数学-吉林省吉林市普通中学2024-2025学年高中毕业年级第二次调研测试（吉林二模）试题和答案

吉林地区普通高中2024-2025学年度高三年级第二次模拟考试说明：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，贴好条形码。2.答选择题时，选出每小题答案后，用2b铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，用0.5毫米的黑色签字笔将答案写在答题卡上。字体工整，笔迹清楚。3.请按题号顺序在答题卡相应区域作答，超出区域所写答案无效；在试卷上、草纸上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。1.命题p:x∈R，x2≥0，则p为A.x∈R，x2＜022.设全集U=Z，A={-1,0,1}，B={x∈N||x|≤2}，则图中阴影部分表示的集合是A.{1}B.{-1,2}C.{0,1}3.在ΔABC中，点D为AB的中点，点O为ΔABC的重心，则OA+OB=A.COB.ODC.2COD.2DO4.已知随机事件A和B，下列表述中错误的是A．若B二A，则P(AB)=P(B)B．若B二A，则P(AUB)=P(A)C．若A，B互斥，则P(AB)=1D．若A，B互斥，则P(AUB)=P(A)+P(B)5.已知双曲线C的右焦点为F(2,0)，点P在双曲线上且满足PF丄x轴，若|PF|=3，则双曲线C的实轴长为A.1B.2C.4D.86.定义：到定点(a,b)的距离为定值d的直线系方程为(x-a)cosθ+(y-b)sinθ=d(θ∈R)，此方程也是以(a,b)为圆心，d为半径的圆的切线方程.则当θ变动时，动直线xcos2θ+ysin2θ=2cos2θ(θ∈R)围成的封闭图形的面积为A.1B.2C.πD.4π7.已知等差数列{an}的首项为1，且a3，a5+1，2a6成等比数列，则数列{(-1)nan}的前2025项和为A.-1013B.-505C.505D.10138.定义：[x]为不超过x的最大整数，区间[a,b]（或(a,b)，[a,b)，(a,b]）的长度记为b-a.若关于x的不等式k[x]＜ln[x]的解集对应区间的长度为1，则实数k的取值范围是A.k＜0B.C.D.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。A.在复平面内z对应的点位于第一象限B.-1+iD.若z是关于x的方程x2+px+2=0(p10.数学与音乐有紧密的关联，每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数y=Asin①x.像我们平时听到的音乐不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音.复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为f的基音的同时，其各部分，如二分之一，三分之一，四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如2f，3f，4f等，这些音叫谐音，因为振幅较小，我们一般不易单独听出来.所以我们听到的声音的函数是y=sinx+sin2x+sin3x+…，记fnsinkx则A.y=f2(x)的最大值为B.y=f3在上单调递增C.y=f4(x)的周期为2π,|fn(x)|≤n|x|11.已知f(x)是定义在R上的函数，对于任意实数a,b满足f(ab)=af(b)+bf(a)，当x＞1时，f(x)＞0，则A.f(1)=0B.f(|x|)=f(x)C.f(x)有3个零点D.若f(x)＞0，则—1＜x＜0或x＞1三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。其中14题的第一个空填对得2分，第二个空填对得3分。12.已知函数则f.直线AP，AQ的斜率之积为，则椭圆C的离心率为.CE=3AE，侧面SAB内一动点P满足CP=2PE，则点P的轨迹长度为；直线CP与直线AB所成角的余弦值的取值范围四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.（本小题满分13分）在ΔABC中，角A,B,C所对的边分别为a，b，c，sin2A-sinAsinB=cos2B-cos2C.16.（本小题满分15分）已知函数为自然对数的底数）.(Ⅰ)求函数f(x)的单调递减区间；(Ⅱ)若不等式f(x)＞m(x+1)在x∈(-1,+∞)上恒成立，求实数m的取值范围.17.（本小题满分15分）如图，一个直三棱柱ABC-A1B1C1和一个正四棱锥P-ABB1A1组合而成的几何体中，(Ⅱ)若平面BB1C1C与平面PBB1夹角的余弦值为，求正四棱锥P-ABB1A1的高.18.（本小题满分17分）国家设立国家自然科学基金，用于资助基础研究，支持人才培养和团队建设.现对近4年的国家自然科学基金项目支出（以下简称项目支出）概况进行统计，得到数据如下表：年份2023年年份序号1234项目支出/百亿元(Ⅰ)经过数据分析，发现年份序号与项目支出具有线性相关关系.请求出项目支出y关于年份序号x的经验回归方程，并预测2025年的项目支出；(Ⅱ)天元基金是国家自然科学基金中的数学专项基金之一，为促进甲、乙两个地区天元基金申报者的交流，天元基金委员会举办了论坛活动.经调查统计，甲、乙两个地区共有200人参加此次论坛活动，具体数据如下表：男生女生合计/人45合计/人(ⅰ)根据小概率值α=0.005的独立性检验，能否认为申报者所在地区与性别有关联？