2024-2025学年高中数学第三章三角恒等变换3.2.3两角和与差的正切函数学案含解析北师大版必修4

PAGE2．3两角和与差的正切函数学问点两角和与差的正切公式[填一填](1)两角和的正切：tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)(Tα＋β)．(2)两角差的正切：tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)(Tα－β)．公式Tα±β的记忆规律：公式的左侧是复角的正切即tan(α±β)，右侧是分式，分子是tanα与tanβ的和或差，分母是1与tanαtanβ的差或和，分式的运算符号可以简记为“分子从前，分母相反”．[答一答]1．在公式Tα±β中，α，β的运用范围是什么？公式的变形有哪些？提示：(1)从公式的推导过程来看，要使公式成立，α，β以及α±β都不能等于kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，例如taneq\f(3π,4)，taneq\f(π,4)都有意义，但tan(eq\f(3π,4)－eq\f(π,4))无意义．(2)两角和与差的正切公式的常见变形：①tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)；②1－tanαtanβ＝eq\f(tanα＋tanβ,tanα＋β)；③tanα＋tanβ＋tanαtanβtan(α＋β)＝tan(α＋β)；④tanαtanβ＝1－eq\f(tanα＋tanβ,tanα＋β).这些变形是化简和求值中常用的形式，这些变形实质上是在提示我们只要遇见tanα±tanβ和tanαtanβ，就要有敏捷运用公式Tα±β的变形形式的意识．2．为什么tan(α＋β)＝tanα＋tanβ不恒成立？提示：可以举反例，例如，tan(30°＋120°)＝tan150°＝－eq\f(\r(3),3)，而tan30°＝eq\f(\r(3),3)，tan120°＝－eq\r(3)，所以tan30°＋tan120°＝eq\f(\r(3),3)－eq\r(3)＝－eq\f(2\r(3),3).所以tan(30°＋120°)≠tan30°＋tan120°.因此tan(α＋β)＝tanα＋tanβ不恒成立．公式Tα＋β的结构特征和符号规律(1)公式Tα±β的右侧为分式形式，其中分子为tanα与tanβ的和或差，分母为1与tanαtanβ的差或和．(2)符号改变规律可简记为“分子同，分母反”.类型一公式正用和逆用【例1】求下列各式的值．(1)tan105°；(2)eq\f(\r(3)－tan15°,1＋\r(3)tan15°)；(3)eq\f(tan75°－tan15°,1＋tan75°tan15°)；(4)eq\f(tan62°＋tan148°,1－tan118°tan32°).【思路探究】娴熟驾驭Tα±β的公式，能够对公式进行正用和逆用．【解】(1)原式＝tan(60°＋45°)＝eq\f(tan60°＋tan45°,1－tan60·tan45°)＝eq\f(1＋\r(3),1－\r(3))＝－2－eq\r(3).(2)原式＝eq\f(tan60°－tan15°,1＋tan60°tan15°)＝tan45°＝1.(3)原式＝tan(75°－15°)＝tan60°＝eq\r(3).(4)原式＝eq\f(tan62°－tan32°,1＋tan62°tan32°)＝tan30°＝eq\f(\r(3),3).规律方法利用两角和与差的正切公式求值，关键是弄清公式的结构特点．(1)已知tanx＝eq\f(1,4)，tany＝－3，求tan(x＋y)的值；(2)已知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，且a≠c)的两根为tanα，tanβ，求tan(α＋β)的值．解：(1)tan(x＋y)＝eq\f(tanx＋tany,1－tanxtany)＝eq\f(\f(1,4)－3,1－\f(1,4)×－3)＝－eq\f(11,7).(2)由a≠0和一元二次方程根与系数的关系，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(tanα＋tanβ＝－\f(b,a)，,tanαtanβ＝\f(c,a)，))又∵a≠c，∴tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\f(－\f(b,a),1－\f(c,a))＝－eq\f(b,a－c)＝eq\f(b,c－a).