全书课件：线性代数(第四版)赵文茹

新编工程数学（第四版）课件

第一篇线性代数

第一章行列式1.1行列式的定义1.1.1二阶行列式在中学数学里知道二元线性方程组，它的一般形式为(1-1-1)用消元法消去，得到

同理消去，得到

当时，方程组(1-1-1)的解为

分母是由方程组中未知数的四个系数确定的，为了便于理解和记忆，引入二阶行列式的定义。定义1把符号

称为二阶行列式，由四个数排成两行两列（横排称行，竖排称列），它表示算式，即

(1-1-2)其中，称为二阶行列式的元素，下标是行列式的的行指标表示在第行；下标是行列式的列指标，表示在第列。表明这一元素处在第行第列位置。二阶行

列式共有个元素。我们把到用实线连接，称该实线为主对角线到

用虚线连接，称该虚线为副对角线。于是二阶行列式的值便是主对角线上两个元素之积减去副对角线上两个元素之积所得的差，其计算规律遵循如图1-1所示的对角线法则。

图1-1(1-1-2)右端的式子又称为二阶行列式的展开式。当所有的都是数时，行列式的值是一个具提的数值，若其中有字母出现，则行列式的值是一个代数式。通常用字母Ｄ表示行列式。利用二阶行列式的概念，方程组(1-1-1)中的分子也可以用二阶行列式表示，若记拿末，方程组(1-1-1)的解可表示为因为是由方程组(1-1-1)中未知量的四个系数确定的二阶行列式，

故称为方程组

(1-1-1)的系数行列式。而分别是的第1、2列元素换成常数项所得到的行列式。【例1】计算下列行列式（1）（2）解(1）=（2）=【例2】求解二元线性方程组解将方程组化为标准型由于因此方程组的解为1.1.2三阶行列式

与二阶行列式类似，引入三阶行列式定义。

定义2把符号称为三阶行列 式。它由个元素

排成三行三列，它代表的是这样一个算式，即(1-1-3)(1-1-3)右端的式子称为三阶行列式的展开式。

由（1-1-3）式可见，三阶行列式共含6项，每项均为选自不同行、不同列的三个元素的乘积再冠以正负号，其计算规律遵循如图1－2所示的对角线法则：图中每条实线（共三条）所连接的三个数的乘积前面加正号，每条虚线（共三条）所连接的三个数的乘积前面加负号，这六项的和就是三阶行列式的值。

图1－2行列式值的实质就是不同行、不同列的元素乘积的代数和。【例3】用对角线法则计算行列式解1.1.3

阶行列式1.余子式和代数余子式对角线法则只适用于二阶行列式和三阶行列式。为了研究四阶和四阶以上的更高阶行列式，我们先来考察二阶行列式和三阶行列式的关系。由式（1-1-2）和式（1-1-3）可以得出（1-1-4）由此可见，三阶行列式等于它第一行每个元素分别与一个二阶行列式的乘积的代数和（也称按第一行展开）。为了进一步了解这三个二阶行列式与原来三阶行列式的关系，我们引入余子式和代数余子式的概念。在三阶行列式中，把元素所在的第行和第列划去后，剩下的元素保持原来相对位置

不变而构成的二阶行列式称为元素的余子式，记作。

例如在三阶行列式中，元素的余子式是在中划去第一行和第一列后所

构成的二阶行列式

元素的余子式是在中划去第一行和第三列后

所构成的二阶行列式

。若记则叫做元素

的代数余子

。。

式。

例如中元素的代数余子式为

又如行列式

中元素-1的代数余子式为

应用余子式和代数余子式的概念，

式（1-1-4）可以写成由式（1-1-5）可以看出，

三阶行列式

的值等于第一行元素与其对应的代数余子式乘积之和。式（1-1-5）称为三阶行列式按第一行展开的展开式。我们已经定义了二阶、三阶行列式，又用二阶行列式定义了三阶行列式。按照这一规律，我们可用三阶行列式定义四阶行列式。依此类推，在已定义了阶行列式后，便可定义阶行列式。2.

阶行列式定义3把符号称为阶行列式，由个数排成行列，

其中表示位于阶行列式

第第列的元素。

。行、列式阶行代表的是一个算式，具体为

当时，当时，将行列式按第一行展开得（1-1-6）对于阶行列式元素的代数余子式的定义与三阶行列式元素的代数余子式的定义相同。阶行列式元素的代数余子式是阶行列式。

例如上面的阶行列式中，

元素的代数余子式为

【例4】计算四阶行列式解由定义3将行列式按第一行展开通过上面例题看出，行列式第一行的零元素越多，按第一行展开时计算就越简单。【例5】

计算下三角行列式解由阶行列式定义，依次将行列式按第一行展开，得到

把行列式叫上三角行列式。习题1.11．计算下列行列式：（1）（2）（3）（4）2．证明：3．解线性方程组：（2）4．解下列方程（1）（2）5．写出下列行列式中元素的余子式及代数余子式，并计算该行列式的值。6．设是行列式中元素的代数余子式，计算。1.2行列式的性质与计算1.2.1行列式的性质设阶行列式将的行换为同序号的列

（即将第行换成第列）后，得到新行列式称为的转置行列式。行列式有如下性质：性质1行列式与它的转置行列式的值相等，即。例如二阶行列式

可见，。这个性质说明了行列式中行列地位的对称性。由于转置不改变行列式的值，因此对于行列式，凡是对于行成立的性质对于列也成立。性质2行列式的任意两行（列）互换，行列式的值仅改变符号。例如，二阶行列式将第1列与第2列互换得通常情况下，我们用表示行列式的第行，

用表示行列式的第列，

交换两行，

记作，

交换两列，记作。推论1若行列式某两行（列）对应元素相同，则行列式的值等于零。证明把行列式中对应元素相同的这两行（列）互换，据性质2有，故性质3

行列式中某一行（列）的所有元素乘以同一个数等于用数乘以行列式。例如把的第1行各元素同乘以数有表示以数乘以第行各元素，

表示以数乘以第列各元素。

推论2

行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。【例1】计算行列式

解

推论3

若行列式中某一行（列）的所有元素为零，则此行列式的值为零。性质4若行列式中有两行（列）对应元素成比例，则此行列式的值为零。由推论2和推论1可以得此证明。性质5若行列式的某一行（列）的所有元素都是两个数之和，则此行列式等于两个行列式的和，且这两个行列式除了这一行（列）以外，其余元素与原行列式的对应元素相同。例如【例2】计算解

