七年级数学下册同步学与练（浙教版）第03讲 平行线的判定（3个知识点+4类题型）（解析版）

第03讲平行线的判定（3个知识点+4类题型）课程标准学习目标1.同位角相等两直线平行；2.内错角相等两直线平行；3.同旁内角互补两直线平行；4、垂直于同一直线的两直线平行；1.掌握同位角相等两直线平行；2.掌握内错角相等两直线平行；3.掌握同旁内角互补两直线平行；4、掌握垂直于同一直线的两直线平行；知识点1：平行线判定1判定方法（1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行简单说成：同位角相等，两直线平行。几何语言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）知识点2：平行线判定1判定方法（2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行。∵∠2＝∠3∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）知识点3：平行线判定1判定方法（3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行简单说成：同旁内角互补，两直线平行。∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）【即学即练1】1．（2023下·浙江温州·七年级校联考阶段练习）如图，在下列给出的条件中，能判定的是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】可以从直线的截线所组成的“三线八角”图形入手进行判断．【详解】解：A、∵，∴，不能证明，不符合题意；B、∵，∴，符合题意；C、∵，∴，不能证明，不符合题意；D、∵，∴，不能证明，不符合题意；故选：B．【点睛】此题考查平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．【即学即练2】2．（2023下·浙江湖州·七年级统考期中）如图，下列条件中，不能判定的是（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】根据同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行；进而判断即可．【详解】根据，可得；根据，可得；根据，可得；根据，可得；故选：C．【点睛】本题考查平行线的判定定理，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．【即学即练3】3．（2023下·七年级单元测试）如图，下列能判定的条件有（

）①；②；③；④.

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据题目中的条件，可以写出各个小题中的条件可以得到哪两条线平行，从而可以解答本题．【详解】解：①∵，∴，故①符合题意；②∵，∴，故②不符合题意；③∵，∴，故③符合题意；④∵，∴，故④符合题意；综上，①③④符合题意，共3个，故选：C．【点睛】本题考查了平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解题的关键．【即学即练4】4．（2023下·浙江宁波·七年级校联考期中）如图，点在的延长线上，下列条件中能判断的是()

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据平行线的判定定理，逐项分析判断即可求解．【详解】解：A.，，故该选项不符合题意；

B.，∴，故该选项符合题意；

C.，，故该选项不符合题意；

D.，，故该选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握平行线的判定定是解题的关键．题型01同位角相等两直线平行1．（2024下·全国·七年级假期作业）如图，下列说法正确的是（

）A．若，可得 B．若，可得C．若，可得 D．若，可得【答案】C2．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）如图能判断的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了平行线的判定．根据平行线的判定定理，逐项判断，即可求解．【详解】解：A、与是对顶角，无法判断，故本选项不符合题意；B、与是同旁内角，无法判断，故本选项不符合题意；C、能判断，故本选项符合题意；D、与是邻补角，无法判断，故本选项不符合题意；故选：C3．（2024下·全国·七年级假期作业）如图，请填写一个条件，使结论成立：因为，所以（填一种情况即可）．【答案】（答案不唯一）4．（2023下·河南信阳·七年级校考阶段练习）如图，下列错误的是（填序号）．

①如果，那么；

②如果，那么；③如果，那么；

④如果，那么；⑤如果，那么．【答案】③⑤【分析】①②④可根据同位角相等，两直线平行即可判定；③⑤中两角都不是同位角、内错角或同旁内角，故无法判定平行关系．【详解】解：①②④都可根据同位角相等，两直线平行证明正确；因为③⑤中两角都不是同位角、内错角或同旁内角，故无法判定平行关系．故答案为：③⑤．【点睛】本题考查的是平行线的判定方法，掌握同位角相等，两直线平行是解题关键．5．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨工业大学附属中学校校考期中）如图，点A在射线上，点C在射线上，，．求证：．请将下面的证明过程补充完整．证明：∵（已知），，∴______，∵（已知），∴______（______），∴（______）．【答案】，，等量代换，同位角相等，两直线平行【分析】本题考查的是逻辑推理及其推理依据的理解；根据同角的补角相等可得，再根据等量代换可得，再利用平行线的判定方法可得．【详解】证明：∵（已知），，∴，∵（已知），∴（等量代换），∴（同位角相等，两直线平行）．题型02内错角相等两直线平行1．（2023上·黑龙江绥化·七年级校考阶段练习）如图，如果与、与分别互补，那么（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了同角的补角相等，平行线的判定；根据同角的补角相等可得，根据内错角相等，两直线平行可得．【详解】解：∵与、与分别互补，∴，∴，故选：B．2．（2023下·江苏·七年级专题练习）如图，以下条件能判定的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了平行线的判定；利用平行线的判定定理逐项判断即可．【详解】解：A、当时，根据同位角相等，两直线平行可得，不符合题意；B、当时，不能判定两直线平行，不符合题意；C、当时，根据内错角相等，两直线平行可得，符合题意；D、当时，不能判定两直线平行，不符合题意；故选：C．3．（2024下·全国·七年级假期作业）小友把一副三角板摆放在桌面上，如图所示，其中边，在同一条直线上，可以得到．【答案】4．（2023下·山东潍坊·七年级统考期中）如图，将两个完全相同的三角尺的斜边重合放在同一平面内，可以画出两条互相平行的直线．这样画的依据是．

