声学理论简明教程 课件 第4章上 理想流体中的声波

2025-1-281理想流体中的声波Soundwavesinideal

fluids声学基础 王新龙

编著概述声或声波（sound,

sound

waves）：宏观经典波动现象因机械扰动，流体媒质发生稠密（压缩）与稀疏（膨胀）的过程；扰动过程由近及远，由此及彼；是一种机械波或者压缩膨胀波。水波是不可压缩流体的机械波。媒质（medium）：具有弹性的物质连续体流体：只有恢复力，无切向力，故仅存纵波—传播方向同于流体质点的振动方向；固体：有切应力，可产生切应变，从而也可形成横波。理想流体（ideal

fluids）：无黏性，无热导，无声能损耗声系统：声波2025-1-28SuzhouInstituteof

Technology2声辐射器声接收器弹性介质声学基础 王新龙

编著流体质点及其运动质点：体积

V宏观极小，

V

0，但微观含很多分子原子。流体：无穷多的质点构成的宏观连续媒质，如空气、水。质点运动的轨迹：t时刻位于r的流体质点，是参考时间t0<t时从位置r0＝(a,

b,

c)位移而来，位移

r=(

,

,

)=r

r0，故

x

t

a

a,

b,

c,

t

y

t

b

a,

b,

c,

t

z

t

c

a,

b,

c,

t

质点的运动量——速度：r

t

x

t

,

y

t

,

z

t

=r0

r,r0Ot=t0t

>t0

rr

V

r

r

Vr

0

V2025-1-28SuzhouInstituteof

Technology3

V

d

d

d

lim

r

dr

d

v

t

0

t

r

,

,

dt dt dt dt dt声学基础 王新龙

编著流体质点的物理量流场：任意时刻t，流体的状态在空间r=(x,

y,

z)

呈连续的分布——场。因此，在给定的时刻

t，任何物理量

f

作为可实验课观察的量是空间r的分布函数

f=f(r,t)；例如，质点的速度：v=

v(r,

t)，密度：

=

(r,t)，压强：P=P(r,t)；温度T=T(r,t)；…另一方面，流体由质点构成，t时刻位于r的质点是t0时刻从r0=(a,b,c)位置处迁移而来的，即r＝r(r0,

t)。故而，物理量

f

作为描述质点的运动量或状态量（如速度v，密度

等

），可以表为如下的复合函数：f

f

r

r0

,

t

,

t

=f

r0

,

t

物理量的时间变化率d

t

t2025-1-28SuzhouInstituteof

Technology4

d

dt

td f

r,t

f

r,

t

v

f

r,

t

d =

v

d

t

t

迁移导数全导数 本地导数声学基础 王新龙

编著时间变化率的物理意义时间全导数：随着流体质点的运动，运动量或状态物理量的时间变化率，例如，d v

r,

t

,

d

T

r,

t

,

d

r,

t

dt dt dt依次表示质点的加速度，质点的温度变化率，质点的密度变化率，等等。时间偏导数：表示空间固定位置处物理量的时间变化率，例如：

v

r,

t

,

T

r,

t

,

r,

t

t

t

t依次表示空间r处流速、温度、密度的时间变化率。2025-1-28SuzhouInstituteof

Technology5声学基础 王新龙

编著声与媒质扰动，线性声学假设声波是媒质质点在其平衡位置附近的机械振动扰动，静媒扰动变化，压力扰动——压力逾量：密度扰动——密度逾量：溫度扰动——温度逾量：p

dP

P

P0

d

0

dT

T

T0质的质点运动量（如v）本身是扰动量媒质的扰动引起压力P、密度

、温度T诸状态变量皆发生P0

P, T0

T

,

0

,

声压，最易测量2025-1-28SuzhouInstituteof

Technology6声学量：运动与状态的扰动量线性声学的基本假设：所有扰动量相比对应的静态量都是小量（微扰动）。对于非流动媒质，运动量v都是扰动量。所以，对于任意扰动量的全导数近似等于偏导数，例如dp