=0+0=0性质6

把行列式某一行（列）的各元素乘以同一个数后加到另一行（列）对应元素上去，行列式的值不变。数乘行列式中第行（列）

加到第行（列）上，记作

以三阶行列式为例，有此性质可由性质5和性质4证得。【例3】计算行列式

解应用性质6，有

=

将行列式化为三角行列式是行列式计算中常用的方法。

性质7行列式的值等于它的任一行（列）的各元素与其对

应的

代数余子式乘积之或和，即上面两式分别称为

按第行和第列展开，性质7也叫做把行列式按任一行（列）展开定理。【例4】计算行列式

解按第3行展开，得利用性质7计算行列式时，可以选取零较多的那一行

（列）展开，使行列式逐步降阶，从而简化运算。

性质8行列式某一行（列）的各元素与另一行（列）对应元素余子式乘积之和等于零，即或

1.2.2行列式的计算

我们可以对行列式的计算做如下总结1．计算二阶、三阶行列式时可用对角线法则（注意

对角线法则只适

用于二、三阶行列式）。

2．阶行列式的计算常用以下几种方法：（1）按某行（列）展开,如例4。（2）根据行列式的情况，利用行列式的性质把行列式化为上

（下）

三角行列式，如例3。

（3）用行列式性质，使行列式某行（列）只有一个非零元素，再利

用展开定理使行列式

降阶，可以简化计算，此种

方法也叫降阶法。

在利用行列式的性质将行列式简化时，不要拘泥于某种形式，要根据

行列式中元素的特点综合运用各种方法，化为（2）或（3）的形式

求行列式

的

值。

【例5】计算四阶行列式解用行列式的性质把某一行（列）的元素化为只有一个为非零,然后按此行(列)展开。【例6】

计算行列式解该行列式的特点是每一行元素的和都等于同一个数6，于是把各列都加到第一列上去，提出公因子，再化为三角形行列式。【例7】

计算行列式解此行列式称为四阶范德蒙行列式。按同样方法可求出阶范德蒙行列式的值。（留给读者自己做）。习题1.21．利用行列式的性质计算下列行列式(1)(2)(3)(4)(5)

2．解方程3.证明

(1)(2)1.3克莱姆法则

现在我们来解决本章开始提出的问题。

设含有个未知数个线性方程组成的元线性方程组为（1-3-1）它的系数

构成的行列式

称为线性方程组(1-3-1)的系数行列式。当时，

方程组(1-3-1)称为齐次线性方程组。

当不全为零时，

方程组(1-3-1)称为非齐次线性方程组。与二元线性方程组类似，(1-3-1)的解有如下定理。定理1（克莱姆法则）如果线性方程组(1-3-1)的系数行列式，则它有唯一解即，其中是将系数行列式中的第列元素

对应地换为常数项，而其余各列不变阶行列式，即所得到的证明略。【例１】求解线性方程组

解因为系数行列式根据克莱姆法则，该线性方程组有唯一解。下面分别计算行列式所以

克莱姆法则揭示了线性方程组的解与它的系数和常数项之间的关系。注意：用克莱姆法则解元线性方程组的前提条件：（1）线性方程组中方程的个数与未知量个数相等；（2）方程组的系数行列式对于齐次线性方程组(1-3-2)显然是（1-3-2）的解，此解称为零解。如果存在一组不全为零的数是方程组（1-3-2）的解，则称其为齐次线性方程组（1-3-2）的非零解。根据克莱姆法则有如下结论：定理2如果齐次线性方程组(1-3-2)的系数行列式，则其只有零解；反之，如果齐次线性方程组(1-3-2)有非零解，则它的系数行列式【例２】

取何值时，齐次线性方程组有非零解？解因为方程组的系数行列式由定理2知，若此齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式，即解得或容易验证，当或时，齐次线性方程组确有非零解。习题1.31．用克莱姆法则解下列线性方程组；2．取何值时，齐次线性方程组（1）只有零解；（2）有非零解？3．已知抛物线经过三点，求此抛物线方程。

本章学习指导一、教学基本要求1．理解行列式的概念，了解几种特殊的行列式。2．掌握行列式的性质,能利用行列式的性质计算行列式。3．理解余子式、代数余子式的概念，能将行列式按行（或列）展开。4．掌握克莱姆法则的条件、结论，并且能够应用其克莱姆法则解决相应的方程组问题。二、考点提示1．行列式的性质。2．行列式的计算：（1）化简行列式；（2）判别行列式是否为零；（3）利用按行（或列）展开行列式；（4）利用性质6和性质7使计算简化。3．克莱姆法则（1）克莱姆法则的条件和结论。（2）解相应的方程组。三、疑难解析1.计算阶行列式有哪些常用方法?答

阶行列式的计算是本章的一个难点,如果直接使用行列式的定义不易求解,常用的方法有化上（或下）三角形法、降阶法、递推法、归纳法、拆行（或列）法和加边法等方法。具体采用哪种方法应视具体情况而定。（1）化上（或下）三角形法（2）降阶法（3）递推法采用递推方法可得

复习题一一．填空题：１．２．３．４．方程的根为________。

５．已知

则二．选择题：１．下列行列式中不等于零的是（）。A．B．（其中）；

C．阶行列式中某行的元素全为零；

D．阶行列式中有两行的元素对应成比例

２．

设是阶行列式中元素的代数余子式，则（）。

A．必为；B．必等于

C．

D．可能等于任何值

３．若则()A．；B．C．D．４．行列式方程有（）个实根。A．0；B．1；C．2；D．3三．判断题：１．

（）２．

（）３．

（）４．（）５．阶行列式那末它的转置行列式（）６．设为行列式中元素的代数余子式，则

（）７．当时，方程组仅有零解()四．解答与计算：１．计算行列式２．用克莱姆法则解下列线性方程组３．问取何值时，齐次线性方程组有非零解？第二章矩阵及其运算2.1矩阵的概念2.1矩阵的概念2.1.1矩阵的定义在实际问题中，经常用列表的方式表示一些数据及其关系，如学生成绩表、工资表、物资调运表等，我们先看个实例。1．某航空公司在A,B,C,D四城市之间开辟了若干航线,如图所示表示了四城市间的航班图,如果从A到B有航班,则用带箭头的线连接A与B。可用一数表反映四城市间交通连接情况，表中1表示有航班，0表示无航班，