【答案】内错角相等，两直线平行．【分析】由内错角相等，两直线平行，即可得到答案．【详解】解：∵两个三角尺是完全相同的，∴，与是内错角，由内错角相等，两直线平行，即可判定，因此可以画出两条互相平行的直线．故答案为：内错角相等，两直线平行．

【点睛】本题考查平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定方法，内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．5．（2021下·上海静安·七年级上海市市北初级中学校考期中）如图：已知直线与相交于点O，，，试说明的理由．

【答案】见解析【分析】首先根据等量代换和对顶角相等得到，然后利用内错角相等，两直线平行得到．【详解】证明：∵，∴∵∴∴．【点睛】此题考查了对顶角相等，内错角相等，两直线平行，解题的关键是熟练掌握以上知识点．题型03同旁内角互补两直线平行1．（2024下·全国·七年级假期作业）一学员练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，则这两次拐弯的角度可能是（）A．第一次向左拐，第二次向右拐B．第一次向右拐，第二次向左拐C．第一次向右拐，第二次向右拐D．第一次向左拐，第二次向左拐【答案】A【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据题意画出对应的示意图，结合平行线的判定条件进行求解即可．【详解】解：A．如图所示，由图可知，两次转弯后，行驶方向与原来相同，故A符合题意；B．如图所示，由图可知，两次转弯后，行驶方向与原来不相同，故B不符合题意；C．如图所示，

由图可知，两次转弯后，行驶方向与原来不相同，故C不符合题意；D．如图所示，

由图可知，两次转弯后，行驶方向与原来不相同，故D不符合题意．故选A．2．（2023上·辽宁丹东·八年级统考期末）如图，下列条件中，不能判定的是（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查了平行线的判定，在图形中具有相等关系或互补关系的两角首先要判断它们是否是同位角、内错角或同旁内角，被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线．【详解】解：A、∵，∴，内错角相等，两直线平行，故该选项不符合题意；B、∵，∴，同旁内角互补，两直线平行，故该选项不符合题意；C、无法判定，故该选项符合题意；D、∵，，∴，∴，同旁内角互补，两直线平行，故该选项不符合题意；故选：C．3．（2023下·江苏苏州·七年级校考阶段练习）如图，在下列四组条件中：①，②，③，④，能判定的是．（填序号）

【答案】①②④【分析】根据平行线的判定条件，逐一判断即可解答．【详解】解：①，能判断，故此选项符合题意；②，，故此选项符合题意；③，，故此选项不符合题意；④，，故此选项符合题意，故答案为：①②④．【点睛】本题考查了平行线的判定条件，即内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，熟知上述判定条件是解题的关键．4．（2023上·七年级课时练习）如图，已知，添加下列一个条件：①；②；③；④．其中能判定的是（填序号）．

【答案】①③④【分析】根据证得，结合每一个选项中的条件证得，即可推出．【详解】解：∵，∴，∴，①∵，，∴，∴，∴，故正确，故符合题意；②∵，，∴，∴不平行，∴不能判定，故错误，故不符合题意；③∵，，∴，∴，∴，故正确，故符合题意；④∵，∴，∵，∴，∴，∴，故正确，故符合题意；故答案为：①③④．【点睛】此题考查了平行线的判定定理，平行公理的应用，正确掌握平行线的判定定理是解题的关键．5．（2022上·安徽六安·八年级校考开学考试）如图，如果，，那么与平行吗？说说你的理由．【答案】，理由见详解【分析】本题考查平行线的判定：内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两直线平行，由此即可证明问题．【详解】解：，理由如下：．题型04垂直于同一直线的两直线平行1．（2023下·山东滨州·七年级校考期末）在同一平面内，是直线，下列关于它们位置关系的说法中，正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】D【分析】根据平行线的判定与性质、平行公理的推论判断求解即可．【详解】解：若，则，故A错误，不符合题意；若，则，故B错误，不符合题意；若，则，故C错误，不符合题意；若，则，故D正确，符合题意；故选：D．【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，平行公理的推论，熟练掌握平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．2．（2023下·湖北随州·七年级校联考期中）下列语句中正确的个数有（

