f(x)

8

()

2222

A.有最大值；B.有最小值号C.有最大值*D.有最小值三

o822

48.函数f(x)=ex-ax-1,g(x)=lnx-ax+a,假设存在xo《(1»2),使得

/(%)g(Xo)vO,那么实数a的取值范围是()

A.Qn2,B.(In2,e-1)C.[1,e-1)D.[1,-^±)

49.函数f(x)=*,关于x的方程f?(x)-2af(x)+a-1=0(a£R)有四个相异的实数

根，那么a的取值范围是()

222

A.(-1,B.(1,+oo)C.(U，2)D.(-S-4,+8)

2e-l2e-l2e-l

50.设函数(兀-，假设对任意的x£R,都有

/(x)=xex,=x2+2x,/?W=2sin—x+—

Mx)—/(x”Hg(x)+2]成立，那么实数M勺取值范围是()

A.(Q,—+1]B.(-2,—+3]C.[23，+8)D.[1A,+8)

eeee

试卷答案

l.A

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值.

【分析】当x>0时，f(x)=e2xd,利用根本不等式可求f(x)的最小值，对函数g

x

(X)求导，利用导数研究函数的单调性，进而可求g(x)的最大值，由

g(r)<£6工)恒成立且k>0,那么晨X,maxjG)min,可求k的范围.

k飞k+1kk+1

【解答】解：;当时，22

x>0f(x：=ex+^->2Jex,l=2e,

xVx

・・・xi£(0,+oo)时,函数f(xi)有最小值2e,

2

Vg(X)=W，

e

.e2(l~x)

..g(xJ=---------X-------,

e

当xVl时，g1(x)>0,那么函数g(x)在(0,1)上单调递增,

当x>l时，g*(x)<0,那么函数在(1,+oo)上单调递减，

，x=l时，函数g(x)有最大值g(1)=e,

那么有X［、X26(0,+oo),f(X|)min=2e>g(X2)max=e,

..§(X1)/f(xj口,、八

.--------------旦成立且k>0,

kk+1

•.•e~/~~2e,

k-k+l

Ak>l,

应选：A.

2.C

•.•△死=/(%),

为

・•・在/点处的切线过原点(0,0),

由图象观察可知共有3个.

3.D

【考点】利用导数研究函数的单调性.

【分析】求出f(X)的表达式，得到g(x)的表达式，设h(x)=f(x)-g(x),求出

h(0)和h(・1)的值，从而求出X0的范围.

【解答】解：设f(x)=keS

那么f(x)满足F(x)=-f(x),

而f10)=2,Ak=2,

.*.f(x)=2e-x,

:.g(x)=3lnf(x)=3(-x+ln2)=-3x+31n2,

设h(x)=f(x)-g(x),

那么h(x)=2ex+3x-31n2,

Ah(0)=2-31n2<0,h(-1)=2e-3-31n2>0,

即在(-1,0)上存在零点，

应选：D.

4.B解析：/(x),g(x)的常数项可以任意

5.C

【考点】6B：利用导数研究函数的单调性.

【分析】比拟大小常用方法就是作差，构造函数F(x)=f(x)-g(x),研究F(x)在

给定的区间［a,b］上的单调性，F(x)在给定的区间［a,b］上是增函数从而F(x)>F

(a),整理后得到答案.

【解答】解：设F(x)=f(x)-g(x),

・・•在［a,b］上f(x)<g'(x),

P(x)=f(x)-g'(x)<0,

・・・F(x)在给定的区间［a,b］上是减函数.

，当x>a时，F(x)<F(a),

即f(x)-g(x)<f(a)-g(a)

即f(x)+g(a)<g(x)+f(a)

应选C.

6.A

略

7.C

略

8.C

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.

【专题】新定义；函数的性质及应用；导数的概念及应用.

【分析】设f(x)和g(x)的公共点为(a,b),(a>0),求导数，建立方程组，求得

1

alna=l,确定a的范围，再由m=7na-a=-(a+a)确定单调递增，即可得到m的范

围.