ABCDABCD01101010100101002．线性方程组

（2-1-1）把它的系数按原来的次序排成系数表常数项和求知数也排成如下的一个表，易知该方程组的解与它的系数和常数项有关。

类似的问题还有火车时刻表、网络通信等，都是数据表问题，由此抽象出矩阵的概念。

定义1由个数排成的行列的

矩形数表，称为行列的矩阵，简称矩阵或矩阵，其中称为矩阵的第行第列的元素，此矩阵共有个元素。矩阵通常用大写字母A、B、C来表示，记作

有时也简写为为了标明矩阵的行数和列数，也用或表示一个行列的矩阵。如果矩阵和具有相同的行数和相同的列数则称是同型矩阵。定义2如果两个矩阵是同型矩阵，并且对应位置上的元素均相等，则称矩阵与矩阵相等。例如若则必有注意：只有同型的矩阵，才有可能相等。矩阵与行列式相比较，除了行数与列数可以不等外，还有本质区别。即行列式包含着一种运算，它实质上对应一个数值或代数式，而矩阵总是一个数表。2.1.2几种特殊矩阵

1．零矩阵元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作或，零矩阵都记作，但不同型的零矩阵是不相同的。2.行矩阵只有一行的矩阵称为行矩阵（或行向量），记作3．列矩阵只有一列的矩阵称为列矩阵（或列向量），记作4．负矩阵将矩阵的每个元素乘以得到的矩阵，称为

的负矩阵，记作5．方阵行数与列数都等于的矩阵

称为阶矩阵或阶方阵，即=

=6．上三角矩阵

若

阶矩阵主对角线以下的元素全为零，叫做上三角矩阵，即

7.下三角矩阵若阶矩阵

主对角线以上的元素全为零，叫做下三角矩阵，即8．对角矩阵若阶矩阵主对角线以外的元素全为零，叫做对角矩阵，即9．单位矩阵主对角线上元素皆为1的阶对角矩阵，称为阶单位矩阵，记作或，即10.对称阵如果阶方阵的元素满足则称为对称矩阵,简称对称阵。认识上面的几种特殊形式的矩阵，会给我们以后的学习和解决实际问题提供很多便利。习题2.11．判断题（1）矩阵就是行列式。（2）矩阵可以比较大小。（3）两个矩阵是零矩阵，则两个矩阵相等。（4）两个矩阵相等，则其对应元素相等。2．指出下列矩阵的型及特点：(5)(6)(7)（8）2.2矩阵的运算矩阵的意义不仅在于确定了一些形式的数表，而且在于在对它定义了一些有理论意义和实际意义的运算之后，它便成了进行理论研究和解决实际问题的有力工具。下面介绍矩阵的几种运算。2.2.1矩阵的加(减)法定义1设两个矩阵，那么对应元素相加（减）得到的矩阵，称为矩阵与的和（差），记作即若则简记为显然，同型矩阵才能进行加（减）法运算，其运算结果还是与、同型的矩阵，元素为矩阵、对应位置元素的和（差）。【例1】已知求，解由矩阵加(减)法的定义知==矩阵加法满足下列运算规律（设都是矩阵）：交换律：结合律：2.2.2数与矩阵的乘法定义2

用数乘矩阵的每一个元素所得到的矩阵,称为数乘矩阵,记作，即简记为特别地,

简记为数与矩阵的乘积仍是一个矩阵，其元素等于矩阵中每个元素乘以数数与矩阵乘法满足下面三个运算律（设、为矩阵，为实数）：

结合律：

分配律：

【例2】设求解由矩阵数乘与加法的定义知【例3】

已知，且，求矩阵解（矩阵）方程变形可得2.2.3矩阵的乘法定义3设是矩阵，是矩阵，由元素构成的矩阵，称为矩阵与的乘积，记作，即注意：（1）只有左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数时，矩阵与相乘才有意义；（2）乘积矩阵中第行第列的元素，等于左边矩阵的第行与右边矩阵的第列对应元素乘积之和；（3）乘积矩阵的行数等于左边矩阵的行数，列数等于右边矩阵的列数。【例4】

已知求解因为的列数为2，而的行数为3，所以本题中无意义。【例5】已知求和解从上面两个例子看出：（1）有意义时，不一定有意义。（2）即使与都有意义，它们也不一定是同型矩阵。（3）即使与都有意义，且是同型矩阵，但与也不一定相等。总之，矩阵的乘法不满足交换律，即一般情况下当时，称矩阵与是可交换矩阵。【例6】设，求解从上例看出：(1)若，不一定有(2)即使，也可能有【例7】设求解从上例看出，在一般情况下，矩阵乘法不满足消去律，即不能由消去

推出。

对于线性方程组（2-1-1）删去右式若把系数表记作系数矩阵，常数表记作常数项矩阵，未知数表记作未知矩阵那么方程组可用矩阵形式表示为：删去右式由矩阵乘法和矩阵相等的定义，可以证明矩阵的乘法满足下列运算律（设是矩阵，是实数，假设运算都是可行的）：（1）结合律（2）左分配律右分配律（3）特别地2.2.4方阵的幂

定义4

设是阶方阵，是自然数，则称为方阵的次幂。这里规定。方阵的幂满足以下运算律：其中为正整数。因为矩阵乘法不满足交换律，所以对于两个阶方阵与未必成立。【例8】试求解因为

所以==2.2.5矩阵的转置定义5

把一个矩阵的行与列互换,得到的矩阵称为矩阵的转置矩阵,记为或,即若则例如矩阵的转置矩阵为可见阶对称矩阵

满足若阶方阵满足，则称为反对称矩阵。如是对称矩阵，是反对称矩阵【例9】设，求与

解因为

所以又因为，所以可以证明，矩阵的转置有如下性质：（假设运算都是可行的）：2.2.6方阵的行列式定义6由阶方阵的元素所构成的阶行列式(各元素的位置不变)称为方阵的行列式，记作或注意：方阵与方阵的行列式是两个完全不同的概念，阶方阵是个数按一定方式排成的数表，而阶方阵的行列式则是这些数按一定运算法则所确定的一个数。方阵的行列式运算满足下列规律（设为阶方阵，为常数）：【例10】

设求解根据行列式性质，得【例11】设是方阵的行列式，的各个元素的代数余子式所构成的如下方阵称为矩阵的伴随矩阵，试证证明

同理可证即习题2.21设矩阵求所满足的关系式。2．已知矩阵求3．计算（2）(3)(4)(5)(6)4．已知求5．已知求6．设为3阶方阵且，计算2.3逆矩阵2.3.1逆矩阵的概念在数的运算中我们知道，若，则为的倒数，记作矩阵也有类似的运算形式，如