(ⅱ)为了解此次论坛活动的满意度（满意度评分满分为10分现采用按男、女样本量比例分配的分层随机抽样，从上述200人中抽取40人进行访谈，其中男生样本的满意度平均数为9分，方差为7.19，女生样本的满意度平均数为7分，方差为6.79，由这些数据，请求出总样本的满意度的平均数和方差，并对全体参加此次论坛活动的天元基金申报者的满意度的平均数和方差作出估计.ΛΛa=y-bxα0.0250.001xα2.7063.8415.0246.63519.（本小题满分17分）已知An(xn,yn)(n=1,2,3...)在抛物线x2=2py(p＞0)上，其中A1(1,1)，An关于y轴的对称点为Bn，记直线BnAn+1的斜率为kn，k1=2且kn+1=2kn.(Ⅰ)证明数列{xn+1-xn}是等比数列，并求出数列{xn}的通项公式；(Ⅲ)记an=log2(xn+1)，Tn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数r，k，使ar1=2Tk+16成立？若存在，求出r，k的值；若不存在，请说明理由.命题校对：高三数学核心组吉林地区普通高中2024—2025学年度高三年级第二次模拟考试数学学科参考答案一、单选题：本大题共8题，每小题5分，共40分。12345678CBACBCAD8.教学提示:原不等式的解集对应区间的长度为1，:不等式k<的正整数解有且只有一个.易知f(x)=在(0,e)上单调递增，(e,+∞)上单调递减，又:f(3)=，f(2)=f(4)=，ln2ln3二、多选题：本大题共3题，每小题6分，共18分。9ACBCDACD10.教学提示D.易证sinx≤x.:ifn(x)=sinx+sin2x+…+sinnx11.教学提示（法一）已知f(ab)=af(b)+bf(a)，令a=1,b=x，则f(一x)=f(x)，B选项不正确；令a=x,b=，则f(1)=xf()+f(x)=0，:当x>1时，0<<1，:f(x)>0，:f()<0，即当0<x<1时，f(x)<0.又:f(x)是奇函数，:当一1<x<0时，f(x)>0；当x<一1时，f(x)<0.:f(0)=f(1)=f(一1)=0，:C选项正确，D选项正确.（法二）当x=0时，f(x)=0.即f(x)=xlogc|x|(c>0且c≠1).又:当x>1时，f(x)>0，:c>1，即f(x)=xlogc|x|(c>1).综上f(x)={:易得ACD选项正确，B选项错误.lxlogc|x|,x≠0.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 14.教学提示（法一）由CP=2PE得，点P轨迹是以A为球心，1为半径的球面，又:点P在平面SAB内，:点P在以A为圆心，1为半径，为圆心角的圆弧上，因此点P的轨迹长度为.建系如图，设P(cosθ,0,sinθ)(θ∈[0,])AB.CP AB.CPABCP2·(cosθ1)2+3+sin2θ52cosθ.ABCP36故直线CP与直线AB所成角的余弦值的取值范围为[0,].4（法二）设直线CP与直线AB所成角为θ,根据三余弦定理可知，cosθ=cosθ1cosθ2=，易知P从点M运动至N处，tanθ1逐渐减小，则cosθ1逐渐增大，由图可知，P从点M运动至N处cosθ2逐渐增大，则P在点M处时，cosθ取得最小值，此时cosθ=0，则P在点N处时，cosθ取得最大值，此时cosθ=cosθ1cosθ2=×=， 故直线CP与直线AB所成角的余弦值的取值范围为[0,].四、解答题：本大题共5小题，共77分。2AsinAsinB=cos2Bcos2C=(1sin2B)(1sin2C)=sin2Csin2B，得sin2A+sin2Bsin2C=sinAsinB.由正弦定理得a2+b2—c2=ab.···················································································2分i6)23ab，解得ab=1. 即ΔABC的面积S为.·························································································6分在ΔABC中，SΔABC=SΔACD+SΔBCD由CD=，得ab=a+b=(a+b)，所以ab=(a+b 所以a+b的最小值为.·······················································································13分xf’(x)=xe.····································································································4分:f(x)的单调递减区间为(—∞,—1)，(—1,0).·····························································7分xx:x+1>0:m<e.································9分2当x>1时，g(x)>0，g(x)在(1,+∞)上单调递增.······················································13分则g(x)min=g(1)=，:m<，即m的取值范围是(—∞,17.【解析】【此处也可直接证明：正四棱锥P—ABB1A1中，A1B1丄AA1.】又:A1B1丄A1C1，AA1∩A1C1=A1,AA1,A1C1平面ACC1A1，:A1B1丄平面ACC1A1.····························································································5分又:A1B1平面PA1B1，:平面PA1B1丄平面ACC1A1.