【解答】解：设f(x)和g(x)的公共点为(a,b),(a>0),

_1

函数f(x)=lnx的导数为F(x)=x,

x+m

g(x)=ex+m有的导数为g，(x)=e,

1

a+ma+m

即有a=e,lna=e,

即为alna=l»

333

令h(a)=alna-1,可得h(2)=2in2-1VO,h(2)=21n2-1>O,

3

即有2<a<2,

1513521

那么m=-Ina-a=-(a+3)£(-2,-6］，而-2>-8,

应选C.

【点评】此题考察导数知识的运用，考察导数的几何意义，解题的关键是别离参数，确定

函数的单调性，属于中档题.

9.A

1O.B

工>0时，V，(x)-/(x)>0,

・••当x>0时，出为增函数，x<0时，上为减函数，

XX

•・・/(X)有奇函数，

・・.1也为偶函数，

X

•・•/(-1)=0,

"⑴=0.

画出大致图象可得到/&)>0时(-1,0)U(l,*o).

11.D

12.C

：由2/(x)+矿x<0得：2取⑶+，/(»<一,即<0,令

F(x)=?/W,那么当x〈0时，尸3<0,即尸⑶在(一8,0)是减函数，

9&+2014)=(2014+"/0+2014),F(-2)=4/(-2),

F(2014+x)-F(-2)>0,

尸⑶在(一8,0)是减函数，所以由尸(2014+x)>尸(一2)得，2014+x<-2,即

x<-2016,应选C

13.C

【考点】函数在某点取得极值的条件.

【分析】根据函数在X=1处有极值时说明函数在X=1处的导数为0,又因为r(x)

=3x2+2ax+b,所以得到：f(1)=3+2a+b=0,又因为f(1)=10,所以可求出a与b的值确

定解析式，最终将x=2代入求出答案.

【解答】解：f(x)=3x2+2ax+b,

r

3+2a+b=0(b=-3-2aa=4_fa=-3

l+a+b+a2=10a2-a-12=01b=-111b二3

fa=-3

①当《时，f(x)=3(x-1)2加，・•.在x=l处不存在极值;

lb=3

②当L..时，f(x)=3x2+8x71=(3x+ll)(x-1)

b=-11

Axe(一今，i),f(x)<0,xe(i,+oo),f(x)>0,符合题意.

J

a=4

：.f(2)=8+16-22+16=18.

b=-11

应选C.

14.

A

【考点】利用导数研窕函数的单调性.

【分析】由函数f(x)=lnx+x2-ax+a+1为(0,+oo)上的增函数，可得：f(x)=—+2x-

a>0,化为：a&L2x=g(x),利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出.

x

【解答】解：f(x)=^H-2X-a,

x

:函数f(x)=lnx+x2・ax+a+1为(0,+oo)上的增函数，

P(x)=--i-2x-a>0,化为：a£~^+2x=g(x),

可知：X平时，函数g[X]取得极小值即最小值，g(零)=2五.

那么实数a的取值范围是a<2V2.

应选：A.

15.B

略

16.

A

【考点】利用导数研究函数的单调性.

f(x)

【分析】根据题意，令g(X)结合题意对其求导分析可得g'(x)>0,即函数g

eA

(x)在R上为增函数，又由f(I)=e,可得g(e)=吗-=1,而不等式f(x)Ve*可以

e

转化为g(x)<g(1),结合函数g(x)的单调性分析可得答案.

f(X)

【解答】解：根据题意，令g(x)=，其导数g(X)

e

(x),e'-•(巳X)，

(ex)*2ex'

又由，Vx£R都有f(x)>f(x),那么有g，(x)>0,即函数glx)在R上为增函

数，

假设f(1)=e,那么g(e)=£半=1

e

f(x)

f(x)<ex=»—<l=>g(x)<g(1),

e

又由函数g(x)在R上为增函数：

那么有xVL即不等式f(x)Vex的解集为(-8,1).

应选：A.

17.B

【考点】利用导数研究函数的单调性；命题的真假判断与应用；函数零点的判定定理；利

用导数研究函数的极值.

22

【分析】先将函数进展参变量别离，得到2a=」—，令g(x)一，转化成y=2a与

x+lnxx+lnx

y=g(x)的图象的交点个数，利月导数得到函数的单调性，结合函数的图象可得结论.

