20届高考数学一轮(江苏版)习题-第2讲空间点、线、面之间的位置关系

第2讲空间点、线、面之间的位置关系一、填空题1．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则直线a与c的位置关系是________．解析当a，b，c共面时，a∥c；当a，b，c不共面时，a与c可能异面也可能相交．答案相交、平行或异面2．(2017·苏州期末)已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是________．解析依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面．答案相交、平行或异面3．平面α，β相交，在α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________个平面．解析若过四点中任意两点的连线与另外两点的连线相交或平行，则确定一个平面；否则确定四个平面．答案1或44．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线________对．解析如图所示，与AB异面的直线有B1C1，CC1，A1D1，DD1四条，因为各棱具有不同的位置，且正方体共有12条棱，排除两棱的重复计算，共有异面直线eq\f(12×4,2)＝24(对)．答案245．(2017·哈尔滨一模)如图，在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB和△PAD都是等边三角形，则异面直线CD与PB所成角的大小为________．解析如图，过点B作直线BE∥CD，交DA的延长线于点E，连接PE.∴∠PBE(或其补角)是异面直线CD与PB所成角．∵△PAB和△PAD都是等边三角形，∴∠PAD＝60°，DA＝PA＝AB＝PB＝AE，∴∠PAE＝120°.设PA＝AB＝PB＝AE＝a，则PE＝eq\r(3)a.又∠ABC＝∠BAD＝90°，∴∠BAE＝90°，∴BE＝eq\r(2)a，∴在△PBE中，PB2＋BE2＝PE2，∴∠PBE＝90°.即异面直线CD与PB所成角为90°.答案90°6．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．解析取CD的中点H，连接EH，FH.在正四面体CDEF中，由于CD⊥EH，CD⊥HF，所以CD⊥平面EFH，所以AB⊥平面EFH，则平面EFH与正方体的左右两侧面平行，则EF也与之平行，与其余四个平面相交．答案47．(2017·苏北四市期末)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为________(填序号)．解析A，M，C1三点共面，且在平面AD1C1B中，但C∉平面AD1C1B，C1∉AM，因此直线AM与CC1是异面直线，同理AM与BN也是异面直线，AM与DD1也是异面直线，①②错，④正确；M，B，B1三点共面，且在平面MBB1中，但N∉平面MBB1，B∉MB1，因此直线BN与MB1是异面直线，答案③④8．(2016·全国Ⅰ卷改编)平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，解析根据平面与平面平行的性质，将m，n所成的角转化为平面CB1D1与平面ABCD的交线及平面CB1D1与平面ABB1A1的交线所成的角．设平面CB1D1∩平面ABCD＝m1∵平面α∥平面CB1D1，∴m1∥m.又平面ABCD∥平面A1B1C1D1且平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1∴B1D1∥m1，∴B1D1∥m.∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1且平面CB1D1∩平面DCC1D1＝CD1，同理可证CD1∥n.因此直线m与n所成的角即直线B1D1与CD1所成的角．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，△CB1D1故直线B1D1与CD1所成角为60°，其正弦值为eq\f(\r(3),2).答案eq\f(\r(3),2)二、解答题9.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．解(1)AM，CN不是异面直线．理由：连接MN，A1C1，AC因为M，N分别是A1B1，B1C1的中点，所以MN∥A1C又因为A1A綊C1C，所以四边形A1ACC所以A1C1∥AC，所以MN∥AC所以A，M，N，C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线．(2)直线D1B和CC1是异面直线．理由：因为ABCD－A1B1C1D1是正方体，所以B，C，C1，D1不共面．假设D1B与CC1则存在平面α，使D1B⊂平面α，CC1⊂平面α，所以D1，B，C，C1∈α，这与B，C，C1，D1不共面矛盾．所以假设不成立，即D1B和CC1是异面直线．10．(2017·成都月考)如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．已知∠BAC＝eq\f(π,2)，AB＝2，AC＝2eq\r(3)，PA＝2.求：(1)三棱锥P－ABC的体积；(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值．解(1)S△ABC＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝2eq\r(3)，三棱锥P－ABC的体积为V＝eq\f(1,3)S△ABC·PA＝eq\f(1,3)×2eq\r(3)×2＝eq\f(4,3)eq\r(3).(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则ED∥BC，所以∠ADE是异面直线BC与AD所成的角(或其补角)．在△ADE中，DE＝2，AE＝eq\r(2)，AD＝2，cos∠ADE＝eq\f(22＋22－2,2×2×2)＝eq\f(3,4).故异面直线BC与AD所成角的余弦值为eq\f(3,4).11．给出以下四个命题：①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．则以上命题正确的是________(填序号)．解析①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面．这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确．②从条件看出两平面有三个公共点A，B，C，但是若A，B，C共线，则结论不正确；③不正确；④不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形．答案①12．四棱锥P－ABCD的所有侧棱长都为eq\r(5)，底面ABCD是边长为2的正方形，则CD与PA所成角的余弦值为________．解析因为四边形ABCD为正方形，故CD∥AB，则CD与PA所成的角即为AB与PA所成的角，即为∠PAB.在△PAB内，PB＝PA＝eq\r(5)，AB＝2，利用余弦定理可知cos∠PAB＝eq\f(PA2＋AB2－PB2,2×PA×AB)＝eq\f(5＋4－5,2×\r(5)×2)＝eq\f(\r(5),5).答案eq\f(\r(5),5)13．如图，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，F，G分别是线段AE，BC的中点，则AD与GF所成的角的余弦值为________．解析取DE的中点H，连接HF，GH.由题设，HF綊eq\f(1,2)AD.∴∠GFH为异面直线AD与GF所成的角(或其补角)．在△GHF中，可求HF＝eq\r(2)，GF＝GH＝eq\r(6)，∴cos∠HFG＝eq\f(2＋6－6,2×\r(2)×\r(6))＝eq\f(\r(3),6).答案eq\f(\r(3),6)14.如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点．(1)求四棱锥O－ABCD的体积；(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值．解(1)由已知可求得正方形ABCD的面积S＝4，所以四棱锥O－ABCD的体积V＝eq\f(1,3)×4×2＝eq\f(8,3).(2)如图，连接AC，设线段AC的中点为E，连接ME，DE，又M为OA中点，∴ME∥OC，则∠EMD(或其补角)为异面直线OC与MD所成的