七年级数学下册同步学与练（浙教版）第06讲 平行线中的四大基本模型（4类题型+20道拓展培优题）（原卷版）

第06讲平行线中的四大基本模型（4类题型+20道拓展培优题）【题型目录】题型一平行线基本模型之M模型题型二平行线四大模型之铅笔模型题型三平行线四大模型之“鸡翅”模型题型四平行线四大模型之“骨折”模型【经典例题一平行基本模型之M模型】【结论1】若AB∥CD，则∠B0C=∠B+∠C【结论2】若∠BOC=∠B+∠C，则AB∥CD.【结论3】如图所示，AB∥EF，则∠B＋∠D=∠C十∠E朝向左边的角的和=朝向右边的角的和结论3的模型也称为锯齿模型；锯齿模型的变换解题思路拆分成猪蹄模型和内错角拆分成2个猪蹄模型【例1】（2023下·福建莆田·七年级校联考期中）如图，，则满足的数量关系为（

）

A． B．C． D．【变式训练】1．（2023下·安徽·九年级专题练习）如图，已知：，，求证：．在证明该结论时，需添加辅助线，则以下关于辅助线的作法不正确的是（

）

A．延长交的延长线于点B．连接C．分别作，的平分线，D．过点作（点在点左侧），过点作（点在点左侧）2．（2023下·山东泰安·六年级统考期末）如图，已知直线，为平面内一点，连接，．则、、之间的等量关系为．

3．（2023下·山东聊城·七年级校考阶段练习）如图，已知直线，、和、分别交于点、、、，点在直线或上且不与点、、、重合．记，，．

(1)若点在图（1）位置时，求证：；(2)若点在图（2）位置时，写出、、之间的关系并给予证明．【经典例题二平行基本模型之铅笔模型】【结论1】如图所示，AB∥CD，则∠B+∠BOC+∠C=360°【结论2】如图所示，∠B+∠BOC+∠C=360°，则AB∥CD.变异的铅笔头：拐点数n,∠A+...+∠C=180°×（n+1）拐点数：1拐点数：2拐点数：n【例2】（2023下·山东德州·七年级统考期中）如图，，则下列说法中一定正确的是

A． B．C． D．【变式训练】1、（2023下·甘肃白银·七年级校考期中）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数为（

）

A． B． C． D．2、（2023下·浙江杭州·七年级统考期末）如图，，射线，分别与，交于点M，N，若，则的度数是．

3、（2023下·内蒙古鄂尔多斯·七年级统考期中）探究题(1)如下图，，，．求度数；

(2)如下图，，点在射线上运动，，．

①当点P在A，B两点之间运动时，，，之间的数量关系为__________②当点P在A，B两点外侧运动时(点P与点A，B，O三点不重合)，请写出，，之间的数量关系，并说明理由．

【经典例题三平行基本模型之“鸡翅”模型】【例3】（2023秋·全国·八年级专题练习）①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，直线EF，点在直线上，则．以上结论正确的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式训练】1、（2023秋·八年级课时练习）（1）已知：如图（a），直线．求证：；（2）如图（b），如果点C在AB与ED之外，其他条件不变，那么会有什么结果？你还能就本题作出什么新的猜想？2、（2023春·广东东莞·七年级东莞市光明中学校考期中）（1）如图（1）AB∥CD，猜想∠BPD与∠B、∠D的关系，说出理由．（2）观察图（2），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，并说明理由．（3）观察图（3）和（4），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，不需要说明理由．3、（2023·全国·七年级假期作业）已知，，．（1）如图1，求证：；（2）如图2，作的平分线交于点，点为上一点，连接，若的平分线交线段于点，连接，若，过点作交的延长线于点，且，求的度数．【经典例题四平行基本模型之“骨折”模型】【例4】（2023·全国·九年级专题练习）如图所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝20°，则∠EAB的度数为__________．【变式训练】1、（2023春·湖北黄冈·七年级校考期中）如图，已知∠ABC=80°，∠CDE=140°，则∠BCD=_____．2、（2023春·江苏盐城·七年级景山中学校考阶段练习）如图，若，则∠1+∠3-∠2的度数为______3、（2023春·全国·七年级专题练习）（1）如图，AB//CD，CF平分∠DCE，若∠DCF=30°，∠E=20°，求∠ABE的度数；（2）如图，AB//CD，∠EBF=2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍与∠E的补角的和为190°，求∠ABE的度数．（3）如图，P为（2）中射线BE上一点，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，GN//PQ，GM平分∠DGP，若∠B＝30°，求∠MGN的度数．【拓展培优】1．（2024上·重庆沙坪坝·九年级重庆南开中学校考期末）如图，，，，则可以表示为（