【解答】解：令f(x)=x2-2ax-2alnx=0,那么2a(x+lnx)=x2,

22

.*.2a=------,令g(x)=------,

x+lnxx+lnx

2x(x+lnx)-x2(1-H^)x(x-l+21nx)

那么g'(x)=_______________x=-----------

(x+lnx)2(x+lnx)

令h(x)=x+lnx,通过作出两个函数y=lnx&y=-x的图象(如右图)

发现h(x)有唯一零点在(0,1：上，

设这个零点为xo,当x£(0,xo)时，g'(x)<0,g(x)在(0,xo)上单调递减，x=xo

是渐近线，

当x£(X0，1)时，g'(x)<0,那么g(x)在(xo,I)上单调递减，

当XW(1,+00)时g，(x)>0,g(x)在(1,+oo)单调递增，

2

Ag(1)=1，可以作出g(x)=-^一的大致图象，

x+lnx

结合图象可知，当aVO时，y=2a与y=g(x)的图象只有一个交点，

那么函数y=f(x)只有一个零点，故①正确；

假设函数y=f(x)有零点，那么aVO或a弓，故②不正确：

存在函数y=f(x)有唯一零点，故③正确；

假设函数y=f(x)有唯一零点，那么aVO,或@=之，那么处1,故④正确.

应选：B.

18.A

略

19.A

因为对任意实数x都有八幻=/(2-x)成立，所以函数的图象关于大=1对称，又由于假

设当xwi时，不等式成立，所以函数在(1,物)上单调递减，所以

"=%)>4=40.5)=/图>/(3)

20.D

21.B

【考点】导数的几何意义；直线的倾斜角.

【分析】先求出函数的导数y'的解析式，通过导数的解析式确定导数的取值范围，再根据

函数的导数就是函数在此点的切线的斜率，来求出倾斜角的取值范围.

【解答】解：:函数的导数y'=3x2-6x+3-W=3(x-1)2--V3»

/.tana>-*^3，又OWaV兀,

/.0<a<-^-或写—

应选B.

22.A

【考点】63：导数的运算.

【分析】求导，当x=l时，f(1)=V3cose+si^0=s,n(0看)，由oe(-A,

2232

二)，即可求得0+=£毕)，根据正弦函数的性质，即可求得导数F(1)

2366

的取值范围.

[解答]解：f(x)=V3cos0x3+siaex2+^^,f(x)=V3c2s0x2+siH0x>

64tanO22

(叶与

=V3cose+sinQ=sin，

223

由Ow(-三，4)，那么。吾w(・?，¥")，

22366

那么sin(OH~~)£(-1],

・•・导数P⑴的取值范围(-,，1]，

乙

应选A.

23.A

24.D

设点(。,与是曲线上的任意一点，那么有人=3〃一导数歹=3-3/那么切线斜率

k=3-3a2,所以切线方程为y-b=(3-3a2)(x-a),即

y=(3-3a~)x-。(3-3a~)+Z?=(3-3。2)l+3/—3。+3。-/,整理得

y=(3-3a2)x+2a5,将点尸(2,—2)代入得一2=2(3-3/)+2^=2。3一6，+6,即

a3-3a2+4=0,即a'+l—3/+3=(/+1)-3(/-1)=0,整理得(a+l)(a—2尸=0.

25.

D

26.B

27.D

略

28.D

【考点】函数的单调性与导数的关系.

【分析】根据导数函数图象可判断；f(x)在(0,1)单调递增，(1,+oo)单调递减，

TTTTJT

由△ABC为锐角三角形，得A+B>7>,0<--B<A<—,再根据正弦函数，f[x)

单调性判断.

【解答】解：根据导数函数图象可判断；f(x)在(0,1)单调递增：(1,+00)单调递

减，

•:△ABC为锐角三角形，・・・A+B>[>,0<?-BVA<与，

71

.*.0<sin(------B)<sinA<1,0<cosB<sinA<1

2

f(sinA)>f(sin(------B)),

2

即f(sinA)>f(cosB)

应选；D

【点评】此题考察了导数的运用，三角函数，的单调性，综合性较大，属于中档题.

