2024-2025学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语学案含解析新人教B版必修第一册

PAGE章末整合学问结构·理脉络要点梳理·晰精华1．集合中元素的三个特性特征含义示例确定性作为一个集合的元素，必需是确定的，不能确定的对象就不能构成集合，也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了集合A＝{1,2,3}，则1∈A,4∉A互异性对于一个给定的集合，集合中的元素肯定是不同的(或者说是互异的)，这就是说，集合中的任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入同一集合时只能算集合的一个元素集合{x，x2－x}中的x应满意x≠x2－x，即x≠0且x≠2无序性构成集合的元素间无先后依次之分集合{1,0}和{0,1}是同一个集合2．集合描述法的两种形式(1)符号描述法：用符号把元素的共同属性描述出来，其一般形式为{x|P(x)}或{x∈I|P(x)}，其中x代表元素，I是x的取值集合，P(x)是集合中元素x的共同属性，竖线不行省略，如大于1且小于4的实数构成的集合可以表示为{x∈R|1<x<4}．在不会产生误会的状况下，x的取值集合可以省略不写，如在实数集R中取值，“∈R”常省略不写，于是上述集合可表示为{x|1<x<4}．(2)文字描述法：用文字把元素的共同属性叙述出来，并写在花括号内，如{参与平昌冬奥会的运动员}，但花括号内不能出现“全部”“全体”“全部”等字样．3．全称量词命题和存在量词命题的否定对含有全称(存在)量词的命题进行否定需两步操作：第一步，将全称(存在)量词改写成存在(全称)量词；其次步，将结论加以否定．含有全称量词的命题的否定是含有存在量词的命题，含有存在量词的命题的否定是含有全称量词的命题．如：①“全部的正方形都是矩形”的否定为“至少存在一个正方形不是矩形”，其中，把全称量词“全部的”变为存在量词“至少存在一个”．②“存在一个实数x，使得|x|≤0”的否定为“对全部的实数x，都有|x|>0”，其中，把存在量词“存在一个”变为全称量词“全部的”．4．条件关系判定的常用结论条件p与结论q的关系结论p⇒q，且qpp是q的充分不必要条件q⇒p，且pqp是q的必要不充分条件p⇒q，且q⇒p，即p⇔qp是q的充要条件pq，且qpp是q的既不充分也不必要条件素养突破·提技能专题集合与方程、不等式的联系┃┃典例剖析__■1．集合与方程的联系典例1已知集合A＝{x|x2－4x＋3＝0}，B＝{x|(x－1)[x－(a－1)]＝0}，C＝{x|x2－mx＋1＝0}，若A∪B＝A，A∩C＝C，求实数a，m的值或取值范围．思路探究：在C⊆A中含有C＝∅这种状况，所以在解题时要考虑集合C为空集的状况，避开漏解．解析：由题意可知A＝{1,3}．∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴a－1＝3或a－1＝1，∴a＝4或a＝2.又A∩C＝C，∴C⊆A，若C＝∅，则Δ＝m2－4<0，即－2<m<2；若1∈C，则12－m＋1＝0，即m＝2，此时C＝{1}，A∩C＝C，符合题意；若3∈C，则9－3m＋1＝0，即m＝eq\f(10,3)，此时方程为x2－eq\f(10,3)x＋1＝0，∴x＝3或x＝eq\f(1,3)，即C＝{3，eq\f(1,3)}eq\o(⊆,/)A，∴m≠eq\f(10,3).综上可知，a＝4或a＝2，－2<m≤2.2．集合与不等式的联系典例2已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x＝m＋1，m∈A}．(1)求图中阴影部分表示的集合C；(2)若非空集合D＝{x|4－a<x<a}，且D⊆(A∪B)，求实数a的取值范围．解析：(1)因为A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x＝m＋1，m∈A}，所以B＝{x|2≤x≤4}，由图可得，C＝A∩(∁UB)，因为B＝{x|2≤x≤4}，则∁UB＝{x|x>4或x<2}，而A＝{x|1≤x≤3}，则C＝A∩(∁UB)＝{x|1≤x<2}．(2)因为集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2≤x≤4}，所以A∪B＝{x|1≤x≤4}．若非空集合D＝{x|4－a<x<a}，且D⊆(A∪B)，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－a<a，,4－a≥1，,a≤4，))解得2<a≤3，即实数a的取值范围为2<a≤3.