类型二变形应用公式【例2】(1)若α＋β＝eq\f(π,3)，tanα＋eq\r(3)(tanαtanβ＋c)＝0(c为常数)，则tanβ＝________；(2)tan23°＋tan37°＋eq\r(3)tan23°tan37°的值是________．【思路探究】在三角函数中同时出现tanα＋tanβ(或tanα－tanβ)和tanαtanβ，或在和、差的形式与积的形式之间进行互化时，可以考虑公式Tα＋β与Tα－β的变形．【解析】(1)∵α＋β＝eq\f(π,3)，∴tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\r(3)，∴tanα＋tanβ＋eq\r(3)tanαtanβ＝eq\r(3)，∴tanα＋eq\r(3)tanαtanβ＋eq\r(3)c＝eq\r(3)－tanβ＋eq\r(3)c＝0，∴tanβ＝eq\r(3)(c＋1)．(2)∵tan60°＝eq\r(3)＝eq\f(tan23°＋tan37°,1－tan23°tan37°)，∴tan23°＋tan37°＝eq\r(3)－eq\r(3)tan23°tan37°，∴tan23°＋tan37°＋eq\r(3)tan23°tan37°＝eq\r(3).【答案】(1)eq\r(3)(c＋1)(2)eq\r(3)规律方法化简求值中要留意“特殊值”的代换和应用当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”，“eq\r(3)”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1＝taneq\f(π,4)”，“eq\r(3)＝taneq\f(π,3)”，这样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值．求下列各式的值．(1)eq\f(tan74°＋tan76°,1－tan74°tan76°)；(2)eq\f(tan10°＋tan50°＋tan120°,tan10°tan50°).解：(1)原式＝tan(74°＋76°)＝tan150°＝－eq\f(\r(3),3).(2)原式＝eq\f(tan10°＋50°1－tan10°tan50°＋tan120°,tan10°tan50°)＝eq\f(\r(3)1－tan10°tan50°－\r(3),tan10°tan50°)＝－eq\r(3).类型三利用公式进行三角等式的证明【例3】已知△ABC不是直角三角形，求证：tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC.【思路探究】利用等角关系，在两边同时取同名的三角函数，将角的等式转化为三角恒等式．【证明】在△ABC中，A＋B＋C＝π，又△ABC不是直角三角形，则A＋B＝π－C≠eq\f(π,2)，∴tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanC，即eq\f(tanA＋tanB,1－tanAtanB)＝－tanC.∴tanA＋tanB＝tanAtanBtanC－tanC，故tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC.规律方法应用两角和与差的三角函数解决三角形中的问题时，应创设条件使之能运用两角和与差的三角函数公式．留意下列结论：(1)三角形的内角和等于180°.(2)sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC，sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2)，coseq\f(A＋B,2)＝sineq\f(C,2)，tan(A＋B)＝－tanC.求证：tan(x－y)＋tan(y－z)＋tan(z－x)＝tan(x－y)tan(y－z)tan(z－x)．证明：证法一：左边＝tan[(x－y)＋(y－z)][1－tan(x－y)tan(y－z)]＋tan(z－x)＝tan(x－z)[1－tan(x－y)tan(y－z)]＋tan(z－x)＝tan(z－x)[1－1＋tan(x－y)tan(y－z)]＝tan(x－y)tan(y－z)tan(z－x)＝右边．证法二：tan(z－x)＝tan(z－y＋y－x)＝eq\f(tanz－y＋tany－x,1－tanz－ytany－x).∴tan(z－y)＋tan(y－x)＝tan(z－x)－tan(z－x)tan(z－y)tan(y－x)．∴tan(x－y)＋tan(y－z)＋tan(z－x)＝tan(z－x)tan(z－y)tan(y－x)．