，则=即

类似于数的倒数，我们有矩阵的逆矩阵的概念。定义1对于阶方阵，如果存在一个阶方阵使得成立，则称矩阵是可逆的，并称矩阵为矩阵的逆矩阵，简称

的逆，

记作从矩阵可逆的定义易知，若为的逆矩阵，则也为的逆矩阵，称为与互逆。由于单位矩阵满足

,所以

是可逆的，且逆矩阵的性质：性质1

性质2

性质3

性质4

性质5若方阵是可逆矩阵，则其逆矩阵是唯一的。

证设和都是的逆矩阵，则有于是所以的逆矩阵是唯一的。2.3.2逆矩阵的求法

定理1

阶方阵

可逆的充分必要条件是的行列式且当可逆时，其中为的伴随矩阵，即

证明必要性

设可逆，则存在逆矩阵，

使得两边取行列式有，因而

充分性设由2.2.6节的例11可得由定义1知可逆，且

【例1】设判断是否可逆？若可逆，求

解因为

所以矩阵可逆，由得

所以利用逆矩阵可以解某些线性方程组，下面来讨论这个问题。设线性方程组

的系数矩阵、未知数的矩阵和右端常数所

组成的矩阵分别为由矩阵的乘法知

这是线性方程组的矩阵表达式，称为矩阵方程。此方程类似于代数方程对于代数方程

当时，它的解为

同样，对于矩阵方程如果矩阵可逆，我们便可以用

左乘方程两端得来求未知矩阵这里解的形式，

与相同，但它们却有本质的区别。【例2】已知其中求未知矩阵解由于因此

可逆，且用左乘的两端可得故=【例3】用逆矩阵方法解线性方程组解设则由例2知可逆,且故有根据矩阵相等的定义,得方程组的解为习题2.31．判断下列矩阵是否可逆，若可逆，求出逆矩阵。(1)(2)(3)(4)(5)2．解下列矩阵方程：(1)(2)3．设矩阵满足求4.用逆矩阵方解线性方程组:(1)(2)*2.4分块矩阵对于行数和列数较多的矩阵运算时常采用分块法,使大矩阵的运算化成小矩阵的运算。我们将矩阵用若干条横线和纵线分成许多小矩阵，每一个小矩阵称为的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。

可以根据运算的需要把矩阵分成不同形式的分块矩阵。例如将矩阵分成子块的方法很多，下面举出三种分块形式：(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)分法(Ⅰ)可记为其中即是的子块，而形式上成为以这些子块为元素的分块矩阵。分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似，分别说明如下：1．设采用相同的分块法，有其中

为同型矩阵．那么2．设

为实数，那么3．设矩阵将进行分块

其中的列数分别与的行数相等，那么其中注意：矩阵分块乘法必须满足下列两个条件：（1）分块时左矩阵的列块数等于右矩阵的行块数；（2）左矩阵每个列块所含的列数等于右矩阵对应行块所含的行数。【例1】设按上述分块方法计算解按以上分块，记其中其中所以4．设则5．若方阵的分块矩阵只在主对角线有非零子块，其余子块都为零矩阵，且非零子块都是方阵，即其中都是方阵，则称为分块对角矩阵。

分块对角矩阵的行列式具有下列性质：由此性质可知，若则从而可逆，且有【例2】设求解其中，易求于是*习题2.4利用矩阵分块的方法计算下列各题：1．设求2．设求2.5矩阵的初等变换与矩阵的秩2.5.1矩阵的初等变换用消元法解线性方程组的过程如下:从求解过程中可以看到,每一次消元只是三个未知数的系数和常数项发生变化,未知数本身并不改变。如果将线性方程组中所有的未知数、等号、加号（减号看成加负）去掉，只考察未知数系数和常数项构成的矩阵，消元法的求解过程就是一个矩阵的变化过程。为了书写方便起见我们引入以下符号：（1）矩阵的两行（列）互换（）表示第行（列）与第行（列）互换；（2）用一个非零的常数乘矩阵的某一行（列）：用（）表示用非零的常数乘以第行（列）；（3）将矩阵的某一行（列）乘以常数以后，加到另一行（列）：用表示第行（列）的倍加到第行（列）上。于是上述方程组的求解过程用矩阵的变化过程可表示为:，即最后得到方程组的解与消元法所求得的解完全相同。显然对方程组的每一次消元对应着矩阵的一种变换。我们知道，方程组在消元过程中，通常用下面三种变换方法，即（1）两个方程互换位置；（2）某方程两端同时乘某一非零的数；（3）用一常数乘以某一方程后加到另一个方程上去（目的是为了消去某个未知数）。这三种变换称为方程组的初等变换。线性方程组经过初等变换以后解不变。定义1矩阵的下列变换称为矩阵的初等行变换：(1)交换两行的位置（记作）；(2)用一个非零常数乘以第行的所有元素（记作）；(3)第行所有元素的倍加到第行的对应元素上去（记作

）。把定义中的“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换。初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换。显然，三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换：变换（）的逆变换就是其本身；变换（）的逆变换是变换的逆变换是（）定义2如果矩阵经有限次初等变换可以变成，就称矩阵与等价，记作定义3对单位矩阵作一次初等变换后，得到的矩阵称为初等矩阵，三类初等矩阵分别是：（1）将单位矩阵的第两行（列）互换记为（2）将单位矩阵的第行（列）乘以非零常数记为（3）将单位矩阵的第行（列）的倍加到第

行（列）记为删去下面内容：以三阶单位矩阵为例：（1）交换的第一、二行：（2）用非零常数乘以的第三行：（3）把常数乘以的第一行各元素加到第二行对应元素上：到此处。初等方阵的行列式一定不等于零。定理1

设是一个

矩阵，则对

施行一次初等行变换，就相当于用一个阶初等矩阵左乘矩阵；对施行一次初等列变换，就相当于用一个阶初等矩阵右乘矩阵（证明略）例如，设则有使得即删去下面内容又如，而则有即定义4

设是一个矩阵，如果它满足如下条件：(1)矩阵的零行（如果存在的话）在矩阵最下方；(2)非零行的首非零元素的列标随着行标的递增而严格增大，则称矩阵为行阶梯形矩阵。定义5如果行阶梯形矩阵满足下面两个条件：（1）非零行的首非零元素为1；（2）非零行中，所有首非零元素所在列的其它元素为零。则称其为行最简阶梯形矩阵。例如都是行阶梯形矩阵，同时还是行最简阶梯形矩阵。定理2任何一个矩阵总可以经过有限次初等行变换化为行阶梯形矩阵。定理3如果为可逆矩阵,则经过若干次初等变换可将化为同阶单位矩阵,即可逆矩阵与同阶单位矩阵等价。【例1】

