2024-2025学年高中数学第三章导数及其应用单元评估卷一习题含解析新人教A版选修1-1

第三章单元评估卷(一)eq\o(\s\up7(限时：120分钟满分：150分),\s\do5())第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．若函数f(x)的导数为－2x2＋1，则f(x)可以等于()A．－2x3＋1 B．x＋1C．－4x D．－eq\f(2,3)x3＋x2．已知物体的运动方程是s＝eq\f(1,4)t4－4t3＋16t2(t表示时间，s表示位移)，则瞬时速度为0的时刻是()A．0秒、2秒或4秒 B．0秒、2秒或16秒C．2秒、8秒或16秒 D．0秒、4秒或8秒3．已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图象如下图所示，则y＝f(x)()A．在(－∞，0)上为减函数B．在x＝0处取微小值C．在(4，＋∞)上为减函数D．在x＝2处取极大值4．一质点做直线运动，由始点经过ts后与初始位置间的距离为s＝eq\f(1,3)t3－6t2＋32t，则速度为0的时刻是()A．t＝4s B．t＝8sC．t＝4s或t＝8s D．t＝0或t＝4s5．函数y＝x2ex的单调递减区间是()A．(－1,2)B．(－∞，－1)与(1，＋∞)C．(－∞，－2)与(0，＋∞)D．(－2,0)6．若曲线f(x)＝x2－1与g(x)＝1－x3在x＝x0处的切线相互垂直，则x0等于()A.eq\f(\r(3,36),6) B．－eq\f(\r(3,36),6)C.eq\f(2,3) D.eq\f(2,3)或07．已知抛物线y＝－2x2＋bx＋c在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切，则b＋c的值为()A．20 B．9C．－2 D．28．设函数f(x)的图象如图，则函数y＝f′(x)的图象可能是下图中的()9．已知三次函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－(4m－1)x2＋(15m2－2m－7)x＋2在x∈(－∞，＋∞)是增函数，则m的取值范围是()A．m<2或m>4 B．－4<m<－2C．2<m<4 D．以上皆不正确10．假如圆柱的轴截面周长为定值4，那么圆柱体积的最大值为()A.eq\f(8,27)π B.eq\f(16,27)πC.eq\f(8,9)π D.eq\f(16,9)π11．函数f(x)＝x3－3ax＋b(a>0)的极大值为6，微小值为2，则f(x)的减区间是()A．(－1,1) B．(0,1)C．(－1,0) D．(－2，－1)12．把一个周长为12cm的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱底面周长与高的比为()A．1∶2 B．1∶πC．2∶1 D．2∶π答案1．D选项A中函数的导数为f′(x)＝－6x2；选项B中函数的导数为f′(x)＝1；选项C中函数的导数为f′(x)＝－4；选项D中函数的导数为f′(x)＝－2x2＋1.2．Ds′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)t4－4t3＋16t2))′＝t3－12t2＋32t＝t(t－4)(t－8)，令s′＝0，则有t(t－4)(t－8)＝0，解得t＝0或t＝4或t＝8.3．C在(－∞，0)上，f′(x)>0，故f(x)在(－∞，0)上为增函数，A错；在x＝0处，导数由正变负，f(x)由增变减，故在x＝0处取极大值，B错；在(4，＋∞)上，f′(x)<0，f(x)为减函数，C对；在x＝2处取微小值，D错．4．C速度为0即s′＝0，由s′＝t2－12t＋32＝0，得t＝4或t＝8，故选C.5．Dy′＝(x2ex)′＝2xex＋x2ex＝xex(x＋2)．∵ex>0，∴xex(x＋2)<0，即－2<x<0，故函数y＝x2ex的单调递减区间是(－2,0)．6．A∵f′(x)＝2x，g′(x)＝－3x2，∴(2x0)·(－3xeq\o\al(2,0))＝－1，解得x0＝eq\f(\r(3,36),6).7．C由题意得y′|x＝2＝1，又y′＝－4x＋b，∴－4×2＋b＝1，∴b＝9，又点(2，－1)在抛物线上，∴c＝－11，∴b＋c＝－2，故选C.8．D由y＝f(x)图象知有两个极值点，第一个是极大值点，其次个是微小值点，由极值意义知．选D.9．Df′(x)＝x2－2(4m－1)x＋15m2－2m－7，由题意得x2－2(4m－1)x＋15m2－2m－7≥0恒成立，∴Δ＝4(4m－1)2－4(15m2－2m－7)＝64m2－32m＋4－60m2＋8m＋28＝4(m2－6m＋8)≤0，∴2≤m≤4，故选D.10．A设圆柱底面半径为r，高为h，则4r＋2h＝4，即2r＋h＝2，则体积V圆柱＝πr2h＝πr2(2－2r)＝2πr2－2πr3，由h＝2－2r>0得0<r<1，∴V′＝4πr－6πr2＝4πreq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,2)r))，由V′＝0得r＝eq\f(2,3).