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定积分第六章陶宝数学与统计学院1微积分学习注意事项

1、课前预习、认真听讲、课后复习、多做作业.2、微积分作业规范：字迹工整，卷面整洁，题目之间空行.3、平时成绩考核:旷课一次扣10分,三次旷课取消考试资格!!!作业一次不交扣10分,三次不交取消考试资格!!!2一、曲边梯形的面积第一节定积分的概念与性质

由连续曲线y=f(x)(f(x)

0),直线x=a,x=b(a<b)及x轴所围成的平面图形的面积yo3曲边梯形如图所示，分割近似5曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积为求和取极限（1）分割（3）求和（4）极限（2）近似62.变速直线运动的路程设某物体作变速直线运动,且求在一段时间内物体所经过的路程s.解决步骤:1)分割.将它分成在每个小段上物体经2)近似.得已知速度n

个小段过的路程为73)近似和.4)取极限

.上述两个问题的共性:

解决问题的方法步骤相同:“分割,近似,求和,极限”

所求量极限结构式相同:特殊乘积和式的极限8二、定积分的定义定义9被积函数被积表达式积分变量记为积分上限积分下限10说明：1.2.可积的充分条件：

11思考题将和式极限：表示成定积分.12思考题解答原式13三、定积分的几何意义曲边梯形的面积曲边梯形面积的相反数yoyo14若要求阴影部分的面积,则为15例1利用定义计算定积分解xyo1116推广：17四、定积分的基本性质规定:18

在下面的性质中,假定定积分都存在,且不考虑积分上下限的大小．性质1（此性质可以推广到有限多个函数和的情况）性质2(k为常数)性质1,2合称线性性.

19说明：不论a,b,c的相对位置如何,上式总成立.例如,这个性质称为定积分的区间可加性.则性质3证略.由于20性质4证性质521推论1证22推论1推论2证即23解例2于是24性质5（估值定理）25解2627例3估计定积分值的范围:解(1)设,为估计定积分的值,先求出f(x)在区间[－1,2]上的最大值和最小值.令,得唯一驻点x=0,且为极大值点,也是最大值点最大值M=f(0)=e0=128由定积分性质3可知又f(－1)=e－1,f(2)=e－4,所以最小值m=f(2)=e－4.29例4.

试证:证:设则在上,有即故即30性质6（积分中值定理）证由闭区间上连续函数的介值定理知，即估值定理31积分

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