利用初等行变换将矩阵化为行阶梯形矩阵和行最简阶梯形矩阵。解

在本题中，矩阵都是行阶梯形矩阵，但只有是行最简阶梯形矩阵。由这一例子可以看到，对某一个矩阵施行初等行变换可以得到多个行阶梯形矩阵，它们之间都是等价的。尽管可以得到不同的阶梯形矩阵，但这个矩阵的行最简阶梯形矩阵却是唯一的。同时看到与一矩阵等价的不同行阶梯形矩阵的非零行的个数是相等的，而且这个数是唯一的，这是一个矩阵本身所固有的特性。2.5.2矩阵的秩定义6设是一个矩阵，则与等价的行阶梯形矩阵中的非零行的个数称为矩阵的秩，记作由定义有当时，规定=0。由矩阵秩的定义易知：（1）阶单位矩阵的秩等于（2）等价的矩阵必有相同的秩;由定理3可知阶可逆矩阵的秩等于因此又称可逆矩阵为满秩矩阵，或非奇异矩阵。既然等价的矩阵有相同的秩，那么就可以通过施行初等行变换的方法求矩阵的秩。【例2】求矩阵的秩。解对矩阵施行初等行变换所得行阶梯形矩阵中非零行的个数为3，所以定理4设为可逆矩阵，则存在有限个初等方阵使得证明因为为可逆矩阵，由定理3知与同阶单位矩阵等价，故经过有限次初等变换可变成就是存在有限个初等方阵使得即2.5.3利用初等变换求逆矩阵设方阵可逆，则亦可逆,由定理4存在初等矩阵使那么上式两边右乘得即（2-5-1）同时,又可写成（2-5-2）（2-5-1）式表明对方阵进行若干次初等行变换可以化为单位矩阵而（2-5-2）式表明用同样的初等行变换可把单位矩阵化为的逆矩阵于是有了下面的用初等行变换求逆矩阵的方法：做一个矩阵对此矩阵仅施以初等行变换，如果能将化成则可逆且就化为了如果不能通过初等行变换化成则不可逆。【例3】设解由于所以注意：用方法求逆矩阵时，只能对作初等行变换，不得出现初等列变换。习题2.51．用初等行变换把下列矩阵化为行最简阶梯形矩阵。（1）（2）（3）2．用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵。（1）（2）（3）（4）3．求下列矩阵的秩（1）

（2）（3）（4）（5）

（6）4．设复习题二一．填空题：１．阶方阵均可逆，则____________。２．若矩阵满足_______时,方可相乘,积是一个______矩阵。

３．设为3阶方阵，且则，４．若是阶方阵，且则_________。５．若均为阶方阵，二．选择题：１．设矩阵那么的伴随矩阵为()。ABC．D．２．设矩阵则下列结论中不正确的是（）A．B有意义；C．=D．３．若是阶方阵，且则下列结论中不正确的是（）。A．是非奇异矩阵；B．C．是可逆矩阵；D４．若为同阶方阵，且可逆，则下列结论中正确的是（）。A．若则B.若则C

D．若则５．设均为阶方阵，运算（）正确。A．BCD．若是可逆矩阵为不为零的常数，则三．判断题：１．两个零矩阵一定相等。（）２．矩阵可逆当且仅当

（）３(）４．设均为阶方阵，若则

（）５．设均为阶方阵，若，则

（）６．若均为阶方阵，则（）四．解答与计算：１．计算(1)(2)(4)(5)(6)

２．求下列矩阵的秩：(1)(2)

３．下列矩阵是否可逆？若可逆，求逆矩阵。４．解矩阵方程(1)(2)第三章向量组与线性方程组3.1线性方程组及其矩阵表示设非齐次线性方程组的一般形式为(为不全为零的常数)（3-1-1）在上一章知道，它的矩阵表达式为

其中

分别是系数阵、

常数项与未知阵。

将系数矩阵与常数项矩阵放在一起构成的矩阵称为方程组（3-1-1）的增广矩阵（也可记作

）。因为线性方程组是由它的系数和常数项

决定的，所以用增广矩阵

可以清楚地表示一个线性方程组。如果记则线性方程组（3-1-1）又可表示为或以上都是线性方程组（3-1-1）的各种变形。非齐次线性方程组（3-1-1）所对应的齐次线性方程组为（3-1-2）线性方程组（3-1-2）也可以表示为或【例1】把线性方程组表示为矩阵方程的形式。解设则原方程组可表示为【例2】写出以矩阵为增广矩阵的线性方程组。解以为增广矩阵的线性方程组为：

习题3.11.写出线性方程组的增广矩阵和矩阵方程形式。2.设矩阵求出以为系数矩阵的齐次线性方程组。

3.2线性方程组解的讨论3.2.1、高斯消元法定理1

若将线性方程组的增广矩阵通过初等行变换化成矩阵则线性方程组与同解。（证）证明由于对矩阵作一次初等行变换等价于矩阵左乘一个初等矩阵，因此存在初等矩阵使得记显然可逆。若为的解，即两边同时左乘矩阵有即于是为的解。

反之，若为的解，即两边同时左乘矩阵得即于是亦为的解。故与同解。运用第二章的知识，我们总可以用初等行变换把增广矩阵化为行最简阶梯形矩阵，求出行最简阶梯形矩阵所对应的线性方程组的解。由定理1知，行最简阶梯形矩阵所对应的线性方程组的解就是原线性方程组的解。这个方法称为高斯（Gauss）消元法（简称消元法）。下面举例说明用高斯消元法求解线性方程组的方法和步骤。【例1】用消元法解线性方程组：

解

最后一个矩阵所对应的线性方程组即为原方程组的解【例2】用消元法解线性方程组：解

最后一个矩阵所对应的线性方程组为：将移到方程组的右端，得当任意取定一组实数时，得到线性方程组的一组解，因方程组有无穷多组解。因为可以任意取值，所以又称为自由未知量。

令自由未知量则线性方程组的所有解为：（其中与为任意实数）。【例3】讨论线性方程组的解。解

最后一个矩阵所对应的线性方程组为：显然，不可能有的值满足第三个方程，因此该线性方程组无解。通过上面三个例子，可以总结出用高斯消元法解线性方程组的一般步骤：（1）通过初等行变换将线性方程组的增广矩阵化为行最简阶梯形矩阵；（2）将行最简阶梯形矩阵的首非零元所在列的未知量作为基本未知量，假设为个，其余未知量设为自由未知量，共计个；（3）把自由未知量移到方程组的右端，令它们分别取常数即可得到线性方程组的所有解。3.2.2、一般线性方程组解的判定

前面介绍了用高斯消元法解线性方程组的方法，通过讨论可知，线性方程组解的情况有三种：惟一解、无穷多组解和无解。归纳求解过程，我们总结出线性方程组解的判定的一般规律。定理2