）①过一点有且只有一条直线与已知直线平行②在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直③如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离⑤如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据平行公理及其推论、点到直线的距离和平行线的判定方法逐一判断即可得到答案.【详解】①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本说法错误；②在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本说法正确；③如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行，故本说法正确；④从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，故本说法错误；⑤在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行，故本说法错误；故选：B.【点睛】本题考查了平行公理及其推论、点到直线的距离和平行线的判定等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键.3．（2023下·山东淄博·七年级统考期中）若直线，，，，则直线，的位置关系是．【答案】【分析】根据垂直于同一直线的两条直线互相平行，得到直线、与直线、的位置关系，即可得到结论．【详解】解：∵，，∴；∵，，∴；∴，故答案为：．【点睛】本题考查了平行线的判定方法，平行公理的应用．掌握垂直于同一条直线的两条直线互相平行，平行于同一条直线的两条直线互相平行是解决本题的关键．4．（2023下·辽宁大连·七年级统考期中）学习了平行线后，王玲同学想出了过直线外一点P画直线a的平行线的新方法．他先按照图2动手实验，得到过点P的折线b，此时点A恰好落在直线a上；再按照图3动手实验，得到过点Ｐ的折线c，此时点B恰好落在折线b上．王玲同学发现：此时得到的过点P的折线c恰好与直线a平行，他的根据是．

【答案】在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行【分析】在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．据此即可解答．【详解】解：由图2可知：,由图3可知：,∴（在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行）．故答案为：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行是解答本题的关键．5．（2023下·湖北咸宁·七年级统考期末）如图，三角形中，．请依次解决下列问题：

(1)作交于点D，作于点E；(2)度；与的位置关系是；(3)点A到直线的距离是图中线段的长度．【答案】(1)见解析(2)30；(3)【分析】（1）利用三角板的两条直角边作图即可；（2）由垂直的定义可得，进而可求出的度数；根据垂直于同一直线的两条直线互相平行可判断与的位置关系；（3）根据点到直线距离的定义求解即可．【详解】（1）如图，

（2）∵，∴，∵，∴．∵，，∴．故答案为：30；；（3）∵，∴点A到直线的距离是图中线段的长度．故答案为：．【点睛】本题考查了垂线的定义及作法，角的和差，平行线的判定，以及点到直线的距离，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．A夯实基础1．（2022下·河北保定·七年级校考期中）如图，已知：，那么下列结论中，正确的是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据内错角相等，两直线平行直接进行判断．【详解】解：，，故选项B正确；当点可以是延长线上任意一点，如图，如点在点时，

故选项A，C，D不正确．故选：B．【点睛】本题主要考查了平行线的判定，解答本题要掌握内错角相等，两直线平行，此题难度不大．2．（2023上·广东揭阳·八年级统考期末）如图，能推断的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查平行线的判定，“同位角相等，两直线平行”，“同旁内角互补两直线平行”，“内错角相等两直线平行”，直接根据判定定理判定即可．【详解】解：A、∵，∴，不能推出；B、，∴，故本选项B正确；C、∵，∴，∴，不能推出；D、∵，∴，不能推出；故选：B．3．（2023上·全国·八年级专题练习）已知a，b，c在同一平面内的三条直线，若，，则ac．【答案】/平行【分析】本题考查了平行线的判定，熟知在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行是解题的关键．【详解】解：∵，，∴，故答案为：．4．（2024下·全国·七年级假期作业）如图，E是BA延长线上一点，有下列条件：①；②；③且；④．其中能判定的是（填序号）．【答案】③④【详解】解:①中，因为，所以（内错角相等，两直线平行），不符合题意；②中，因为，所以（同位角相等，两直线平行），不符合题意；③中，因为且，所以，所以（内错角相等，两直线平行），符合题意；④中，因为，所以（同旁内角互补，两直线平行），符合题意，5．（2023下·河南信阳·七年级统考期末）如图，直线，被直线所截，平分，，．求证：．

【答案】见解析．【分析】根据角平分线的定义，可证得，结合，即可证明结论．【详解】∵平分，，∴．又，∴．∴．【点睛】本题主要考查角平分线的定义和平行线的判定，牢记平行线判定的方法是解题的关键．6．（2023下·辽宁抚顺·七年级校联考阶段练习）完成下面的证明．如图，分别平分．求证．