归纳提升：解决集合与方程、不等式综合的参数问题时，要特殊留意两点：(1)不要忽视集合中元素的互异性，即求出参数后应满意集合中的元素是互异的，尤其要留意含参数的方程的解的集合．(2)空集是一个特殊的集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，当题设中隐含有空集参与的集合关系与运算时，其特殊性简洁被忽视，如解决有关A⊆B，A∩B＝∅，A∪B＝B等集合问题时，应先考虑空集的状况．专题与集合有关的新定义问题┃┃典例剖析__■1．类比集合定义型典例3在整数集Z中，被5除所得余数为k的全部整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论．①2019∈[1]；②－3∈[3]；③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a，b属于同一‘类’”的条件是“a－b∈[0]”．其中，正确结论的序号是__③④__.思路探究：由整数集Z中“类”的定义可得出，[0]表示5的倍数组成的集合，[1]＝{5n＋1|n∈Z}，[2]＝{5n＋2|n∈Z}等，然后结合题目逐一推断．解析：因为2019＝5×403＋4，所以2019∉[1]，故结论①不正确；因为－3＝5×(－1)＋2，所以－3∈[2]，故结论②不正确；因为全部的整数被5除所得余数只能为0,1,2,3,4，所以Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，故结论③正确；设a＝5n1＋k1，b＝5n2＋k2(n1，n2∈Z)，若a－b∈[0]，则a－b＝5(n1－n2)＋(k1－k2)∈[0]，所以k1＝k2，则整数a，b属于同一“类”，故结论④正确．2．类比集合间运算型典例4定义集合A与B的运算：A⊙B＝{x|x∈A或x∈B，且x∉A∩B}，已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{3,4,5,6,7}，则(A⊙B)⊙B为(B)A．{1,2,3,4,5,6,7} B．{1,2,3,4}C．{1,2} D．{3,4,5,6,7}解析：方法一：利用维恩图，如图，由题意可知(A⊙B)⊙B为阴影部分所示，即{1,2,3,4}．方法二：由新定义的运算，得A⊙B＝{1,2,5,6,7}，则(A⊙B)⊙B＝{1,2,5,6,7}⊙{3,4,5,6,7}＝{1,2,3,4}．归纳提升：在集合的新定义问题中，出现较多的是在现有运算法则和运算律的基础上定义一种新的运算．解题时，要抓住两点：(1)分析新定义的特点，把新定义中所叙述的问题的本质弄清晰，并且能够应用到详细的解题过程中．(2)集合中元素的特性及集合的基本运算是解题的突破口，要娴熟驾驭．专题充分条件与必要条件的推断与探求┃┃典例剖析__■典例5对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6，那么p是q的__充分不必要__条件．解析：设U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}．命题p：x＋y≠8，对应集合为A＝{(x，y)|x＋y≠8}，命题q：x≠2或y≠6，对应集合为B＝{(x，y)|x≠2或x≠6}，命题¬p：x＋y＝8，对应集合为∁UA＝{(x，y)|x＋y＝8}，命题¬q：x＝2且y＝6，对应集合为∁UB＝{(x，y)|x＝2且y＝6}＝{(2,6)}，明显∁UB∁UA，所以AB，即p是q的充分不必要条件．典例6已知集合M＝{x|x<－3或x>5}，P＝{x|a≤x≤8}．(1)求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的充要条件；(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的一个充分但不必要条件；(3)求一个实数a的取值集合，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的一个必要但不充分条件．思路探究：由M∩P＝{x|5<x≤8}，求得－3≤a≤5.(1)充要条件即－3≤a≤5.(2)找寻充分但不必要条件，a可取满意－3≤a≤5的随意一个值．(3)找寻必要但不充分条件，此时a的取值集合应真包含{a|－3≤a≤5}．解析：(1)由M∩P＝{x|5<x≤8}，得－3≤a≤5，因此M∩P＝{x|5<x≤8}的充要条件是－3≤a≤5，即a的取值范围为{a|－3≤a≤5}．