p

v

p

p

,

d

dt

t

t dt

t声学基础 王新龙

编著声压及其单位定义：压强的逾量p≡

P-P0相较于其它声学扰动量，声压最易测量。有效声压（声波是周期的或准周期的扰动）：声压单位：1

Pa（帕）=

1

N/m2

=

10

Dyne/cm2=

106

Pa

(微帕)=

9.8692327×10-6

（

10-5）大气压1bar（巴）=

100kPa

=

105Pa1millibar（毫巴）

=

10-3bar1

-bar（微巴）=

10-6bar

=10-1Pa

=

1

Dyne/cm222025-1-28SuzhouInstituteof

Technology701

Tpe

T

p

dt声学基础 王新龙

编著流体的可压缩性：以一维为例设一维流体速度v

=v(x,t)。时刻t流体元占据[x,

x+

x]，因

x

0此元段可视为质点。经

t

0的时间后，该流体元的左右边界分别移动到了：x2025-1-28SuzhouInstituteof

Technology8Oxx+

xv|x+

t

tv|x

t

v

x

x,t

t

v

x,t

t

x

0

v

t

x

x容变的时间变化率——容变率：x

v

x,t

t, x

x

v

x

x,t

t故其容变

（单位体积的增量）为d

lim

v

x,t

t

0

tdt

x声学基础 王新龙

编著可压缩性与容变率推而广之，三维流体质点的速度v

=

(vx,

vy,

vz)，经

t

0时间后，其容变为质点的容变率：如果V是质点的体积

V，则可见，质点的容变率等于速度的散度。线性近似：

t

0dt

t

x

y

zd

lim

vx

vy

vz=

v

t

v

=

vdt

vx

vy

vz

t2025-1-28SuzhouInstituteof

Technology9

x

y

z

声学基础 王新龙

编著流体的质量守恒：以一维为例设流体元[x,

x+

x]在空间固定，但

x

0。

t时刻其质量为

(x,t)