类型四利用公式求角【例4】设方程x2＋3eq\r(3)x＋4＝0的两根为tanα，tanβ，且0<|α|<eq\f(π,2)，0<|β|<eq\f(π,2)，求α＋β的值．【思路探究】本题主要考查由两角和的正切值求解．先求出tan(α＋β)的值，再依据α与β的详细范围与tanα，tanβ的符号确定出α＋β的详细范围，最终求α＋β的值．【解】由已知，得tanα＋tanβ＝－3eq\r(3)，tanα·tanβ＝4.∴tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\f(－3\r(3),1－4)＝eq\r(3)，且tanα<0，tanβ<0，∴－eq\f(π,2)<α<0，－eq\f(π,2)<β<0，∴－π<α＋β<0，∴α＋β＝－eq\f(2,3)π.规律方法求角问题中应特殊关注的问题：(1)角的变换前面学习Sα±β，Cα±β的过程中运用的角的变换技巧仍旧适用于公式Tα±β，如2α－β＝α＋(α－β)，在求值过程中要进一步驾驭这些角的变换方法．(2)函数名称的选取在明确所求角是如何通过已知角变换之后，详细要依据题设条件去选择恰当的函数．(3)角的范围的界定依据求出的三角函数值确定所求的角时，角的范围会干脆影响解的个数，因此角的范围的确定是求角问题中最为关键的因素．已知tanα＝eq\f(1,2)，tanβ＝eq\f(1,3)，0<α<eq\f(π,2)，π<β<eq\f(3π,2)，求α＋β的值．解：∵tanα＝eq\f(1,2)，tanβ＝eq\f(1,3)，∴tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\f(\f(1,2)＋\f(1,3),1－\f(1,2)×\f(1,3))＝1.∵0<α<eq\f(π,2)，π<β<eq\f(3π,2)，∴π<α＋β<2π.∴α＋β＝eq\f(5π,4).——易错警示——给值求角中的易错误区【例5】已知tan(α－β)＝eq\f(1,2)，tanβ＝－eq\f(1,7)，且α，β∈(0，π)，则2α－β＝________.【错解】eq\f(π,4)或eq\f(5π,4)【正解】由于tanα＝tan[(α－β)＋β]＝eq\f(tanα－β＋tanβ,1－tanα－β·tanβ)＝eq\f(\f(1,2)－\f(1,7),1＋\f(1,2)×\f(1,7))＝eq\f(1,3)，所以α∈(0，eq\f(π,4))①，又tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]＝eq\f(\f(1,2)＋\f(1,3),1－\f(1,2)×\f(1,3))＝1，而β∈(eq\f(π,2)，π)①，所以2α－β∈(－π，0)②，故2α－β＝－eq\f(3π,4).【错解分析】没有依据题设条件进一步缩小角α，β的范围(如①处所示)，导致②处的范围过大．【答案】－eq\f(3π,4)【防范措施】1.树立函数择优意识选择运算该角的哪个三角函数值，会干脆影响角的解的个数，如本例选择公式Tα±β较便利快捷，且不易产生增解．2．留意题设隐含条件的挖掘个别条件所附带的信息有时较为隐藏，常依据须要对题设条件进一步挖掘，如本例要依据“tan(α－β)＝eq\f(1,2)，tanβ＝－eq\f(1,7)，且α，β∈(0，π)”来进一步限定角α，β的范围．若tanα＋tanβ－tanαtanβ＋1＝0，α，β∈(eq\f(π,2)，π)，则α＋β＝eq\f(7,4)π.解析：tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)，∵tanα＋tanβ＝tanαtanβ－1，∴tan(α＋β)＝eq\f(tanαtanβ－1,1－tanαtanβ)＝－1.∵α＋β∈(π，2π)，又tan(α＋β)＝－1，∴α＋β＝eq\f(7,4)π.一、选择题1．若tan(eq\f(π,4)－α)＝3，则tanα等于(B)A．－2 B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2) D．2解析：tanα＝tan[eq\f(π,4)－(eq\f(π,4)－α)]＝eq\f(tan\f(π,4)－tan\f(π,4)－α,1＋tan\f(π,4)tan\f(π,4)－α)＝－eq\f(1,2).2.eq\r(3)tan23°tan97°－tan23°－tan97°＝(C)A．2 B．2eq\r(3)C.eq\r(3) D．0解析：原式＝eq\r(3)tan23°tan97°－tan(23°＋97°)(1－tan23°·tan97°)＝eq\r(3)tan23°