2019-2021北京重点校高一(上)期中数学汇编：函数模型的应用

1/12019-2021北京重点校高一（上）期中数学汇编函数模型的应用一、单选题1．（2021·北京·人大附中高一期中）某商人将进货单价为8元的商品按每件10元出售时，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润.已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件，如果要使每天所赚的利润最大，那么他应将销售价每件定为（

）A．11元 B．12元 C．13元 D．14元2．（2020·北京·清华附中高一期中）玉溪某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品A．60件 B．80件 C．100件 D．120件3．（2020·北京四中高一期中）向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度h随时间t变化的函数h＝f(t)的图象如图所示，则杯子的形状是()A． B． C．D．4．（2019·北京市陈经纶中学高一期中）因市场战略储备的需要，某公司月日起，每月日购买了相同金额的某种物资，连续购买了次.由于市场变化，月日该公司不得不将此物资全部卖出.已知该物资的购买和卖出都是以份为计价单位进行交易，且该公司在买卖的过程中没有亏本，那么下面个折线图中，所有可以反映这种物资每份价格（单位：万元）的变化情况的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．③5．（2019·北京市第十三中学高一期中）我国为了加强对烟酒生产的宏观管理,除了应征税收外,还征收附加税,已知某种酒每瓶售价为70元,不收附加税时,每年大约销售100万瓶;若每销售100元国家要征附加税元(叫做税率),则每年销售量将减少万瓶,如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元,则的最小值为A． B． C． D．二、填空题6．（2021·北京市十一学校高一期中）已知在十一食堂，一碗面的成本为5元，售价为元，每天可以卖出碗，经过长期研究发现，二者之间存在函数关系，若要在食堂卖面的利润最高，则一碗面的售价应该定为________.7．（2021·清华附中高一期中）小明用记录2020年4月份30天中每天乘坐公交车是否半小时内到家，方法为：当第天半小时内到家时，记，当第天不能半小时内到家时，记；用记录某交通软件预测该月每天乘坐公交车是否半小时内到家，方法为：当预测第天半小时内到家时，记，当预测第天不能半小时内到家时，记；记录完毕后，小明计算出，其中，那么该交通软件预测准确的总天数是______．8．（2020·北京·101中学高一期中）某餐厅经营盒饭生意，每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每盒盒饭的成本为15元，销售单价与日均销售量的关系如下表：单价/元16171819202122日销售量/盒480440400360320280240根据以上数据，当这个餐厅利润（利润=总收入-总成本）最大时，每盒盒饭定价为________元．三、解答题9．（2021·北京市十一学校高一期中）某市出租车收费标准为：起步价13元（即实际行驶里程不超过3公里，按13元收费）.此时计费里程与实际行驶里程相等，且规定计费里程不为零.实际行驶里程超过3公里后，超过3公里的部分，按每公里2.3元收费，其中不足1公里的部分按照1公里计算，此时计费里程为实际里程向上取整，例如，实际行驶里程4.6公里，则计费里程为5公里，设出租车收费总价为y（单位：元）实际行驶里程（单位：公里），计费里程为（单位：公里）.(1)建立出租车收费总价与计费里程的函数关系式；(2)若出租车实际行驶里程为6公里，则乘客需要付多少钱？(3)若乘客实际付费超过20元但不超过40元，求的取值范围.10．（2021·北京八十中高一期中）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民实行“阶梯水价”，计费方法如下表：每户每月用水量水价不超过12的部分3元/超过12但不超过18的部分6元/超过18的部分9元/(1)求出每月用水量和水费之间的函数关系；(2)若某户居民某月交纳的水费为54元，则此月此户居民的用水量为多少？11．（2021·北京市陈经纶中学高一期中）在对口扶贫活动中，甲将自己经营某种消费品的一个小店以优惠价2万元转让给身体有残疾的乙经营，并约定从该店经营的利润中，首先保证乙的每月最低生活开支3600元后，逐步偿还转让费（不计息）.在甲提供的资料中，有：①这种消费品进价每件14元；②该店月销量（百件）与销售价格（元）的关系如图；③每月需要各种开支2000元.（Ⅰ）为使该店至少能够维持乙的生活，商品价格应控制在什么范围内？