线性方程组（3-1-1）有解的充分必要条件是其系数矩阵与增广矩阵的秩相等。（1）当时，该线性方程组有唯一解；（2）当时，该线性方程组有无穷多组解。

若线性方程组有解，则称该方程组是相容的；否则就称该方程组是不相容的。对于齐次线性方程组（3-1-2），显然是它的解，这样的解称为零解（或平凡解）。因此对于齐次线性方程组主要考虑其是否有非零解。由定理2容易得到下面的定理。定理3

齐次线性方程组（3-1-2）有非零解的充分必要条件是

【例4】判定下列线性方程组是否有解，若有解，有多少解？（！）

（2）（3）解（1）因为

所以方程组有解。又因为未知数个数故原方程组有惟一解。（2）因为而齐次线性方程组中未知数的个数所以原方程组有无穷多组解。（3）因为所以原方程组无解。习题3.21.判断下列线性方程组是否有解？（1）

（2）2.解下列线性方程组：（1）（2）（互不相等）（3）（4）

（5）3.当为何值时，非齐次线性方程组

(1)有惟一解；（2）无解;（3）有无穷多解，并求其所有解。4.当为何值时，非齐次线性方程组（1）无解；（2）有惟一解；（3）有无穷多解，并求其所有解。5.当为何值时，齐次线性方程组（1）只有零解；（2）有非零解，并求所有解。3.3向量及其运算3.3.1、维向量的概念定义1

个数所组成的有序数组称为维向量．其中称为向量的分量，叫做的第个分量（或坐标）．分量都是实数的向量称为实向量，分量为复数的向量称为复向量，本书只讨论实向量．向量一般用小写的希腊字母表示，分量一般用小写的英文字母表示．由定义1可知，我们在平面解析几何所学的向量，是一个具有几何意义的二维向量。【例1】已知方程组若不记未知数的符号和等号，则方程组中的三个方程便分别与向量相对应，这样就可以用向量来研究线性方程组的求解问题。设

都是维向量，当且仅当它们各个对应分量都相等，即时，称向量与相等，记作分量都是的向量称为零向量，记作

，即应注意两个零向量维数不同时，它们是不相同的向量。向量称为向量的负向量，记作维向量也可以写出列的形式：

写成行形式的向量称为行向量，写成列形式的向量称为列向量。列向量的转置即为行向量（T表示转置）.

需注意当时，一个行向量与一个列向量即使每个分量对应相等，也不能看成相等的向量。一个维行向量可以看成是一个的行矩阵一个维列向量可以看成是一个的列矩阵

由于向量可以看作矩阵，因此对向量进行运算时，可按矩阵的运算法则进行。

由同维数的向量所组成的集合称为向量组。如例1中的线性方程组就与所组成的向量组对应。又如矩阵的行可以看作个维行向量称之为矩阵的行向量组。从而矩阵可以记为的列可以看作个维列向量称之为矩阵的列向量组。矩阵也可以记为3.3.2、向量的运算定义2

设都是维向量．则向量叫做向量与的和，即向量的加法，记作即由向量的加法及负向量可以定义向量的减法：定义3设为维向量，为实数，则向量叫做数与向量的乘积，简称向量的数乘，记作或即向量的加法及数与向量的乘积两种运算统称为向量的线性运算，它们满足如下运算规律（设都是维向量，为实数）：（１）（２）（３）（４）（５）（６）（７）（８）由于向量可以看作矩阵，其运算规律与矩阵的运算规律一致,因此上述关于向量相等、向量的线性运算的规律均可借助于矩阵的运算规律得出。【例2】已知求解

【例3】已知如果满足，求向量解先进行向量运算，得从而习题3.31.已知向量求：（1）

（2）2.已知向量且求向量3.已知向量求4.已知向量求3.4向量组的线性相关性3.4.1向量的线性组合在上节例1的三个方程中，第一个方程乘以2减去第二个方程就得到第三个方程。这种关系用对应的向量表示即为即可由经线性运算得到。这时我们称是的线性组合，或称可由线性表示。定义1

给定向量组和向量如果存在一组数使得则称向量是向量组的线性组合,或称可由向量组线性表示。显然，零向量可以由任意向量组线性表示,这是因为任意维向量都可以由维向量组线性表示.这是因为称为维单位向量组。上述结论表明，任一维向量都可由维单位向量组线性表示。【例1】设试判断能否由线性表示。解先设其中为实数，则

由两个向量相等的定义，可得线性方程组因为由最后一个矩阵得线性方程组的解：于是即向量可由向量组线性表示。【例2】将线性方程组写成向量方程形式。解若设则线性方程组可写成向量方程的形式用高斯消元法求出线性方程组的解为则有即向量可由向量组线性表示。由以上例题可知，向量能由向量组线性表示，也就是线性方程组有解。由此得到以下定理：定理1

向量能由向量组线性表示的充分必要条件是：以为系数列向量，以为常数项向量的线性方程组有解，并且此线性方程组的一组解就是线性组合的一组系数。【例3】向量能否由向量组线性表示，若能，则求出表达式，并说明表达式是否惟一。解由定理1知，向量能否由向量组线性表示，取决于线性方程是否有解。而由最后一个矩阵可知，线性方程组有无穷多解且所有解为（为任意实数）于是（为任意实数），即能由向量组线性表示。因为为任意实数，所以表达式不惟一。

3.4.2、向量组的线性相关与线性无关定义2

设有维向量组若存在一组不全为零的实数使得成立，则称向量组线性相关；否则，如果只有当时，才有成立,则称向量组线性无关。如上节例1中表示三个方程的向量组具有关系：即则存在一组不全为零的实数使得故向量组线性相关。

由定义2知，对于只含一个向量的向量组，当时线性相关，当时线性无关。两个向量线性相关的充分必要条件是它们的对应分量成比例。如果把

看成是以为系数列向量、以为未知数的齐次线性方程组，则由定义2和3.2节的定理2可得如下重要结论：

定理2

关于列（行）向量组设矩阵（），则

线性相关齐次线性方程组有非零解向量组

线性无关齐次线性方程组只有零解【例4】判别下列向量组的线性相关性：（1）（2）(3)解

(1)设因为所以齐次线

性方程

只有零解，即向量组线性无关。(2)因为所以向量组线性相关。

（3）设因为所以向量组线性相关。【例5】讨论维单位向量组的线性相关性。解因为所以维单位向量组线性无关。【例6】设向量组线性无关，试证明也线性无关。，使得证明设有一组实数则因为线性无关，故而它的系数行列式,故所以线性无关。下面的定理说明了线性组合与线性相关这两个概念之间的密切关系。定理3