·················································································7分(Ⅱ)（法一）以A为原点，AA1，CA，AB所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,0,2),B1(2,0,2),C(0,—2,0).设正四棱锥P—ABB1A1的高为h，则P(1,h,1)，设平面BB1C1C的一个法向量为n1=(x1,y1,z1).取z1设平面PBB1的一个法向量为n2=(x2,y2,z2)，1设平面BB1C1C与平面PBB1夹角为θ,2102所以正四棱锥P—ABB1A1的高为2或.·····································································15分（建系方式二）以A为原点，AC，AA1，AB所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，此时可得平面BB1C1C的一个法向量为n1=(1,0,1)，（法二）取BB1中点M,CC1中点N，连接PM，MN.:正四棱锥P—ABB1A1，:PB=PB1，:PM⊥BB1.又:直三棱柱ABC—A1B1C1中,四边形BB1C1C是矩形，:M，N分别为BB1，CC1的中点，:MN//B1C1，:B1C1丄BB1，:MN⊥BB1，:∠PMN或其补角即为平面BB1C1C与平面PBB1的夹角，设正四棱锥P—ABB1A1的高为h,则PM=hh2·······················································11分:A1B1丄A1C1且A1B1=A1C1=2, :B1C1=MN=2·2.作PH⊥平面AA1C1C，垂足为H，连接NH，在ΔPMN中，由余弦定理得，PN2=PM2+MN2—2PM.MNcos上PMN,22222 所以正四棱锥P—ABB1A1的高为2或.·····································································15分（法三）取AA1中点F,BB1中点M,CC1中点N,连接NF、MN、MP、MF,并延长NF、MP交于点Q，取MN中点E,连接EP,EP、MF交于点G.:正四棱锥P—ABB1A1中，PB=PB1:PM⊥BB1.又:直三棱柱ABC—A1B1C1中,四边形BB1C1C是矩形，:M，N分别为BB1，CC1的中点，:MN//B1C1，:B1C1丄BB1，:MN⊥BB1，:上NMQ或其补角即为平面BB1C1C与平面PBB1的夹角，即cos上NMQ=或.··················································································11分设正四棱锥P—ABB1A1的高为h，则PG即为四棱锥P—ABB1A1的高，MG2+GP2:MP=.:ΔMFQ中，GP丄MG2+GP2:MP=:GP//FQ，又G为MF的中点，:GP为ΔMFQ的中位线，:FQ=2h.2:MQ=2MP=2 2222 所以正四棱锥P—ABB1A1的高为2或.·····································································15分18.【解析】2Λ所以b=(xix)(yiy) (xix)2295ΛΛΛ所以国家自然科学技术基金项目支出y关于年份序号x的经验回归方程为y=5.8x+84.·······5分Λ预测2025年的国家自然科学技术基金项目支出为118.8百亿元.·········································6分xi4x422xi4xΛ所以国家自然科学技术基金项目支出y关于年份序号x的经验回归方程为y=5.8x+84.······5分Λ预测2025年的国家自然科学技术基金项目支出为118.8百亿元.·········································6分H0:申报天元基金者的所在地区与性别无关联.根据列联表中的数据，经计算得到2800·2800·依据小概率值α=0.005的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为申报天元基金者的所在地区与性 (ⅱ)把男生样本的满意度平均数记为x，方差记为s；女生样本的满意度平均数记为y，方差记为s；总样本的满意度平均数记为z，方差记为s2.根据男、女样本量按比例分配的分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，s22]2]19.【解析】(Ⅰ)证明：:点A1(1,1)在抛物线x2=2py(p>0)上，:2p=1，即抛物线方程为x2=y.····························································································1分:An(xn,x),Bn(一xn,x),An+1(xn+1,x+1).22n+1xn.···················································································3分:kn+1=2kn，:xn+2一xn+1=2(xn+1一xn).:{xn+1一xn}是以2为首项，2为公比的等比数列，即xn+1一xn=2n.································5分12n12n1(n:x1=1符合上式，:数列{xn}的通项公式是xn=2n一1.················