（Ⅱ）当商品价格每件多少元时，月利润扣除最低生活费的余额最大，并求最大余额.（Ⅲ）若乙只依靠该店，能否在3年内脱贫（偿还完转让费）？12．（2020·北京·首都师范大学附属中学高一期中）经检测，餐后4小时内，正常人身体内某微量元素在血液中的浓度与时间满足关系式：，服用药物后，药物中所含该微量元素在血液中的浓度与时间满足关系式：.现假定某患者餐后立刻服用药物，且血液中微量元素总浓度等于与的和.（1）求4小时内血液中微量元素总浓度的最高值；（2）若餐后4小时内血液中微量元素总浓度不低于4的累积时长不低于两小时，则认定该药物治疗有效，否则调整治疗方案.请你判断是否需要调整治疗方案.13．（2020·北京·首都师范大学附属中学高一期中）如图，建立平面直角坐标系，轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．14．（2019·北京市陈经纶中学高一期中）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益与投资额成正比，其关系如图1；投资股票等风险型产品的年收益与投资额的算术平方根成正比，其关系如图2.(1)分别写出两种产品的年收益和的函数关系式；(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元？四、双空题15．（2021·北京八中高一期中）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的函数关系式可以近似的表示.已知此生产线年产量最大为210吨.若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为___________吨时，可以获得最大利润是___________万元.16．（2021·北京·北师大实验中学高一期中）某电热元件在通电状态下仅有两种模式，在A模式下元件温度保持不变；从A模式切换到B模式后，在B模式下，元件温度（单位）与通电累积时间（即从通电时刻开始累积计时，单位）的乘积保持不变；从B模式再切换到A模式后，原件温度继续保持不变……现将该元件通电，初始温度为，已知在这四个时刻下的元件温度如表所示，而在时间内随变化的图像如图所示.请根据以上信息推断：___________；___________.通电累积时间（单位）13612元件温度（单位℃）3020151017．（2019·北京·清华附中高一期中）某产品的总成本C与年产量Q之间的关系为CaQ23000,其中a为常数,且当年产量为200时，总成本为15000.记该产品的平均成本为f(Q)（平均成本=），则当Q________.,f(Q)取得最小值，这个最小值为________.18．（2019·北京师大附中高一期中）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．

参考答案1．D【解析】列出利润关于售价的函数关系式，结合二次函数即可求解【详解】解：设售价为元，则提高价格为元，少买商品数为，实际单品利润为元，实际卖出，实际利润为，当时，利润有最大值.故选：D2．B【解析】确定生产件产品的生产准备费用与仓储费用之和，可得平均每件的生产准备费用与仓储费用之和，利用基本不等式，即可求得最值．【详解】解：根据题意，该生产件产品的生产准备费用与仓储费用之和是这样平均每件的生产准备费用与仓储费用之和为（为正整数）由基本不等式，得当且仅当，即时，取得最小值，时，每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小故选：【点睛】本题考查函数的构建，考查基本不等式的运用，属于中档题，运用基本不等式时应该注意取等号的条件，才能准确给出答案，属于基础题．3．A【解析】由图可知，高度的增长速率是先慢后快，且都是运算增长，所以只有A满足．故选A．4．B【解析】设公司每月日用于购买某种物资的金额为万元，分别求出三种图形下月日该公司将此物资全部卖出所得金额，与进行大小比较得出答案.【详解】设公司每月日用于购买某种物资的金额为万元.图①中四次购买的物资为，月日一次卖出物资得到，公司盈利，故①正确；图②中四次购买的物资为，月日一次卖出物资得到，公司亏损，故②错误；图③中四次购买的物资为，月日一次卖出物资得到，公司盈利，故③正确.故选：B.5．A【解析】，的最小值为，选A.6．##【解析】设食堂卖面的利润为S，有，根据二次函数的性质可求得答案.【详解】解：设食堂卖面的利润为S，则，当时，S取得最大值，故答案为：.7．26【解析】由题意可得，若，则表示第天预报正确，若，则表示第天预报不正确，假设其中有天预报正确，则有天预报不正确，把转化为关于的方程求解．【详解】解：依题意，若，则表示第天预报正确，若，则表示第天预报不正确，由，假设其中有天预报正确，则等式左边有个1，个，则，解得．该交通软件预测准确的总天数是26．故答案为：26．8．21.5．