29.A

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值.

【分析】由题意函数-满足：对于任意的xi,x2e[0,1],都有-

f(X2)目恒成立，必有函数f(x)=-&2乂满足其最大值与最小值的差小于等于1,

由此不等式解出参数a的范围即可，故可先求出函数的导数，用导数判断出最值，求出最

大值与最小值的差，得到关于a的不等式，解出a的值

【解答】解：由题意F(x)=x2-a2

当a?多时，在x£[0,1],恒有导数为负，即函数在[0,1]上是减函数，故最大值为f(0)

=0,最小值为f⑴故有晓一2<1，解得囿骂无，故可得-迥心巫

OO000

当a2£[0,1],由导数知函数在[0,a]上增，在⑶1]上减，故最大值为f⑸=-%3又

f(0)=0,矛盾，a£[0,1]不成立，

应选A.

30.C

【考点】DB：二项式系数的性质.

【专题】38：对应思想；40：定义法；5P：二项式定理.

【分析】求定积分可得n的值，再利用二项展开式的通项公式，令x的幕指数等于零求得r

的值，可得展开式中常数项.

TT

【解答】解：n=2JQV2sin(x+-^-)dx

JT

=2p2(sinx+cosx)dx

J0

JT

=2(-cosx+sinx)।2

lo

,兀.兀.

=2(-cosicosO+sin---sinO.I

=4,

J(若)4的通项公式为Tr+k

令4-2r=0,可得r=2,

・•・二项式(号)展开式中常数项是哈22=24.

应选：C.

31.A

略

32.B

33.D

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.

【分析】分别求出函数f(x)的导数，函数g(x)的导数.由于两曲线y=f(x),y=g

[x)有公共点，

设为P(xo,yo),那么有f(xo)=g(xo),且f(xo)=g'(xo),解出xo=a,得到b关

于a的函数，构造函数h(t)二蔡t2-3t21nt(t>0),运用导数求出单调区间和极值、

最值，即可得到b的最大值.

【解答】解：函数f(x)的导数为f(x)=x+2a,

函数g(x)的导数为g，(x)二之破，

1

由于两曲线y=f(x),y=g(x)有公共点，设为P(xo,yo),

=2

f(x0)g(XQ)^-yxg+2axQ=3alnxQ+b

那么q2

/

f'(x0)=g(x0)Qxo+2a二一二Ox。=a或xo=-3a

x0

由于xo>O,a>0

22_2

那么xo=a,Hiltb^i-XQ+2ax0-3alnx0=T-a3alna(a>0)

构造函数h(t)二*2一3弋21nt(t>0),

由h'⑴=2t(1-31nt),

11

当0Vt<3"时,h'(t)>0即h(t)单调递增；当t>可时，h'(t)VO即h⑴单调

递减，

12

那么h(t)=h(e7)二■二即为实数b的最大值.

1113K2

应选D.

34.D

由题，人(西,邛),832，/2),rw=2x,那么过AB两点的切线斜率

k、=2X[,k2=2X2,又切线互相垂直，所以％%2=-1，即％%=一;•两

2

条切线方程分别为4:y=2Xix-x^l2:y=2x2x-x2,联立得

(^1-x2)[2x-(xt+x2)]=0,*：x]^x2,・,・%=百；巧,代入4，解得

1

y=x.x2=---

4,应选D.

35.

【知识点】导数的应用；构造函数法.B12

【答案解析】D解析：设g(x)=@，那么g,(x)=电匣必也.

COSXCOS'X

因为y=/*)对任意的xc(-多、)满足了(x)cosx+/(x)sinx>0,所以g'(x)>0在

xe(d)上恒成立，所以g(力是(一条夕上的增函数，所以g⑼<g]?)即

TT

/(0)<2/(彳).应选D.

【思路点拨】根据条件，构造函数g(x)=/⑷，利用导数确定函数在g(x)(-C,工)上

cosx22

的单调性，从而得到正确选项.

36.C

【考点】定积分.

(—x—]一]<x<0

【分析】由函数图象得f(x)=,由此能求出JLjxf(x)]dx的

(x-1,0<x41

值.