(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的一个充分但不必要条件，就是在集合{a|－3≤a≤5}中取一个值，如取a＝0，此时必有M∩P＝{x|5<x≤8}；反之，M∩P＝{x|5<x≤8}未必有a＝0，故a＝0是所求的一个充分但不必要条件．(答案不唯一)(3)求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的一个必要但不充分条件就是另求一个集合Q，使{a|－3≤a≤5}是集合Q的一个真子集．易知当a≤5时，未必有M∩P＝{x|5<x≤8}，但是M∩P＝{x|5<x≤8}时，必有a≤5，故{a|a≤5}是所求的一个a的取值集合．(答案不唯一)归纳提升：已知条件p，结论q对应的集合分别为A，B.用集合观点来理解充要条件，有如下三类：一是两个集合相等，那么p，q互为充要条件；二是两个集合有包含关系，若AB，则p是q的必要不充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件；三是两个集合没有包含关系，那么p是q的既不充分也不必要条件．专题思想方法归纳┃┃典例剖析__■1．数形结合思想典例7已知集合A＝{x|－4<x<2}，B＝{x|x<－5或x>1}，C＝{x|m－1<x<m＋1，m∈R}．(1)若A∩C＝∅，求实数m的取值范围；(2)若(A∩B)⊆C，求实数m的取值范围．思路探究：借助于数轴把集合表示出来，找出满意条件的m的取值范围．解析：(1)如图1所示．∵A∩C＝∅，且A＝{x|－4<x<2}，C＝{x|m－1<x<m＋1}，∴m＋1≤－4或m－1≥2，解得m≤－5或m≥3.故实数m的取值范围是{m|m≤－5或m≥3}．(2)∵A＝{x|－4<x<2}，B＝{x|x<－5或x>1}，∴A∩B＝{x|1<x<2}．又(A∩B)⊆C，如图2所示，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－1≤1，,m＋1≥2，))解得1≤m≤2.故实数m的取值范围是{m|1≤m≤2}．归纳提升：数形结合的思想是充分运用“数”的严谨和“形”的直观，将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过代数的论证、图形的描述来探讨和解决数学问题的一种数学思想方法．数形结合的思想通过“以形助数，以数辅形”，使困难问题简洁化，抽象问题详细化，有助于把握数学问题的性质，有利于达到优化解题的目的．在解答有关集合的交、并、补运算以及抽象集合问题时，一般要借助数轴或Venn图求解，这都体现了数形结合的思想．2．分类探讨思想典例8已知集合A＝{x|－3<x<5}，B＝{x|－4≤x≤3}，C＝{x|2x－3a－1>0}，试求C∩(A∪B)．思路探究：对集合C的端点值分类探讨，探讨时做到不重不漏．解析：∵A＝{x|－3<x<5}，B＝{x|－4≤x≤3}，∴A∪B＝{x|－4≤x<5}．∵2x－3a－1>0，∴x>eq\f(3a＋1,2).当eq\f(3a＋1,2)<－4，即a<－3时，C∩(A∪B)＝{x|－4≤x<5}；当－4≤eq\f(3a＋1,2)<5，即－3≤a<3时，C∩(A∪B)＝{x|eq\f(3a＋1,2)<x<5}；当eq\f(3a＋1,2)≥5，即a≥3时，C∩(A∪B)＝∅.综上可知，当a<－3时，C∩(A∪B)＝{x|－4≤x<5}；当－3≤a<3时，C∩(A∪B)＝{x|eq\f(3a＋1,2)<x<5}；当a≥3时，C∩(A∪B)＝∅.归纳提升：分类探讨就是当问题所给的对象不能进行统一探讨时，就须要对探讨对象按某个标准分类，然后对每一类分别探讨得出每一类的结论，最终综合各类问题的结论得到整个问题的解答．分类与整合就是化整为零，各个击破，再积零为整的数学思想．求解此类问题的步骤：(1)确定分类探讨的对象，即对哪个参数进行探讨；(2)对所探讨的对象进行合理的分类(分类时要做到不重不漏，标准要统一，分层不越级)；(3)逐类探讨，即对各类问题逐类探讨，逐步解决；(4)归纳总结，即对各类状况总结归纳，得出结论．3．化归与转化思想典例9设p：实数x满意a<x<3a(a>0)，q：2<x≤3，若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．思路探究：¬p是¬q的充分不必要条件可转化为q是p的充分不必要条件．解析：∵¬p是¬q的充分不必要条件，∴q是p的充分不必要条件，∴q⇒p，pq.令A＝{x|a<