∵当0<r<eq\f(2,3)时，V′>0；当eq\f(2,3)<r<1时V′<0，∴当r＝eq\f(2,3)时V取得极大值也是最大值，且最大值为eq\f(8π,27)，故选A.11．A令f′(x)＝3x2－3a＝0，得x＝±eq\r(a)，f(eq\r(a))＝2，f(－eq\r(a))＝6，得a＝1，b＝4，当x∈(－1,1)时，f′(x)＝3x2－3<0.即－1<x<1.12．C设圆柱的高为x，底面半径为r，则r＝eq\f(6－x,2π)，圆柱体积V＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6－x,2π)))2x＝eq\f(1,4π)(x3－12x2＋36x)(0<x<6)，V′＝eq\f(3,4π)(x－2)(x－6)．当x＝2时，V最大．此时底面周长为6－x＝4,4∶2＝2∶1，故选C.————————————————————————————第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在题中横线上)13．在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在其次象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为________．14．函数f(x)＝x3－3a2x＋a(a>0)的极大值为正数，微小值为负数，则a的取值范围是________．15．若f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a>0)在R上是单调递增函数，则a，b，c满意的关系式为________．16．函数f(x)＝ax4－4ax2＋b(a>0,1≤x≤2)的最大值为3，最小值为－5，则a＝________，b＝________.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)求下列函数的导数．(1)y＝xsinx－eq\f(2,cosx)；(2)f(x)＝3xsinx－eq\f(cosx－lnx,x)；(3)y＝(2x2＋3)(3x－2)．18．(12分)已知函数f(x)＝x3－ax2－3x.(1)若f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若x＝－eq\f(1,3)是f(x)的极值点，求f(x)在[1，a)上的最大值．答案13．(－2,15)解析：∵y′＝3x2－10＝2，∴x＝±2.又点P在其次象限内，∴x＝－2，∴点P的坐标为(－2,15)．14.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，＋∞))解析：f′(x)＝3x2－3a2＝3(x＋a)(x－a)，令f′(x)>0得x>a或x<－a，令f′(x)<0得－a<x<a，∴当x＝－a时，f(x)取极大值f(－a)＝2a3＋a，∵a>0，∴2a3＋a>0，当x＝a时，f(x)取微小值f(a)＝a－2a3，由题意得a－2a3<0，又a>0，∴1－2a2<0，∴a>eq\f(\r(2),2).15．a>0，且b2≤3ac解析：由题意可知f′(x)＝3ax2＋2bx＋c≥0恒成立，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝4b2－12ac≤0))即a>0，且b2≤3ac.16．23解析：令y′＝4ax3－8ax＝4ax(x2－2)＝0，解得x1＝0，x2＝eq\r(2)，x3＝－eq\r(2).又f(1)＝a－4a＋b＝b－3a，f(2)＝16a－16a＋b＝b，f(eq\r(2))＝b－4a，f(0)＝b，f(－eq\r(2))＝b－4a.∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b－4a＝－5，,b＝3.))∴a＝2，b＝3.17．解：(1)y′＝(xsinx)′－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,cosx)))′＝sinx＋xcosx－eq\f(2sinx,cos2x).(2)∵(3xsinx)′＝(3x)′sinx＋3x(sinx)′＝3xln3sinx＋3xcosx＝3x(sinxln3＋cosx)；eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(cosx－lnx,x)))′＝eq\f(cosx－lnx′x－cosx－lnx·1,x2)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－sinx－\f(1,x)))x－cosx＋lnx,x2)＝eq\f(－1－xsinx－cosx＋lnx,x2).∴f′(x)＝3x(sinxln3＋cosx)＋eq\f(1＋xsinx＋cosx－lnx,x2).(3)方法一：y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2)′＝4x(3x－2)＋(2x2＋3)·3＝18x2－8x＋9.