【解答】解：•・•函数y=f(X)的图象为如下图的折线ABC,

f-x-1,-l<x<C

Af(X)=|x-l,0<x<l'

•*-JLjtxf(x)]dx=T-i(_x-l)dx+JJ(x-l)dx

(x)

=-F-匕+(”一)u

=(-%)+(y-1)

=0.

应选：c.

37.A

【考点】利用导数研究函数的单调性.

1

【分析】根据题意可设f(x)=5乂，然后代入计算判断即可.

e

【解答】解：■(x)+2f(x)>0,

1

可设f(x)=55

e

Af(1)=Ve»f⑻=e0=h

・F⑺J迎

..f11j>五,

应选：A.

38.B

略

39.D

【考点】利用导数研究函数的极值.

【分析】先求F(x)=2®sinx,这样即可得到f⑺,f(3TI),f(5兀)，…,f为f(x)

的极大值，并且构成以铲为首项，e2n为公比的等比数列，根据等比数列的求和公式求f

(x)的各极大值之和即可.

【解答】解：：;函数f(x)=ex(sinx-cosx),

Af(x)=[ex(sinx-cosx)],=ex(sinx-cosx)+ex(cosx+sinx)=2exsinx；

令F(x)=0,解得x=k7u(kez)；

•••当2k7cVxV2k7t+兀时，f(x)>0,原函数单调递增，

当2k兀+九VxV2k7t+27t时，f(x)<0,原函数单调递减；

・••当x=2k7t+n时，函数f(x)取得极大值，

此时f(2k7rHi)=e2kE[sin(2kn+7i)-cos(2kn+ji)]=e2kK+n；

又,・，01£2021花，・，・0和202In都不是极值点，

・•・函数f(x)的各极大值之和为：

「(1-产16“)

eR+e3:t4-e5,t+...+e2021x=---------------------------------，

1-ez

应选：D.

40.B

【考点】利用导数研究函数的单调性.

【分析】构造函数h(x)=x3f(x)-2x,根据函数的单调性和奇偶性求出不等式的解集即

可.

【解答】解：令h(x)=x3f(x)-2x,

那么H(x)=x[3xf(x)+x2f(x)-2],

假设对任意x£［0,+8)都有3xf(x)+x2f(x)<2,

那么h，(x)WO在［0,+oo)恒成立，

故h(x)在［0,+oo)递减，

假设x3f(x)+x3f(-x)=0,

刃H么h(x)=h(-x),

那么h(x)在R是偶函数，h(x)在(-8,0)递增，

不等式x3f(x)-8f(2)<x2-4,

即不等式x3f(x)-x2<8f(2)-4,

即h(x)<h⑵，

故|x|>2,解得：x>2或xV-2,

故不等式的解集是(・8，-2)U(2,+00),

应选：B.

【点评】此题考察了函数的单调性、奇偶性问题，考察转化思想，构造函数g(x)是解题

的关键，此题是一道中档题.

41.答案：C

42.C

【考点】利用导数研究函数的单调性.

【分析】利用构造法设g(x)=f(x)-x2,推出g(x)为奇函数，判断glx)的单调

性，然后推出不等式得到结果.

【解答】解：

■(x)=2x2-f(-x),

/.f(x)-x2+f(-x)-x2=0,

设g(x)=f(x)-x2,那么g(x)+g(-x)=0,

・•・函数g(x)为奇函数.

Vxe(-8,0)时，r(x)+l<2x,

g'(x)=f(x)-2x<-1,

故函数g(x)在(-00,0)上是减函数，

故函数g(x)在(0,+oo)上也是减函数，

假设f(m+2)<f(-m)+4m+4,

那么f(m+2)-(m+2)竺f(-m)-m2,

即g(m+2)<g(-m),

.*.m+2>-m,解得：m>-1,

应选：C.

43.B

【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断.

【分析】令丫=*0*,那么y=(l+x)ex,求出极值点，判断函数的单调性，作出y=xe'图

象,利用图象变换得f(x)=怔胃图象，令f(x)=m,那么关于m方程h(m)=m2-

tm+l=