）A． B． C． D．2．（2022下·浙江宁波·七年级统考期末）如图，，，设，，则与之间的数量关系正确的是（

）A． B．C． D．与没有数量关系3．（2022下·河北邯郸·七年级统考期中）如图，若，则、、之间关系是（

）

A． B．C． D．4．（2023下·江苏泰州·七年级泰州市第二中学附属初中校考阶段练习）如图，已知和分别平分和，若，，则的度数为（

）

A． B． C． D．5．（2023下·广东深圳·七年级校考期中）如图，E在线段的延长线上，，连交于G，的余角比大，K为线段上一点，连，使，在内部有射线，平分．则下列结论：①；②平分；③；④．其中正确结论的个数有（

）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．（2023下·重庆北碚·七年级西南大学附中校考期中）如图，已知分别为的角平分线，，则下列说法正确的有（

）个．①②③平分④A．4 B．3 C．2 D．17．（2021下·重庆九龙坡·七年级重庆市杨家坪中学校考期中）如图，，点E在上，点G，F，I在，之间，且平分，平分，．若，则的度数为（

）．A． B． C． D．8．（2022下·河北唐山·七年级统考期中）如图，已知，于点，，，则的度数是（

）A． B． C． D．9．（2023下·湖南长沙·七年级统考期末）（1）如图一，，，，则．（2）如图二，，，，，分别平分和，则，满足的数量关系为．

10．（2023下·湖北武汉·七年级校考阶段练习）如图，，点，在直线上（在的左侧），点在直线上，，垂足为，为线段上的一动点，连接，，与的角平分线交于点，且点在直线，之间的区域，下列结论：①；

②；③若，则；④若，则，其中为正整数．上述说法正确的是（写出所有正确结论的序号）．

11．（2022上·广东广州·八年级广州市黄埔军校纪念中学校考开学考试）如图①所示，四边形为一张长方形纸片．如图②所示，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（、、），则（度）；

（1）如图③所示，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（、、、），则（度）；（2）如图④所示，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（、、、、），则（度）；（3）根据前面的探索规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是（度）．12．（2022下·四川成都·七年级四川省成都市七中育才学校校考期末）已知直线，射线、分别平分，，两射线反向延长线交于点，请写出，之间的数量关系：．13．（2021下·上海浦东新·七年级期中）如图，已知AD∥CE，∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的平分线交于点F，若∠AFC的余角等于2∠ABC的补角，则∠BAH的度数是．14．（2021下·黑龙江哈尔滨·七年级统考期中）已知，点、分别为、上的点，点、、为、内部的点，连接、、、、、，于，，，平分，平分，则（小于平角）的度数为．15．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）已知：直线与直线内部有一个点，连接．(1)如图，当点在直线上，连接，若，求证：；(2)如图，当点在直线与直线的内部，点在直线上，连接，若，求证：；(3)如图，在（）的条件下，、分别是、的角平分线，和相交于点G，和直线相交于点，当时，若，，求的度数．16．（2023上·全国·八年级专题练习）已知，，直线交于点，交于点，点在线段上，过作射线、分别交直线、于点、．(1)如图，当时，求的度数；(2)如图，若和的角平分线交于点，求和的数量关系；(3)如图，在（）的基础上，当，且，时，射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为秒，当射线与的一边互相平行时，请直接写出的值．17．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第一一三中学校校考阶段练习）已知，，点、点分别在线段上．

(1)如图1，点在直线之间，求证．(2)如图2，分别过点和点作直线，使，以点为顶点作直角，并且的两边分别与直线交于点和点，则____________．（直接写出角度和）(3)如图3，在（2）的条件下，若和恰好分别平分和，并且，求的度数．18．（2022下·湖南长沙·七年级校考阶段练习）如图1，，为、之间一点．(1)若平分，平分．求证：；(2)如图2，若，，且的延长线交的角平分线于点，的延长线交的角平分线于点，猜想的结果并且证明你的结论；(3)如图3，若点是射线之间一动点，平分，平分，过点作于点，请猜想与的关系，并证明你的结论．19．（2022下·江苏连云港·七年级统考期中）已知．

知识回顾（1）如图，点在两平行线之间，试说明：．知识应用（2）如图，、分别平分、，利用中的结论，试说明：；（3）如图，直接写出、、、四个角之间的数量关系．知识拓展（4）如图，若，，、分别平分、，那么______；只要直接填上正确结论即可（5）如图，若、、三个角的和是，、分别平分、，那么______用含的式子表示20．（2023下·河北石家庄·七年级校考期中）【问题解决】如图①，，点是，内部一点，连接，．若，，求的度数；嘉琪想到了如图②所示的方法，请你帮她将完整的求解过程补充完整；解：过点作（________________），（已知）（________________）（________）（_______