【解析】由表格中的信息可知，销售单价为16元时，销售量为480盒，销售单价每增加1元时，销售量则减少40个，设每盒盒饭定价为元，则销售量为，再根据利润=总收入-总成本，即可求出利润关于销售单价的函数，则二次函数的性质即可求得答案【详解】解：由表格中的信息可知，销售单价为16元时，销售量为480盒，销售单价每增加1元时，销售量则减少40个，设每盒盒饭定价为元，利润为元，则由题意得所以当时，取得最大值，最大值为1690，即每盒盒饭定价为元时，利润最大，最大为1690元，故答案为：9．(1)(2)19.9(3)【解析】（1）分和，分别求得函数的解析式可得答案；（2）代入相应的函数解析式中可得答案；（3）由已知得，求解可得答案.(1)解：由题意得，当时，；当时，，所以.(2)解：当时，所以.故乘客需要付19.9元.(3)解：当乘客实际付费超过20元但不超过40元，即，又，所以，所以.所以的取值范围为.10．(1)(2)15【解析】（1）先分别求出每一段的函数解析式，再写成分段函数的形式即可；（2）由（1）分，，三种情况讨论即可的解．(1)解：当时，，当时，，当时，，关于的函数解析式为：；(2)解：当时，，解得舍去，当时，，解得，当时，，解得舍去，综上所述，若某户居民某月交纳的水费为54元，则此月此户居民的用水量为15.11．（Ⅰ）；（Ⅱ）当商品价格每件元时，月利润扣除最低生活费的余额最大，且最大余额为元；（Ⅲ）不能.【解析】根据题中条件，先确定月销量（百件）与销售价格（元）的函数关系式，设每月的利润余额为，得出与之间函数关系式；（Ⅰ）令，求解对应不等式，即可求出结果；（Ⅱ）根据与之间函数关系式，结合二次函数的性质，求出的最大值，以及取最大值时的值，即可确定结果；（Ⅲ）由（Ⅱ）中最大值，计算三年的利润余额的最大值，即可判断出结果.【详解】由该店月销量（百件）与销售价格（元）的关系图可得，当时，；当时，，设每月的利润余额为，由题意，，（Ⅰ）为使该店至少能够维持乙的生活，则；当时，由得，整理得，解得，则；当时，由得，整理得，解得，则，综上，，即为使该店至少能够维持乙的生活，商品价格应控制在内；（Ⅱ）当时，，当且仅当（元）时，；当时，，当且仅当（元）时，；因为，所以当商品价格每件元时，月利润扣除最低生活费的余额最大，且最大余额为元；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，月利润余额最大为元，则三年利润余额的总和最大为，故不能在3年内脱贫.【点睛】思路点睛：求解函数模型问题时，通常需要根据题中所给条件，建立适当的函数模型（有时题中会给定函数模型），再利用函数基本性质，即可求解.12．（1）；（2）不需要调整治疗方案【解析】（1）由题意得，求出每段的最大值后再比较即可求出答案；（2）分段讨论求出的范围即可得出答案．【详解】解：（1）由题微量元素在血液内的总浓度与时间的关系为：，当时，，当时取最大值；当时，，当时取得最大值；因为，故微元素总浓度最大值为；（2）当时，，解得；当时，，解得；注射药物后两小时内血液中微量元素总浓度不低于4，所以不需要调整治疗方案．【点睛】本题主要考查分段函数的性质及其应用，属于基础题．13．（1）炮的最大射程是10千米．（2）当不超过6千米时，炮弹可以击中目标．【解析】试题分析：（1）求炮的最大射程即求（k＞0）与x轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解．（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解试题解析：（1）令y＝0，得kx－（1＋k2）x2＝0，由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0，故x＝＝≤＝10，当且仅当k＝1时取等号．所以炮的最大射程为10千米．（2）因为a＞0，所以炮弹可击中目标⇔存在k＞0，使3.2＝ka－（1＋k2）a2成立⇔关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根⇔判别式Δ＝（－20a）2－4a2（a2＋64）≥0⇔a≤6.所以当a不超过6（千米）时，可击中目标．考点：函数模型的选择与应用14．(1)，(2)投资债券类产品万元，股票类投资为万元，收益最大为万元【解析】（1）设函数解析式，，代入即可求出的值，即可得函数解析式；（2）设投资债券类产品万元，则股票类投资为万元，年收益为万元，则，代入解析式，换元求最值即可.(1)依题意：可设，，∵，，∴，.(2)设投资债券类产品万元，则股票类投资为万元，年收益为万元，依题意得：，即，令，则，，则，，所以当，即万元时，收益最大，万元.15．

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1660【解析】利用收入减去总成本表示出年利润，通过配方求出二次函数的对称轴，因开口向下，对称轴处取得最大值.【详解】解:设可获得的总利