向量组（）线性相关的充分必要条件是其中至少存在一个向量可以由其余个向量线性表示证明必要性设线性相关，即存在一组不全为零的数使得因为中至少有一个不为零，不妨设，则有即能由其余个向量线性表示。充分性不妨设向量组中的能由其余个向量线性表示，即有故因为这个数不全为（至少），所以

线性相关。

如例1中的能由线性表示，即则由定理3知向量组线性相关。定理4

设向量组线性无关，而向量组性相关，则能由线性表示，且表示方法是惟一的。删去下面内容证明因为向量组线性相关，故存在一组不全为零的数使要证能由线性表示，只须证明。用反证法，假设则不全为零，且则线性相关，这与已知线性无关矛盾，故再证表示方法惟一。设有两个表达式两式相减得因为线性无关，所以即故的表示方法唯一。3.4.3向量组的秩由定理2可知，向量组的线性相关性与由向量组组成的矩阵的秩密切相关。为使讨论进一步深入，我们把秩的概念引进向量组。定义3

设是维向量所组成的向量组，如果中有个向量满足：(1)线性无关(2)

对任一个能由线性表示。.则称是向量组的一个最大线性无关组，简称最大无关组，最大无关组所含向量的个数称为向量组的秩，记作只含零向量的向量组没有最大无关组，规定它的秩为零。求向量组的秩和最大无关组可以通过相应的矩阵运算来实现。为此，我们给出下面的定理：定理5矩阵的秩等于它的行向量组的秩，也等于它的列向量组的秩。证明设是矩阵的列向量组，即且设则中有非零的阶子式，记作即由定理2知，是所在的列向量线性无关；又因为中所有阶子式都为零，所以中任意个列向量都线性相关。故由定理4和定义3知所在的列是的列向量组的一个最大无关组，所以列向量组的秩等于同理可证矩阵的行向量组的秩也等于根据3.2的定理1我们还可以证明，如果对一个矩阵施以初等行变换化为矩阵则的列向量组与的列向量组之间有相同的线性关系，即矩阵的初等行变换不改变其列向量间的线性关系，亦即不改变矩阵的秩。这样我们就可以利用初等行变换求向量组的秩及最大无关组，并可把向量组中任一向量由它的最大无关组线性表示。这时我们也称与的列向量组之间是等价的（即的列向量组与的列向量组能相互线性表示）。【例6】求向量组的秩和一个最大无关组。解将作为列向量组成矩阵然后对矩阵施行初等行变换，化为行阶梯形矩阵由最后一个矩阵可知向量组的秩为2，其中线性无关，故为一个最大无关组。

显然，和也是向量组的最大无关组。由此可得，最大无关组不是惟一的，但它们所含向量的个数是相等的。【例7】求向量组的秩及它的一个最大无关组，并将其它向量用该最大无关组线性表示。解将作为列向量组成矩阵对施行初等行变换，将其化为行最简形矩阵所以即向量组的秩为2。由最后一个矩阵可知，为一个最大无关组，且习题3.41.判断下列向量组的线性相关性：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）2.判断下列各题中向量能否由其它向量线性表示，若能，将其它向量的线性组合：（1）（2）（3）3.已知线性相关，求的值。4.求下列向量组的秩和一个最大无关组：（1）(2)（3）（4）5.求下列向量组的秩和一个最大无关组，并将其余向量用最大无关组线性表示。（1）（2）（3）6.设向量组线性无关，求证也线性无关。7.证明线性无关向量组的部分组必线性无关。3.5一般线性方程组解的结构3.5.1齐次线性方程组解的结构在3.1节中齐次线性方程组（3-1-2）的矩阵表达式为若有维列向量，

使得则称为（2）的解向量，它也是矩阵方程的解。当方程有无穷多解（当然是非零解）时，其解有如下性质：性质1

如果是的两个解，则也是的解性质2如果是的解，为任意实数，则也是的解.由两个性质推广可得性质3性质3如果是的解，则它们的线性组合也是的解，其中是任意实数。由此可知，如果能求出的所有解构成的解向量组的一个最大无关组，则能用它的线性组合来表示齐次线性方程组的全部解。定义1若齐次线性方程组的一组解向量满足条件：

（1）线性无关；（2）的任一解向量都可由线性表示，则称是齐次线性方程组的一个基础解系。显然的基础解系就是它的解向量组的一个最大无关组。于是，只要找出的一个基础解系，它的全部解向量就能由基础解系的线性组合表示出来：(是任意实数)称其为齐次线性方程组的通解。设齐次线性方程组的系数矩阵的秩为于是对施行若干次初等行变换，可以化为行最简阶梯形矩阵对应的方程组为（3-5-1）方程组与方程组（3-5-1）为同解方程组。在方程组（3-5-1）中，把作为自由未知量，并令它们依次取下列组数则有从而得到线性方程组的个解向量：可以证明是线性无关的，而且方程组的任一解都可由线性表示出来：故就是齐次线性方程组的基础解系，它所含向量个数为个。上述过程给出了一种求方程组的基础解系的方法。从这个过程中可以看出，基础解系不是惟一的，即齐次线性方程组可以有不同的基础解系。如将任取个线性无关的维向量，再通过方程组（3-5-1）求出便可得到方程组的一个基础解系。【例1】求齐次线性方程组的基础解系。解对方程组的系数矩阵作初等行变换因为所以方程组有非零解，且有个自由未知量，同解方程组为取为自由未知量，将方程组改写成令可得令可得于是原方程组的基础解系为【例2】求齐次线性方程组的通解解对方程组的系数矩阵作初等行变换因为所以方程组有非零解，且有2个自由未知量，同解方程组为取为自由未知量，将方程组改写成分别令及可得基础解系则通解为其中为任意实数。此题也可以将系数矩阵的行最简阶梯形矩阵所对应的同解方程组写成如下形式这里仍为自由未知量，则自由未知量系数组成的列向量组

便是原方程组的一个基础解系。将上式改为向量形式有

3.5.2非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组对应的齐次线性方程组亦称为非齐次线性方程组的导出组。这两种方程的解之间有下列性质：性质4

如果是的解，则是其导出组的解。证明：因为故所以是的解。性质5

如果是的解，是其导出组的通解，则是的解（证明留做练习供同学自己思考）由上面两个性质，可得如下定理：定理1如果是的一个特解，是其导出组的通解，那么是的通解。（证略）上述定理说明，如果求得导出组的一个基础解系和的一个特解则方程组的通解为（其中为任意实数）【例3】求非齐次线性方程组的通解。解对增广矩阵施行初等行变换所以方程组有解，同解方程组为或写为即令所以非齐次线性方程组的通解为（其中为任意实数）。删去下面内容【例4】讨论当为何值时，下列方程组（1）无解；（2）有解，并求其通解。