方法二：∵y＝(2x2＋3)(3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6，∴y′＝18x2－8x＋9.18．解：(1)f′(x)＝3x2－2ax－3.∵f(x)在[1，＋∞)上是增函数，∴在[1，＋∞)上恒有f′(x)≥0，即3x2－2ax－3≥0在[1，＋∞)上恒成立，则必有eq\f(a,3)≤1且f′(1)＝－2a≥0，∴a≤0.即a的取值范围为(－∞，0]．(2)依题意，得f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝0，即eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)a－3＝0，∴a＝4，∴f(x)＝x3－4x2－3x.令f′(x)＝3x2－8x－3＝0，得x1＝－eq\f(1,3)，x2＝3，则当x改变时，f′(x)，f(x)的改变状况如下表所示：x1(1,3)3(3,4)4f′(x)－0＋f(x)－6－18－12由上表可知f(x)在[1,4)上的最大值是f(1)＝－6.————————————————————————————19.(12分)当0<x<eq\f(π,2)时，试证：sinx>x－eq\f(x3,6).20．(12分)已知函数f(x)＝ax3＋bx2的图象经过点M(1,4)，曲线在点M处的切线恰好与直线x＋9y＝0垂直．(1)求实数a，b的值；(2)若函数f(x)在区间[m，m＋1]上单调递增，求m的取值范围．答案19．证明：设函数f(x)＝sinx－x＋eq\f(x3,6)，明显f(0)＝0，则f′(x)＝cosx－1＋eq\f(x2,2)＝eq\f(x2,2)－2sin2eq\f(x,2)＝2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(x,2)))2)).又因为0<x<eq\f(π,2)，x>sinx，所以eq\f(x,2)>sineq\f(x,2)>0，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(x,2)))2>0.故f′(x)>0，函数f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是增函数，所以f(x)>f(0)＝0，即sinx>x－eq\f(x3,6).20．解：(1)∵f(x)＝ax3＋bx2的图象经过点M(1,4)，∴a＋b＝4.①f′(x)＝3ax2＋2bx，则f′(1)＝3a＋2b.由条件得f′(1)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,9)))＝－1，即3a＋2b＝9.②由①②，得a＝1，b＝3.(2)f(x)＝x3＋3x2，f′(x)＝3x2＋6x，令f′(x)＝3x2＋6x≥0，得x≥0或x≤－2，故由f(x)在[m，m＋1]上单调递增，得[m，m＋1]⊆(－∞，－2]∪[0，＋∞)，∴m≥0或m＋1≤－2，即m≥0或m≤－3.————————————————————————————21.(12分)将如图所示的边长为a的等边三角形铁片，剪去三个四边形，做成一个无盖的正三棱柱形容器(不计接缝)，设容器的高为x，容积为V(x)．(1)写出函数V(x)的解析式，并求出函数的定义域；(2)求当x为多少时，容器的容积最大？并求出最大容积．22．(12分)已知函数f(x)＝ex＋eq\f(1,x－a).(1)当a＝eq\f(1,2)时，求函数f(x)在x＝0处的切线方程．(2)函数f(x)是否存在零点？若存在，求出零点的个数，若不存在，说明理由．答案21.解：(1)因为容器的高为x，则做成的正三棱柱形容器的底边长为(a－2eq\r(3)x)，则V(x)＝eq\f(\r(3),4)(a－2eq\r(3)x)2x，函数的定义域为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),6)a)).(2)实际问题归结为求函数V(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),6)a))上的最大值点．先求V(x)的极值点．在开区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),6)a))内，V′(x)＝9eq\r(3)x2－6ax＋eq\f(\r(3),4)a2.令V′(x)＝0，即9eq\r(3)x2－6ax＋eq\f(\r(3),4)a2＝0，解得x1＝eq\f(\r(3),18)a，x2＝eq\f(\r(3),6)a(舍去)．因为x1＝eq\f(\r(3),18)a在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),6)a))内，x1可能是极值点．当0<x<x1时，V′(x)>0；当x1<x<eq\f(\r(3),6)a时，V′(x)<0.因为x1是极大值点，且在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),6)a))内，x1是唯一的极值点，所以x＝