课时作业-第2节-平面向量基本定理及坐标表示

第2节平面向量基本定理及坐标表示知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练平面向量的坐标运算1,7,8平面向量基本定理及应用2,4,5,910共线向量的坐标表示及其应用3,613综合问题11,12,14151.在如图所示的平面直角坐标系中,向量AB→A.(2,2) B.(-2,-2)C.(1,1) D.(-1,-1)解析:因为A(2,2),B(1,1),所以AB→2.在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是(B)A.e1=(0,0),e2=(1,2)B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)解析:对于A,C,D都有e1∥e2,所以只有B成立.故选B.3.设向量a=(m,2),b=(1,m+1),且a与b的方向相反,则实数m的值为(A)A.-2 B.1C.-2或1 D.m的值不存在解析:向量a=(m,2),b=(1,m+1),因为a∥b,所以m(m+1)=2×1,解得m=-2或m=1.当m=1时,a=(1,2),b=(1,2),a与b的方向相同,舍去;当m=-2时,a=(-2,2),b=(1,-1),a与b的方向相反,符合题意.故选A.4.在平面直角坐标系xOy中,已知A(1,0),B(0,1),C为第一象限内一点,∠AOC=π4,且OC=2,若OC→=λOA→A.22 B.2 C.2 D.42解析:因为OC=2,∠AOC=π4,C为第一象限内一点,所以C(2,2又OC→=λOA→+μ所以(2,2)=λ(1,0)+μ(0,1)=(λ,μ),所以λ=μ=2,所以λ+μ=22.故选A.5.(多选题)设O是平行四边形ABCD的两条对角线AC,BD的交点,则可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的向量组是(AC)A.AD→与AB→ B.DAC.CA→与DC→ D.OD解析:如图,平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底,对于A,AD→与AB→不共线,可作为基底;对于B,DA→与BC→为共线向量,不可作为基底;对于C,CA→与DC→是两个不共线的向量,可作为基底;对于6.(多选题)已知向量OA→=(1,-3),OB→=(2,-1),OCA.-2 B.1C.1 D.-1解析:若A,B,C三点不共线即可构成三角形.因为AB→=OB→-OA→=(2,-1)-(1,-3)=(1,2),AC→=OC→-OA→7.已知向量a=(1,3),b=(-2,k),且(a+2b)∥(3a-b),则实数k=.

解析:法一a+2b=(-3,3+2k),3a-b=(5,9-k),由题意可得-3(9-k)=5(3+2k),解得k=-6.法二若a,b不共线,则a+2b与3a-b不共线,这与(a+2b)∥(3a-b)矛盾,故a,b共线,所以k-3×(-2)=0,解得k=-6.答案:-68.设向量a=(-3,4),向量b与向量a方向相反,且|b|=10,则向量b的坐标为.

解析:法一不妨设向量b的坐标为(-3m,4m)(m<0),则|b|=(-3解得m=-2(m=2舍去),故b=(6,-8).法二与a方向相反的单位向量是-a|a|=(3,-4故b=10(35,-45答案:(6,-8)9.如图,已知在△OCB中,A是CB的中点,D是将OB→分成2∶1的一个内分点,DC和OA交于点E,设OA→=a,OB(1)用a和b表示向量OC→,DC(2)若OE→=λOA解:(1)由题意知,A是BC的中点,且OD→=23得OB→+OC→=2所以OC→=2OA→-DC→=OC→-OD→=(2a-b)-2(2)由题意知,EC→∥DC→,故设EC→因为EC→=OC→-OE→=(2a-b)-λa=(2-λ)a-b,DC所以(2-λ)a-b=x(2a-53因为a与b不共线,由平面向量基本定理,得2-λ=2x,10.已知在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=1,AC=2,D是△ABC内一点,且∠DAB=60°,设AD→=λAB→+μAC→A.233 B.C.3 D.23解析:如图,以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则B点的坐标为(1,0),C点的坐标为(0,2),因为∠DAB=60°,所以设D点的坐标为(m,3m)(m≠0).AD→=(m,3m)=λAB→+μAC→所以λμ=211.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=π2,AC=2AB,∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D,设AB→=a,AC→A.a+b B.12C.a+12b D.a+2解析:设圆的半径为r,在Rt△ABC中,∠ABC=π2所以∠BAC=π3,∠ACB=π又∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D,所以∠ACB=∠BAD=∠CAD=π6则根据圆的性质得BD=CD=AB,又因为在Rt△ABC中,AB=12所以四边形ABDO为菱形,所以AD→=AB→+AO→12.已知O为坐标原点,向量OA→=(1,2),OB→=(-2,-1),若2AP→=AB→,则|解析:因为2AP→=AB所以2(OP→-OA→)=OB→所以2OP→=OA→+所以OP→=12(OA→+OB→)=(-所以|OP→|=14+答案:213.已知a=(1,0),b=(2,1).(1)当k为何值时,ka-b与a+2b共线;(2)若AB→=2a+3b,BC解:(1)ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1),a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2).因为ka-b与a+2b共线,所以2(k-2)-(-1)×5=0,即2k-4+5=0,得k=-12(2)法一因为A,B,C三点共线,所以AB→=λBC即2a+3b=λ(a+mb),所以2=λ,3=法二AB→BC→因为A,B,C三点共线,所以AB→∥BC所以8m-3(2m+1)=0,即2m-3=0,所以m=3214.如图,已知平面内有三个向量OA→,OB→,OC→,其中OA→与OB→的夹角为120°,OA→与OC→的夹角为30°,且|OA→|=|OB→|=1,|OC解:法一如图,作平行四边形OB1CA1,则OC→=OB1因为OA→与OB→的夹角为120°,OA→与OC所以∠B1OC=90°.在Rt△OB1C中,∠OCB1=30°,|OC→|=23所以|OB1→所以|OA1→所以OC→=4OA→+2所以λ=4,μ=2,所以λ+μ=6.法二以O为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(1,0),B(-12,32),C(3,由OC→=λOA→+μ得3=λ-所以λ+μ=6.15.若α,β是平面内一组基底,向量γ=xα+yβ(x,y∈R),则称(x,y)为向量γ在基底α,β下的坐标,现已知向量a在基底p=(1,-1)