解对增广矩阵施行初等行变换(1)当或时，方程组无解。(2)当且时方程组有解，同解方程组为即或求得非齐次线性方程组的一个特解及导出组的一个基础解系所以非齐次线性方程组的通解为（为任意实数）习题3.5

1.求下列齐次线性方程组的一个基础解系：（1）（2）2.求下列齐次线性方程组的通解：（1）

（2）（3）

（4）3.求下列非齐次线性方程组的通解：（1）（2）（3）（4）4.当取何值时，非齐次线性方程组有解，且求其通解。5.当为何值时，齐次线性方程组有无穷多解，并求其通解。复习题三1.填空题：（1）已知且则（2）若存在一组实数使得则称的一个且线性关。（3）设向量组线性无关，则必须满足关系式（4）如果5元齐次线性方程组的同解方程组是则的基础解系有个解向量。（5）个维向量组成的向量组，当时，这个向量组一定线性相关。（6）已知向量组的秩为则

的值为2.单选题：（1）设向量组

的秩为

且满足

则下列向量组中（）是一个最大无关组。A.B.C.D（2）设

是阶方阵且则中（）

A.必有一列元素全为零

B.必有两列元素对应成比例

C.必有一列向量是其余向量的线性组合

D.任一列向量是其余向量的线性组合（3）如果向量能够由向量组

线性表示，则向量组

秩（）

A.大于

的秩

B.等于

的秩

C.小于

的秩

D.与

的秩无关（4）若非齐次线性方程组

中方程的个数少于未知数的个数，则，（）A.必有无穷多解

B.只有零解C.必有非零解

D.必无解（5）对非齐次线性方程组

下列说法正确的是（）A.若

只有零解，则

无解B.若

有非零解，则

有解C.若有解。则有非零解D.若有惟一解。则只有零解3.判断题：（1）所有零向量都相等。（2）如果存在一组不全零的数，使则线性无关。（3）若一个向量组的秩是，则该向量组中任意个向量都线性无关。（4）设维向量组，如果则向量组无关。（5）若都是齐次线性方程组的解向量且线性无关，则必是的一个基础解系。4.（1）设且满足求向量并判断的线性相关性。（2）判断向量组的线性相关性。5.求下列向量组的秩和一个最大无关组，并把其余向量用最大无关组线性表示：（1）（2）6．向量

能否用向量组

线性表示？若能，则求出表达式，并说明

表达式是否惟一；若不能，则说明理由。（1）(2)7.设向量组

线性无关

试证明向量组

也线性无关

8.求下列线性方程组的通解：（1）（2）9.当

取何值时，非齐次线性方程组

有解，并求其通解

10.当

为何值时，非齐次线性方程组

（1）无解；（2）有惟一解；（3）有无穷多解，并求其通解。第四章相似矩阵

4.1矩阵的特征值与特征向量4.1.1特征值与特征向量定义1

设为阶方阵，如果存在实数和维非零列向量使关系式成立，则称为方阵的特征值，非零向量称为方阵

对应于特征值的特征向量。

例如，对于3阶矩阵因为所以对于任意一个三维列向量，都有即由定义1知，数是的特征值，任意一个非零三维列向量都是对应于特征值的特征向量。也可改写成为这是一个含有个未知数个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式定义2设矩阵称矩阵为的特征矩阵，它的行列式是的一个次多项式，记作，称为的特征多项式。方程称为的特征方程。的特征值就是特征方程的解，也是特征多项式的根。例如矩阵的特征矩阵为的特征多项式为它是的三次多项式。的特征方程是即的特征值就是特征方程的解，也是特征多项式的根。4.1.2矩阵特征值与特征向量的求法根据定义1和定义2，可得以下重要结论：定理1

若

是

阶方阵，则数

是

的特征值，向量

是

的对应于

的特征向量的充分必要条件是：是特征方程

的根，

是齐次线性方程组

的非零解。

根据定理1，只要

是的特征值，则

一定是

的根，于是

又称为

的特征根。如果

是特征方程

的

重根，则称

为

的

重特征根。而齐次线性方程组

的每一个非零解向量

都是对应于

的特征向量。综上所述，我们把求

阶矩阵

的特征值和特征向量的计算方法归纳如下：第1步：写出

的特征多项式

第2步：由特征方程

求出其全部根

它们就是

的全部特征值；第3步：把每一个特征值

代入齐次线性方程组

求出每个

特征值

的一个基础解系，设为

则

（不全为零）就是对应于特征值

的全部特征向量。【例1】设求的特征值和特征向量．

解

的特征多项式所以

的特征值为

把

代入齐次线性方程组

得

化简得

它的一个基础解系是

把

代入齐次线性方程组

，得

化简得它的一个基础解系是

因此，

的特征值为

属于

的全部特征向量（是不全为零的实数）；属于

的全部特征向量是

（为非零实数）。【例2】设求的特征值和特征向量．解

的特征多项式所以的特征值为把代入齐次线性方程组求得基础解系所以（为非零实数）是矩阵对应于特征值的全部特征向量。类似地，得到（为非零实数）是矩阵对应于特征值的全部特征向量；（为非零实数）是矩阵对应于特征值的全部特征向量。由例2可知，对角阵的特征值就是它的主对角线上的元素。【例3】设是的特征值，证明：（1）是的特征值；（2）当可逆时，是的特征值。证明（1）因为是的特征值，所以存在非零向量，使得于是即是的特征值。（2）当可逆时，由得因为是非零向量，所以故即是的特征值。特征值与特征向量具有以下性质：性质1

阶矩阵与它的转置矩阵有相同的特征值。证明因为所以上式说明与的特征多项式相同，因此，它们的特征值也相同。性质2矩阵的不同特征值所对应的特征向量线性无关。证明用反证法，设与是矩阵的两个不同的特征值与所对应的特征向量。若与线性相关，则有于是有即也是对应于的特征向量，与已知条件矛盾，所以与线性无关。习题4.11．求下列矩阵的特征值和特征向量：(1)(2)（3）（4）2．设都是的对应于特征值的特征向量，证明和仍是对应于特征值的特征向量。3.若阶方阵满足则称为幂等矩阵。试证：幂等矩阵的特征值只能是或者4.2相似矩阵与矩阵的对角化4.2.1相似矩阵的概念定义1对于阶方阵与如果存在可逆矩阵，使得则称方阵与相似，记作例如，对于矩阵和因为所以～“相似”是矩阵之间的一种关系，相似矩阵具有以