证明：，（____________________）．分别平分，∴，______（____________________）．又，（____________________）．∴（____________________）．【答案】见解析【分析】先根据垂直定义可得，再利用角平分线的定义可得，，然后利用等量代换可得，从而利用平行线的判定，即可解答．【详解】证明：，（垂直的定义）．分别平分，∴，（角平分线的定义）．又，（等量代换）．∴（内错角相等，两直线平行）．【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题关键．B能力提升1．（2024上·辽宁沈阳·八年级统考期末）下列四个图形中，，能够判定的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了平行线的判定方法，熟练掌握平行线的行线的判定方法是解答本题的关键．根据平行线的判定方法逐项分析即可．【详解】解：A．由不等判定，故不符合题意；B．∵，，∴，∴，故符合题意；C．由不等判定，故不符合题意；D．由能判定，，不等判定，故不符合题意；故选B．2．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）如图，下列条件中，不能判断的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了平行线的判定，结合图形分析两角的位置关系，根据平行线的判定方法逐项判断即可，解题的关键是熟练掌握两直线平行的判定方法．【详解】、由，根据内错角相等，两直线平行，可以判断，不符合题意；、由，根据同位角相等，两直线平行，可以判断，不符合题意；、由，根据同旁内角互补，两直线平行，可以判断，不符合题意；、由，不可以判断，符合题意；故选：．3．（2023上·黑龙江绥化·七年级校考阶段练习）如图，对于下列条件：①；②；③；④；其中一定能判定的条件有（填写所有正确条件的序号）．【答案】①③/③①【分析】本题考查了平行线的判定，准确识图是解题的关键．根据平行线的判定方法对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：①，，符合题意；②，，故本选项错误；③，，故本选项正确；④；，故本选项错误；故选答案为：①③．4．（2023下·江苏苏州·七年级校考阶段练习）如图，在下列四组条件中：①，②，③，④，能判定的是．（填序号）

【答案】①②④【分析】根据平行线的判定条件，逐一判断即可解答．【详解】解：①，能判断，故此选项符合题意；②，，故此选项符合题意；③，，故此选项不符合题意；④，，故此选项符合题意，故答案为：①②④．【点睛】本题考查了平行线的判定条件，即内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，熟知上述判定条件是解题的关键．5．（2023上·黑龙江绥化·七年级校考阶段练习）请将下列证明过程补充完整：已知：如图，平分，平分，且求证：．证明：∵平分，∴．∵平分（已知），∴______（角的平分线的定义）．∴（______）．即．∵（已知），∴______（______）．∴（______）．【答案】角平分线的定义，，等式性质，，等量代换，同旁内角互补，两直线平行．【分析】本题主要考查了平行线的判定的运用，解题时注意：同旁内角互补，两直线平行．先根据角平分线的定义，得到，再根据，即可得到，进而判定．【详解】证明：∵平分

（已知），∴（角平分线的定义）．∵平分（已知），∴（角的平分线的定义）．∴（等式性质）．即．∵（已知），∴（等量代换）．∴（同旁内角互补，两直线平行）．故答案为：角平分线的定义，，等式性质，，等量代换，同旁内角互补，两直线平行．6．（2024下·全国·七年级假期作业）如图，，，分别是，的平分线，，试探究与的位置关系并说明理由．请完善下列解题过程．解：与的位置关系是___________．，分别是，的平分线（已知），___________，___________（

）．（已知），___________．又（已知），（

），（

）．【答案】；；；角平分线的定义；；等量代换；；内错角相等，两直线平行【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．根据角平分线的定义以及已知条件得出，即可得出．【详解】与的位置关系是．，分别是，的平分线（已知），，（角平分线的定义）．（已知），．又（已知），（等量代换），（内错角相等，两直线平行）．C综合素养1．（2023·山西晋中·校联考模拟预测）如图，将一副三角尺如图放置，、交于点，(，)则下列结论不正确的是(

)

A． B．C．若，则 D．若，则【答案】C【分析】由余角的性质，得到，由，得到，因为，故和不平行，由，得到．【详解】解：＋＋，，故A正确；，，故B正确；，，，，和不平行，故C错误；，，，，，故D正确．故选：C．【点睛】本题考查平行线的判定，关键是掌握平行线的判定方法．2．（2023下·四川广元·七年级校联考期中）下列说法中，错误的个数为（

）①两条不相交的直线叫做平行线②过一点有且只有一条直线与已知直线平行③垂直于同一直线的两条直线互相平行④如果，，则⑤两条不平行的射线，在同一平面内一定相交A．个 B．个 C．个 D．个【答案】D【分析】根据平行线定义对①进行判断；根据平行公理和平行公立的推论对②④进行判断；根据平行线的判定对③进行判断；根据两直线相交对⑤进行判断即可．【详解】解：①两条不相交的直线叫做平行线，必须在同一平面内才成立，故①错误；②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，是平行公理，故②错误；③垂直于同一直线的两条直线互相平行，必须在同一平面内才成立，故③错误；④如果，，则，是平行公理的推论，故④正确；⑤两条不平行的射线，在同一平面内不一定相交，两条不平行的直线，在同一平面内一定相交，故⑤错误综上所述④正确，共有个正确，故选：．【点睛】本题考查了两条