x

。经

t

0的时间后，从左右两侧边界流入的质量为xOxx+

xv|x+

t

tv|x

t这导致元段内流体质量的增加

，即

x,t

t

x

x,t

x

t

x,t

t

x此两者相等，故而：x x

x2025-1-28SuzhouInstituteof

Technology10

v

t

v

t

x,t

v

x,t

x

t

x

0

v

x

0,

t

0

v

t

x

t

x线性化声学基础 王新龙

编著质量守恒定律，连续性方程设质点体积

V（

0）、密度

，其质量为

V。根据质量守恒定律：此即连续性方程。线性化形式：

2025-1-28SuzhouInstituteof

Technology11dtdtdtd

1

d

d

dtd

V

=0

d

V

0

1

d

+

1

dt

V

dt

d

d

V

V

d

t

t

dt

td

v

d

v

v

0v

00

t

v=0声学基础 王新龙

编著体弹性与压缩率压缩率（压缩系数）

绝热的：等温的：体弹性系数（模量）：弹性关系：TTTT T

lim 1

V

lim

1

P

0

V

P

P

0

P

P

Pssss=1

lim

1

V

lim

V

P

P

0

P

0

P

P

P

s0dP

d

dp

d

线性化

1

V

P

=

P

P

V

PPP

1

VV

T

1

T

T热膨胀系数0 02025-1-28SuzhouInstituteof

Technology120

线性化下，

,

1声学基础 王新龙

编著水的压缩性，声波与水波之别从连续性方程和状态方程得压缩系数：水的压缩系数远小于空气空气：

0

6.984×10-6（米×秒2/公斤）水：

β0=4.556×10-10（米×秒2/公斤）水波的频率远低于声波，故等式右端可忽略，

00

t1d

dtp

pexp

jdP

p

a

j

pdt

t

v

0,

0故在研究水波问题中，一般假定水不可压缩，水密度

是常数。而在水声问题中，

v

02025-1-28SuzhouInstituteof

Technology13dt

dt

v

0

d

1d

v

0声学基础 王新龙

编著状态方程及其变化，声速、0

一般流体需要两个状态变量描述其状态，如压强P温度T，等等。譬如，密度

的状态方程形如：

P,T

P,

s

理想流体的热力学过程是绝热的，熵s是常数，故

P

D P

P

声扰动下的绝热状态变化：例如，d

dP

dT

1

dP

dT

线

性

化

1 p

P

T c2 c2 0 0T P T T

0

dP

ds

绝

热

过程

1

dP

线

性

化

1 p

P

s c2 c2s P s s

0声速c的定义：c2

P

= 1

静

态

值

c2

1

00002025-1-28SuzhouInstituteof

Technology14声学基础王新龙

编著质点运动方程——欧拉方程设质点体积为

V=

x

y

z的微矩形体（

0），其两个x平面表面受到的压力合力为：根据牛顿定律，立得线性化：x x

xP

y

z

P

y

z

P

V

xdt同理

dvx

P

P

V

0

dvx

x dt

xdt

dvy

P

,

dvz

P

y dt

zyy+dyz+dz(x,y,z)x+dxxz

vx

p

,

v

pdt

dv

P00

t

x

t2025-1-28SuzhouInstituteof

Technology15声学基础 王新龙

编著线性声波方程在线性化的方程中消去实验难以直接测量的

，得到一对声波基本方程：声压波方程：再消去v，得到220 00 00yxx

v

p

v

p

c

vz

=0

t

x

y

z

t

0+

p=0

v

p

t

x

c

v=0

v

t

0,

0

0c0

2025-1-28SuzhouInstituteof

Technology1602pc2c21

2p

2

1

2

p

2

p

2

p

2

p

t

2

t

2

=

x2

y2

z2

pdt

1

p,

v

1

声学基础 王新龙

编著速度势及其波动方程从质点运动方程可知，

v

p

v

0

v

0

t即，速度v是无旋的，因此可以引入速度势

。在运动方程v以速度势

取代，对空间积分得到

p

p

,

C

t

dt

0

t

0

t

其中C是仅含t的积分常数。物理上，

与

等价。代入前述第一个方程，得到

v

v

,

p

1

2

+ p=0

0

t

2 000

t

t

2c2SuzhouInstituteofTechnology2025-1-2817声学基础 王新龙

编著一维声波：平面行波声波沿x正方向传播的声压波：波阵面：物理量的等值曲面，平面声波的波阵面是与传播其传播速度：p

p

c0t

x

可证，三维空间满足声波方程且沿单位矢量n=(nx,

ny,

nz)方向的行波声波为：p

p

c0t

n

r

,

r

x,

y,

z

v

1

p

d

t=

p n

0

0c0nxyzxo

0方向垂直的平面：

n

r

c

t

const.

2025-1-28SuzhouInstituteof

Technology18d

0

c0

t

n

r

声学基础 王新龙

编著简谐平面声波，相速度频率为

的声压行波：波数k：单位长度内波的数目（

2

）质点速度和位移与声压：波矢的定义

a 0p=p ec, k

j

t

kxaaaavvpa

0c0

2

j

e

v

,

a

v

v e

j

t

kx

j

t

kx

aj

p=p e ,

t

kn

x相平面：

t

kx

const相速度c0：相平面的传播速度任意方向传播的频率为

的声波：

c02025-1-28SuzhouInstituteof

Technology19k

kn, k

k

k

t

kn

r

kn声学基础 王新龙

编著一维声波：任意平面声波一维声压波的通解可表为p

p

c0t

x

p

c0t

x

式中p+

p-分别是沿x轴相反方向传播的平面行波。根据公式， v

1

p

dt

0

x从声压可求得质点速度v

p

c0t

x

p

c0t

x

p

0c0

0c0简谐情形：

p

p e

j

t

kx

p e

j

t

kx

a

a

cv

p e

j

t

kx

p e

j

t

kx

00

a

a2025-1-28SuzhouInstituteof

Technology20声学基础王新龙

编著声波的传播速度—声速静态声速c0反映媒质声学性质。稀疏气体：c0

0。不可压缩的：c0=

理想气体绝热过程中：声速参数的定义：

理想气体的克拉柏龙公式：0d

Pd

s

1d

c

dP

c0

c

00

P

P

P

const.

s

P

c

，c0

PV

M

RT

P

RT

其中，T

绝对温度，V

体积，

M

质量(kg)，R

气体常数，

摩尔量。所以，

2025-1-28SuzhouInstituteof

Technology21c0

RT0

c0

0o

C1

273

331.6

0.6

,

T

273

空气（20

C）：c0=344

m/s水（20

C）：c0=1483m/s声学基础 王新龙

编著声阻抗率，媒质特性阻抗在声集中参数系统中定义的声阻抗(acoustic

impedance)：不适合分佈式的声场声阻抗率(specific

acousticimpedance)实部Re(z

)：声阻率s虚部Im(zs)

：声抗率单位：牛顿

秒/米3

（N

s/m3）帕

秒/米（Pa

s/m）平面声波：正向波：反向波：声阻率：

Re(zs)

：zs

0c0表示能量的“损耗”；不一定转换为热能，可以是传播“损耗”媒质的特性阻抗(Char.

Imped.)z0

0c0反映媒质的声特性空气(20

C)：z0=415

N

s/m3水(20

C)：c0=1.48×106N

s/m3zs

0c0aZU

pp2025-1-28SuzhouInstituteof

Technology22zs

v声学基础 王新龙

编著声波能量，声能密度质点体积

V

0（初始体积

V0、压强P0、密度

0）动能：声波扰动的动能：

2220 00 01212k

E

V v

V

V

V v , v

v

v,

2021222kps0

p

c

E

E

lim

V0

0

v22

p

1

v2

1

0

2

V0

0 0

02025-1-28SuzhouInstituteof

Technology23020 02pps

0s

0

c

c势能：逾压（声压）p对质点所作的功：

V

V0

0 0

V 1

E

p

d

V

0p

d

p

p2

V

d

V

d

,

1

V声能密度：

0 0

2

声学基础 王新龙

编著声能守恒定律声能守恒：从声学基本方程组

v

p,

p

v0

t 0

t前式

v，后式

p，两者相加，可导出

pv

V

dV

dV

D

pv

dS

t

t V S可见，体积V中声能（见下式）之增加，等于从边界S流入的。

dVV平面声波：因

0c0v=p，T=Vp p2 p

2v

p2,

c

c2 s

0 2

c20000002025-1-28SuzhouInstituteof

Technology24声学基础 王新龙

编著声功率，能流，声强声功率（声能通量）：经任意曲面S的声功率为W

S

v

p

d

S